1. Figure di Hartogs, inviluppo olomorfo di {|z1| ≤ r1, |z2| ≤ 1} ∪ {|z1| ≤
1, |z2| ≤ r2} r1, r2 > 1. Figure di Reinhardt, log-convessit`a. Teorema di
Poincar`e su bidisco e palla. Spazio tangente reale, complessificato, spazio tangente olomorfo.
2. 05/11/09 - Variet`a di Stein, zeri di funzioni in Cn. Teorema di Frobenius e
variet`a complesse (intergabilit`a di T0,1X). Forma di Levi come condizione
di integrabilit`a.
3. 12/11/09 - Ancora su forma di Levi e integrabilit`a della distribuzione di tangenti (0, 1). Dolbeault-Grothendieck. Mappe tra tori.
4. 18/11/09 - Prefasci e fasci. Esempi: banalit`a di fibrati in rette, problema del ∂. Coomologia di Cech.
5. 19/11/09 - Successioni esatte lunghe in coomologia, fasci fiacchi, aciclici (partizioni dell’unit`a). Teorema di deRham astratto.
6. 03/12/09 - Struttura quasi complessa su S6, non integrabilit`a tramite la connessione di Levi Civita. Snha struttura quasi complessa solo se T Sn+1 `e banale. Superfici di Hopf.
7. 10/12/09 - Legame tra tensore di Nijehuis e connessioni senza torsio-ne. Caratterizzazione delle variet`a di K¨ahler con ∇LCJ = 0. Metrica k¨ahleriana oscula la metrica hermitiana standard.
8. 17/12/09 - Esempi di variet`a k¨ahleriane: Cn, CPn con metrica di Fubini-Study, Bn, la grassmanniana (successione per il fibrato universale). 9. 14/01/10 - Fibrati in rette su CPn, divisori ed equivalenze. Teorema di
Chow (no dim). Classe di Chern e duale di Poincar`e (L = [D] ⇒ c1(L) =
ηD).
10. 04/02/10 - Riepilogo sulla dimostrazione dell’immersione di Kodaira. For-mule di aggiunzione e fibrato canonico. Immersione data da O(d) di CP1 in CPn.
11. 09/02/10 - Ix`e un fibrato solo in dimensione 1. [p] = [q] ⇒ CP1. Radici
quadrate di un fibrato in rette. Legami tra H1,1 e immersione nel
proiet-tivo. C2/Γ non proiettivo. Teorema della sezione iperpiana di Lefschetz. Calcolo del diamante di Hodge per un luogo di zeri in CP3.
12. 18/02/10 - Gruppo di Picard delle superfici di Riemann, caso dei tori. Variet`a di Iwasawa.
13. 25/02/10 - Newlander-Nierenberg analitico. Introduzione alle classi di Chern.
14. 04/03/10 - Classi di Chern II: propriet`a assiomatiche, legame con la ca-ratteristica (no dim), successione di Eulero. Classi di T CPn, classi di Xd= {P (X) = 0} (P (X) di grado d), V = {P1= . . . = Pk= 0}.
15. 09/03/10 - Fibrati in generale, proiettivizzato di un fibrato vettoriale, OP(V )(−1) `e sottofibrato di π∗V , splitting principle per calcolo di classi di Chern e radici di Chern. Luoghi di degenerazione delle sezioni di un fibrato e classi di Chern (no dim).
16. 11/03/10 - Gruppi di Chern e anello di Chern, linguaggio della teoria dell’intersezione, moving lemma (enunciato). Connessioni secondo Eh-resmann, fibrati principali con esempi. Connessioni su π : E → M , fibrato con fibra F e gruppo G, come splitting della successione esatta 0 → T F → T E → π∗ET M → 0, ovvero 0 → T F/G → T E/G → T M → 0, ostruzione a(E) ∈ H1(M, Hom(T M, R)) (Atiyah, ’57).
17. (*) ??/??/?? - Fibrati di Einstein. Stabilit`a secondo Mumford e Bogomo-lov. Legami tra le due definizioni. Lemmi per l’unicit`a del sottofibrato semistabile massimale.
18. 12/04/10 - Funtori Ext e Tor sui moduli; legame di Ext con le estensioni. Teorema delle sizigie di Hilbert, dimensione e codimensione omologica. 19. 13/04/10 - Torsione di un modulo, duale e biduale. Fasci coerenti,
dimen-sione e codimendimen-sione omologica di un fascio analitico, teorema di Scheja. Fasci riflessivi e liberi, fasci normali.
20. ??/??/?? - Alcune propriet`a dei fibrati stabili su superfici di Riemann, legami con il genere (divE ≥ c1(E)/m − g). Caso dei fibrati non stabili
di rango 2, spazio dei fibrati decomponibili, spazio dei fibrati instabili indecomponibili (secondo determinante e divisore) (Gunning).
21. 18/05/10 - Rappresentazioni del gruppo associato a un rivestimento rami-ficato di indice N su un solo punto. Fibrato associato ad una rappresen-tazione. Spazio dei moduli per le rappresentazioni e legame con i fibrati stabili su una superficie di Riemann iperbolica (Narasimhan e Seshadri, ’65).
