La rappresentazione integrale di Fourier

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Lezione 6 - Lo sviluppo in serie di Fourier

Unit`

a 6.3 La rappresentazione integrale di Fourier

Luca Salasnich

Dipartimento di Fisica e Astronomia “Galileo Galilei”, Universit`a di Padova

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Funzioni periodiche: serie di Fourier

Abbiamo visto che una funzione f (x ), tale che f (x + λ) = f (x ), cio`e una funzione periodica di periodo λ, si pu`o scrivere in serie di Fourier come

f (x ) = a0 2 + ∞ X n=1 ancos n2π λ x + bn sin n2π λx , (1) o equivalentemente come f (x ) = +∞ X n=−∞ fnein2πλx , (2)

dove i coefficienti ane bn, ed ovviamente anche i coefficienti fn dipendono dalla funzione stessa.

Le funzioni sinusoidali cos(2πnx /λ) e sin(2πnx /λ) sono dette funzioni di base della rappresentazione reale della serie di Fourier.

Similmente, le funzioni esponenziali complesse exp(i 2πnx /λ) sono dette funzioni di base della rappresentazione complessa della serie di Fourier.

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Funzioni non periodiche: integrale di Fourier (I)

E’ interessante considerare il limite λ → +∞ di periodicit`a infinita, cio`e il caso di una funzione non periodica.

In questo limite si pu`o dimostrare che l’Eq. (2) diventa la rappresentazione integrale di Fourier, data da

f (x ) = 1 2π Z +∞ −∞ ˜ f (k) eikxdk (3) dove ˜ f (k) = Z +∞ −∞ f (x ) e−ikxdx (4)

`e detta trasformata di Fourier della f (x ).

Le funzioni esponenziali complesse eikx _{sono dette funzioni di base della} rappresentazione complessa dell’integrale di Fourier.

Se x rappresenta una lunghezza, la variabile di integrazione k ha le dimensioni del reciproco di una lunghezza. Si tratta del numero d’onda che ovviamente si può scrivere come k = 2π/λ, dove λ è la lunghezza d’onda della generica funzione di base eikx_{, ma non della funzione f (x ),} che in generale non è periodica.

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Funzioni non periodiche: integrale di Fourier (II)

Quindi, una generica funzione f (x ) si pu`o esprimere come la somma infinita nel continuo (cio`e un integrale) che coinvolge le funzioni di base complesse

eikx = cos(kx ) + i sin(kx ) = cos(2π

λx ) + i sin( 2π

λ x ) (5)

che sono una combinazione di funzioni sinusoidali di periodicit`a λ = 2π

k . (6)

In altre parole, una funzione non periodica f (x ), si pu`o rappresentare tramite la somma infinita di funzioni di base periodiche, ognuna con la propria periodicit`a. In alcuni testi si trova la scrittura

f (x ) = 1 2π X k ˜ f (k) eikx (7) dove il simboloP

k deve essere per`o inteso come R+∞

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La trasformata di Fourier (I)

Abbiamo detto che la funzione ˜f (k) che appare nella rappresentazione integrale di Fourier dipende dalla funzione f (x ). Esiste quindi la corrispondenza (quasi) biunivoca

f (x ) ↔ ˜f (k) . (8)

Ovviamente f ed ˜f sono, in generale, funzioni molto diverse. Per`o, data una delle due si pu`o ovviamente ottenere l’altra. Infatti, data f (x ), la ˜

f (k) si ottiene subito con la formula ˜

f (k) = Z +∞

−∞

f (x ) e−ikxdx (9)

che, ripetiamo, `e detta trasformata di Foutier della f (x ).

La trasformata di Fourier ˜f (k) di una funzione f (x ) `e usualmente denotata con F [f (x )](k), cio`e

˜

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La trasformata di Fourier (II)

f (x ) F [f (x)](k) 0 0 1 2πδ(k) δ(x ) 1 Θ(x ) 1 ik + π δ(k) eik0x _{2π δ(k − k} 0) e−x2/(2a2) a√2πe−a2k2/2

e−a|x| 2a a2_+k2 sgn(x ) 2 ik sin (k0x ) π_i [δ(k − k0) − δ(k + k0)] cos (k0x ) π [δ(k − k0) + δ(k + k0)]

Nella tabella sono indicate le trasformate di Fourier F [f (x )](k) di semplici funzioni f (x ), dove δ(x ) è la funzione delta di Dirac, sgn(x ) è la funzione segno, e Θ(x ) è la funzione a gradino di Heaviside.

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La trasformata di Fourier (III)

Una interessante relazione `e l’identit`a di Parseval Z +∞ −∞ |f (x)|2_{dx =} Z +∞ −∞ |˜f (k)|2dk , (11) e si dice che f (x ) and ˜f (k) hanno la stessa normalizzazione. In generale, se f (x ) e ˜f (k) sono normalizzate ad uno, vale il teorema

∆x ∆k ≥ 1 2 , (12) dove ∆x2 = Z +∞ −∞ x2|f (x)|2dx − Z +∞ −∞ x |f (x )|2dx 2 (13) ∆k2 = Z +∞ −∞ k2|˜f (k)|2dk − Z +∞ −∞ k |˜f (k)|2dk 2 (14)

sono le larghezze delle funzioni rispettivamente nello spazio x e nello spazio duale k.

Come vedremo meglio in seguito, questo risultato non `e nient’altro che il principio di indeterminazione della meccanica quantistica, formulato da Werner Heisenberg in 1927.

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Ancora sulla rappresentazione integrale di Fourier (I)

La trasformata di Fourier è spesso usata in elettronica. In questo ambito il segnale di ampiezza f dipende dal tempo t, cioè f = f (t). In questo caso la variabile duale del tempo t è la frequenza angolare ω e l’integrale di Fourier solitamente si scrive come

f (t) = 1 2π Z +∞ −∞ ˜ f (ω) e−i ωtd ω (15) con ˜ f (ω) = F [f (t)](ω) = Z +∞ −∞ f (t) ei ωtdt (16) la trasformata di Fourier di f (t). Chiaramente, la funzione f (t) pu`o essere vista come l’anti-trasformata di Fourier di ˜f (ω), in simboli

f (t) = F−1[˜f (ω)](t) = F−1[F [f (t)](ω)](t) , (17) che ovviamente significa che la composizione F−1◦ F d`a l’indentit`a.

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Ancora sulla rappresentazione integrale di Fourier (II)

Più in generale, se il segnale f dipende dalle 3 coordinate spaziali r = (x , y , z) e dal tempo t, cioè f = f (r, t), si possono introdurre trasformate di Fourier da r ta k, da t a ω, o entrambe. In quest’ultimo caso si ha f (r, t) = 1 (2π)4 Z R4 ˜ f (k, ω) ei (k·r−ωt)d3k d ω (18) con k · r = k1x + k2y + k3z, ω = c|k| = cpk12+ k 2 2+ k 2 3, e ˜ f (k, ω) = F [f (r, t)](k, ω) = Z R4 f (k, ω) e−i (k·r−ωt)d3r dt . (19) Anche in questo caso generale la funzione f (r, t) può essere vista come la anti-trasformata di ˜f (k, ω), in simboli