ESAME DI MATEMATICA – FACSIMILE Tema 9
II parte
Questa `e la II parte della prova scritta dell’esame di Matematica. La durata `e di 60 minuti e per lo svolgimento devi usare i fogli protocollo a quadretti.
In questo foglio trovi 3 esercizi e 5 quesiti di carattere teorico.
Il punteggio massimo di ogni esercizio `e indicato. Ogni domanda teorica vale 1 punto.
Esercizio 1 (punti 5). Data la funzione f (x) = 1
xln(x2), si dica in quale insieme essa `e definita, se si tratta di un insieme con qualche simmetria e se la funzione f presenta qualche tipo di simmetria.
Si calcolino i limiti significativi, la derivata di f gli eventuali punti stazionari. Infine, dopo aver determinato una primitiva di f , si calcoli l’integrale
Z e2
e
f(x) dx.
Esercizio 2 (punti 5). Dati i vettori
v = (1, −1, 0, 1) , u= (1, 1, −1, 0) , w= (0, −2, 1, 0),
si dica se essi sono linearmente dipendenti o indipendenti e si determini la dimensione del sottospazio di R4 da essi generato. Si dica poi se ce ne sono almeno due che sono ortogonali tra loro. Si dica infine se il vettore z = (2, −2, 0, 1) appartiene al sottospazio generato da v, u, w e, in caso affermativo lo si scriva come combinazione lineare di v, u, w.
Esercizio 3 (punti 5). Data la funzione
f(x, y) = ln (x ln y),
si disegni nel piano cartesiano l’insieme in cui f `e definita, precisando se `e un insieme aperto, chiuso, o n´e aperto n´e chiuso. Si calcolino le derivate parziali di f e si dica se ci sono punti stazionari. Infine si determini la curva di livello 0.
Quesito 1. Si enunci il teorema degli zeri.
Quesito 2. In quale caso una matrice 3 × 4 ha rango 2?
Quesito 3. Si enunci il teorema sulla struttura delle soluzioni di un sistema lineare.
Quesito 4. In base alle regole sul segno dei minori, quando una forma quadratica in R2 risulta semidefinita positiva?
Quesito 5. Se f `e una funzione di due variabili, che cosa significa che (x0, y0) `e un punto stazionario di f ?
