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Funzioni continue Def. Una funzione f(x) è continua in x

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Academic year: 2021

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(1)

Funzioni continue

Def.

Una funzione f(x) è continua in x

0

, se:

Funzioni continue

: 0

0  

  

ossia

) ( ) ( lim )

( lim )

(

lim

2 0

1

0 0 0

x f x f x

f x

f

x x x x

x

x

   

(2)

Discontinuità

 

 

0 0

) ) (

( x x

x x x

x f

f

a) Discontinuità eliminabile )

1

( lim

0

 

f x

x

x

lim ( )

2

0

 

f x

x

x

1

 

2

f ( x

0

)

f(x) è stata prolungata per continuità – ridefinita per continuità attraverso f(x)

Esempio di discontinuità eliminabile





 

0 1

0 ) ( )

(

x x x

x sen x

f

x x x sen

f ( )

)

(  x  0

Funzioni continue

(3)

Discontinuità

b) Discontinuità di prima specie (salto) )

1

( lim

0

 

f x

x

x

lim ( )

2

0

 

f x

x

x

1

 

2

Funzioni continue

Esempio di discontinuità di prima specie

x y |x|

| 1 lim |

| 1 lim |

0 0

x

x x

x

x x

: 0

:

.E xR xC

(4)

Discontinuità

c) Discontinuità di seconda specie

) ( lim , ) ( lim

0 0

x f x

f

x x x

x

Se uno dei due limiti non esite oppure è 

12

1

y x

Funzioni continue Esercizio

Dire se è continua in x=0 la funzione così definita

0 0 0

) 1 (

|

| ln 2

 

  

x e x

x f

x x

(5)

Esercizio

Dire per quali valori di k è continua la funzione così definita

0 0 2

) 1 (

2

 

 

x x k x x x

f

Esercizio

Dire per quali valori di k la funzione f(x)è continua in x=1

1 1 1

ln 2 )

(



 

 

x x k

x x x

f

Funzioni continue

(6)

Continuità della funzione composta

Siano:

g definita almeno in un intorno di x0 e continua in x0 , f definita almeno in un intorno di y0 =g(x0) e continua in y0, allora la funzione f(g(x)) è definita almeno in un intorno di x0 ed è continua in x0 :

)) ( ( )) ( (

lim

0

0

x g f x g

x

f

x

Funzioni continue

• Le funzioni elementari sono continue nel loro campo di definizione,

• Somma, prodotto, quoziente (con denominatore diverso da zero) di funzioni continue danno funzioni continue,

• La composizione di funzioni continue è una funzione continua

Il limite si calcola sostituendo x0 nell’espressione analitica della funzione.

(7)

Esercizio

Calcolare il limite

4 lim 2 3

3

1  

x x x x

x

Teorema della permanenza del segno

Sia f(x) definita almeno in un intorno di x0 e continua in x0.

Se f(x0) > 0 allora ∃𝛿 > 0 :

Dimostrazione.

Funzioni continue: Teoremi

,

.

0 )

(x  xx0  x0  f

(8)

In particolare

. 2 0

) ( 2

) ) (

( )

( 0 f x0 f x0 x

f x f

Se =f(x0)=0, non si hanno informazioni sul segno di f(x).

NOTA:

Il teorema della permanenza del segno vale anche per funzioni che non sono continue in x0,in questo caso anziché f(x0) si considera .

Teorema degli zeri

Sia f(x) continua in [a,b] . f(a)∙f(b) <0 allora

Se f è anche strettamente monotona, lo zero è unico.

Funzioni continue: Teoremi

 

, : ( 0) 0.

0 

x a b f x

(9)

Teorema dell’esistenza dei valori intermedi

(conseguenza del teorema degli zeri)

Una funzione f(x) continua in [a,b] assume tutti i valori compresi tra f(a) ed f(b).

Teorema di Wierstrass (sul max e min)

Sia f(x) continua in [a,b] . Allora f(x) assume massimo e minimo assoluto in [a,b], cioè

Funzioni continue: Teoremi

) ( ) ( ) ( : ] , [

, 2 1 2

1 x a b f x f x f x

x   

(10)

Una funzione f(x) continua in [a,b] assume tutti i valori compresi tra il minimo(m) e il massimo (M)

Funzioni continue: Teoremi

Es.

y= ex-1 𝑥𝜖 0,1

 

e e e

x x

min 1

1 max

1 ] 1 , 0 [

1 1

, 0

(11)

Es. Il teorema di Weierstrass

non è applicabile: l’intervallo non è chiuso.

f(x) non è limitata superiormente

] 1 , 0 ( 1 , 

x

y x

Funzioni continue: Teoremi

Es. Il teorema di Weierstrass

non è applicabile: l’intervallo non è limitato.

f(x) è limitata ma non ammette minimo,

) , 1 [ 1 ,



x

y x

1 0 inf

, ) 1

[



x

(12)

Criterio di invertibilità

Una funzione continua e strettamente monotona in [a,b]

è invertibile in tale intervallo.

Dimostrazione.

Supponiamo che f(x) sia strettamente crescente in [a,b], si ha ,

f(a)=minimo, f(b)=max.

Per il teorema dei valori intermedi:

e tale x è unico.

) ( ) ( )

(a f x f b

f  

y x f b a x b

f a f

y    

 [ ( ), ( )], [ , ] : ( )

Funzioni continue: Teoremi

Infatti se

) ( ) ( y :

:

, 2 1 2 1 2

1 x x x f x f x

x   

si ottiene un assurdo perché per ipotesi ) ( )

( 1 2

2

1 x f x f x

x   

Quindi f(x) è iniettiva e percio’ invertibile.

Inoltre la funzione inversa di una funzione continua e’

continua

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