Le Olimpiadi della Matematica in classe

Silvia Ce arelli

16 ottobre 2018

1 Introduzione

Inquestoarti olodes riviamobrevementel'organizzazionedelle

Olim-piadidellamatemati aeanalizziamol'opportunitàdiutilizzareitesti

prodotti per questi eventi per una diversa didatti a in lasse.

Quan-do si parla di gare di matemati a il nostro pensiero si dirige subito

ai ragazzi più dotati e 'più portati' per la dis iplina. Ma possiamo

hieder i: solo i ragazzi 'più bravi' possono fare le gare? Gli altri?

Si uramente la risposta è positiva, ma i possiamo hiedere an ora:

on he spirito aronta una gara di matemati a o sempli emente un

testo digara hi non si onsidera o non è onsiderato bravo? Le gare

spaventano tutti, an he i più bravi, e si ris hia di allontanare an ora

di più i ragazzi dalla matemati a se li mandiamo allo sbaraglio. La

nostra idea è quella diutilizzare i testi delle gare diprimo livelloper

aiutare gli studenti a vedere la matemati a sotto un altro aspetto e,

per hé no, una volta he siamo rius itiadaiutarli arompere il

ghia - io, a fare in modo he si possano divertire e imentare all'interno di

unagara, questoindipendentementedallabontàdeirisultatiottenuti.

In questa esposizione si opera un'indaginedi ome si possa utilizzare

la gara d'Istituto prima, durante e dopo per avvi inare an he quegli

studenti he si di ono 'non portati per la matemati a'. Il livello

ini-ziale degli argomenti da onos ere per arontare i primi eser izi non

è alto, ed è a essibile a tutti gli studenti. Vale la pena

imentar-si in un per orso alternativo agli insegnamenti standard e urri ulari

e er are di apire se un diverso appro io alla matemati a avvi ina

Lo s opo è quello di avvi inare glistudenti adargomenti della

mate-mati a he solitamentenon fanno parte del urri ulum standard

s o-lasti o, diversi, più interessanti e he non si ridu ano all'appli azione

me ani a di formule libres he. Le Olimpiadidella Matemati a sono

diuse in un entinaio di paesi di tutto il mondo, an he se il tipo di

organizzazione èdiverso dapaese a paese. In Italia, levarie fasi della

manifestazionesono uratedall'UnioneMatemati aItalianasu

in ari- odelMIUR.LeOlimpiadidellaMatemati asisvolgonoregolarmente

inItaliadal1983: nel2017 ir a1500 s uoleitalianehanno aderitoal

Progetto Olimpiadi della Matemati a, per un totale di ir a 200.000

studenti. Legarepassanoattraverso variefasieselezionia omin iare

daiGio hidiAr himede, garad'Istituto, noalleIMO (International

Mathemati alOlympiad), la ompetizionenale internazionale.

Le IMO si sono tenute perla prima volta nel1959 inRomania e per

i primianni sono state aperte soloagli studenti appartenentiai paesi

delPatto diVarsavia.

Il grande su esso della ompetizione spinse gli Stati Uniti

d'A-meri a a formulare ex-novo i programmi s olasti i di matemati a in

modo tale da dare agli studenti ameri ani ompetenze ed abilità tali

darenderli apa i di onfrontarsi on i parte ipantialleIMO.

La prima parte ipazione italiana risale al 1967: inizialmente

l'or-ganizzazione delle fasi nazionali venne adata alla S uola Normale

SuperiorediPisaedal1997all'UMI.Perselezionarelasquadra

italia-na vennero organizzate le gare nazionali he si si sono sempre tenute

nella prima settimana di maggio, nei primi tempi a Viareggio e dal

1990aCesenati oed al unistagespe i idistribuitinel orso

dell'an-nos olasti o.

Le diverse fasi delle gare:

1. Gio hidi Ar himede

2. Gara delle prime

3. Gara difebbraio

4. Finalinazionali

L'UMI a settembre invita tutti gliIstituti se ondari superiori del

tualmenteiltesto della gara è omposto per ilbiennioda16 quesitia

risposta multipla e per il triennio da 20quesiti. In entrambi i asi la

garadura 90minuti. Siail numerodeiproblemi he iltempoa

dispo-sizione degli studenti sono ambiati negli anni, per venire in ontro a

esigenze logisti he eorganizzative delle s uole.

Inquestafasedella ompetizioneperarontare onsu esso i

que-sitipropostièsu ientela preparazione urri ulare s olasti a,

aan- ata da buone apa ità logi he. I gio hi di Ar himede svolgono una

dupli e di ile funzione sia di selezione dei migliori per la fase

su - essiva,siadidivulgazioneperpresentareatutti, inmodoa essibile,

al uni temi non oggetto della matemati a urri ulare. Il testo er a

dibilan iare queste esigenze apparentemente ontrastanti tra diloro.

E'fondamentale svilupparenell'allievouna erta uriositàverso la

ri-soluzione di problemi non standard. I problemiproposti sono tutti a

risposta multipla,tipologia he non s oraggiai parte ipanti.

Unesempiodiquantodettosopraèilseguenteeser izio(Problema

13gio hidiAr himede2015):

Unagrigliasuddivisainquadratiniè olorata

ini-zialmente ome nella gura a lato. Una mossa

onsiste nello s egliere una riga oppure una

o-lonna e invertire il olore di tutte le aselle in

essa presenti.

Fa endo10mosse,quale,traleseguenti ongurazioni,nonèpossibile

ottenere?

A) B) C) D) E)

Perrisolverequestoproblemanono orreal unprerequisito

mate-mati o,mabastaosservare he tutte lerighee le olonnedella griglia

hanno un numero dispari di quadratini, quindi ogni mossa inverte la

parità dei quadratinineri edi quellibian hie dunque dellorototale.

Dopo die i mosse avrò la stessa parità iniziale edunque poi hé tra le

soluzioniproposte e n'è solouna onparità deiquadratinidiversa da

gennaio ed è stata istituita più re entemente, nel 2013. Lo s opo di

questa ompetizione è quello di oinvolgere i ragazzi appena entrati

nella s uola se ondaria di se ondo grado. I ragazzi di prima al

mo-mentodei gio hidiar himedehannoappena omin iatoilnuovo i lo

e non hanno an ora avuto il tempo di orientarsi né di appro iarsi

allamatemati ainmodonon tradizionale(senel i lopre edentenon

hanno mai avuto a he fare on gare diquesto tipo). E o he viene

datalorol'opportunitàdi imentarsi onproblemidiversi enon

stan-dardmamaggiormenteallaloroportata rispettoaquellideigio hidi

Ar himedeper ilbiennio. Questa garahauno s opodivulgativooltre

he ompetitivo eviene organizzata su base volontaria.

Nell'organizzazione delle gare, in tutte le loro fasi, sono oinvolti

molti do enti on funzioni diverse: tutti si prodigano a titolo

volon-tario essenzialmente per lapassione he hanno verso la matemati a e

verso tale tipo di gara. A livellolo ale ogni distretto (o zona) ha un

Coordinatore Distrettuale (CD) he può essere aan ato da un

ade-guato numero di Responsabili Distrettuali (RD), nominati ogni tre

anni dall'Unione Matemati a Italiana su proposta dei distretti a

se-guito di elezioni. Questi hanno il ompito di oordinare, nell'ambito

deldistrettodi ompetenza, lafasediistituto(Gio hidiAr himede)e

di organizzarela fase distrettuale (Gara diFebbraio) delle Olimpiadi

della Matemati a. Ogni oordinatore distrettuale seleziona,

general-mente sulla base dell'andamento della gara delle prime e dei gio hi

di Ar himede, i ragazzi he parte iperanno alla gara di febbraio.

La gara di febbraio è il trampolino di lan io per le nali nazionali di

Cesenati o. Il testo della gara di febbraio attualmente è formato da

12 problemi a risposta multipla, 2 a risposta numeri a e 3

dimostra-tivi. In questa fase dei gio hi olimpi i vengono introdotti i problemi

dimostrativi: i andidati per Cesenati o devono dimostrare di

saper-si orientare adeguatamente all'internodi una dimostrazione: infatti è

noto he proprio ledimostrazioni e non le formule sono il su o della

matemati a. I responsabilidistrettuali oordinanola orrezione degli

s rittidi febbraio, stilanole graduatoriee il oordinatoredistrettuale

propone la lista dei ragazzi da onvo are a Cesenati o sulla base di

riteri he possono variare da provin ia aprovin ia.

An he perquanto riguardala garadi Febbraiolo s opo è dupli e:

ne degli eser izi, ontinua ad essere fondamentale l'aspetto didatti o

e divulgativo. Gli eser izi vengono stilati e inventati da giovani

ex- on orrenti he, in genere, hanno nito da po o il per orso olimpi o,

vengono poi selezionati da persone esperte e la ratio rimane quella

dell'avvi inare quanto più possibile gli studenti alla matemati a. In

questo spirito si arti ola il testo della gara. Tutti i tipi di eser izi

sono presentati, se ondo il giudizio della ommissione olimpiadi, in

ordine didi oltà: si parte da eser izi a essibilia tutti perarrivare

a eser izi selettivi di maggior di oltà. Dopo la gara, i

responsabi-li er ano di avere un feedba k e as oltano eventuali problemati ità

emerse, basandosi sia sulla ra olta delle sensazioni e delle opinioni

dei do enti, sia su indagini statisti he. Dai ris ontri ottenuti

emer-ge he negli ultimi anni illivellomedio della preparazionedei ragazzi

è diminuito rispetto a qual he de ennio fa e in parti olare sembrano

aumentatetraglistudentiledi oltànell'arontareledimostrazioni.

Questa situazione va di pari passo on la di oltà sempre

res en-te adeseguire dimostrazioni an he all'interno del per orso s olasti o.

Non i soermeremo qui adanalizzare questo re ente fenomeno he è

forse addebitabile ad una sempre minor possibilità da parte dei

do- enti della s uola se ondaria di se ondo grado di arontare in lasse

argomenti quali ad esempio lo studio della geometria eu lidea,

poi- hé tale analisi ri hiederebbe un'osservazione attenta he esula dallo

s opo he i siamo posti. Da parte di oloro he stabilis ono il testo

di gara 'è stata, negli ultimi anni, la tendenza a ridurre la di oltà

degli eser izi per seguire l'andamento medio degli studenti. In

parti- olareperquantoriguardaiproblemidigeometria, la uiper entuale

di buona ese uzione da parte dei on orrenti è diminuita molto, si è

er atodiinserireri hieste intermedie he aiutassero un po' dipiù gli

studentiaimbo arelastradagiustaepotessero guidarli. Leri hieste

intermedie aiutano an he hi orregge a valutare meglio il problema

e di onseguenza a dare valutazioniparziali in modo più sempli e ed

obiettivo. A talproposito è danotare he su11.000 on orrenti ir a

della gara di febbraio 2017, ir a i

2

3

pro-blemi dimostrativi e tra gli studenti he hanno provato ad arontare

i dimostrativi la stragrande maggioranza si è imentata solo sul

pro-blema di geometria. Da qui si può evin ere probabilmente he nella

nostras uola la partedimostrativae argomentativahadelle riti ità,

asserzioni geometri he. E' ome se i fosse un'identità tra geometria

edimostrazioniepoi 'è ilrestodella matemati a he non deveessere

dimostrata ma, almassimo, potrà essere oggettodi esempi.

Sutaleargomentosisonoespressemolto hiaramentean hele

indi- azioninazionali he mettonoinevidenza lane essità he glistudenti

imparinoadargomentare,aragionare on rigorelogi oeaindividuare

le possibili soluzioniai problemi posti, dopo averli lettie interpretati

riti amente.

Per quanto riguarda le ompetizioni internazionali, i migliori sei

studenti italiani vanno a formare la squadra italiana alle Olimpiadi

Internazionali della Matemati a, he vengono organizzate ogni anno

inuna nazionediversa evedonola parte ipazionedipiù di100

nazio-ni. I sei studenti da mandare alle IMO (International Mathemati al

Olympiad)non sono ne essariamentei primi 6 lassi ati nella nale

nazionale di Cesenati o, mavengono selezionati tenendo onto an he

dellaloropre edenteesperienzaedellaparte ipazione avaristage he

si tengono a Pisa (Stage Senior, Winter Camp, Stage Pre-Imo).

Ol-tre alle IMO i sono an he altre ompetizioni internazionali quali le

Romanian Master of Mathemati s (RMM), le Balkan Mathemati al

Olympiad(BMO) e le European GirlsMathemati al Olympiad

(EG-MO)apertesoloalleragazze. LeEGMOsonoapertesoloalleragazze,

per hè purtroppo si evidenzia he i risultatinelle varie fasi delle gare

sidierenzianosempredipiù inmodoprogressivotra on orrenti

ma-s hili e on orrenti femminili: non entriamo nello spe i o in quanto

l'analisi a urata ri hiederebbe troppo tempo, ma possiamo dire he

leragazzesono meno ompetitivee ulturalmentesvantaggiatequindi

ilororisultatisono inferiori rispettoai risultatidei ompagni disesso

mas hile. Per apiredi osasistaparlando: aigio hidiar himede 'è

una parte ipazioneequamente distribuitatrai duesessi, giàallagara

difebbraioleper entualisonodel75%diragazziedel25%diragazze,

alle nali nazionali di Cesenati o le per entuali sono rispettivamente

Parallelamenteallegareindividualisisvolgonolegareasquadre.

Que-sta ompetizione oinvolge gliIstituti S olasti i he vi parte ipano in

modopiùglobale: infattiognisquadra è omposta da7studentidella

stessa s uola e ogni s uola può presentare più squadre. Nel mese di

marzo per tutta Italia i sono più di 25 ompetizioni a squadra dalle

qualiemergerannole squadre he parte iperannoallanale nazionale

a Cesenati o negli stessi giorni in ui si tengono le nali individuali.

Ilpunteggiodeiproblemiè infunzionedeltempoedelle rispostedate

dalle altre squadre: ogni eser izio parte on lo stesso punteggio e poi

aumenta proporzionalmente a quanto tempo passa prima he venga

risolto perla prima volta.

Durantetuttol'annovengonoeettuatinumerosiallenamentimoltidei

qualion-line. I testi delle gare a squadre, siaperquanto riguarda gli

allenamenti heperlegareu iali,sonoproblemiarispostanumeri a

spesso ambientati all'interno di una storia he fa da lo onduttore.

[www.phiquadro.it℄.

4 Appro io ompetitivo o appro io

ludi- o - divulgativo?

Ede oilgrandeinterrogativo. Qualeappro iosaràmiglioreperuno

studente qualsiasi? Come sarà più produttivo in termini di didatti a

trattareiltemagaredimatemati a? Ildo entepuòseguireduestrade:

1. stimolare gli studenti già più bravi o più interessatian hé si

appassioninoallanuova situazione di ompetizione.

2. far apprezzare a tutta la lasse le gare e usarne i testi ome

strumentodidatti o.

Nel primo aso è ne essario he gli studenti ui i rivolgiamo

ab-biano giàsviluppate buone apa itàlogi he in ui ripongano tutta la

loro du ia e abbiano un erto grado di ompetitività. Allora il

do- ente puòtenerelezioniein ontriin uivengonospiegati on etti he

non si svolgono solitamente in lasse ma he sono oggetto di gara e

in ui siarontanoeser izidive hiegare su ui imentarsie sdarsi.

E' opportuno he questi ragazzi lavorino on l'obiettivo di

importante riettere sugli eser izi e analizzarli dis utendoli tutti

in-sieme. É moltopiù produttivoproduttivo urarelaqualità dellavoro

rispetto alla quantità di eser izi svolti. Las iare dei testi di ve hie

gare per hé venganosvoltienon ommentare le soluzioninon èutile.

E o he siaperla preparazionedelle gare individuali he perla

pre-parazione della gare a squadre è opportunoorganizzare degli stage, e

questo è iò he datempoa ade avarilivelli.

IlDipartimentodimatemati aedinformati adiFirenzeorganizza

da quattro anni uno stage per studenti, strutturato in un momento

frontale in uiun do ente spiegalateoria relativaadargomenti

olim-pi i,inunmomentodilaboratorioin uiglistudentilavoranodasolio

agruppisuproblemipostilorodaldo enteeinunadis ussione in ui

isi onfrontasullestradeintrapreseperlarisoluzionedeivariquesiti.

In linea generale lo spazio maggiore è quello dedi ato alla riessione

singola o di gruppo e al onfronto. Nei dipartimenti e negli Istituti

S olasti iSe ondari vengono organizzati diversi stage lo ali, he

pos-sono essere on entrati in brevi periodi dell'anno s olasti o oppure

spalmatisu tutta l'annata. Cisono stage ompatti he sisvolgono in

una settimana durantel'anno s olasti o, oppurestage he si svolgono

durante leva anzeestive.

Cisipuò hiedere: masoloipiùbravipossonoparte ipareaquesti

stage? Soloipiùbravisonoingradodiparte ipareallegare? La

rispo-sta è ertamente negativa. I più bravi si uramente sono da stimolare

ulteriormente ed è importante rius ire a motivarli an ora di più

for-nendolorostrumentisempreadaltolivello on gradualità. Maperun

do ente èan orapiùstimolanterius irea oinvolgeretuttala lasse e

metteretutti ingradodipoterapprezzareigio hidiAr himede,

indi-pendentemente dallaqualitàdeirisultatiottenuti. Insostanza iò he

èimportanteè he iragazziparte ipino inmodo onsapevoleeattivo

allagaraenonèimportanteilpunteggio he ottengono. Tutti glianni

ametà Novembre si omin ia on lafase d'Istituto: si redigeun testo

per ilbiennioe uno per iltriennioe viene stabilito un giorno,lo

stes-so in tutta italia, in ui si svolge la ompetizione. Probabilmente se

ogni do entesegnalasse i 3 o4 studenti miglioriper ogni lasse,

inve- e diorganizzare lagara d'Istituto, avremmo lostesso risultatonale

on un dispendio inferioredi energia, mail valore aggiuntodella fase

d'Istituto è la divulgazione e la diusione della ultura matemati a.

algebri he ome spesso gli studenti pensano, ma è trovare strategie e

rius ire a determinare lasoluzione di nuovi problemi,magari pensati

dallo studente stesso. Il testo della gara deve soddisfare due

esigen-ze: da una parte non deve essere troppo di ile per hé si vuole he

l'impatto degli studenti sia positivo ed è ne essario fornire qual he

eser izio allaportata di tutti, dall'altra deve essere tale da eettuare

una erta selezione. E o l'importanza della stesura deltesto di gara

he, oltre a quantoappena esposto, deve tener onto an he dellivello

dipreparazione he inItalia non èomogeneo: glieser izi he possono

sembrare fa ili in al une zone sono di ili in altre aree geogra he.

Inoltre nelle varie tipologie s olasti he si aronta lo studio della

ma-temati a in modo diverso: basta pensare a uno s ienti o, o ad un

lassi ooa un professionale. Negliistituti s olasti i he aderis ono ai

gio hi di Ar himede si deve de idere quanti studenti far parte ipare

allegare. Puntualmentesipresentailsolitos enario: inal uniIstituti

si las ia liberi gli studenti di parte ipare o meno alle gare, in altri si

ssa un numero massimo per lasse e si las ia agli insegnanti delle

varie lassi la s elta di quali studenti inviare alle gare, in altri

an o-ra si rende laparte ipazione obbligatoria per tutti gli studenti. Ogni

modalità ha degli aspetti funzionali e positivi e altri negativi, ma la

osa più importanteè er are di fare in modo he spontaneamente il

maggior numero di studenti possibile abbia voglia di parte ipare alla

garaedesideridi imentarsi on iproblemidimatemati a... nonsolo

per saltareore di lezione.

Molto è stato fatto e si fa annualmente per i ragazzi già dotati

e già in uriositi dalla matemati a, le gare sono un ottimo strumento

per l'approfondimento e per lo sviluppo delle ompetenze di questi

ragazzi he, an he inmodonaturalesipongonoproblemiene er ano

lasoluzione.

5 Argomenti

Gliambititrattatinellamatemati a olimpi aseguono lasuddivisione

per argomenti usata alle IMO ( ompletamentediversa da quella

abi-tualenegli ambientis olasti iitaliani). Gliargomentidimassimaper

epiù ingenerale questioni he riguardano numeri reali.

2. Geometria: geometriaeu lideadelpianoedellospazio( oin ide

ol programma di un biennio s ienti o per quanto riguarda il

piano).

3. Teoria deinumeri: problemisuinumeriinteri.

4. Combinatoria: problemi di onteggio e argomenti vari he non

fannopartedellealtretre ategorie omeadesempio olorazioni

ologi a.

6 Appro i possibili

L'obiettivo è quello di utilizzare i problemi olimpi i ome appro io

didatti oemetodologi oaini diavvi inare glistudenti

all'argomen-tazionee alladimostrazione.

Sia he si fa ia didatti a all'interno delle ore urri olari, sia he

si fa ia didatti a ad alti livelli per preparare i ragazzi per le gare,

sia he si fa ia didatti a'per svago' i sono al uni atteggiamenti 'di

buonsenso' heène essarioanteporreaqualsiasialtra onsiderazione.

Riteniamo hesiafondamentale stimolareiragazzi,senza fermarlinel

ragionamento he stanno esponendo an he se il loro linguaggio non

è rigoroso o è addirittura impre iso. Il nostro obiettivo è quello di

far parlare gli studenti, di dar modo loro di spiegarsi e di ripetere il

ragionamento he stannoseguendo n hé non risulti hiaro. Spesso la

sensazionediaver apitoun on ettoblo al'argomentazione. Quante

volte uno studente di e on si urezza diaver apito epoi irendiamo

onto e persino luistesso sirende onto he non è osì! Èimportante

dunque stimolarli a spiegare an he le impli azionie i passaggi

appa-rentementepiù sempli i. Inquestomodoavremoraggiuntoun dupli e

obiettivo: oloro hehanno apitohannol'opportunitàdiassorbire

an- orameglioeinmodopiù hiaroi on etti per hé lispiegano,glialtri

hannol'opportunitàdias oltarenuovamenteunaspiegazionesu

argo-menti an ora po o hiari e daparte di un loro ompagno, quindi on

un linguaggiopiù simile alloro. Ra ontare la matemati ae spiegare

a hi non ha apitoaiuta a hiarire meglio on etti importanti e

fondamentale nellafasediapprendimento, infatti,per esperienza

per-sonale, è semprerisultata più e a e una spiegazione e un onfronto

trastudenti rispettoadunaspiegazione frontaledapartedeldo ente.

Il linguaggio usato dagli studenti generalmente non è rigoroso ma è

'prati o' e oglie nel segno e i on etti vengono trasmessi on

e a- ia. Il ruolo dei do enti dovrebbe essere quello del oordinamento di

attività he fondamentalmente vengono elaborate dagli studenti. Noi

dovremmo dirigere e oordinare attraverso domande opportune e

in-terventi mirati a mettere sulla buona strada piuttosto he a fornire

spiegazioni esoluzioni.

Quindi,dettoquesto,pensiamodiarontareiprimiquesiti

las ian-dola lasse dis utere di fronte alnuovo problema. Fa iamoin modo

he, perarontareilproblemaposto,siasu ientelamatemati a he

già onos ono. A titolo esempli ativo su essivamente proporremo

eser izi per ui basta la onos enza della divisione eu lidea. Se

hie-dessimoperqualivaloridi

n

46

n−3

èintero,potremmoguidare

la lasse,o omunqueilgruppodistudenti he abbiamodifronte,

hie-dendoloro osadevea aderea hèun numeros rittosottoformadi

frazionesiaintero. Las iare heognunosiesprimaepoi ondurliverso

lasoluzione omeriportatopiù avanti. Inquesta fasesaremopropensi

a non fare troppe orrezioni 'formali'. Quando siamo si uri di aver

apito lastrada he lostudentesta per orrendo e soloquando è

arri-vato ad una on lusione possiamo pensare a risistemare il linguaggio

e a dare rigore alla sostanza. Vi eversa se pensiamo di orreggere o

fermarelostudentementre portaavantiunragionamentoris hiamodi

blo areil usso delle idee e diperderedi vistala sostanza he i sta

omuni ando. Ad esempio, se si sta risolvendo quesiti riguardanti la

geometria, spe ialmentesei ragazzinon sono omogenei e provengono

da lassidiverse,nonèdetto hetuttiutilizzinolestessenotazioniper

indi areglistessioggettimatemati i: peral unistudentilalunghezza

di un segmento viene indi ata in modi diversi tra loro (

ℓ

(AB)

AB

AB

|AB|

siesprimano onlenotazioni he onos ono,giusteosbagliate he

sia-no, e,inun se ondo momento, ondivideremodelle notazioni omuni.

Laparolad'ordine deveessere: las iaresprimere glistudenti n hé lo

fanno, aiutarlia sblo arsisesiblo ano difronteadi oltà, er are

momomento,diamospazioalleideeeai on etti er andodi apirese

hanno omunque preso lastrada giusta. Solo inun se ondo momento

riprenderemoladimostrazionee li aiuteremoa ostruirla on rigore e

pre isione. Spessoa adesentirparlareiragazzienun iandoilnomeo

addiritturailnumerodeiteoremi: peresempiosesihaa hefare oni

teoremidi ongruenzadeitriangoli,avolte glistudentiparlanodelIo

delIIodelIII riteriodi ongruenza. Questopuògenerare onfusione,

quindi è bene hiedere lorodi enun iare i teoremi in modo ompleto,

aldilàdelnumerod'ordine on uisonostatiimparatiosonoespressi

sul libro, an he per hè enun iando un teorema se ne omprende

me-glioil signi atoe le ipotesi ne essarie. Un altro punto fondamentale

è l'evitare di fermare i ragazzi an he se i rendiamo onto he hanno

imbo ato una strada sbagliata he non li porta a niente. Chiunque,

a qualsiasi età e in qualsiasi ir ostanza, impara e fa propria

un'e-sperienza se per orre la strada on i propri piedi a osto di doversi

fermare di fronte aivi oli ie hie tornare indietro. Per gli stessi

mo-tivi si impara a dimostrare, ad arontare nuove problemati he, se si

omin iaun ragionamentoesiportaavantin hé non sivede he non

porta più a niente. Quindi è bene las iar pensare gli studenti, fare

in modo he omuni hino i loro pensieri n hé non arrivano ad una

on lusione, giusta o sbagliata he sia. Il nostro ompito è quello di

aiutarlia vedere quandoun ragionamento non è orretto o quando le

on lusioni uisonogiuntisonoinutiliosbagliate. Aiutiamolia

diven-tare riti i in modo ostruttivo hiedendo lorola spiegazione ditutte

le asserzioni he fanno. Il nostro maggior intervento dovrebbe essere

quello di hiedere 'per hé'. Se pensiamo he lo studente sia blo ato

enon ries aadandareavanti suun problemaoaddirittura nonries a

neppurea omin iare,sipuòessere ertidinonaiutarlosegliforniamo

la soluzione, anzi potremmo indurlo a pensare he dasolo non potrà

mairius ir i. In questo aso, la osa migliore dafareè dargli qual he

indi azione, fornirgli qual he strumento he lo porti a riettere nella

giusta direzione, proporgli, se possibile, un problema simile a quello

hestaarontandomainversionesempli ata. Questoappro iopuò

essere lungo e più fati oso: si uramente per arontare ogni eser izio

i vuole più tempo, ma è una strada he potrà ondurre gli studenti

allos opo he i siamo preposti. Il nostro obiettivo prin ipale è

pro-prio quello di stimolarenegli studenti la apa itàdimostrativa, anzi,

heun'asserzione senzaunagiusti azionelogi adietrononhavalore,

si uramente la loro te ni a dimostrativa migliorerà in modo

natura-le. Questo è un ambito he va al di là della matemati a olimpi a e

he proprio on la matemati a olimpi a può diventare interessante e

pro uo esplorare. A questo s opo è utile insegnare aglistudenti una

struttura risolutiva he prenda in esame esempi e ontroesempi. Mi

spiego meglio: an he negli eser izi più sempli i,ed è bene omin iare

proprio da questi, durante la 'dis ussione matemati a' risolutiva noi

do enti dobbiamo porre ai ragazzi interrogativi di vario tipo, in

par-ti olare dobbiamo stimolarli a er are i ontroesempi per abituarli a

er are i 'bu hi' e le falle nei loro ragionamenti. Il nostro lavoro di

guida nella risoluzione delle problemati he deve ondurre glistudenti

a fare esempi espli ativi e a favore di iò he hanno trovato, on lo

s opodispiegareefarto are on manoalresto della lasseirisultati

ottenuti: maduranteilpro esso diindaginesidevono on entrare sui

ontroesempi in modo da testare ontinuamente e sotto più aspetti

il loro ragionamento. È importante far apire loro la dierenza tra

esempioedimostrazione. Permoltistudentinon è hiaro osa

signi- hidimostrareunteoremae,spesso,quandosi hiedelorodidimostare

un eser iziosi ottengono solo degli esempi. Questo è un mis on etto

molto omune,lamatemati aolimpi apuòessereunbuonostrumento

perarrivareal on etto dell'argomentazioneedelladimostrazione;

in-fattile onos enzeri hiesteperiquesitidiAr himedenon sonomolte,

bastanoquelle he giàsi hanno,mai problemisono on epiti per

sti-molareil ragionamentoe intraprendere un per orsologi o perla loro

risoluzione. L'insegnante in tutto questo deve guidare, fare domande

provo atorie he aiutinogli studenti a apire la dierenza traesempi

edimostrazione,develas iarliparlare,las iarliarenareepoiaiutarlia

riprenderelastrada. Nelmomentoin uilarisoluzione diun eser izio

è ompleta e orretta è opportuno farglielas rivere, farglielarileggere

elavorar i nuovamente tuttiinsieme pertrovare i passaggipo o

hia-ri oppure quelli in ompleti. In tutto questo lavoro fatto all'interno

di una lasse, on tutto il tempo a disposizione an hé il problema

posto venga aronatato, svis erato analizzato risolto e generalizzato

he ruolo possono avere gli studenti più bravi? Quelli he ris hiamo

di perdere per hé in lasse si annoiano e si stan ano a sentir ripetere

lestesse ose. Quegli studentisarannoquellidadistribuire all'interno

do en-spesso le e ellenze sono veramente molto in gamba e non hanno

bi-sogno diessere guidate dall'insegnante nella risoluzione dell'eser izio,

ma il do ente dovrà aiutarli a oordinare il gruppo in ui si trovano

in mododa aiutare i ompagni più fragili a ostruire la soluzione e a

omprenderla no in fondo. Inoltre gli studenti più pronti nella

riso-luzione degli eser izi hanno omunque da impararea s rivere bene le

dimostrazionie per questo avranno si uramentebisogno di tempo, di

attenzione ean he della guida del do ente.

Un'ulterioreosservazioneriguardalatipologiadieser izi he viene

data agli studenti e ome vengono loro assegnate le problemati he.

Non è onsigliabile las iare he i ragazzi si imentino da soli nella

risoluzione di eser izi di ve hie gare, ma è opportuno seguirli on

dis ussioni di gruppo efornire loro eser izi he abbiano di oltà

re-s enti,an heestrattidave hiegare,ma he limettanoallaprova on

gradualità eselezionati ad argomento.

7 Con lusione

Dopounlavorodiquestotipo,iragazzirius irannoa omprendereead

apprezzareiproblemidellalagaradiI livelloeadivertirsialdilàdei

risultati ottenuti. Oltre a favorire la parte ipazione degli studenti ai

gio hi di Ar himede e a anto a questo l'obiettivo prin ipale rimane

sempre quello di far si he gli studenti si avvi inino on impegno e

interesse alla matemati a e he la loro uriosità venga stimolata e

soddisfatta.

Ringrazio LuigiAmedeo Bian hi e Fran es o Mugelli he, in

qua-litàdi membridella Commissione Olimpiadi,mi hannodato preziose

informazionisulle Olimpiadidella matemati a.

8 BIBLIOGRAFIA

- Fran oConti,Mi heleBarsanti,TullioFranzoni(a uradi)(1994),

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Zani helli.

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2174-0410 SITOGRAFIA https://www.fo us.it/s ienza/s ienze/ he- osa-e-lolimpiade-della-matemati a https://it.wikipedia.org/wiki/Olimpiadi-della-matemati a-Storia http://fox.dm.unipi.it/perfezionamento2006/do umenti/DeRitoRelLab1-ApprendimentoCooperativo.pdf http://olimpiadi.dm.unibo.it/ http://www.dma.uni.it/ mugelli/in ontri_olimpi i.html http://www.indi azioninazionali.it/ http://www.phiquadro.it/

PROGETTO PHI QUADRO

Il progetto è nato su proposta degli insegnanti Sandro Campigotto

lo s opo di favorire un appro io ludi o-ri reativo alla Matemati a.

Obiettivo primario del progetto è quello di oordinare un gruppo di

lavoro he possa approfondire, divertendosi, le onos enze nel ampo

della risoluzione di problemilogi i per poter parte ipare in tal modo

on prottoaivari gio himatemati iorganizzati inambito s olasti o

sulterritorio. Agliinsegnanti interessativiene oerta lapossibilità di

usufruiredelsoftware realizzatoper gestire,an he adistanza, leGare