fulltext

(1)

1. Il nome della rosa

Non alludo all’intuizione poetica di Gertrude Stein, ma al precetto aristotelico secondo il quale, al fine della conoscenza del mondo che ci circonda, bisogna dare dapprima un nome alle cose. Questo compito non presenta eccessive difficoltà quando si considerano oggetti tangibili, distinguendoli in categorie secondo caratteristiche evidenti. È più difficile attribuire un termine a sensazioni e concetti. Nel caso della temperatura questo processo è stato molto lento.

I cultori di etimologia ritengono che “tempra” e “temperatura” provengano dal verbo latino “temperare” che significa in primo luogo “mescolare”. Evidentemente Orazio quando andava in visita da Taliarce temperava con acqua il vino piuttosto ro-busto (vecchio di quattro anni) che gli veniva offerto. I due termini dunque significano in primo luogo “gradazione” di una mistura di forza e gentilezza, dolce e amaro, caldo e freddo. Questi vocaboli vennero e sono tuttora applicati a casi disparati: temperare una matita o la penna d’oca, clavicembalo ben temperato, buona o cattiva tempra di una persona, tempra dei metalli. (Pare che quest’ultima operazione nasca dall’uso di immergere la spada appena forgiata nelle viscere di un prigioniero nemico ritenuto valoroso, onde assorbirne le virtù guerriere. Un qualche fabbro misericordioso o in mancanza di valorosi nemici cambiò poi la pratica immergendo il ferro incandescente in un mastello d’acqua.)

L’uso odierno in campo scientiﬁco sembra apparire per la prima volta, sotto le voci tempra e temperie, nella descrizione degli esperimenti eseguiti dalla Accademia del Cimento. Ivi troviamo, a proposito della costruzione di un termometro: “acci`o la freddissima acqua riceva ugualmente per ogni parte la tempra del calore” [1]. Ma Newton, come Eulero, parla di caldo e di freddo e non di temperatura e Huygens si

(∗) Nota della Vicedirezione: Questo lavoro, che era rimasto parzialmente incompiuto a seguito della scomparsa dell’indimenticabile e amato Bruno, viene ora pubblicato con la revisione e il completamento eseguiti sulla base dei suoi appunti ritrovati.

(2)

318 Bruno Carazza

riferisce con la suddetta parola alla scala musicale. Finalmente si trova questa voce, riferita alle indicazioni di un termometro, nelle opere di Fahrenheit e il suo uso in questo senso `e consacrato nella Enciclopedia di Diderot e D’Alembert.

2. Deﬁnizione operativa della temperatura

Non importava molto comunque che i filosofi della natura avessero da subito una parola e una definizione apposita. Se è vero che è essenziale la definizione operativa dei concetti in fisica [2], questo certamente è il nostro caso: la temperatura è la quantità fisica che si misura con un termometro. Questo è il suo significato, il quale porta alla ribalta tutta una serie di termometri e di scale.

Per utilizzare la definizione operativa occorre indicare come il termometro si debba costruire e, poiché la misura avviene per contatto, si deve aggiungere che i corpi in contatto tra loro di un sistema isolato si portano alla stessa temperatura. Nei tentativi di assiomatizzazione della termodinamica a questo assunto si è poi dato il nome di “principio zero”.

Quanto al termometro, il suo prototipo, seguendo le indicazioni della Accademia del Cimento, è costituito da un palloncino di vetro, opera di un abile artigiano deno-minato “mastro Soffia”, cui viene attaccato un lungo cannello e che viene riempito con un fluido (fig. 1). Inizialmente si tratta di acquavite, poi sarà mercurio e infine aria e altri gas. La misura della temperatura è data dall’altezza raggiunta dal fluido nel cannello su cui sono segnate due tacche corrispondenti per esempio alla temperatura del ghiaccio e a quella dell’acqua bollente. Lo spazio fra le due tacche è suddiviso in parti uguali. Per indicare qualitativamente i valori della temperatura si usarono anche espressioni verbali: nel corso dell’Ottocento un professore di Fisica di Parma, evidentemente con scarsi fondi per l’apparecchiatura di ricerca, annotò nel suo diario di laboratorio che l’inverno era stato cos`ı freddo che erano morte anche le pulci del suo letto.

3. Calore e temperatura

I primi studiosi dei fenomeni termici usarono in genere la dizione “grado di calore” per indicare la misura fatta da un termometro. Il significato è chiaro, ma a volte si ha l’impressione che esista una confusione iniziale, non puramente lessicale, fra il concet-to di calore e quello d temperatura. A chiarire le cose contribuirono gli esperimenti di Taylor (l’autore dello sviluppo in serie di potenze) sul valore della temperatura raggiunto all’equilibrio da una miscela di due volumi di acqua inizialmente a tempe-rature diverse nonché quelli di Black con la scoperta del calore latente. Black inoltre aveva osservato che il calore necessario per scaldare due libbre di acqua è il doppio di quanto ne occorre per portare una sola libbra alla stessa temperatura finale. Egli dichiarò che occorre distinguere fra il calore presente in un corpo e la sua intensità. Questa concezione venne sancita dalla teoria del calorico, presentata in una memoria di Laplace e Lavoisier [3], che si basa sulla presunta esistenza di una sostanza la cui

(3)

Fig. 1. – Un termometro usato nelle esperienze della Accademia del Cimento.

quantit`a si conserva, appunto il calorico. I suddetti autori proposero anche l’uso di un calorimetro a ghiaccio (ﬁg. 2).

La teoria del calorico, tenendo in conto il fatto empirico che un corpo omogeneo, ricevendo calore, si dilata (ﬁg. 3) e nel contempo si riscalda, si basa essenzialmente sulla relazione

Q = A ΔV + B Δθ,

dove Q `e la quantit`a di calore immesso, ΔV la variazione di volume e Δθ quella della temperatura indicata da un termometro non specificato. Q e θ appaiono anche visivamente distinti. I coefficienti dipendono dal corpo considerato, dalla temperatura e dalla scelta del termometro che la indica. La teoria del calorico costituisce una proto termodinamica. Essa individua per un sistema omogeneo due variabili di stato naturali, che sono necessarie e sufficienti e si basa matematicamente sulla teoria delle funzioni di due variabili, assumendone l’apparato differenziale. Si presentano in nuce

(4)

Fig. 2. – Il calorimetro a ghiaccio di Laplace e Lavoisier.

Fig. 3. – L’anello di ’s Gravesande. La palla metallica passa per l’anello, ma quando `e riscaldata non passa pi`u.

(5)

Fig. 4. – Dispositivo per mostrare la propagazione del calore lungo una barra metallica. Nella barra sono praticate cavit`a equidistanti riempite di mercurio in cui `e immerso un termometro.

le caratteristiche della futura termodinamica fenomenologica. Benché essa sia stata poi smentita nel suo assunto base, la teoria del calorico contribu`ı alla spiegazione di numerosi fenomeni e presenta il caso di come, nello sviluppo della conoscenza scientifica, una teoria che ben interpretava un certo numero di fatti non è smentita completamente al sorgere di una teoria novella che tiene conto di nuovi fatti, ma accolta nella visione nuova e più ampia e giustificata in certe condizioni. Un notevole successo della teoria del calorico è rappresentato dall’equazione di propagazione (fig. 4) proposta da Fourier [4].

Con la suddetta teoria prendono campo concetti come quello di calore specifico e capacità termica. Sovente si considerò l’analogia con l’acqua versata in un vaso: la massa d’acqua rappresenta il calore, l’altezza della colonna liquida la temperatura.

4. Temperatura termometrica e gas rarefatti

La misura della temperatura è evidentemente legata al tipo di termometro cui fare riferimento e questo permette ampie facoltà di scelte, dal fluido usato per l’espansione termica ai punti fissi alla numerazione della scala. Il Settecento vide un pullulare di strumenti di varie guise (fig. 5) e di scale termometriche e dal punto di vista operativo si può asserire che siano state altrettante definizioni empiriche della temperatura. Una simile situazione non è certamente ideale per lo sviluppo della conoscenza scientifica che si nutre dello scambio di informazioni fra studiosi e che nel nostro caso richiedeva di riferirsi a un unico tipo di termometro considerato standard. Questa funzione fin`ı per essere attribuita allo strumento proposto da Fahrenheit che ha per fluido il mercurio. Fahrenheit pose lo 0 della scala in corrispondenza dell’inverno più freddo recepito a Danzica, a 32 la temperatura del ghiaccio fondente e a 96 quella di un corpo

(6)

Fig. 5. – Vari termometri in uso nel Settecento.

umano in salute. La temperatura dell’acqua bollente risult`o essere di conseguenza 212 gradi. Gradazione che poi cedette il passo a quella pi`u semplice di Celsius.

Quando Gay-Lussac scopr`ı [5] che l’aria, l’idrogeno e altri gas in condizione di alta rarefazione, usati come ﬂuido, fornivano le stesse indicazioni divenne possibile indicare una misura della temperatura con un termometro a gas, svincolandosi in un certo qual modo dal particolare ﬂuido usato.

La relazione che ci interessa `e

P (t) = P0(1 + αt),

dove α = 1/273,16, P `e la pressione e P0la pressione a t = 0 (si considera anche una

formula analoga per il volume). Tale relazione deﬁnisce la temperatura termometrica T = t + 273,16 che, essendo la sua misura indipendente dal particolare gas usato, viene denominata temperatura termometrica assoluta.

L’espansione dei gas con la temperatura venne pure investigata da Charles che si distinse come aeronauta all’epoca in cui vennero di moda i voli dei palloni aerostatici (ﬁg. 6).

(7)

Fig. 6. – Uno dei primi voli in mongolﬁera.

5. La temperatura T deﬁnita termodinamicamente

Allo sviluppo della termodinamica contribu`ı notevolmente l’indagine di Carnot sulle prestazioni delle macchine termiche apparse nel contempo (fig. 7 e 8). Il suo famoso teorema stabilisce che il rendimento di una macchina termica, operante in un ciclo reversibile fra due temperature, è indipendente dal mezzo che interviene nel trasporto di calore. Si può far tesoro di questa circostanza, come propose Lord Kelvin,

(8)

Fig. 7. – Macchina a vapore di Newcomen.

Fig. 8. – Automobile di Cagnot apparsa nel 1769.

per deﬁnire la misura della temperatura in modo “assoluto”, questa volta inteso come del tutto indipendente da un qualsivoglia ﬂuido termometrico.

Lord Kelvin, dopo un primo tentativo andato a vuoto, defin`ı la temperatura ter-modinamica assoluta T [6] considerando un ciclo di Carnot operante fra le temperature T e T + ΔT e richiedendo che il suo rendimento sia espresso da 1− T/(T + ΔT ). Si considera T come definita positiva e da un lunga serie di misure effettuate da Regnault si constata che il suo valore numerico coincide con α + t.

(9)

Fig. 9. – La termopila di Nobili-Melloni.

di stato

P V = nRT = (N/NA) RT = N kBT,

dove P e V indicano pressione e volume, n il numero di moli, N il numero di molecole costituenti, R la costante dei gas, NA il numero di Avogadro e kB la costante di

Boltzmann. I gas permanenti altamente rarefatti si comportano come un gas perfetto. Il termometro a gas non può utilizzarsi al di fuori di un certo intervallo di valori (il fluido dovendo rimanere sufficientemente rarefatto) e in determinate circostanze. Per esempio, non si può certo controllare la temperatura della ghisa che esce da una fonderia immergendovi il bulbo di un termometro senza distruggerlo: si deve rinunciare al contatto e trovare tecniche alternative. Un utile strumento (fig. 9) è stato e ancora è la termopila usata da Melloni nello studio dell’infrarosso [7].

6. L’inverso di T come fattore integrante

L’analisi delle operazioni del ciclo di Carnot permise a Clausius [8] di scoprire la funzione di stato S denominata entropia il cui diﬀerenziale (esatto) `e deﬁnito uguale a

(10)

δQ/T , dove δQ indica un trasferimento inﬁnitesimo di calore e T la temperatura ter-modinamica. Tenendo presente che l’incremento δQ non rappresenta un diﬀerenziale esatto, si vede come 1/T assolve la funzione di fattore integrante.

Questo risultato `e fondamentale e ne esponiamo la deduzione analitica nel caso particolare del gas perfetto.

Consideriamo un gas perfetto di molecole monoatomiche la cui energia interna U dipende linearmente dalla temperatura U = 3nRT /2 = CVT e la relativa legge di

stato P = nRT /V .

Dal principio di conservazione dell’energia δQ = P dV + dU otteniamo δQ = (nRT /V )dV + CVdT = X dV + Y dT.

L’incremento di calore non `e un diﬀerenziale esatto, ma possiamo moltiplicare i due membri della equazione precedente per una funzione incognita della temperatura

δQ f (T ) = f (T )X dV + f (T )Y dT

e cercare di determinare [8] la detta funzione affinché sia un differenziale esatto l’incremento f (T )δQ = dS.

La condizione necessaria e suﬃciente a tale scopo `e che sia ∂(f (T )X)

∂T =

∂(f (T )Y )

∂V ,

dalla quale risulta f (T ) = costante/T . Questo risultato, trovato nel caso particolare del gas perfetto, `e valido per qualunque tipo di sostanza omogenea come mostrato da Clausius esaminando il ciclo di Carnot. D’ora in poi si scriver`a δQ = T dS.

L’entropia è funzione di stato e quindi può aumentare o diminuire a seconda del cammino da una all’altra configurazione di equilibrio di un sistema termodinamico. Ma se consideriamo un sistema isolato costituito di sottosistemi con temperature diverse fra loro la sua entropia, somma delle entropie parziali, non può che aumentare mentre sopravviene l’equilibrio termico fra le diverse parti. Consideriamo a esempio due corpi in contatto, l’uno alla temperatura T1 e l’altro a T2 con T1 > T2. Una

quantit`a di calore δQ verr`a ceduta dal primo corpo al secondo, dunque dS1=−δQ/T1

e dS2= δQ/T2 la cui somma `e chiaramente maggiore di zero.

7. Il Quarto Sigillo

Newton prese in considerazione l’eventualità che, a causa degli urti fra atomi venisse a perdersi del moto e che dovesse intervenire la Provvidenza a fornirne di nuovo per mantenere i pianeti sulle loro orbite [9]. Il problema della stabilità dell’universo, della sua origine e fine si può dire da sempre presente nel pensiero religioso e scientifico e in età vittoriana le discussioni su questo tema, propiziate dalla entrata in scena dell’entropia che sottolinea l’andamento irreversibile dei fenomeni termici, divennero particolarmente rilevanti.

(11)

se messa in pericolo dalle conclusioni della scienza, furono particolarmente interessati alla discussione.

Oggi il problema cosmologico è visto in altri termini [11, 12] e non dobbiamo preoccuparci per una fine imminente. Ma al nostro pianeta, già senza più lucciole e con arcobaleni offuscati, incombe forse un’apocalisse climatica propiziata dalla attività umana.

8. La temperatura in termodinamica statistica

“Multa minuta modis multis per inane videbis”: l’ipotesi atomistica della materia, illustrata nel De rerum natura con l’immagine del pulviscolo atmosferico danzante nel vuoto, ha avuto una presenza pi`u o meno latente nel pensiero occidentale e in epoca moderna si manifest`o con la teoria cinetica dei gas.

Si attribuiscono a Daniele Bernoulli (ﬁg. 10) le prime considerazioni sulla costi-tuzione molecolare dei gas. Dopo alcuni altri tentativi Joule, Kronigh e Clausius discussero, quasi in contemporanea, un modello per il gas perfetto [13]. La pressione `

e attribuita agli urti delle particelle sulle pareti e la si calcola, in media temporale, utilizzando la relazione tra impulso della forza con la variazione della quantit`a di moto. Confrontando l’espressione ottenuta con quella che compare nella equazione di stato del gas perfetto si ottiene che la temperatura T `e proporzionale all’energia cinetica media.

Maxwell intervenne presentando la ben nota espressione per la distribuzione sta-tistica delle velocità. Dalla teoria cinetica poi si passò alla formulazione della termo-dinamica statistica basata sui contributi di Maxwell e Boltzmann. La distribuzione maxwelliana delle velocit`a [14] per un insieme di N particelle, di massa m, interagenti solo per urti elastici a corta distanza è

f (u) = √4N πα3u 2_e−(u α) 2 ,

da cui si ottiene per la velocit`a quadratica media per particellau2₌3 2α2.

(12)

Fig. 10. – Illustrazione di D. Bernoulli del suo modello di gas.

Possiamo considerare cosa significhi il parametro che compare all’esponente del-la espressione precedente: del-la distribuzione di probabilità assume il massimo valore quando la velocit`a u è uguale a α, pertanto α rappresenta la velocit`a più probabile.

Maxwell calcol`o la pressione sulla parete di un contenitore di volume V essere p = mN_3V u2_{da cui si ottiene, riguardando l‘equazione di stato del gas perfetto, che}

il parametro m 2α

2 _{= k}

BT , dove kB `e la costante di Boltzmann. Ne consegue che

l’energia cinetica media per molecola vale 3₂kBT .

Passando infine alla formulazione della termodinamica statistica in termini dell’in-sieme canonico si ottiene, per sistemi la cui hamiltoniana è data da forme quadratiche, che l’energia media vale 1₂kBT moltiplicato il numero di gradi di libertà. Questo

ri-sultato si applica ai modi traslazionali e rotazionali di particelle e ai modi normali delle vibrazioni acustiche e del campo elettromagnetico. Il numero di gradi di libertà però deve essere finito, altrimenti si avrebbe una energia interna infinita: una situa-zione che si presentò con il problema dello spettro di corpo nero. Nel contesto or ora esaminato la temperatura appare avere la dimensione fisica di energia e l’intervento della costante di Boltzmann un retaggio storico.

9. La temperatura come moltiplicatore di Lagrange

Dato un sistema i cui stati possono assumere i valori di energia εicon molteplicit`a

Ωi e la cui energia media sia U , si pu`o derivare la distribuzione di probabilit`a Pi

(13)

Desidero ringraziare Massimo Savino che mi `e stato di grande aiuto nel reperire la bibliograﬁa essenziale.

Bibliograﬁa

[1] Magalotti L., Saggi di naturali esperienze fatte nella Accademia del Cimento (Societ`a Tipograﬁca dei Classici Italiani, Milano) 1809, p. 21.

[2] Bridgman P. W._{, The Logic of Modern Physics (Macmillan Company, New York) 1927.} [3] Laplace P. S._{, “M´}_{emoire sur la Chaleur”, M´}_{em. Acad. R. Sci. Paris (1780).}

[4] Fourier M._{, Th´}_{eorie analytique de la chaleur (Firmin Didot, Paris) 1822.}

[5] Gay-Lussac J. L._{, The Expansion of Gases by Heat (traduzione inglese di Magie W. F.) in A} Source Book in Physics (Harvard University Press, Cambridge) 1935, p. 165.

[6] Thomson W._{, “On an Absolute Thermometric Sscale Founded on Carnot’s Theory of the Motive} Power of Heat”, Cambridge Math. Soc. Proc., June (1848).

[7] Colombi E., Leone M._{e Robotti N., “Il colore del calore: Macedonio Melloni e l’infrarosso”,} Il Nuovo Saggiatore, 31, N. 5-6 (2015) 45.

[8] Clausius R._{, The Mechanical Theory of Heat (Macmillan, London) 1878.}

[9] Carazza B._{, “L’atomo di Newton e la dissipazione del moto”, Giornale di Fisica, 30 (1989)} 103.

[10] Kragh H._{, Entropic Creation (Routledge, New York) 2016.}

[11] Gratton L._{, “Il Secondo Principio della Termodinamica e la Cosmologia”, La Fisica nella} Scuola, XIV (1981) 171.

[12] Merleau-Ponty M., Cosmologia del secolo XX (Il Saggiatore, Milano) 1974. [13] Brush S. G., The Kind of Motion We Call Heat (North Holland, Amsterdam) 1976.

[14] Maxwell J. C._{, “Illustrations of the Dynamical Theory of Gases”, Philos. Mag., 19 (1860) 19.} [15] Tolman R._{, The Principles of Statistical Mechanics (Clarendon Press, Oxford) 1938.}