Funzioni continue Def. Una funzione f(x) è continua in x

Funzioni continue

Def.

Una funzione f(x) è continua in x

, se:

Funzioni continue

: 0

0  



  

ossia

) ( ) ( lim )

( lim )

(

lim

1

0 0 0

x f x f x

f x

f

x

x

   







Discontinuità

 





 

0 0

) ) (

( x x

x x x

x f

f 

a) Discontinuità eliminabile )

( lim

0

 

 

f x

x

x

lim ( )

0

 

 

f x

x

x



 

 f ( x

)

f(x) è stata prolungata per continuità – ridefinita per continuità attraverso f(x)

Esempio di discontinuità eliminabile









 

0 1

0 ) ( )

(

x x x

x sen x

f

x x x sen

f ( )

)

(  x  0

Funzioni continue

Discontinuità

b) Discontinuità di prima specie (salto) )

( lim

0

 

 

f x

x

x

lim ( )

0

 

 

f x

x

x



 

Funzioni continue

Esempio di discontinuità di prima specie

x y |x|



| 1 lim |

| 1 lim |

0 0







 _

 

 x

x x

x

x x





:

.E xR x C

Discontinuità

c) Discontinuità di seconda specie

) ( lim , ) ( lim

0 0

x f x

f

x x x

x ^  ^

Se uno dei due limiti non esite oppure è 

 1²

1

  y x

Funzioni continue Esercizio

Dire se è continua in x=0 la funzione così definita

0 0 0

) 1 (

|

| ln 2





 

  

x e x

x f

x x

Esercizio

Dire per quali valori di k è continua la funzione così definita

0 0 2

) 1 (

2





 





 

x x k x x x

f

Esercizio

Dire per quali valori di k la funzione f(x)è continua in x=1

1 1 1

ln 2 )

(







 



 

x x k

x x x

f

Funzioni continue

Continuità della funzione composta

g definita almeno in un intorno di x₀ e continua in x_{0 ,} f definita almeno in un intorno di y₀ =g(x₀) e continua in y_0, allora la funzione f(g(x)) è definita almeno in un intorno di x₀ ed è continua in x₀ :

)) ( ( )) ( (

lim

0

x g f x g

x

f

x





Funzioni continue

• Le funzioni elementari sono continue nel loro campo di definizione,

• Somma, prodotto, quoziente (con denominatore diverso da zero) di funzioni continue danno funzioni continue,

• La composizione di funzioni continue è una funzione continua

Il limite si calcola sostituendo x₀ nell’espressione analitica della funzione.

Esercizio

Calcolare il limite

4 lim ₂ 3

3

1  



 x x x x

x

Teorema della permanenza del segno

Sia f(x) definita almeno in un intorno di x₀ e continua in x_0.

Se f(x₀) > 0 allora ∃𝛿 > 0 :

Dimostrazione.

Funzioni continue: Teoremi





0 )

(x  x x₀  x₀  f

In particolare

. 2 0

) ( 2

) ) (

( )

(  ₀  f x⁰  f x⁰  x

f x f

Se =f(x₀)=0, non si hanno informazioni sul segno di f(x).

NOTA:

Il teorema della permanenza del segno vale anche per funzioni che non sono continue in x₀,in questo caso anziché f(x₀) si considera .

Teorema degli zeri

Sia f(x) continua in [a,b] _. f(a)∙f(b) <0 allora

Se f è anche strettamente monotona, lo zero è unico.

Funzioni continue: Teoremi

 

0 

x a b f x

Teorema dell’esistenza dei valori intermedi

Una funzione f(x) continua in [a,b] assume tutti i valori compresi tra f(a) ed f(b).

Teorema di Wierstrass (sul max e min)

Sia f(x) continua in [a,b] . Allora f(x) assume massimo e minimo assoluto in [a,b], cioè

Funzioni continue: Teoremi

) ( ) ( ) ( : ] , [

, _{2 1 2}

1 x a b f x f x f x

x   







Una funzione f(x) continua in [a,b] assume tutti i valori compresi tra il minimo(m) e il massimo (M)

Funzioni continue: Teoremi

Es.

y= e^x-1 𝑥𝜖 0,1

 

e e e

x x

min 1

1 max

1 ] 1 , 0 [

1 1

, 0









Es. Il teorema di Weierstrass

non è applicabile: l’intervallo non è chiuso.

f(x) non è limitata superiormente

] 1 , 0 ( 1 , 

 x

y x

Funzioni continue: Teoremi

Es. Il teorema di Weierstrass

non è applicabile: l’intervallo non è limitato.

f(x) è limitata ma non ammette minimo,

) , 1 [ 1 ,





 x

y x

1 0 inf

[





x

Criterio di invertibilità

Una funzione continua e strettamente monotona in [a,b]

è invertibile in tale intervallo.

Dimostrazione.

Supponiamo che f(x) sia strettamente crescente in [a,b], si ha ,

f(a)=minimo, f(b)=max.

Per il teorema dei valori intermedi:

e tale x è unico.

) ( ) ( )

(a f x f b

f  

y x f b a x b

f a f

y    

 [ ( ), ( )], [ , ] : ( )

Funzioni continue: Teoremi

Infatti se

) ( ) ( y :

:

, _{2 1 2 1 2}

1 x x x f x f x

x   



si ottiene un assurdo perché per ipotesi ) ( )

( _{1 2}

2

1 x f x f x

x   

Quindi f(x) è iniettiva e percio’ invertibile.

Inoltre la funzione inversa di una funzione continua e’

continua