Guide d’onda cristalline in BaY2F8 drogato con Er3+ per amplificazione ottica su larga banda

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Sommario

Lo scopo di questo lavoro di tesi è stato quello di mostrare la possibilità di re-alizzare amplificatori integrati in guide ottiche utilizzando cristalli drogati con terre rare. Il principio sul quale si basa l’amplificazione ottica di segnali di comu-nicazione è lo stesso che regola il funzionamento dei laser. La banda spettrale utilizzata commercialmente per comunicazioni ottiche WDM , è compresa fra 1530 nm ed i 1610 nm. Lo ione Erbio, quale drogante in materiali vetrosi, con-sente di ottenere amplificazione ottica su tale banda che coincide inoltre con il minimo dell’attenuazione delle fibre monomodo di trasmissione, ed è quindi la terra rara più diffusa come drogante negli amplificatori ottici. Dispostivi commer-ciali per amplificazione ottica utilizzano fibre ottiche in silica drogata con Erbio e consentono di ottenere amplificazione su una banda di qualche decina di nm. La formazione di cluster di ioni Er3+ _{nel materiale vetroso ad elevate concentrazioni}

dà luogo a fenomeni di interazione fra ioni, limita dunque il livello di massimo di drogaggio utilizzabile e non consente l’integrazione dell’amplificatore ottico. L’interazione fra ioni di Erbio nel materiale è uno dei principali fattori limitan-ti per il coefficiente di guadagno che caratterizza l’amplificatore. Il principale vantaggio dell’uso di un materiale cristallino come ospite per gli ioni droganti è quello di evitare la formazione di coppie (o gruppi più numerosi) di ioni interagen-ti, permettendo quindi un drogaggio più elevato e quindi la possibile integrazione dell’amplificatore. Inoltre materiali cristallini drogati con terre rare consentono amplificazione su una banda più larga rispetto al caso di materiali vetrosi (fino a 100 nm contro i 30-40 nm nel caso di vetri). In questa tesi proponiamo dunque la caratterizzazione sperimentale di materiali cristallini drogati con Erbio ed il loro

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ii impiego nel progetto di amplificatori ottici in guida a larga banda. Per valutare questa possibilit`a `e stato studiato il cristallo di BaY2F8 (BaYF). In un primo

tempo è stato svolto uno studio sperimentale spettroscopico dell’Erbio in questo cristallo, che ci ha permesso di ricavarne alcune proprietà fondamentali quali i tempi di vita media dei livelli di interesse per l’amplificazione e la sezione d’urto spettrale di assorbimento. Per completare la caratterizzazione del cristallo sono state svolte misure di fluorescenza a temperatura ambiente nella banda compresa fra 1450 nm e 1650 nm e nelle 6 diverse possibili polarizzazioni di campo elettro-magnetico (rispetto agli assi cristallografici del BaYF). Successivamente è stata calcolata la sezione d’urto spettrale di emissione tramite il metodo della reciproc-ità partendo dalla sezione d’urto di assorbimento. E’ stato inoltre sviluppato un modello teorico in grado di fornire le caratteristiche principali di un amplificatore ottico in guida (guadagno, figura di rumore, potenza del segnale in uscita, etc), utilizzando come input parametri fisici del materiale individuati sperimentalmente mediante misure spettroscopiche. Il modello utilizza il metodo degli elementi fini-ti (FEM) per l’analisi elettromagnefini-tica della guida, ed è basato su equazioni di propagazione per individuare l’evoluzione longitudinale delle potenza di pompa, segnale e rumore ottico corrispondente all’ASE (Amplified Spontaneous Emis-sion) lungo la guida. Queste equazioni vengono utilizzate in combinazione con le equazioni di rate che descrivono la popolazione dei vari multipletti dell’Erbio nel BaYF. Come prima approssimazione abbiamo assunto un sistema a tre livelli,

4_I

15/2, 4I13/2 e 4I11/2 in cui viene eccitata la transizione 4I15/2 →4 I13/2, alla

lunghezza d’onda di 1480 nm. Le equazioni di propagazione sono risolte numeri-camente combinando il FEM con un algoritmo di Runge-Kutta al quarto ordine, e tengono conto di schemi di pompaggio co- e contropropagante, segnali WDM e della distribuzione spettrale dell’ASE in entrambe le direzioni di propagazione. Innanzitutto abbiamo studiato le caratteristiche di guadagno spettrale della gui-da, e trovato la lunghezza d’onda di guadagno massimo, poi abbiamo studiato l’effetto di un aumento della concentrazione di ioni droganti sul coefficiente di guadagno e sulla figura di rumore dell’amplificatore, trovando la concentrazione di Erbio ottimale. Mantenendo questa concentrazione fissata abbiamo poi

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studi-iii ato il guadagno in funzione della lunghezza della guida, della potenza di pompa e la curva di saturazione dell’amplificatore, cio`e la curva di guadagno in funzione della potenza d’ingresso del segnale. Infine abbiamo simulato l’amplificazione contemporanea di pi`u canali WDM. I risultati delle simulazioni mostrano che la concentrazione di Erbio ottimale nel BaYF, NOtt

Er = 3.4 · 1026ioni/m3, `e molto

più elevata di quanto non sia nei vetri (tipicamente si hanno concentrazione di un ordine di grandezza in meno). Inoltre è possibile ottenere amplificazione su una banda di oltre 80 nm, con valore di picco di oltre 2 dB/cm, mentre nei vetri drogati esclusivamente con Erbio un valore tipico di guadagno massimo è 1 dB/cm e le bande di guadagno limitate a circa 30-40 nm. Abbiamo dunque mostrato la possibilità di amplificare segnali ottici con guide cristalline, ed i van-taggi apportati dai cristalli rispetto ai vetri in termini di concentrazione di ioni droganti, banda di amplificazione e coefficiente di guadagno.

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Indice

Sommario i

Elenco delle figure vii

1 Introduzione 1

2 Il BaY2F8 drogato con Er3+ 4

2.1 Crescita di cristalli: il metodo Czochralski . . . 4

2.2 La matrice cristallina BaY2F8 . . . 6

2.3 Propriet`a dello ione Er3+ _{e delle terre rare . . . .} ₇

2.3.1 Struttura elettronica dei Lantanidi . . . 7

2.4 Il cristallo Er3+ _{: BaY} 2F8 come mezzo attivo per l’amplifi-cazione ottica . . . 12

2.4.1 Processi di trasferimento di energia . . . 14

2.4.2 Calcolo delle sezioni d’urto di assorbimento ed emissione 17 3 Caratterizzazione dei cristalli 19 3.1 Strumentazione e set-up sperimentali . . . 20

3.2 Misure di tempi di vita media . . . 24

3.3 Spettri di emissione . . . 27

3.4 Spettri di assorbimento . . . 31

3.5 Sezione d’urto di emissione . . . 36

4 Modello dell’amplificatore in guida 38 4.1 Equazioni di rate . . . 40

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INDICE _v 4.2 Equazioni di propagazione per pompa, segnale ed ASE . . . . 45 4.3 Analisi elettromagnetica della guida tramite il metodo degli

elementi finiti . . . 49 4.4 Soluzione numerica mediante il metodo di Runge-Kutta . . . . 50

5 Simulazioni per pompaggio a 1480nm 51

5.1 Determinazione della lunghezza d’onda di guadagno massimo . 55 5.2 Ottimizzazione del valore di NEr . . . 57

5.3 Guadagno in funzione della lunghezza della guida . . . 59 5.4 Guadagno per piccoli segnali in funzione della potenza di pompa 61 5.5 Curva di saturazione dell’amplificatore . . . 63 5.6 Wavelength division multiplexing . . . 65

6 Conclusioni ed ulteriori sviluppi 69

Conclusioni 69

A Livelli energetici delle terre rare 75

B Coefficienti di Einstein e sezioni d’urto 77

Bibliografia 85

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Elenco delle figure

2.1 Il metodo di crescita Czochralski e la cella unitaria del BaYF . 5

2.2 Cella convenzionale del BaYF . . . 7

2.3 Struttura del poliedro ErF8 nel Er:BaYF . . . 8

2.4 Splitting dei livelli . . . 11

2.5 Possibili schemi di pompaggio per un sistema a tre livelli . . . 13

2.6 Processi di trasferimento di energia per un sistema a due livelli 14 2.7 Rilassamento cooperativo fra ioni Erbio . . . 16

3.1 Set-up per la misura dei tempi di vita . . . 20

3.2 Set-up per la registrazione degli spettri di fluorescenza . . . . 22

3.3 Banco ottico dello spettrofotometro Cary500 . . . 24

3.4 Decadimento dell’emissione a 1.5µm dell’Erbio a temperatura ambiente . . . 25

3.5 Decadimento dell’emissione a 980 nm dell’Erbio a temperatura ambiente . . . 26

3.6 Fluorescenza nella polarizzazione E parallelo b . . . 28

3.7 Fluorescenza nella polarizzazione E parallelo c . . . 29

3.8 Fluorescenza nella polarizzazione E ortogonale a b e c . . . 30

3.9 Coefficiente di assorbimento nelle 6 diverse polarizzazioni . . . 31

3.10 Sezioni d’urto di assorbimento nella polarizzazione E//b . . . 33

3.11 Sezioni d’urto di assorbimento nella polarizzazione E//c . . . . 34 3.12 Sezioni d’urto di assorbimento nella polarizzazione E perp b,c 35

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ELENCO DELLE FIGURE _vii 3.13 Sezioni d’urto di emissione ed assorbimento nella polarizzazione

E//b . . . 37 4.1 Set-up schematico per amplificatori in guida in sistemi di

co-municazioni metro . . . 39 4.2 Schema dei livelli e processi considerati nelle equazioni di rate 41 4.3 Guida a canale . . . 49 5.1 Guadagno spettrale per una guida non ottimizzata . . . 56 5.2 Guadagno e Noise Figure in funzione della concentrazione di

Erbio . . . 58 5.3 Guadagno e Noise Figure in funzione della lunghezza della guida 60 5.4 Guadagno per piccolo segnale in funzione della potenza di

pompa copropagante . . . 62 5.5 Guadagno (dB) in funzione della potenza di segnale al variare

della potenza di pompa . . . 64 5.6 Guadagno spettrale dopo l’ottimizzazione dei parametri di input 65 5.7 Guadagno spettrale per 10 canali WDM . . . 66 5.8 Guadagno spettrale per 19 canali WDM . . . 67 A.1 Livelli energetici degli ioni trivalenti di terre rare [39] . . . 76

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Capitolo 1

Introduzione

Fino a tempi piuttosto recenti il campo delle comunicazioni in fibra ottica veniva sfruttato essenzialmente per le comunicazioni a lunga distanza (long haul o ultra long haul). Il vantaggio dei segnali ottici rispetto a quelli elet-trici è ovvio: la velocità e la distanza di trasmissione. Per poter trasmettere segnali su distanze di centinaia o migliaia di km è necessario usare un mezzo che abbia le minori perdite possibili, come le fibre di ossido di silicio (sili-ca), caratterizzate da un minimo di attenuazione a circa 1.55 µm, e che allo stato attuale presentano perdite di solamente inferiori a 0.2 dB/km. Anche se queste perdite sono molto basse rimane comunque necessario ripristinare periodicamente la potenza del segnale, usando un amplificatore ottico ed evi-tando quindi la conversione ottica-elettrica-ottica.

Gli amplificatori in fibra di silica drogata con Erbio (EDFA= Erbium Doped Fiber Amplifier) hanno trovato finora un largo uso, in particolare per le co-municazioni su lunghe distanze. Tali materiali possono emettere luce laser alla stessa lunghezza d’onda per cui le fibre in vetro hanno le minori perdite, 1.5µm, ed `e quindi naturalmente scegliere lo ione Erbio come drogante per la silica.

Lo svantaggio degli EDFA `e la difficolt`a di integrazione che si ha per la loro lunghezza di decine di metri, difficile da ridurre aumentando il drogaggio, a causa dell’interazione fra gli ioni Er3+ _{che ne deteriora l’efficienza. La ricerca}

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CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ₂ di una riduzione delle dimensioni del dispositivo ottico, e di una conseguente riduzione del costo mediante la sua integrazione, ha portato fra altre soluzioni quella degli EDWA, amplificatori in guida drogati con Er3+_{, che hanno}

di-mensioni dell’ordine della decina di centimetri, ma non offrono vantaggi in termini di riduzione dei costi di pompa o di incremento di banda di guadagno rispetto agli EDFA.

Attualmente nel campo delle telecomunicazioni si stanno creando nuove op-portunit`a di mercato e nuove sfide tecnologiche alla ricerca dell’ottimiz-zazione del rapporto efficienza/costo dei vari dispositivi, grazie alla domanda crescente di applicazioni di accesso/metro [1][2]. Gli amplificatori ottici inte-grati a basso costo giocano un ruolo fondamentale in questo mercato e si sta sviluppando una ricerca di nuove tecnologie che possano superare le limita-zioni esistenti attualmente nei sistemi di comunicazione ottica.

Alcuni studi recenti hanno mostrato come sia possibile pompare efficacemente con dei LED guide in vetro drogate con Er3+ _{e sensibilizzate con}

nanocristal-li di sinanocristal-licio (Si-nc), risolvendo potenzialmente il problema dell’elevato costo della pompa per gli EDFA ed EDWA, che `e la loro limitazione principale. Tuttavia questa soluzione, nonostante sia molto interessante da un punto di vista economico se pensiamo a portare i segnali ottici agli utenti, presenta una banda di guadagno limitata, sostanzialmente la stessa che si ottiene negli EDFA ed EDWA [3].

Quello che proponiamo, e che verrà illustrato in questo lavoro di tesi, è l’impiego di amplificatori in guida realizzati con cristalli drogati con alte concentrazioni di Erbio, per ottenere amplificatori integrati per sistemi a multiplazione di lunghezza d’onda (WDM) a larga banda, in cui si ha am-plificazione contemporanea di più canali a lunghezze d’onda diverse tramite un’unica guida.

L’idea di usare cristalli drogati con terre rare, anzichè vetri drogati, nasce dalla struttura stessa dei cristalli, in quanto contrariamente a quello che ac-cade nel vetro, che nonostante sia un solido è amorfo, cioè disordinato, nei cristalli gli ioni/atomi assumono necessariamente posizioni fissate, i siti

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reti-CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ₃ colari, che sono ben definiti una volta capito di che tipo di matrice cristallina si tratta. Questa propriet`a dei cristalli implica l’esistenza di una distanza minima garantita fra due ioni di terre rare, la distanza fra primi vicini del reticolo, che impedisce la formazione di cluster e ci permette di usare dro-gaggi molto pi`u elevati rispetto a quelli tipicamente usati nei vetri drogati solo con Er3+_.

I cristalli drogati con terre rare inoltre forniscono una banda di guadagno molto pi`u larga di quella offerta dal vetro drogato con terre rare, aprendo la strada a possibili applicazioni per amplificazione di sistemi CWDM (WDM a larga banda con canali ad elevata separazione spettrale).

Questo lavoro di tesi tratta il caso particolare del BaY2F8 drogato con alte

concentrazioni di Er3+_{, un cristallo che viene cresciuto e poi caratterizzato}

sperimentalmente in termini di tempi di vita media dei livelli dell’Er3+_{, di}

spettro di emissione e di sezione d’urto di assorbimento.

I dati ricavati dalle misure vengono poi usati come parametri di input nella modellizzazione di un amplificatore ottico in guida mediante il metodo degli elementi finiti e le equazioni di propagazione. I risultati numerici delle sim-ulazioni svolte mostrano la possibilit`a di ottenere una banda di guadagno estremamente larga con potenze di pompa contenute a 1480nm [4].

(11)

Capitolo 2

Il BaY

2

F

8

drogato con Er

3+

In questo capitolo descriviamo le principali caratteristiche del cristallo con-siderato come materiale per la realizzazione dell’amplificatore in guida: il BaY2F8 drogato con Er3+, o Er:BaY2F8. Dopo una breve descrizione del

metodo di crescita del cristallo e delle caratteristiche della matrice cristallina BaY2F8, vedremo le propriet`a delle terre rare in generale. Il punto chiave

di questo capitolo `e la descrizione del Er:BaY2F8 come mezzo attivo per

l’amplificazione, vedremo dunque quali sono i processi di trasferimento di energia che entrano in gioco quando il nostro materiale viene investito da radiazione elettromagnetica. Infine riporteremo il calcolo delle sezioni d’urto di assorbimento ed emissione degli ioni Er3+_.

2.1 Crescita di cristalli: il metodo

Czochral-ski

In generale la crescita di un cristallo è legata al controllo di una transizione di fase. Il metodo Czochralski sfrutta la crescita da materiale fuso (melt) posto in un crogiulo, in cui il liquido è sottoraffreddato, ovvero si ha una fase liquida a temperatura inferiore della temperatura di fusione del mate-riale considerato, e la cristallizzazione avviene grazie al contatto di questo liquido con un seed, cioè un cristallo orientato con stessa matrice

(12)

CAPITOLO 2. IL BAY₂F₈ DROGATO CON ER3+ ₅ na del campione da crescere. Il seed viene tirato verso l’alto e ruotato in modo tale da permettere una crescita pi`u uniforme possibile. La tecnica di

MELT SEED CROGIUOLO

(1)

a b c β

(2)

Figura 2.1: (1) Il metodo di crescita Czochralski, (2) Schema della cella unitaria del BaY2F8

crescita Czochralski è una delle più diffuse in quanto permette il controllo delle dimensioni del cristallo in tempo reale e la crescita di cristalli di grandi dimensioni (≥ cm) e con buone qualità sia ottiche che meccaniche [5]. Le limitazioni sulle dimensioni dei cristalli cresciuti sono dovute alle dimensioni del forno e del crogiuolo. Dimensioni tipiche per il crogiuolo sono dell’ordine di un paio di cm, mentre la lunghezza può oltrepassare i 10 cm.

L’apparato usato per crescere il cristallo studiato `e composto da un forno Czochralski con riscaldamento resistivo convenzionale ideato e costruito in casa e controllato da un computer.

Per evitare la contaminazione dei fluoruri da parte di radicali idrossili (OH−_),

che degraderebbero notevolmente le propriet`a ottiche dei cristalli, `e stata ded-icata particolare cura al sistema di vuoto del forno, che raggiunge pressioni

(13)

CAPITOLO 2. IL BAY₂F₈ DROGATO CON ER3+ ₆ dell’ordine di qualche 10−7_{mbar. La crescita viene poi effettuata in}

un’at-mosfera inerte grazie all’introduzione di Argon molto puro nel forno.

Il cristallo che è stato studiato è un monocristallo di BaYF, drogato con 1% di Erbio, cresciuto con il metodo Czochralski da un seed orientato. Il dro-gaggio voluto è stato ottenuto tramite l’aggiunta di una quantità adeguata di ErF3 alle polveri di BaYF nel crogiuolo (purezza del 99.999%). I parametri

della crescita erano una temperatura di circa 970o_{C, un pull rate di 0.5mm/h,}

una velocità di rotazione di 10 giri per minuto. La boule ottenuta è risultata essere di qualità ottica buona e priva di fessure. Il campione cresciuto è stato poi analizzato tramite la tecnica a raggi X di Von Laue, che ne ha stabilito la monocristallinità e la direzione degli assi cristallografici. Successivamente il cristallo è stato tagliato lungo gli assi cristallografici, ed i campioni risultanti sono stati lucidati con paste diamantate.

2.2 La matrice cristallina BaY

₂

F

₈

La scelta della matrice cristallina Bario-Ittrio-Fluoro, BaY2F8, (chiamata da

ora in poi BaYF) è dovuta alle buone proprietà termomeccaniche del materi-ale e al suo basso rate di rilassamento fononico (è una proprietà dei fluoruri in generale) [6][7]. Inoltre il BaYF drogato con terre rare, in particolare con Er3+ _{è un materiale che è già stato ampiamente studiato come mezzo attivo}

per quanto riguarda applicazioni laser, sia nell’infrarosso che nell’ultravio-letto [8][9]. Questo ci ha permesso di svolgere un lavoro mirato allo studio delle propriet`a che pi`u ci interessavano per quanto riguarda l’uso del BaYF nell’amplificazione ottica, evitando di dovere caratterizzare completamente un cristallo inedito.

Il BaYF ha una struttura monoclina, con costanti reticolari a = 6.972˚A, b = 10.505˚A, c = 4.260˚A, α = γ = 90o_{, β = 99.76}o_{. Il BaYF `e un cristallo}

anisotropo con tre indici di rifrazione diversi in 3 direzioni spaziali di cui una sola corrisponde ad un asse cristallografico [10]. La cella unitaria del BaYF `e mostrata in Fig 2.3 ,contiene due molecole ed appartiene al gruppo

(14)

CAPITOLO 2. IL BAY₂F₈ DROGATO CON ER3+ ₇

Figura 2.2: Cella convenzionale del BaYF

di simmetria C2/m. In questa matrice si hanno 1.28 · 1028 ioni Ittrio per m3,

che vengono sostituiti con gli ioni trivalenti di terre rare usati come droganti durante il processo di crescita [11].

2.3 Propriet`

a dello ione Er

3+

e delle terre rare

2.3.1 Struttura elettronica dei Lantanidi

Le cosiddette terre rare sono tutti gli elementi del gruppo dei Lantanidi, ed hanno numero atomico compreso fra 57 (Lantanio) e 71 (Lutezio) (vedi ap-pendice). Tutti questi elementi hanno in comune la configurazione elettronica dello Xenon, 1s2_2s2_2p6_3s2_3p6_3d10_4s2_4p6_4d10_5s2_5p6_{, alla quale si aggiungono}

n = 1 ÷ 14 elettroni nello shell 4f.

Gli elettroni nello shell 4f hanno la particolarit`a di essere schermati dagli shell 5s e 5p che si trovano ad una maggiore distanza dal nucleo. Questo spiega perch`e gli elettroni dello shell 4f risentono solo debolmente

(15)

dell’inter-CAPITOLO 2. IL BAY₂F₈ DROGATO CON ER3+ ₈

Asse C

2

F-Er

3+

Figura 2.3: Struttura del poliedro ErF8 nel Er:BaYF

azione con il campo cristallino, ed i livelli energetici dipendono poco dalla matrice che ospita gli ioni di terre rare.

Quando l’Erbio viene ionizzato, la rimozione di 3 elettroni dagli shell pi`u es-terni da’ come risultato uno ione trivalente con elettroni che si trovano nello shell 4f. Questi ioni avranno spettri energetici molto simili a quelli atomi-ci, interpretabili in modo perturbativo come transizioni fra stati dello shell 4f. Come punto di partenza si considerano le autofunzioni dello ione libero, mentre l’effetto del potenziale cristallino verr`a trattato come una piccola per-turbazione.

Hamiltoniana dello ione libero

La Hamiltoniana elettronica imperturbata H0, sar`a data dalla somma

del-l’energia cinetica di tutti gli elettroni e del potenziale centrale generato dagli elettroni degli shell completi (Xenon). Trascurando interazioni spin-orbita e

(16)

CAPITOLO 2. IL BAY₂F₈ DROGATO CON ER3+ ₉ spin-spin si ottiene: H0 = Ec+ Ven= − ¯ h2 2m N X i=1 ∇2i − N X i=1 Z∗_e2 ri (2.1) Dove m ed e sono rispettivamente la massa e la carica dell’elettrone, N `e il numero di elettroni nello shell incompleto, Z∗ _{`e la carica efficace ed r}

i la

distanza dell’i-esimo elettrone dall’origine delle coordinate.

Le autofunzioni della H0 saranno di tipo idrogenoide, e saranno date dal

prodotto di una funzione radiale Rnl(ri) per un’armonica sferica Yml(θi, φi).

I numeri quantici che compaiono nelle espressioni delle autofunzioni sono il numero quantico principale n, il momento angolare orbitale l, e la proiezione di l lungo l’asse di quantizzazione, m.

Il potenziale di interazione con il nucleo `e a simmetria sferica, dunque non rimuove la degenerazione che per gli elettroni dello shell 4f sar`a data dal coefficiente 2(2l+1)_N = 14

N.

Interazione e−

− e− _{e spin-orbita}

Le deviazioni dal campo centrale che vengono considerate per gli ioni di terre rare sono la repulsione elettrostatica che agisce fra gli elettroni, e l’interazione di tipo spin-orbita. L’interazione Coulombiana che agisce sugli elettroni sarà data da: Vee = X i6=j e2 rij (2.2) e rompe la simmetria centrale della Hamiltoniana complessiva. In questo modo i momenti angolari dei singoli elettroni non sono più costanti del moto, ed è necessario scegliere un nuovo insieme di numeri quantici per classificare gli autostati del sistema. La degenerazione dei livelli è (2S + 1)(2L + 1) e la loro separazione in energia ≈ 104_cm−1_.

Per quanto riguarda l’interazione di tipo spin-orbita, si deve aggiungere alla Hamiltoniana un termine: Vso = N X i=1 ζ(ri)−→si ·−→li (2.3)

(17)

CAPITOLO 2. IL BAY₂F₈ DROGATO CON ER3+ ₁₀ dove ζ(ri) rappresenta la costante di interazione spin-orbita per l’i-esimo

elettrone ζ(ri) = ¯ h2 2m2_c3_r i dU (ri) dri (2.4) dove ri `e la coordinata radiale dell’i-esimo elettrone e U (ri) `e il potenziale

risentito dal medesimo elettrone.

A questo punto le nuove costanti del moto saranno il momento angolare to-tale degli N elettroni, −→J = −→L +−→S e la sua proiezione M lungo l’asse di quantizzazione. Gli autostati dalla Hamiltoniana totale vengono ancora clas-sificati in termini di L ed S, secondo la notazione 2S+1_L

J. La degenerazione

dei livelli risulta essere (2J + 1), e la loro separazione in energia ≈ 103_cm−1_.

Effetto del campo cristallino

Esistono due teorie che si propongono di descrivere l’interazione fra uno ione ed il reticolo in cui viene inserito e di ricavarne i livelli energetici. Una prima teoria, detta di campo legante, considera una interazione forte fra lo ione ed i suoi primi vicini, e tiene conto della possibilit`a di formazione di legami covalenti con conseguente formazione di orbitali molecolari. D’altra parte la teoria di campo cristallino si basa sulle ipotesi che si possa considerare lo ione immerso in un campo dovuto a cariche fisse poste nei siti reticolari del cristallo. Tale campo viene dunque considerato come una perturbazione agli stati dello ione libero. Inoltre si considera una interazione puramente elettrostatica e solo fra primi vicini [12][13].

Da quanto detto precedentemente riguardo la configurazione elettronica degli ioni di terre rare è facile capire che è la teoria di campo cristallino ad essere la più adatta al nostro caso. L’effetto del campo cristallino, corrispondente ad una perturbazione, è solo quello di un ulteriore splitting dei livelli dello ione libero, dell’ordine di ≈ 102_cm−1_.

Per classificare gli stati serve anche un nuovo numero quantico µ. Per le terre rare si hanno solo piccole variazioni del baricentro dei sottolivelli Stark, quin-di `e possibile classificare i livelli senza tenere conto della matrice cristallina

(18)

CAPITOLO 2. IL BAY₂F₈ DROGATO CON ER3+ ₁₁ ospite, almeno in prima approssimazione. Lo splitting dei livelli energetici a seconda dal tipo di interazione incluso nella Hamiltoniana `e rappresentato in Fig 2.4.

4f

n

2S+1

L

2S+1

L

_J

2S+1

L

_J,µ

~10

4

cm

-1

~10

2

cm

-1

~10

3

cm

-1 Interazione elettronica Interazione spin-orbita Interazione campo cristallino

Figura 2.4: Schema dello splitting dei livelli dovuto ai vari tipi di interazione Il BaYF drogato con terre rare è già stato ampiamente studiato, ed è stato mostrato che è possibile drogarlo con alte concentrazioni di Er3+_{, in quanto}

il fluoruro che ne deriva, il BaEr2F8, `e isostrutturale con il cristallo ospite.

Inoltre il BaYF presenta una struttura monoclina, la cui particolarit`a si riper-cuote sulle sezioni d’urto di assorbimento ed emissione, i cui massimi e minimi non corrispondono ne agli assi cristallografici, ne agli assi ottici. La parte reale ed immaginaria del tensore dielettrico infatti si diagonalizzano rispetto a terne diverse fra loro, e nessun asse corrisponde con un asse cristallografico.

(19)

CAPITOLO 2. IL BAY₂F₈ DROGATO CON ER3+ ₁₂ Transizioni di dipolo magnetico

Oltre alle transizioni di dipolo elettrico, per lo ione Er3+ _{sono permesse}

transizioni di dipolo magnetico per ragioni di parit`a, in quanto vengono sod-disfatte le regole di selezione ∆µ = ∆S = ∆L = 0 e ∆J = 0, ±1 ma non 0 → 0. Infatti stiamo considerando la transizione fra il livello 4_I

13/2 ed il

livello 4_I

15/2. Questo spiega perch`e pi`u avanti verranno riportate misure di

assorbanza effettuate per sei diverse polarizzazioni del campo elettromag-netico, ovvero tre polarizzazioni per il campo elettrico, e due polarizzazioni di campo magnetico per ognuna di queste [14].

2.4 Il cristallo Er

3+

: BaY

₂

F

₈

_{come mezzo}

atti-vo per l’amplificazione ottica

Come già accennato nell’introduzione e nelle sezioni precedenti, la scelta del BaYF drogato con Erbio come mezzo attivo per l’amplificazione ottica in guida è stata fatta considerando le buone proprietà termomeccaniche della matrice cristallina e la possibilità di crescere cristalli drogati con percentuali di Erbio che possono raggiungere il 100% nel caso in cui tutti i siti Ittrio sono stati sostituiti con siti Erbio. E’ possibile giungere fino a drogaggi estrema-mente alti anche perchè gli ioni trivalenti di Erbio hanno un raggio inferiore a quello dell’Ittrio, per cui non modificano la struttura cristallina locale. L’amplificazione ottica in guida si basa sull’utilizzo di un mezzo attivo per l’aumento della potenza del segnale, contrariamente al laser questo mezzo at-tivo non viene però racchiuso fra gli specchi di una cavità. Il meccanismo di amplificazione è governato dall’emissione stimolata, mentre l’emissione spon-tanea amplificata costituisce la principale causa di rumore nell’amplificatore ottico (ASE = Amplified Spontaneous Emission).

Per potere amplificare otticamente un segnale, ovvero affinchè un certo mezzo sia detto attivo, è necessario porsi in condizioni di inversione di popolazione. Questo avviene quando il sistema è fuori equilibrio ed il livello che si trova

(20)

CAPITOLO 2. IL BAY₂F₈ DROGATO CON ER3+ ₁₃ E₂ E₁ E 3 E 2 E₁ E₃

Figura 2.5: Possibili schemi di pompaggio per un sistema a tre livelli ad energia maggiore è più popolato del livello ad energia più bassa. Se con-sideriamo un sistema a tre livelli, le condizioni di inversione di popolazioni fra il livello fondamentale (livello 1) ed il primo eccitato (livello 2) si possono raggiungere mediante l’uso di un pompaggio ottico. L’assorbimento dei fo-toni di pompa, di energia pari ad hν = ∆E, da parte degli ioni nello stato fondamentale provoca uno svuotamento del livello, che può avvenire sia con una promozione diretta degli ioni dal fondamentale al primo livello eccita-to (come accade nel caso di un sistema a due livelli), se ∆E = E2 − E1,

oppure in modo indiretto. In tal caso i fotoni di pompa hanno un’energia hν = E3 − E1, e l’inversione di popolazione fra 2 ed 1 si ottiene grazie al

decadimento degli ioni dal livello 3 al livello 2 (Fig. 2.5) [15]. Per capire se e quanto un mezzo attivo pu`o amplificare un segnale `e necessario tenere conto dei vari processi di trasferimento energetico che possono intervenire, quali assorbimento, emissione stimolata, emissione spontanea, e decadimento non radiativo. Inoltre si devono considerare tutti i processi di interazione fra ioni che si trovano in uno dei livelli energetici coinvolti nell’amplificazione, quali l’upconversion o la cross-relaxation.

Poich`e l’amplificazione dipende dall’inversione di popolazione fra due livelli `e inoltre necessario conoscere i rate dei vari processi di scambio energetico fra questi livelli. Diventa quindi fondamentale la determinazione del tempo di vita media radiativo del livello alto, che corrisponde all’inverso del rate di decadimento, e delle sezioni d’urto spettrali di assorbimento ed emissione

(21)

CAPITOLO 2. IL BAY₂F₈ DROGATO CON ER3+ ₁₄ stimolata.

Se vogliamo ottimizzare il funzionamento del nostro amplificatore dobbiamo ottenere la massima inversione di popolazione possibile, quindi `e importante sapere a quale lunghezza d’onda si trovano i picchi di assorbimento dell’Er-bio nel nostro materiale ed usare una pompaggio ottico a quella lunghezza d’onda. Per quanto riguarda il segnale poi dobbiamo conoscere la sezione d’urto di emissione spettrale per capire quante probabilit`a hanno i fotoni del segnale di indurre un’emissione stimolata e quindi amplificazione.

La determinazione sperimentale dei tempi di vita media dei livelli e della sezione d’urto di assorbimento `e dunque necessaria per una modellizzazione realistica dell’amplificatore in guida e verr`a presentata nel terzo capitolo.

2.4.1 Processi di trasferimento di energia

Consideriamo un sistema a due livelli energetici, E2 > E1 mostrato in Fig

2.6. I possibili processi di trasferimento di energia significativi ai fini del-l’amplificazione ottica sono i seguenti:

E₂ E₂ E₁ E₁ E₂ E₂ E₁ E₁ Emissione spontanea Assorbimento Emissione stimolata Decadimento non radiativo

(22)

CAPITOLO 2. IL BAY₂F₈ DROGATO CON ER3+ ₁₅ Emissione spontanea: uno ione decade spontaneamente dal livello 2 al liv-ello 1 emettendo un fotone di energia pari alla differenza ∆E = E2− E1 = hν.

Assorbimento: un fotone di energia hν = ∆E interagisce con un atomo che si trova nel livello 1, viene assorbito, e l’atomo viene promosso al livello 2. Emissione stimolata: un fotone di energia hν = ∆E interagisce con un atomo che si trova nel livello 2, provocando l’emissione di un fotone coerente con quello incidente, ed il decadimento dell’atomo al livello 1.

Decadimento non radiativo: in questo caso l’energia di eccitazione elet-tronica viene trasferita dallo ione/atomo al reticolo cristallino tramite vi-brazioni(fononi).

Processi di rilassamento ed interazione fra ioni:

I processi di trasferimento energetico visti fino ad ora descrivono quello che può accadere ad uno ione isolato. Questi processi descrivono il nostro sistema (cristallo drogato + radiazione elettromagnetica) in modo completo solo se è possibile trascurare l’interazione fra gli ioni droganti. Consideriamo il caso in cui la densità di droganti, o impurezze, nel cristallo sia alta, allora dob-biamo tenere conto della mutua interazione fra gli ioni, cioè di quei processi chiamati rilassamento cooperativo. Fra questi considereremo l’up-conversion e la cross-relaxation, che possono essere schematizzati come in Fig. 2.7.

Nel caso dell’up-conversion, due ioni che si trovano nello stato metastabile

4_I

13/2 interagiscono. Uno ione Er allo stato eccitato si diseccita cedendo

en-ergia ad uno ione vicino anch’esso allo stato eccitato, che viene promosso al livello energetico 4_I

9/2. Chiaramente questo processo fa diminuire la

con-centrazione di ioni nel livello metastabile, ed implica dunque la necessit`a di usare una pompa pi`u potente per ottenere la stessa inversione di popolazione che si avrebbe senza up-conversion. Il processo di up-conversion cooperativa

(23)

CAPITOLO 2. IL BAY₂F₈ DROGATO CON ER3+ ₁₆

(a)

(b)

Figura 2.7: Processi di rilassamento cooperativo fra ioni Erbio: (a)=cross-relaxation, (b)=up-conversion

pu`o avere luogo nel caso in cui l’erbio presenta un livello eccitato risonante ad energia pari al doppio dell’energia del livello metastabile. Il coefficiente di up-conversion dipende dalla matrice cristallina che ospita gli ioni Er3+ _in

quanto dipende dalla differenza esatta di energia fra i livelli coinvolti, dalle sezioni d’urto e dall’energia fononica del materiale.

La cross-relaxation avviene invece quando uno ione in un livello alto inter-agisce con uno ione che si trova in uno stato più basso, in modo tale che il primo decada ad un livello più basso, mentre il secondo venga eccitato. En-trambe questi processi possono avvenire in linea di principio anche in assenza di radiazione elettromagnetica, ma sono tanto più probabili quanto più è alta la popolazione dei livelli coinvolti. La probabilità che questi processi vengano innescati sarà dunque più alta nel caso di forte drogaggio, inoltre quando si ha interazione fra gli ioni droganti ed una radiazione elettromagnetica i livelli eccitati vengono popolati, favorendo questo tipo di scambio energetico [16], [17].

(24)

CAPITOLO 2. IL BAY₂F₈ DROGATO CON ER3+ ₁₇

2.4.2 Calcolo delle sezioni d’urto di assorbimento ed

emissione

Le misure effettuate sono misure di assorbanza A, che viene definita come il rapporto fra la potenza della radiazione incidente su un campione e quella trasmessa attraverso il campione stesso, cio`e:

A = Pinc Ptrasm

(2.5) Il coefficiente di assorbimento α viene ricavato dalle misure di assorbanza secondo la seguente formula:

α = A

t ln(10) (2.6)

dove A `e l’assorbanza misurata e t lo spessore del campione sul quale sono state effettuate le misure [15].

La sezione d’urto di assorbimento si ricava dal coefficiente di assorbimen-to semplicemente dividendolo per la densit`a di drogaggio di ioni Er3+ _nel

campione, quindi si ha:

σass(cm2) =

α(cm−1₎

NEr(ioni/cm3)

(2.7) Per calcolare la sezione d’urto di emissione di una data transizione esistono due metodi: il metodo detto βτ , che sfrutta dati ricavati da misure degli spettri di fluorescenza [18] ed il metodo della reciprocità [19], che si basa sulla relazione che esiste fra la sezione d’urto di assorbimento e quella di emissione. In generale per i cristalli anisotropi come il BaYF si ritiene che il metodo della reciprocità sia più accurato. Abbiamo dunque calcolato la sezione d’urto di emissione dalla σass secondo al seguente formula (ricavata

nell’appendice D) [20]: σα em(ν) = σabsα (ν) Z1 Z2 exp −(hν − EZL) kBT (2.8) Dove α indica una certa polarizzazione, ν `e la frequenza di emissione stimo-lata, Z1 e Z2 sono i pesi statistici dei multipletti inferiori e superiori, definiti

(25)

CAPITOLO 2. IL BAY₂F₈ DROGATO CON ER3+ ₁₈ come segue: Zm = X k g_km exp −E m k kBT (2.9) Dove m = 1, 2, gm

k `e la degenerazione del sottolivello k-esimo (nel nostro caso

g = 2), ed Em

k `e l’energia misurata dal sottolivello pi`u basso del multipletto

corrispondente. EZL`e la distanza in energia fra i sottolivelli inferiori dei

mul-tipletti degli stati fondamentali ed eccitati, kB `e la costante di Boltzmann, h

la costante di Planck e T la temperatura del cristallo.

E’ da notare che a causa dell’anisotropia del materiale gli spettri di assor-bimento assumono forme diverse e valori di picco diversi a secondo della polarizzazione della luce incidente, come mostrato nel terzo capitolo.

(26)

Capitolo 3

Caratterizzazione sperimentale

dei cristalli

Finora abbiamo trattato solo l’aspetto teorico delle proprietà dei cristalli drogati con terre rare, e più in particolare delle proprietà del BaYF drogato con Erbio. Dato che lo scopo di questo lavoro di tesi è quello di modellizzare un amplificatore in guida, è di fondamentale importanza usare parametri di input il più realistici possibili nel nostro modello, in effetti vedremo nel prossimo capitolo come le equazioni di rate e di propagazione dipendono da alcune caratteristiche del materiale di cui è fatta la guida. In particolare si ha una dipendenza dalle sezioni d’urto di assorbimento ed emissione spettrali e dal tempo di vita medio dell’Erbio nel cristallo che lo ospita. Riporteremo dunque in questo capitolo i dati sperimentali necessari alla modellizzazione dell’amplificatore, ricavati da misure di spettroscopia.

Il cristallo usato per queste misure `e un cristallo di BaYF drogato con 1% di Erbio, per il quale abbiamo eseguito misure di assorbanza a temperatura ambiente. Basandoci su dati riportati in letteratura, abbiamo scelto di ese-guire misure nelle due regioni spettrali infrarosse per le quali l’Erbio presenta picchi di assorbimento ed emissione, cio`e per 900 nm ≤ λ ≤ 1100 nm e per 1450 nm ≤ λ ≤ 1650 nm.

Abbiamo svolto misure di spettroscopia sia di fluorescenza che di

(27)

CAPITOLO 3. CARATTERIZZAZIONE DEI CRISTALLI ₂₀ mento. Dalle misure di fluorescenza abbiamo ricavato i tempi di vita media degli ioni Er3+ _{e lo spettro di emissione dell’Erbio nel BaYF. Le misure}

di assorbimento ci hanno permesso di ricavare la sezione d’urto di assorbi-mento spettrale, dalla quale abbiamo ricavato la sezione d’urto di emissione spettrale usando il metodo della reciprocit`a. In questo capitolo verranno descritti i dispositivi e le sorgenti utilizzati per la rivelazione e acquisizione degli assorbimenti e delle fluorescenze, ed i procedimenti seguiti per svolgere le misure.

3.1 Strumentazione e set-up sperimentali

Set-up per le misure di tempi di vita media:

Le misure di vita media di un multipletto consistono nell’osservazione della fluorescenza emessa dall’Erbio al variare del tempo dopo un’eccitazione da parte di una sorgente impulsata. Lo schema del banco ottico utilizzato per questo tipo di misura `e mostrato in Fig. 3.1.

Laser Ti-Zaffiro

pulsato (λ=794nm)

InSb

Lenti

Oscilloscopio

Monocromatore

Campione

Amplificatore

Filtro

PC TRIAX

Laser Ti-Zaffiro

pulsato (λ=794nm)

InSb

Lenti

Oscilloscopio

Monocromatore

Campione

Amplificatore

Filtro

PC TRIAX

Figura 3.1: Set-up per la misura dei tempi di vita

(28)

CAPITOLO 3. CARATTERIZZAZIONE DEI CRISTALLI ₂₁ impulsato, con durata di impulso di 20 ns e repetition rate di 10Hz. Per misurare i tempi di vita del livello metastabile 4_I

13/2 e del 4I11/2 si sintonizza

il laser alla lunghezza d’onda corrispondente alla transizione 4_I

15/2 →4 I9/2,

794 nm.

Nelle misure di tempi di vita è particolarmente importante minimizzare quan-to possibile l’energia dell’impulso per evitare effetti dipendenti dalla potenza della radiazione. Inoltre il fascio laser viene focalizzato in una zona super-ficiale del cristallo, e la fluorescenza viene raccolta perpendicolarmente al fascio entrante, in modo tale da osservare una radiazione proveniente da una frazione di volume pompata nel modo più uniforme possibile, ed evitare effet-ti di intrappolamento di radiazione, che causerebbero un allungamento spurio del tempo di vita del multipletto. Montando il campione su un supporto con due pin-hole è possibile seguire tutti questi accorgimenti. Per evitare la riv-elazione dello scattering del laser viene usato un filtro IR 83, che trasmette solo radiazione con λ ≥ 830 nm nel caso della misura del tempo di vita del multipletto 4_I

11/2, mentre viene usata una finestra di silicio come filtro per

la misura del tempo di vita del multipletto 4_I 13/2.

Il monocromatore usato per la rivelazione del segnale di fluorescenza `e uno Czerny-Turner con lunghezza focale di 25 cm, con una dispersione di 3 nm/mm per il reticolo da 600 righe/mm. Il monocromatore viene fissato alla lunghez-za d’onda corrispondente all’emissione del multipletto del quale si intende misurare la vita media.

Per la rivelazione del segnale, di lunghezza d’onda compresa fra 800 nm e 5 µm `e stato usato un fotodiodo ad Antimonurio di Indio, modello J10 D-M204-R0211 della ditta EG&G Judson. Questo rivelatore ha una temper-atura di funzionamento di 77K (tempertemper-atura dell’azoto liquido), un’efficienza quantica di 0.8, un Field of View (FOV) di 60o_{, ed un Noise Equivalent Power}

(NEP) di 8.25 · 10−13_W/√_{Hz. La responsivit`a spettrale in corrispondenza}

della lunghezza d’onda di picco `e 3.636 A/W. All’uscita del rivelatore il se-gnale in corrente viene convertito in tensione dopo essere stato amplificato. La risposta temporale del sistema risulta essere di circa 1µs.

(29)

CAPITOLO 3. CARATTERIZZAZIONE DEI CRISTALLI ₂₂ Set-up per le misure di fluorescenza

Il set-up per l’acquisizione degli spettri di fluorescenza `e molto simile a quello usato per le misure di vita media ed `e mostrato in Fig. 3.2. Tuttavia per

InSb Lenti Campione Amplificatore

Filtro

PC TRIAX InSb Lenti Campione Amplificatore

Filtro

PC TRIAX

Laser a diodo

Monocromatore Polarizzatore Chopper Lock-in

Figura 3.2: Set-up per la registrazione degli spettri di fluorescenza le misure di fluorescenza il campione viene eccitato con un laser a diodo che opera in continua, sintonizzato alla lunghezza d’onda λp = 970 nm e con

potenza di pompa Pp = 1.1 W. La lunghezza d’onda viene misurata con

uno wavemeter mentre il controllo della potenza avviene tramite l’uso di un misuratore di potenza.

Come nel caso delle misure di vita media il campione è montato su un suppor-to con due pinhole, e l’osservazione della radiazione emessa avviene perpendi-colarmente alla direzione di entrata della radiazione di pompa nel campione. Il fascio laser di pompa è stato focalizzato sul campione tramite una lente di focale di 10 cm (dopo essere passato da un filtro costituito da una finestra di silicio), mentre la fluorescenza è stata focalizzata sulla fenditura di entrata

(30)

CAPITOLO 3. CARATTERIZZAZIONE DEI CRISTALLI ₂₃ del monocromatore tramite una lente con focale di 7.5 cm. Il chopper inserito fra la lente di focalizzazione e l’entrata del monocromatore serve a modulare il segnale in ampiezza, e la sua frequenza viene usata come riferimento dal lock-in.

Il monocromatore usato `e uno Czerny-Turner TRIAX 320, della ditta Jobin Yvon Horiba, che viene controllato tramite computer, con una lunghezza focale di 32 cm Abbiamo usato il reticolo da 600 righe/mm, che ha una dispersione di 6.28 nm/mm, con apertura delle fenditure di 0.2 mm. Il po-larizzatore posto prima delle fenditure del monocromatore ci ha permesso di acquisire due spettri polarizzati, in termini di campo elettrico in uscita dal campione, per ogni posizione del campione sul supporto. In totale abbiamo acquisito sei spettri corrispondenti alle sei diverse polarizzazioni del campo elettromagnetico.

Spettrofotometro

Per effettuare le misure di assorbimento abbiamo utilizzato uno spettrofo-tometro Cary 500 a doppio fascio della ditta Varian. Questo strumento `e in grado di acquisire spettri nella regione fra 175 nm e 3300 nm, con risoluzione in assorbanza di 0.05, dall’UV al vicino infrarosso (NIR). Il banco ottico dello spettrofotometro `e mostrato in Fig. 3.1.

La risoluzione dichiarata dello strumento è di 0.4 nm nel NIR, ed il reti-colo che viene utilizzato nel monocromatore in quella regione spettrale ha 300 linee/mm con dispersione di 3.2 nm/mm. Il monocromatore presente nello strumento contiene due reticoli di diffrazione, uno speculare rispetto all’altro, in modo tale da evitare eventuali effetti di aberrazione causato dal primo dei due reticoli. Sempre nel NIR, che è la regione spettrale di interesse nel nostro caso, il rivelatore utilizzato è una fotocella al PbS raffreddata a 0o_{C in modo tale da ridurre il rumore sulla misura. Il segnale rivelato viene}

poi acquisito tramite computer con una scheda di interfaccia ed un software appositamente forniti dalla Varian.

(31)

CAPITOLO 3. CARATTERIZZAZIONE DEI CRISTALLI ₂₄

Figura 3.3: Spettrofotometro a doppio fascio Cary500 (Varian) utilizzato per le misure di assorbanza

3.2 Misure di tempi di vita media

Uno dei punti cruciali nella modellizzazione del nostro amplificatore in guida `e quello della scelta del livello di pompa. Per quanto riguarda il segnale, viste le frequenza attualmente utilizzate nei sistemi di telecomunicazioni, la scelta di lunghezza d’onda attorno a 1535 nm, o comunque corrispondenti a transizioni 4_I

15/2 →4 I13/2 `e scontata. La scelta del livello di pompa invece

non `e a priori cos`ı ovvia, in quanto si presentano due possibili schemi di pom-paggio: a 980 nm, cio`e corrispondente a transizioni 4_I

15/2 →4 I11/2, oppure a

1480 nm, corrispondente alla stessa transizione di quella indotta dal segnale. Solitamente viene adottato lo schema di pompaggio a 980 nm, che nel caso di guide in vetro risulta essere il più efficace, in quanto l’Erbio presenta un picco di assorbimento molto alto a quella lunghezza d’onda, tuttavia nel caso dei cristalli questo schema ci è sembrato meno adeguato, infatti come è noto in letteratura, e come è stato verificato poi sperimentalmente nel caso del

(32)

CAPITOLO 3. CARATTERIZZAZIONE DEI CRISTALLI ₂₅ nostro cristallo, il tempo di vita dei livelli 4_I

13/2 e 4I11/2 dello ione Er3+ in

una matrice cristallina sono molto pi`u lunghi di quanto non lo siano nei vetri. Riporteremo i tempi di vita media misurati per il livello metastabile 4_I

13/2 e

per il 4_I

11/2. Tutte le misure sono state effettuate a temperatura ambiente

(298 K) con il set-up mostrato in Fig 3.1.

Gli ioni di Erbio vengono eccitati dal laser di pompa durante l’impulso, che `e di durata molto breve, poi gli ioni decadono spontaneamente durante il tempo in cui il laser risulta spento. Quello che osserviamo sull’oscilloscopio `e la fluorescenza al variare del tempo, per una data lunghezza d’onda. Nel nostro caso il monocromatore era posto a λ = 1528.4 nm, con apertura delle fenditure di 2 mm nel caso della misura di τ13/2 e a λ = 974.6 nm con

aper-tura delle fenditure di 0.8 mm per la misure di τ11/2. In Fig. 3.4 e Fig. 3.5

riportiamo l’andamento del decadimento della fluorescenza osservato nelle misure.

Figura 3.4: Decadimento dell’emissione a 1.5µm dell’Erbio a temperatura ambiente

(33)

CAPITOLO 3. CARATTERIZZAZIONE DEI CRISTALLI ₂₆ I dati sono stati sottoposti ad un fit di minimi quadrati con una funzione esponenziale decrescente, ed i tempi di vita che ne risultano sono i seguenti [21]:

τ13/2 = 16.4 ms ± 1.1 ms

τ11/2 = 8.45 ms ± 0.13 ms

Mentre nei vetri si ha tipicamente τvetro

13/2 ∼ 10 ms e τ11/2vetro ≤ 1 ms [22].

Figura 3.5: Decadimento dell’emissione a 980 nm dell’Erbio a temperatura ambiente

(34)

CAPITOLO 3. CARATTERIZZAZIONE DEI CRISTALLI ₂₇

3.3 Spettri di emissione

Il nostro scopo `e quello di studiare l’amplificazione di segnali in banda C (1530 nm-1565 nm) e banda L (1570 nm-1610 nm), dunque a lunghezze d’on-da corrispondenti al decadimento degli ioni Er3+ _{dal multipletto del livello}

metastabile a quello del livello fondamentale dell’Erbio, cio`e il decadimento

4_I

13/2 →4 I15/2. Per conoscere le caratteristiche di emissione degli ioni di

Er-bio nel BaYF nella banda spettrale di nostro interesse, ne abbiamo dunque acquisito gli spettri di fluorescenza nella banda fra 1450 nm e 1650 nm, che copre tutte le transizioni fra questi due multipletti. Tutte le misure sono state effettuate a temperatura ambiente.

Per l’acquisizione di spettri di emissione corrispondenti alla transizione degli ioni Erbio dal livello metastabile 4_I

13/2 al livello fondamentale 4I15/2, viene

eccitata la transizione 4_I

15/2 →4 I11/2. In tale modo il livello 4I13/2 viene

popolato tramite decadimento degli ioni dal multipletto 4_I

11/2, e siamo in

grado di osservare la fluorescenza ad 1.5µm.

Come avevamo discusso nel secondo capitolo, nel BaYF sono permesse tran-sizioni di dipolo magnetico per gli ioni Er3+_{. Per evidenziare questa}

carat-teristica del BaYF abbiamo dunque effettuato le misure di fluorescenza nelle sei diverse polarizzazioni del campo elettromagnetico. Per una maggiore chiarezza abbiamo raggruppato gli spettri di emissione a coppie a seconda della polarizzazione del campo elettrico nella direzione di osservazione della fluorescenza. Gli spettri per le polarizzazioni Ekb, Ekc ed E⊥b,c sono rispet-tivamente riportati nelle Fig. 3.6, 3.7, 3.8. Le misure di emissione spettrali riportate mostrano chiaramente come la forma degli spettri sia diversa a seconda della polarizzazione del campo elettromagnetico.

(35)

CAPITOLO 3. CARATTERIZZAZIONE DEI CRISTALLI ₂₈

(36)

CAPITOLO 3. CARATTERIZZAZIONE DEI CRISTALLI ₂₉

(37)

CAPITOLO 3. CARATTERIZZAZIONE DEI CRISTALLI ₃₀

(38)

CAPITOLO 3. CARATTERIZZAZIONE DEI CRISTALLI ₃₁

3.4 Spettri di assorbimento

Misure di assorbanza

Lo studio dello spettro di assorbimento dell’Erbio nel nostro cristallo ci per-mette innanzitutto di garantirne la qualit`a, cio`e l’assenza di impurezze in-desiderate nel materiale, inoltre con questo tipo di misura possiamo ricavare la sezione d’urto di assorbimento. Tutte le misure di assorbimento sono state effettuate a temperatura ambiente, e per l’intervallo di lunghezze d’onda fra 1420 nm e 1650 nm, che corrisponde ad una transizione dello ione Er3+ _dal

suo livello fondamentale 4_I

15/2 al livello metastabile 4I13/2.

Le misure effettuate sono misure di assorbanza A, che viene definita dall’e-quazione 2.5. Il coefficiente di assorbimento α viene ricavato dalle misure di assorbanza secondo la formula 2.6. In Fig 3.9 sono riportati i coefficienti di

(39)

CAPITOLO 3. CARATTERIZZAZIONE DEI CRISTALLI ₃₂ assorbimento corrispondenti alle sei diverse polarizzazioni del campo elettro-magnetico.

Sezione d’urto di assorbimento

Per ogni polarizzazione la sezione d’urto di assorbimento `e stata ricavata dal coefficiente di assorbimento applicando semplicemente la formula 2.7. Nel nostro caso abbiamo utilizzato un cristallo drogato con l’1% di Erbio, il che significa che 1 atomo di Ittrio su 100 viene sostituito con uno ione trivalente di Erbio. Il drogaggio risultante `e dunque di 1.28 · 1020 _ioni/cm3_.

In base a questa formula abbiamo dunque ricavato le sezioni d’urto spettrali mostrate nelle Fig 3.10, 3.11, 3.12, sempre nell’intervallo 1420 nm-1650 nm, ma riportate due a due per una data polarizzazione del campo elettrico −→E per motivi di chiarezza.

Da questi grafici si vede chiaramente che la probabilit`a di transizione dipende dalla polarizzazione del campo elettromagnetico. I picchi si trovano approssi-mativamente alle stesse lunghezze d’onda, ma il valore della sezione d’urto σass risulta diverso per polarizzazioni diverse, come ci aspettavamo in base a

(40)

CAPITOLO 3. CARATTERIZZAZIONE DEI CRISTALLI ₃₃

Figura 3.10: Sezioni d’urto di assorbimento nella polarizzazione Ekb, per polarizzazioni diverse di campo magnetico

(41)

CAPITOLO 3. CARATTERIZZAZIONE DEI CRISTALLI ₃₄

Figura 3.11: Sezioni d’urto di assorbimento nella polarizzazione Ekc, per polarizzazioni diverse di campo magnetico

(42)

CAPITOLO 3. CARATTERIZZAZIONE DEI CRISTALLI ₃₅

Figura 3.12: Sezioni d’urto di assorbimento nella polarizzazione E⊥b,c, per polarizzazioni diverse di campo magnetico

(43)

CAPITOLO 3. CARATTERIZZAZIONE DEI CRISTALLI ₃₆

3.5 Sezione d’urto di emissione

Per quanto riguarda le sezioni d’urto di emissione, abbiamo visto nella sezione 2.4.2 come vengono ricavate dalle sezioni d’urto di assorbimento tramite la formula della reciprocit`a 2.8.

Considerando che le limitazioni sulle dimensioni del cristallo cresciuto sono essenzialmente dovute alle dimensioni del crogiuolo, abbiamo deciso di con-siderare una guida che avesse l’asse di propagazione z lungo l’asse di crescita. Chiaramente questo significa che non possiamo ipotizzare una propagazione con Eka o con Hka.

Dopo avere calcolato le sezioni d’urto di emissione nelle sei possibili polar-izzazioni di campo elettromagnetico (rispetto agli assi cristallografici), abbi-amo visto che la configurazione con Ekb, ed H⊥b,c risulta essere quella con la sezione d’urto di emissione pi`u alta. Abbiamo dunque riportato la sezione d’urto di emissione solo per la polarizzazione Ekb, H⊥b,c. Nella Fig 3.13 sono riportate entrambe le sezioni d’urto al variare della lunghezza d’onda nella polarizzazione Ekb, H⊥b,c.

Si vede chiaramente come la σem superi la σass per lunghezze d’onda

supe-riori ai 1510 nm, questo significa che per tali λ la probabilità di emissione è maggiore della probabilità di assorbimento, quindi ci troviamo in condizioni tali da aspettarci un guadagno ottico.

Da notare che, come ci si aspetta, la forma della sezione d’urto di emissione calcolata con il metodo della reciprocit`a riproduce la forma dello spettro di fluorescenza nella stessa polarizzazione (si veda la Fig. 3.6 per il confronto).

(44)

CAPITOLO 3. CARATTERIZZAZIONE DEI CRISTALLI ₃₇

Figura 3.13: Sezioni d’urto di emissione ed assorbimento nella polarizzazione Ekb

(45)

Capitolo 4

Modello dell’amplificatore in

guida

Nei sistemi di comunicazione ottica, gli amplificatori ottici vengono preferiti a quelli elettrici per evitare la conversione ottico-elettrico-ottico del segnale ed ottenere trasmissioni pi`u veloci e su lunghe distanze.

Gli amplificatori ottici si basano sugli stessi principi di funzionamento dei laser, con la differenza che non comprendono nessun tipo di risuonatore. La radiazione compie quindi un unico passaggio attraverso il mezzo attivo. Nell’amplificatore inoltre siamo in presenza di due tipi di radiazione: il se-gnale (o i segnali) da amplificare, e la radiazione di pompa (allo stato attuale nei dispositivi commerciali viene usato solo il pompaggio ottico), che for-nisce l’energia necessaria ad indurre un’inversione di popolazione nel mezzo. In Fig.4.1 mostriamo un set-up tipico nel caso di amplificazione WDM in sistemi metro, in cui EDWA indica un amplificatore in guida drogato con Erbio, TX sta per trasmettitore, RX per ricevitore, MUX per multiplexer, e DEMUX per demultiplexer.

(46)

CAPITOLO 4. MODELLO DELL’AMPLIFICATORE IN GUIDA ₃₉ TX-1 TX-N RX-1 RX-N EDWA EDWA Fibra di trasmissione

M

U

X

D

E

M

U

X

Figura 4.1: Set-up schematico per amplificatori in guida in sistemi di comunicazioni metro

In generale gli amplificatori ottici sono caratterizzati dal loro guadagno (G), in funzione della potenza del segnale Ps e dalla loro figura di rumore (NF),

definiti come segue:

G(dB) = 10 log₁₀ " Pout s Pin s # (4.1) N F (dB) = SN Rout SN Rin (4.2) Questa definizione di figura di rumore è generale ed è data in termini di rapporto segnale-rumore (SNR=Signal to Noise Ratio). La figura di rumore ottica, nell’ipotesi in cui consideriamo solo il battimento fra segnale ed ASE a trascuriamo il battimento dell’ASE con se stessa, è invece data da:

N Fottica(dB) = OSN Rout OSN Rin = 10 log₁₀ " PASE(z = L, νs) hνs∆νsG + 1 G # (4.3) Dove OSN R `e il rapporto segnale-rumore ottico, νs `e la frequenza del

segna-le, e ∆νs `e la larghezza dell’intervallo di frequenza utilizzato per calcolare

PASE(z, νs), cio`e la potenza dell’emissione spontanea amplificata lungo la

guida e ad una data frequenza [23].

Ma come possiamo valutare queste grandezze e capire se il materiale da noi scelto pu`o essere utilizzato per la realizzazione di amplificatori in guida? Fra lo studio sperimentale del materiale candidato e la realizzazione della guida, rimane un passo fondamentale da compiere: la modellizzazione

(47)

del-CAPITOLO 4. MODELLO DELL’AMPLIFICATORE IN GUIDA ₄₀ l’amplificatore. Studiare in modo teorico quali sono i processi coinvolti nel-l’amplificazione, ci permette di capire se `e effettivamente possibile ottenere un’amplificazione usando un certo mezzo materiale. Questo `e un punto cru-ciale in particolare quando, come nel nostro caso, si pensa ad un materiale inedito. Il modello teorico comprende lo studio dei processi di trasferimento energetico coinvolti e delle conseguenti variazioni nella popolazione di equi-librio dei vari livelli, e lo studio della propagazione della radiazione di pompa e di segnale nella guida ipotizzata.

Attraverso questo studio possiamo ad esempio capire quali possono essere le caratteristiche spettrali di guadagno del Er:BaYF, quindi se `e adatto al-la realizzazione di amplificatori per sistemi di amplificazione contemporanea di pi`u canali WDM (wavelength division multiplexing), oppure studiarne il comportamento al variare dei valori di potenza di pompa e segnale utilizzati etc.

La modellizzazione teorica della guida, seguita da simulazioni, ci permette anche di ottimizzare i vari parametri da cui dipendono le caratteristiche di guadagno e di rumore dell’amplificatore. Ovviamente se vogliamo realizzare una guida che abbia buone prestazioni, `e fondamentale eseguire questo tipo di studio, che basandosi su parametri realistici provenienti da studi sperimen-tali, ci fornisce preziose indicazioni sulle scelte da fare per la realizzazione della guida, come vedremo nel quarto capitolo.

4.1 Equazioni di rate

Studiare le equazioni di rate del sistema, ci permette di capire se `e possibile ottenere un’inversione di popolazione per gli ioni Er3+_{, ovvero ottenere un}

mezzo attivo.

La variazione nel tempo delle popolazioni dei livelli energetici dell’Erbio `e descritta dalle equazioni di rate, o di bilancio. Nella Fig 4.2 sono schema-tizzati i livelli di interesse degli ioni Erbio presenti nel cristallo e sogget-ti ad interazione con una radiazione elettromagnesogget-tica di lunghezza

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d’on-CAPITOLO 4. MODELLO DELL’AMPLIFICATORE IN GUIDA ₄₁ da 1450nm ≤ λ ≤ 1650nm, corrispondente a transizioni fra i livelli 4_I

15/2

(fondamentale) e 4_I

13/2 (metastabile). Nel caso di una guida d’onda usata

1

2

3

4

4 _I

9/2

4 _I

11/2

4 I

13/2

4 I

15/2

Pompa

Segnale

upc

decadimento veloce

decadimenti

radiativi

upc

Figura 4.2: Schema dei livelli e processi considerati nelle equazioni di rate per amplificazione nelle comunicazioni ottiche siamo sempre in presenza di due tipi di radiazione: il segnale da amplificare, e la pompa, che serve a raggiungere l’inversione di popolazione nel materiale e renderlo attivo. Le bande convenzionali per l’amplificazione ottica (considereremo la banda C (1530 nm ≤ λ ≤ 1565 nm) e la banda L (1570 nm ≤ λ ≤ 1610 nm)) sfrut-tano lunghezze d’onda di segnale attorno al picco di emissione dell’Erbio per la transizione 4_I

13/2 → 4I15/2.

Per sfruttare al meglio i fotoni di pompa, viene scelta una lunghezza d’onda λpcorrispondente ad un picco di assorbimento dell’erbio nella matrice

consid-erata. Nei vetri `e possibile pompare i livelli 4_I

13/2 o4I15/2, usando radiazione

con lunghezza d’onda rispettivamente di 980 nm o 1480 nm, in quanto le lunghezze d’onda corrispondenti ad altri picchi di assorbimento provocano fenomeni come l’assorbimento da stato eccitato che degradano notevolmente l’efficienza di pompa. Solitamente nei vetri viene usato uno schema di

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pom-CAPITOLO 4. MODELLO DELL’AMPLIFICATORE IN GUIDA ₄₂ paggio a 980 nm, che per`o risulta essere meno efficace nel caso di guide cristalline, come vedremo ora e come sar`a dimostrato mediante simulazioni nel quarto capitolo.

Abbiamo visto nel capitolo precedente che i tempi di vita degli ioni Er3+ _sono

più lunghi nel cristallo da noi considerato rispetto ai valori tipici misurati nei vetri. E’ proprio questa la causa della bassa efficienza del pompaggio a 980nm, infatti un tempo di vita lungo per il livello di pompa può presentare diversi svantaggi. Inanzitutto la condizione fondamentale per ottenere un mezzo attivo, e dunque amplificazione, è quella di ottenere un’inversione di popolazione fra il livello fondamentale (1) ad il metastabile (2), ma se il laser di pompa opera fra (1) ed un livello (3=4_I

11/2) ad energia pi`u alta del

metastabile, che ha tempo di vita lungo, sar`a pi`u difficile giungere a questa condizione per i seguenti motivi:

• se consideriamo lo schema di pompaggio a 980nm, esiste per gli ioni Er3+ _{la possibilit`a di decadimento diretto radiativo dal livello (3) al}

livello (1), pi`u probabile del decadimento da (3) a (2), che risulta nella perdita di fotoni di pompa

• parte degli ioni eccitati al livello (3) possono interagire fra loro, tramite il fenomeno di up-conversion o di cross-relaxation, ed anche in questo caso si ha una perdita di efficienza del pompaggio

• `e possibile avere ESA=Excited State Absorption: gli ioni che si trovano nel livello (3) assorbono un ulteriore fotone di pompa e vengono eccitati ad un livello pi`u alto, svuotando il livello di pompa, e sprecando fotoni. I livelli energetici da considerare nelle equazioni di rate del sistema, sono il

4_I

15/2 ed il4I13/2, la cui differenza energetica corrisponde all’energia dei fotoni

di pompa e di segnale. Inoltre dobbiamo includere nelle equazione di bilancio i livelli 4_I

9/2 e4I11/2 che vengono popolati rispettivamente per up-conversion

dal livello 4_I

13/2 e per decadimento dal4I9/2.

I processi di eccitazione e rilassamento considerati comprendono dunque le transizioni indotte dalla pompa e dal segnale, i decadimenti spontanei degli

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CAPITOLO 4. MODELLO DELL’AMPLIFICATORE IN GUIDA ₄₃ ioni che si trovano in stati eccitati e l’up-conversion che coinvolge gli ioni che si trovano nel livello 4_I

13/2. Definiamo le popolazioni normalizzate ni = _NNEri ,

dove Ni `e il numero di ioni che si trovano nel livello i-esimo e NEr `e la

concentrazione di Erbio nel campione, espressa in ioni/m3_{. Le equazioni di}

rate che descrivono tale sistema sono allora le seguenti: ∂n1 ∂t = −(W12+ R12)n1+ (A21+ W21+ R21)n2+ β31 τ3 n3+ αupcn22NEr ∂n2 ∂t = (W12+ R12)n1 − (A21+ W21+ R21)n2+ β32 τ3 n3− 2αupcn22NEr ∂n3 ∂t = − 1 τ3 n3+ 1 τ4 n4 ∂n4 ∂t = − 1 τ4 n4+ αupcn22NEr (4.4)

Come `e noto in letteratura [24], il tempo di vita del livello 4 (4_I

9/2) `e

trascur-abile rispetto ai tempi di vita dei livelli inferiori, possiamo quindi considerare che tutti gli ioni che vengono promossi al4_I

9/2tramite up-conversion dal

livel-lo metastabile 4_I

13/2 decadono istantaneamente al livello 3, il4I11/2. A questo

punto possiamo semplificare le equazioni di rate, approssimando il nostro sistema come un sistema a 3 livelli:

∂n1 ∂t = −(W12+ R12)n1+ (A21+ W21+ R21)n2+ β31 τ3 n3+ αupcn22NEr ∂n2 ∂t = (W12+ R12)n1 − (A21+ W21+ R21)n2+ β32 τ3 n3− 2αupcn22NEr ∂n3 ∂t = − 1 τ3 n3+ αupcn22NEr (4.5)

Dove abbiamo introdotto i seguenti parametri estratti sia dalla letteratura che dalle misure spettroscopiche riportate nelle sezioni 3.2 e 3.4:

• τi `e il tempo di vita media del livello i-esimo espresso in s. Si ha

τ2 = 16.4 ms, τ3 = 8.5 ms [21].

• A21 = τ2−1 `e il rate di decadimento spontaneo dal livello 2 al livello 1.

• β31 e β32 sono i branching ratio per il rilassamento degli ioni che si

trovano nel livello 3 e che possono decadere al livello 2 (metastabile) oppure al livello 1 (fondamentale). Si ha β31 = 0.65, β32 = 0.35.

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CAPITOLO 4. MODELLO DELL’AMPLIFICATORE IN GUIDA ₄₄ • αupc`e il coefficiente di up-conversion dal livello 4I11/2espresso in cm3/s;

il coefficient di up-conversion dipende dalla concentrazione di Erbio nel cristallo e per un drogaggio del 1% vale αupc = 2 · 10−25m3/s [24]

• W12 e W21 sono i rate delle transizioni indotte dal segnale in s−1

(as-sorbimento della radiazione ed emissione stimolata). Considerando la propagazione lungo l’asse z della guida, i rate di emissione spontanea saranno dati da [25]: W12(x, y, z) = N X i=1 σ12(νi) hνi Is(x, y, z, νi) + ∞ Z 0 σ12(ν hν iASE+(x, y, z, ν) + iASE−(x, y, z, ν)dν W21(x, y, z) = N X i=1 σ21(νi) hνi Is(x, y, z, νi) + σ21 hνp Ip+(x, y, z) + Ip−(x, y, z) + ∞ Z 0 σ21(ν hν iASE+(x, y, z, ν) + iASE−(x, y, z, ν)dν (4.6) Dove Is(x, y, z, νi) rappresenta l’intensit`a del segnale, iASE±(W/m2Hz)

è la densità spettrale di potenza per unità di frequenza dell’emissione spontanea amplificata che si propaga in direzione copropagante (+) e contropropagante (-) rispetto al segnale. Le σij sono le sezioni d’urto

per le transizioni dal livello i al livello j.

• Analogamente i rate di transizione indotte dalla pompa saranno dati da [25]: R12(x, y, z) = σ12 hν Ip+(x, y, z) + Ip−(x, y, z) R21(x, y, z) = σ21 hν Ip+(x, y, z) + Ip−(x, y, z) (4.7) In questo caso Ip+(x, y, z) ed Ip−(x, y, z) sono le intensit`a della pompa,

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CAPITOLO 4. MODELLO DELL’AMPLIFICATORE IN GUIDA ₄₅ Nel caso di condizioni stazionarie, tutte le derivate ∂ni

∂t vengono poste uguali

a 0, e le popolazioni dei vari livelli vengono calcolate usando la legge di conservazione:

n1(x, y, z) + n2(x, y, z) + n3(x, y, z) = 1 (4.8)

Dove consideriamo la concentrazione di ioni Erbio costante lungo la coordi-nata z della guida (asse di propagazione).

Una volte noti i profili di intensit`a di pompa, segnale ed ASE, queste equazioni di bilancio ci consentono di determinare puntualmente le popolazioni dei vari livelli in ogni sezione della guida.

4.2 Equazioni di propagazione per pompa,

se-gnale ed ASE

Per quanto riguarda la parte di studio teorico delle guide, il primo obiettivo di questo lavoro è quello di capire se è possibile realizzare un amplificatore in guida con il materiale scelto, e studiarne le caratteristiche di guadagno e rumore. Usare parametri d’ingresso, quali la sezione d’urto di assorbimento ed i tempi di vita, misurati in modo accurato è dunque molto importante. Una volta verificato che il guadagno e rumore dell’amplificatore nelle con-dizioni iniziali siano in accordo con la teoria, lo scopo diventa quello di ot-timizzare le prestazione dell’amplificatore in guida variandone alcune caratte-ristiche o condizioni di funzionamento (lunghezza della guida, concentrazione di Erbio, potenza di pompa e segnale, etc).

Per poter effettuare uno studio di questo tipo `e necessario studiare le vari-azioni longitudinali delle potenze di pompa, segnale ed ASE lungo l’asse di propagazione della guida, ed inoltre si deve conoscere la distribuzione spet-trale del rumore [26].

Per descrivere queste variazioni di potenza `e necessario ricorrere ad un sis-tema di equazioni integro-differenziali. Trattiamo inanzitutto il caso della propagazione della pompa e del segnale, mentre l’ASE, che non `e altro che il