Lezioni sui Fibrati (a.a. 2016/17) Mauro Nacinovich

Lezioni sui Fibrati

(a.a. 2016 /17)

Mauro Nacinovich

Indice

Parte 1. Fibrati topologici 13

Capitolo I. Richiami su spazi cellulari ed omotopia 15

1.1. Spazi puntati 15

1.2. Gruppi di omotopia di uno spazio puntato 19

1.3. Cambiamento del punto di base e azione del gruppo fondamentale 23

1.4. Propriet`a dell’estensione e cofibrazioni 24

1.5. CW -complessi 27

Capitolo II. Fibrati topologici 31

2.1. Prime definizioni 31

2.2. Prodotti 33

2.3. Restrizioni e fibrati indotti 34

2.4. Fibrati localmente banali 35

2.5. Un lemma di trivializzazione 36

2.6. Prolungamento di sezioni 36

2.7. Esempi 37

2.8. Fibrati di Serre 38

2.9. Condizione di Serre forte 42

2.10. Associato di Serre di un fibrato 44

2.11. Successione esatta di omotopia di un fibrato 45

2.12. Esempi 48

Capitolo III. Fibrati topologici con strutture di gruppo 55

3.1. Azioni di gruppo 55

3.2. Gruppi topologici 58

3.3. Azioni continue 68

3.4. Azioni di gruppo su un fibrato 70

3.5. Fibrati di Steenrod e fibrati principali 70

3.6. Un Lemma di trivializzazione 75

3.7. Invarianza omotopica 75

3.8. Fibrati universali 77

3.9. Fibrati di Milnor 80

Capitolo IV. Alcuni spazi omogenei 87

4.1. Variet`a di Stiefel reali 87

4.2. Variet`a di Grassmann reali 89

3

4 INDICE

4.3. Variet`a di Stiefel e di Grassmann complesse 92 4.4. Variet`a di Stiefel e di Grassmann quaternioniche 94

4.5. Variet`a di sottospazi isotropi 97

4.6. Classificazione omotopica dei fibrati principali 98

4.7. Sottospazi Lagrangiani reali 100

4.8. Sottospazi Lagrangiani complessi 101

4.9. Sottospazi proiettivi di una quadrica proiettiva complessa 102

Capitolo V. Fibrati vettoriali 105

5.1. Fibrati vettoriali 105

5.2. Gruppo strutturale 106

5.3. Fibrati vettoriali associati a rappresentazioni lineari 107

5.4. Equivalenza di fibrati vettoriali 108

5.5. Fibrati vettoriali sulle sfere 110

5.6. La propriet`a (S ) 111

5.7. Classificazione omotopica I: base CW 113

5.8. Classificazione omotopica II: base compatta 114

Capitolo VI. Elementi di K-teoria 119

6.1. Addendi banali 119

6.2. Gruppo di K-teoria ed equivalenza stabile 120

6.3. Caratterizzazione omotopica dell’equivalenza stabile 122

6.4. Gruppi si K-teoria relativi 124

6.5. I gruppi K

(B) 128

Parte 2. Algebre di Cli fford 133

Capitolo VII. Campi di vettori sulle sfere 135

7.1. Vettori tangenti unitarii sulle sfere 136

7.2. Moltiplicazione ortogonale 136

Capitolo VIII. Algebre di Cli fford e Spinori 139

8.1. Algebre di Clifford reali 139

8.2. Algebra di Cli fford di uno spazio vettoriale quadratico 145 8.3. Involuzioni, anti-involuzioni e centro dell’algebra di Clifford 149

8.4. Gruppi ortogonali e loro algebre di Lie 151

8.5. Rappresentazione spinoriale dell’algebra ortogonale 153 8.6. Gruppo spinoriale e sua rappresentazione vettoriale 155

8.7. Spinori complessi 162

8.8. Algebre di Clifford reali di segnatura (p, q) 167

8.9. Spinori reali 171

8.10. Applicazione ai campi di vettori tangenti alle sfere 179

8.11. Spinori di Dirac, Weyl, Majorana 179

Capitolo IX. Ottonioni 181

9.1. Richiami sulle algebre 181

9.2. La costruzione di Cayley-Dickson 186

INDICE 5

9.3. Un teorema di Hurwitz 189

9.4. Gli ottonioni 192

9.5. G

193

9.6. Algebre di Jordan, geometria proiettiva ed F

197 Parte 3. Complesso di de Rham e coomologia di ˇ Cech 201 Capitolo X. Forme differenziali negli spazi Euclidei 203

10.1. Forme di fferenziali in R

203

10.2. Pull-back 204

10.3. Di fferenziale di una forma 204

10.4. Il complesso di de Rham 205

10.5. Coomologia di de Rham a supporti compatti 208 10.6. Il grado di un’applicazione propria di R

in s´e 211

10.7. Orientazione e sottovariet`a di R

. 213

10.8. Integrazione sulle sottovariet`a e formule di Stokes 215 Capitolo XI. Calcolo di fferenziale sulle variet`a 221

11.1. Fibrato cotangente e tensori 221

11.2. Forme differenziali su una variet`a 222

11.3. Il lemma di Poincar´e-Volterra sugli intorni contrattili 224

11.4. Derivata di Lie di un tensore 224

11.5. Distribuzioni vettoriali e teorema di Frobenius 227 Capitolo XII. Calcolo differenziale sulle variet`a 231

12.1. Fibrato cotangente e tensori 231

12.2. Forme differenziali su una variet`a 231

12.3. Il lemma di Poincar´e-Volterra sugli intorni contrattili 233

12.4. Derivata di Lie di un tensore 234

12.5. Distribuzioni vettoriali e teorema di Frobenius 236 12.6. Integrabilit`a formale e lemma di Poincar´e-Volterra 241 12.7. Il teorema di Darboux sulle forme canoniche 245 Capitolo XIII. Coomologia di de Rham sulle variet`a 251

13.1. Definizioni prinicipali 251

13.2. Invarianza omotopica 252

13.3. Complessi differenziali 253

13.4. Le successioni di Mayer-Vietoris 256

13.5. Dualit`a di Poincar´e 262

13.6. Grado di un’applicazione 264

13.7. La formula di K¨unnet 265

13.8. Duale di Poincar´e di una sottovariet`a orientata 267

13.9. La propriet`a semi-locale 269

13.10. Coomologia a supporti compatti nelle fibre 273

13.11. Integrazione sulla fibra 273

13.12. Dualit`a di Poincar´e e classe di Thom 275

6 INDICE

13.13. Due propriet`a fondamentali della dualit`a di Poincar´e 276

13.14. Il complesso di deRham twistato 277

Capitolo XIV. Il complesso di ˇ Cech-de Rham 283

14.1. Successione esatta associata ad un ricoprimento 283

14.2. La coomologia di ˇ Cech-de Rham 284

14.3. Una formula di omotopia 288

14.4. La forma di Eulero di un fibrato in sfere orientate 291

14.5. La successione di Gysin 296

14.6. Coomologia delle variet`a di Stiefel complesse e quaternioniche 301

14.7. L’isomorfismo di Thom 302

14.8. Fibrati in sfere associati a fibrati vettoriali 305

14.9. Il numero di Eulero 306

14.10. La caratteristica di Eulero 308

14.11. Caratteristica di Eulero di un complesso 310

Capitolo XV. Fasci e coomologia di Cech 313

15.1. Fasci d’insiemi e morfismi di fasci 313

15.2. Prefasci d’insiemi 315

15.3. Fascio associato ad un prefascio e prefasci canonici 316

15.4. Il fascio immagine diretta 318

15.5. Fasci dotati di struttura algebrica 320

15.6. Morfismi di A -moduli e fasci quozienti 321

15.7. Coomologia di Cech con coe fficienti in un fascio 323

15.8. Il teorema di Serre 326

15.9. Un teorema di algebra omologica 333

15.10. Il teorema di Leray sui ricoprimenti aciclici 338

15.11. Il Teorema di de Rham 342

15.12. Fasci fiacchi 343

Capitolo XVI. Il complesso di Cech-de Rham 349

16.1. Il teorema di de Rham 349

16.2. Prolungamento di sezioni 355

16.3. Fasci molli 356

16.4. Fasci fini 360

16.5. Fasci di fferenziali 360

16.6. Risoluzione d’un fascio 361

16.7. Risoluzione canonica d’un fascio 361

Parte 4. Classi caratteristiche 363

Capitolo XVII. Classi caratteristiche 365

17.1. La classe di Chern di un fibrato in rette complesse 365 17.2. La coomologia degli spazi proiettivi complessi 367

17.3. Le classi di Chern 367

17.4. Propriet`a delle classi di Chern 369

INDICE 7

17.5. Variet`a bandiera e variet`a di Grassmann 372 17.6. Variet`a bandiera di un fibrato vettoriale 372

Appendice: Omotopia 375

Capitolo XVIII. Omotopia 377

18.1. Omotopia libera di applicazioni continue 377

18.2. Equivalenza omotopica di spazi topologici 378

18.3. Spazi topologici contrattili 379

18.4. Omotopia legata. Retratti di deformazione. Omotopia relativa 380

18.5. k-connessione 381

18.6. k-connessione relativa 383

18.7. Propriet`a di omotopia delle sfere 384

18.8. Il teorema del punto fisso di Brouwer 390

Capitolo XIX. Rivestimenti ed omotopia 391

19.1. Azioni di gruppo 391

19.2. Omeomorfismi locali 393

19.3. Rivestimenti 395

19.4. Gruppo del rivestimento 398

19.5. Rivestimenti con gruppo di rivestimento assegnato 400

19.6. Rivestimenti di Galois 401

Capitolo XX. Il teorema di Van Kampen 403

20.1. Prodotto libero di gruppi 403

20.2. Teorema di Van Kampen 404

20.3. Alcuni esempi ed applicazioni 408

Capitolo XXI. CW-complessi 415

21.1. Celle e decomposizioni cellulari 415

21.2. Spazi cellulari 418

21.3. Attaccamenti 424

21.4. Applicazioni cellulari ed attaccamenti di celle 425 21.5. Prolungamenti di fferenziabili di funzioni continue 426

21.6. Approssimazione cellulare 427

21.7. Una propriet`a di omotopia delle coppie cellulari 429

21.8. Cofibrazioni 431

21.9. Alcune propriet`a di omotopia dei CW-complessi 432 21.10. Coppie cellulari k-connesse ed equivalenza omotopica 434 21.11. Gruppi di omotopia degli spazi cellulari di dimensione 1 437 21.12. Gruppo fondamentale di uno spazio cellulare 438

Capitolo XXII. Esercizi e Complementi 439

22.1. Esercizi 439

22.2. Le superfici modello 440

22.3. Gruppo fondamentale delle curve algebriche piane 443

22.4. Esempi di curve piane irriducibili (Esercizi) 447

8 INDICE

22.5. Curve piane riducibili (Esercizi) 447

22.6. Altri esercizi 448

22.7. Variet`a di Stiefel e di Grassmann reali 449

22.8. Variet`a di Stiefel e di Grassmann complesse 454

Appendice: Algebre di Lie 457

Capitolo XXIII. Algebre di Lie 459

23.1. Nozioni fondamentali 459

23.2. Algebre di Lie lineari, derivazioni, rappresentazione aggiunta 460

23.3. Rappresentazioni lineari 463

23.4. Forme invarianti 465

23.5. Automorfismi 466

23.6. Algebre di Lie risolubili 467

23.7. Algebre di Lie semisemplici 468

23.8. Algebre di Lie nilpotenti 468

23.9. Il teorema di Engel 469

23.10. Il Teorema di Lie 471

23.11. Il pi`u grande ideale di nilpotenza di una rappresentazione 474

23.12. Il radicale nilpotente e il nilradicale 475

23.13. Automorfismi speciali 477

Parte 5. Gruppi ed algebre di Lie e spazi omogenei 479

Capitolo XXIV. Gruppi e algebre di Lie 481

24.1. Nozioni fondamentali 481

24.2. Alcune osservazioni sull’applicazione esponenziale 485

24.3. Sottogruppi di Lie 486

24.4. La forma di Maurer-Cartan 487

24.5. Applicazioni a valori in un gruppo di Lie 491

24.6. Omomorfismi di gruppi ed algebre di Lie 492

24.7. Rappresentazioni lineari 493

24.8. Spazi omogenei 493

24.9. Gruppi di Lie di trasformazioni 494

Capitolo XXV. Studio di alcuni gruppi classici 499

25.1. I quaternioni e la struttura di fferenziale di SU(2), SO(3), SO(4) 499 25.2. I gruppi SL

(C), Sp(1, C), SO(3, C), SL

(R), SO(1, 2) 501 25.3. La quadrica di CP

ed alcuni omomorfismi di gruppi

(SL

(C), SO(6, C), SL

(R), SO

(3, 3), SU(4), SO(6)) 503

25.4. I gruppi Sp(2, C), SO(5, C), SO(5) 507

25.5. Rappresentazione spinoriale di alcuni gruppi di Lorentz 508 Capitolo XXVI. Strutture differenziali di alcuni gruppi lineari 515

26.1. La trasformata di Cayley 515

26.2. Alcuni gruppi lineari 517

INDICE 9

26.3. Decomposizione di Cartan 518

26.4. Connessione di alcuni gruppi di matrici 523

26.5. Gruppi GL

(H), SL

(n), Sp(n), U

(2n), SU

(2n) 524

Capitolo XXVII. Gruppi classici compatti 527

27.1. Il gruppo unitario U(n) 527

27.2. Il gruppo speciale unitario SU(n) 528

27.3. I gruppi ortogonali O(n) ed SO(n) 529

27.4. Il gruppo unitario simplettico Sp(n) 531

27.5. Sfere e gruppi compatti 533

27.6. Gruppi di omotopia dei gruppi classici 534

Capitolo XXVIII. Gruppi classici non compatti 539

28.1. La lista dei gruppi classici non compatti 539

28.2. I gruppi U(p, q) e SU(p, q) 541

28.3. I gruppi SO(p, q) 542

28.4. I gruppi Sp(n, C) e SU

(2n) 542

28.5. I gruppi SO(n, C) ed SO

(2n) 543

28.6. I gruppi Sp(p, q; C) 545

Appendice: Complementi di geometria di fferenziale 547

Capitolo XXIX. Il lemma di Morse-Sard 549

29.1. Il caso degli spazi Euclidei 549

29.2. Il teorema di Sard per variet`a differenziabili 554 Capitolo XXX. Teoremi di approssimazione e d’immersione 555

30.1. Il teorema d’immersione di Whitney 555

30.2. Alcuni teoremi di approssimazione per applicazioni di fferenziabili 555

30.3. Il teorema d’immersione di Whitney 559

30.4. Retratti di fferenziabili d’intorno 563

30.5. Alcuni teoremi d’approssimazione 565

Capitolo XXXI. Campi di vettori e spazio tangente 567

31.1. Campi di vettori e curve integrali 567

31.2. Vettori tangenti e fibrato tangente 569

31.3. Differenziale di un’applicazione differenziabile 571 31.4. Alcune osservazioni sul teorema d’immersione di Whitney 571

31.5. Gruppi a un parametro di diffeomorfismi 572

31.6. Inclusioni isotope 574

31.7. Campi completi 575

31.8. Isotopie dello spazio ambiente 577

31.9. k-celle di fferenziabili 579

Capitolo XXXII. Fibrati vettoriali 581

32.1. Fibrati di fferenziabili 581

32.2. Fibrati vettoriali differenziabili 584

10 INDICE

32.3. Morfismi e operazioni di fibrati vettoriali 585

32.4. Fibrati vettoriali e fibrato tangente 587

32.5. Norme differenziabili e strutture Euclidee 589 32.6. Classi di isomorfismo di fibrati vettoriali 589

32.7. Fibrati vettoriali sulle sfere 591

Appendice: Fibrati di fferenziabili 593

Capitolo XXXIII. Fibrati di Steenrod differenziabili 595

33.1. Definizioni principali 595

33.2. Alcuni esempi 596

33.3. Triangolazione delle variet`a differenziabili 597 Capitolo XXXIV. Fibrati principali di fferenziabili 607

34.1. Prime definizioni 607

34.2. L’esempio degli spazi omogenei 609

34.3. Morfismi di fibrati principali 609

34.4. Classificazione dei fibrati principali 612

34.5. Il fibrato dei sistemi di riferimento 614

34.6. Jacobiano di un’applicazione differenziabile 615 34.7. Riduzione del gruppo strutturale e G-strutture 616 34.8. G-strutture su una variet`a differenziabile 618 34.9. Fibrati vettoriali associati a rappresentazioni lineari 618 Appendice

CW complessi e omotopia 623

Capitolo XXXV. CW-complessi 625

35.1. Celle e decomposizioni cellulari 625

35.2. Spazi cellulari 628

35.3. Attaccamenti 634

35.4. Applicazioni cellulari ed attaccamenti di celle 635 35.5. Prolungamenti differenziabili di funzioni continue 636

35.6. Approssimazione cellulare 637

35.7. Una propriet`a di omotopia delle coppie cellulari 639

35.8. Cofibrazioni 641

35.9. Alcune propriet`a di omotopia dei CW-complessi 642 35.10. Coppie cellulari k-connesse ed equivalenza omotopica 644 35.11. Gruppi di omotopia degli spazi cellulari di dimensione 1 647 35.12. Gruppo fondamentale di uno spazio cellulare 648

Capitolo XXXVI. Esercizi e Complementi 649

36.1. Esercizi 649

36.2. Le superfici modello 650

36.3. Gruppo fondamentale delle curve algebriche piane 653

36.4. Esempi di curve piane irriducibili (Esercizi) 657

INDICE 11

36.5. Curve piane riducibili (Esercizi) 657

36.6. Altri esercizi 658

36.7. Variet`a di Stiefel e di Grassmann reali 659

36.8. Variet`a di Stiefel e di Grassmann complesse 664

Capitolo XXXVII. Appendice: Omologia 667

37.1. Notazione 667

37.2. Definizione assiomatica 668

37.3. Prime conseguenze degli assiomi 670

37.4. La formula di K¨unnet 676

37.5. Gruppi di omologia dei complessi cellulari 676 Capitolo XXXVIII. Appendice: Elementi di algebra omologica 681

38.1. Complessi 681

38.2. Complessi di catene 682

38.3. Complessi di cocatene 688

38.4. I funtori Hom e Tor 692

38.5. Relazione con l’omologia singolare 693

Appendice

Complementi sulle connessioni 695

Capitolo XXXIX. Espressioni in coordinate 697

39.1. Espressione in coordinate delle equazioni di struttura 697

39.2. Espressioni locali 699

39.3. Forme e simboli di Christoffel 702

Indice analitico 707

Bibliografia 709

12 INDICE

Testi consigliati

V.A. Rohlin, D.V. Fuks Paqal~ny˘ i kurs topolologii: geometri- qeskie glavy Nauka, Moskba, 1977 [trad. Rohlin-Fuchs, Beginner’s Course in Topology: Geometric Chapters, (Springer series in Soviet mathematics), 1984, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg].

Dale Husemoller, Fibre Bundles, Graduate Texts in Mathematics, 1994, Springer Verlag, Berlin Heidelberg

J.C. Baez, The Octonions, Bulletin of the AMS, vol. 39, N.2, 2002, pp.145-205.

Parte 1

Fibrati topologici

CAPITOLO I

Richiami su spazi cellulari ed omotopia

1.1. Spazi puntati

Definizione 1.1.1. Uno spazio puntato `e uno spazio topologico non vuoto X su cui sia stato fissato un punto base x

. Lo indicheremo come la coppia (X, x

).

1.1.1. Bouquet. Sia {(X

, ¯x

)} una qualsiasi famiglia di spazi puntati. Il pun- to ( ¯x 

) si pu`o considerare in modo naturale come punto base del loro prodotto X

. Per ogni indice j consideriamo la copia di X

passante per il punto base del prodotto: X

= {(x

) ∈ 

X

| x

= ¯x

, ∀i , j}.

Definizione 1.1.2. Chiamiamo bouquet degli spazi puntati {(X

, ¯x

)} il sotto- spazio W(X

, ¯x

) = S X

del prodotto topologico 

X

, con punto base ( ¯x

).

Osservazione 1.1.3. Si verifica che W(X

, ¯x

) `e omeomorfo, in modo naturale, al quoziente dell’unione disgiunta F X

degli X

rispetto all’unione disgiunta

F{ ¯x

}
dei loro punti base.

Indichiamo con (X

, ¯x

) ∨ · · · ∨ (X

, ¯x

) il bouquet di un numero finito di spazi puntati.

1.1.2. Prodotto puntato o smash product.

Definizione 1.1.4. Chiamiamo prodotto puntato, o smash product, o prodotto tensoriale di due spazi puntati (X, x

), ed (Y, y

) il quoziente

(1.1) (X, x

) ∧ (Y, y

) = (X × Y)/((X, x

) ∨ (Y, y

))

del loro prodotto topologico rispetto al loro bouquet. ` E naturale fissare come punto base l’immagine del bouquet.

Quando si possano sottintendere i punti base, scriveremo per semplicit`a X ∧ Y invece di (X, x

) ∧ (Y, y

). Possiamo indicare i punti del prodotto puntato anche come prodotti x ∧ y, con la regola che x ∧ y

= x

∧ y = x

∧ y

, mentre, se x

, x

∈ X \ {x

} ed y

, y

∈ Y \ {y

}, allora x

∧ y

, x

∧ y

e l’uguaglianza x

∧ y

= x

∧ y

`e verificata se e soltanto se x

= x

ed y

= y

.

Osservazione 1.1.5. A meno di omeomorfismi, bouquet e smash product sono operazioni associative e commutative.

Esempio 1.1.6. Consideriamo la sfera S

come sottospazio dello spazio eucli- deo R

, con punto base il primo vettore e

di una base ortonormale fissata. Se n

, . . . , n

sono interi non negativi, allora

S

∧ · · · ∧ S

' S

.

15

16 I. RICHIAMI SU SPAZI CELLULARI ED OMOTOPIA

1.1.3. Coni. Sia X uno spazio topologico. Chiamiamo cono topologico di base X il quoziente:

(1.2) CX = (X × I) / (X × {0}) .

Indichiamo con tx l’immagine di (t, x) in CX. ` E 0x = 0y per ogni x, y ∈ X; indi- chiamo tale punto con 0 e lo diciamo vertice, e lo scegliamo come punto base del cono CX. Per 0 < t ≤ 1, l’applicazione

X 3 x −→ t · x ∈ CX

`e un’immersione topologica.

Per ogni s ∈ [0, 1], l’applicazione CX 3 t · x → (st) · x ∈ CX `e continua.

Proposizione 1.1.7. Se f : X → Y `e un’applicazione continua tra due spazi topologici, allora

(1.3) C f : CX 3 t · x → t · f (x) ∈ CY

`e ancora un’applicazione continua.

Dimostrazione. Abbiamo infatti il diagramma commutativo X × I −−−−−→ Y × I

 

 

 y

 

 

 y CX −−−−−→

CY

in cui le frecce verticali denotano proiezione nel quoziente. L’applicazione f × id

`e continua perch´e prodotto di applicazioni continue. Quindi C f `e continua perch´e ottenuta da un’applicazione continua per passaggio ai quozienti.  Osservazione 1.1.8. Sia A un sottoinsieme di R

e K il sottoinsieme di R

definito da:

K = {(t, tx

, ..., tx

) | 0 ≤ t ≤ 1, (x

, ..., x

) ∈ A}.

L’applicazione

CA 3 t · x → (t, tx) ∈ K

`e continua e bigettiva. La sua inversa `e ovviamente continua in tutti i punti (t, tx) con 0 < t ≤ 1 e x ∈ A. Essa non `e per`o in generale continua nel punto (0, 0):

lo `e nel caso in cui il sottoinsieme A di R

sia chiuso e limitato. La topologia di CA `e quindi in generale pi`u fine di quella indotta dalla topologia euclidea sul corrispondente cono geometrico K.

Esempio 1.1.9. Il cono CS

`e omeomorfo ad disco D

.

L’omeomorfismo `e dato da CS

3 t · x → tx ∈ D

.

1.1. SPAZI PUNTATI 17

1.1.4. Sospensioni. Sia X uno spazio topologico. Definiamo su X × I una relazione di equivalenza ponendo:

(x, t) ∼ (y, s) ⇔



 

 

 

 

 

 

s = t = 0, oppure s = t = 1, oppure 0 < s = t < 1 ed x = y.

Chiamiamo sospensione di X il quoziente topologico S X = (X × I) / ∼ .

Detta π : X × I → S X la proiezione nel quoziente, l’insieme π(X × {1/2}) si dice base di S X. Osserviamo che per ogni 0 < t < 1, l’applicazione

X 3 x → π(x, t) ∈ S X

`e un’immersione topologica. L’applicazione naturale CX → S X `e decomponibile ed S X `e omeomorfo al quoziente che si ottiene identificando a un punto la base del cono CX.

Osservazione 1.1.10. Abbiamo gli omeomorfismi:

S D

' D

ed S S

' S

.

Gli omeomorfismi si ottengono per passaggio al quoziente dalle applicazioni:

D

× I 3 (x, t) → (2 p

t − t

x, 2t − 1) ∈ D

, S

× I 3 (x, t) → (2 p

t − t

x, 2t − 1) ∈ S

.

Possiamo definire per ricorrenza la sospensione k-esima S

X dello spazio to- pologico X ponendo



 



 



S

X = X S

X = S 

S

X 

se k ≥ 1.

1.1.5. Giunti. Siano X ed Y due spazi topologici. Consideriamo sul prodotto cartesiano X × X × I la relazione di equivalenza:

(1.4) (x

, y

, t

) ∼ (x

, y

, t

) ⇔



 

 

 

 

 

 

0 < t

= t

< 1 e x

= x

, y

= y

, oppure s = t = 0 ed x

= x

, oppure

s = t = 1 ed y

= y

. Il quoziente topologico:

X ∗ Y = (X × Y × I)/ ∼

si dice il giunto topologico di X ed Y. Sia π : X × Y × I → X ∗ Y la proiezione nel

quoziente. I sottospazi π(X × Y × {0}) ' X e π(X × Y × {1}) ' Y si dicono basi del

giunto.

18 I. RICHIAMI SU SPAZI CELLULARI ED OMOTOPIA

Lemma 1.1.11. L’applicazione

X × Y × I 3 (x, y, t) → ((1 − t) · x, t · y) ∈ CX × CY definisce per passaggio al quoziente un’immersione topologica

(1.5) α : X ∗ Y → CX × CY.

Dimostrazione. Osserviamo che α(X ∗ Y) `e il sottospazio chiuso Z = {(tx, sy) ∈ CX × CY | s + t = 1} di CX × CY.

Consideriamo le applicazioni continue:

φ : X × Y × I 3 (x, y, t) → (x, 1 − t, y, t) ∈ X × I × Y × I ψ : X × I × Y × I 3 (x, s, y, t) → (x, y, t) ∈ X × Y × I.

L’applicazione composta ψ ◦ φ `e l’identit`a su X × Y × I. Per passaggio ai quozienti otteniamo un diagramma commutativo:

X × Y × I −−−−−→ X × I × Y × I

−−−−−→ X × Y × I

 

 

 y

 

 

 y

 

 

 y X ∗ Y −−−−−→

CX × CY −−−−−→

X ∗ Y

in cui le frecce verticali rappresentano le proiezioni nei quozienti. La β `e continua e la sua restrizione all’immagine di α `e l’inversa dell’abbreviazione di α. Questo

dimostra che α `e un’immersione topologica. 

In modo analogo si verificano gli omeomorfismi:

Lemma 1.1.12. Siano X, Y, Z spazi topologici. Abbiamo allora omeomorfismi naturali:

X ∗ Y ' Y ∗ X,

(X ∗ Y) ∗ Z ' X ∗ (Y ∗ Z) . 

Se (X

)

`e una m-upla di spazi topologici, possiamo definire, utilizzando l’associativit`a dell’operazione di giunto, lo spazio topologico X

∗ ... ∗ X

: esso si identifica in modo canonico al sottospazio

{(t

x

, ..., t

x

) |x

∈ X

, t

∈ I, 1 ≤ i ≤ m; t

+ ... + t

= 1}

del prodotto topologico CX

× · · · × CX

.

Proposizione 1.1.13. Sia (X

)

una m-upla di spazi topologici. Allora C(X

∗ ... ∗ X

) `e omeomorfo a CX

× · · · × CX

.

Dimostrazione. Definiamo un’applicazione continua φ : (X

∗ ... ∗ X

) × I → CX

× · · · × CX

identificando X

∗ ... ∗ X

al sottospazio di CX

× · · · × CX

. formato dalle m-uple (t

x

, ..., t

x

) con x

∈ X

, t

∈ I per i = 1, ..., m e t

+ ... + t

= 1 e ponendo

φ(t

· x

, ..., t

· x

, t) = ((tt

) · x

, ..., (tt

) · x

) .

Il suo quoziente iniettivo `e l’omeomorfismo cercato. 

1.2. GRUPPI DI OMOTOPIA DI UNO SPAZIO PUNTATO 19

Le operazioni di cono e sospensione si possono ricondurre al giunto:

Proposizione 1.1.14. Sia X uno spazio topologico. Abbiamo i seguenti omeo- morfismi:

CX ' D

∗ X, S X ' S

∗ X, S

X ' S

∗ X.

Dimostrazione. Il primo si ottiene per passaggio al quoziente dalla D

× X × I 3 (0, x, t) −→ (x, t) ∈ X × I,

il secondo per passaggio al quoziente e abbreviazione da (qui  = ±1 ∈ S

) S

× X × I 3 (, x, t) −→ (x, (1 + t)/2) ∈ X × I.

Il terzo omeomorfismo si ricava dalla propriet`a associativa del giunto topologico:

S

X ' S

(S X) ' S

(S

∗ X) ' S

(S

∗ S

∗ X) ' · · · ' S

∗ · · · S

| {z }

(k+ 1) volte

∗ X e dal fatto che S

∗ S

' S

per ogni intero j ≥ 0. 

Esempio 1.1.15. Siano m

, ..., m

interi non negativi. Abbiamo gli omeomorfi- smi:

(1) S

∗ S

∗ ... ∗ S

' S

(2) D

× D

× ... × D

' D

(3) D

∗ D

∗ ... ∗ D

' D

.

Basta dimostrare che gli omeomorfismi valgono per n = 2. Quindi la (1) `e stata gi`a verificata. La (2) `e ovvia se m

= 0 od m

= 0. Se m

, m

≥ 1, abbiamo la catena di omeomorfismi:

D

× D

' CS

× CS

' C 

S

∗ S

 ' C 

S



' D

. Anche per la (3) possiamo limitarci a considerare il caso m

, m

≥ 1. Abbiamo:

D

∗ D

' 

CS



∗ C  S



' S

∗ D

∗ S

∗ D

' 

S

∗ S



∗ D

∗ D

' S

∗ D

∗ D

' CS

∗ D

' D

∗ D

' CD

' D

. 1.2. Gruppi di omotopia di uno spazio puntato

Definizione 1.2.1. Chiamiamo n-esimimo gruppo di omotopia dello spazio puntato (X, x

), e indichiamo con π

(X, x

), l’insieme π(S

, e

; X, x

) delle classi di e

-omotopia delle applicazioni continue f : S

→ X tali che f (e

) = x

.

Il gruppo π

(X, x

) si dice anche gruppo fondamentale di X con punto base x

. Se n ≥ 1, possiamo definire su π

(X, x

) una struttura di gruppo. A questo sco- po, `e conveniente utilizzare l’isomorfismo tra π

(X, x

) e π(I

, ∂I

; X, x

) descritto dal seguente:

Lemma 1.2.2. Sia n ≥ 1. Possiamo definire una φ : I

→ S

continua, con le

propriet`a:

20 I. RICHIAMI SU SPAZI CELLULARI ED OMOTOPIA

(i) φ si restringe ad un omeomorfismo di I

\ ∂I

su S

\ {e

};

(ii) φ

(e

) = ∂I

;

(iii) il quoziente iniettivo di φ `e un omeomorfismo di I

/

su S

. Sia (X, x

) uno spazio puntato. L’applicazione

(1.6) φ

: π(S

, e

; X, x

) → π(I

, ∂I

; X, x

)

`e bigettiva.

Dimostrazione. Fissiamo una mappa del disco D

= {kxk ≤ 1} ⊂ R

sulla sfera S

, che trasformi la frontiera S

di D

nel punto e

= (1, 0, . . . , 0) ∈ S

⊂ R

e definisca un omeomorfismo di ˚ D

= {kxk < 1} con S

\ {e

}. Possiamo considerare ad esempio

ψ (x) =



 



 



 2|x| − 1, 2x √

(1/|x|) − 1 , se 0 < |x| ≤ 1,

−e

, se x = 0.

Per passaggio al quoziente iniettivo, la ψ definisce un omeomorfismo di D



Sⁿ⁻¹

su S

, che trasforma S

in e

.

Per ottenere la φ cercata sar`a quindi su fficiente comporre la ψ con un omeo- morfismo τ di I

su D

che trasformi ∂I

in S

.

Poich´e sia la palla chiusa D

che l’ipercubo I

sono convessi n-dimensionali, l’omeomorfismo si pu`o ottenere facendo corrispondere due loro punti interni (ad esempio i centri) e i corrispondenti raggi paralleli da questi punti ai punti del- la frontiera. Possiamo esplicitare l’omeomorfismo utilizzando in R

la norma dell’estremo superiore sulle coordinate:

kxk

= sup

|x

| per x = (x

, . . . , x

) ∈ R

e sia c =

(1, . . . , 1) =

(e

+ · · · + e

). Possiamo allora definire τ : I

→ D

mediante:

τ (x) =



 

 

 



 

 

 

 x − c

kx − ck kx − ck

, se x , c,

0, se x = c.

Allora φ = ψ ◦ τ : I

→ S

`e l’applicazione continua cercata.

Per concludere, basta osservare che l’applicazione

C (S

, e

; X, x

) 3 f → f ◦ φ ∈ C (I

, ∂I

; X, x

)

`e un omeomorfismo per la topologia compatta-aperta.  Definizione 1.2.3. Dati f, g ∈ C (I

, ∂I

; X, x

), con n ≥ 1, definiamo:

(1.7) ( f · g)(s

, . . . , s

) =



 



 



f (2s

, s

, . . . , s

), se 0 ≤ s

≤

, g(2s

− 1, s

, . . . , s

), se

≤ s

≤ 1.

Indicheremo graficamente il prodotto f · g con

f g

1.2. GRUPPI DI OMOTOPIA DI UNO SPAZIO PUNTATO 21

Teorema 1.2.4. Sia (X, x

) uno spazio puntato. Per ogni intero n ≥ 1 l’appli- cazione

(1.8) C (I

, ∂I

; X, x

) × C (I

, ∂I

; X, x

) 3 ( f , g) → f · g ∈ C (I

, ∂I

; X, x

) definisce per passaggio al quoziente un’operazione interna:

(1.9) π

(X, x

) × π

(X, x

) 3 (α, β) → α · β ∈ π

(X, x

)

rispetto alla quale π

(X, x

) `e un gruppo, il cui elemento neutro corrisponde al- l’applicazione costante ˆx

: I

3 s → x

∈ X. Se n ≥ 2, allora π

(X, x

) `e abeliano.

Dimostrazione. Se F, G : I

× I → X sono due ∂I

-omotopie con F(∂I

, t) = G(∂I

, t) = {x

} per ogni 0 ≤ t ≤ 1, allora anche

(F · G)(s; t) =



 



 



F(2s

, s

, . . . , s

; t), se 0 ≤ s

≤

, G(2s

− 1, s

, . . . , s

; t), se

≤ s

≤ 1,

`e una ∂I

-omotopia con F · G(∂I

, t) = {x

} per ogni 0 ≤ t ≤ 1. L’operazione su π

(X, x

) `e perci`o ben definita.

Dimostriamo ora che π

(X, x

) `e un gruppo per n ≥ 1.

a. [ ˆx

] `e l’elemento neutro del prodotto.

Sia f ∈ C (I

, ∂I

; X, x

). Definiamo F

(s; t) =



 



 



x

se 0 ≤ s

≤

f 

1−t

2−t

, s

, . . . , s

 se

≤ s

≤ 1, ed

F

(s; t) =



 



 

 f 

1

2−t

, s

, . . . , s

 se 0 ≤ s

≤

x

se

≤ s

≤ 1.

La prima `e una ∂I

-omotopia tra f e ˆx

· f , la seconda tra f e f · ˆx

: f −

− →

ˆx

f f −

− →

f ˆx

b. Esistenza dell’inversa.

Data f ∈ C (I

, ∂I

; X, x

) definiamo

f ˇ (s) = f (1 − s

, s

, . . . , s

), ∀s = (s

, . . . , s

) ∈ I

.

Dico che f · ˇ f ∼ ˇ f · f ∼ ˆx

in C (I

, ∂I

; X, x

). Osserviamo a questo scopo che F(s; t) =



 



 



f (2ts

, s

, . . . , s

) se 0 ≤ s

≤

f (2t(1 − s

), s

, . . . , s

) se

≤ s

≤ 1

`e un’omotopia tra ˆx

ed f · ˇ f . Chiaramente la F(1 − s

, s

, . . . , s

; t) `e allora un’omotopia tra ˆx

ed ˇ f · f perch´e ˇˇ f = f .

c. Il prodotto `e associativo.

22 I. RICHIAMI SU SPAZI CELLULARI ED OMOTOPIA

L’associativit`a segue dallo schema:

f g h −−→

f g h

con

F(s; t) =



 

 

 

 

 

 

f (2(1 + t)s

, s

, . . . , s

) se 0 ≤ s

≤

g 

2s

−

, s

, . . . , s

 se

≤ s

≤

h 

1−(3+2t)

1+2t

, s

, . . . , s

 se

≤ s

≤ 1.

d. Il prodotto `e commutativo per n ≥ 2.

La dimostrazione della commutativit`a del prodotto per n ≥ 2 segue dallo schema:

f g − −

→

f ˆx

ˆx

g

F₂

− − → f g

F₃

− − → ˆx

f g ˆx

F₄

− − → g f Le omotopie sono descritte analiticamente da:

F

(s; t) =



 

 

 

 



 

 

 

 



x

, se 0 ≤ s

≤ 1/2, 0 ≤ s

≤ t/2,

f (2s

,

, s

, . . . , s

), se 0 ≤ s

≤ 1/2, t/2 ≤ s

≤ 1, g(2s

− 1, (1 + t)s

, s

, . . . , s

), se 1/2 ≤ s

≤ 1, 0 ≤ s

≤

,

x

, se 1/2 ≤ s

≤ 1,

≤ s

≤ 1;

F

(s, t) =



 

 

 

 



 

 

 

 



x

, se 0 ≤ s

≤

, 0 ≤ s

≤

, g(

, 2s

, s

, . . . , s

), se

≤ s

≤ 1, 0 ≤ s

≤

,

f ((2 − t)s

, 2s

− 1, s

, . . . , s

), se 0 ≤ s

≤

, 1/2 ≤ s

≤ 1,

x

, se

≤ s

≤ 1, 1/2 ≤ s

≤ 1;

F

(s) =



 

 

 

 



 

 

 

 



g((1 + t)s

, 2s

, s

, . . . , s

), se 0 ≤ s

≤

, 0 ≤ s

≤

,

x

, se

≤ s

≤ 1, 0 ≤ s

≤ 12,

x

, se 0 ≤ s

≤

,

≤ s

≤ 1,

f (

, 2s

− 1, s

, . . . , s

), se

≤ s

≤ 1,

≤ s

≤ 1 ;

F

(s) =



 

 

 

 



 

 

 

 



g(2s

, (2 − t)s

, s

, . . . , s

), se 0 ≤ s

≤

, 0 ≤ s

≤

, x

, se 0 ≤ s

≤

,

≤ s

≤ 1, x

, se

≤ s

≤ 1, 0 ≤ s

≤

, f (2s

− 1,

, s

, . . . , s

), se

≤ s

≤ 1,

≤ s

≤ 1 .

 Ricordiamo che un gruppo topologico `e uno spazio topologico G su cui `e definita un’operazione di gruppo per cui l’applicazione

G × G 3 (a, b) −→ a

b ∈ G

sia continua. Quando calcoliamo i gruppi di omotopia di un gruppo topologico, `e

conveniente scegliere la sua identit`a come punto base.

1.3. CAMBIAMENTO DEL PUNTO DI BASE E AZIONE DEL GRUPPO FONDAMENTALE 23

Teorema 1.2.5. Il gruppo fondamentale π

(G, e) di un gruppo topologico G `e abeliano.

Dimostrazione. Dati due laccetti α, β ∈ C (I, {0, 1}; G, e), l’applicazione I × I 3 (s, t) −→ φ(s, t) = α(s) · β(t) ∈ G

`e continua. Consideriamo i due cammini che congiungono il vertice (0, 0) al vertice (1, 1) del quadrato I × I:

γ

(t) =



 



 



(2t, 0), se 0 ≤ t ≤

,

(1, 2t − 1), se

≤ t ≤ 1, γ

(t) =



 



 



(0, 2t), se 0 ≤ t ≤

, (2t − 1, 0), se

≤ t ≤ 1.

Poich´e

(α · β)(s) = φ ◦ γ

(s), (β · α)(s) = φ ◦ γ

(s),

l’omotopia del quadrato che sovrappone γ

a γ

ci fornisce per composizione un’omotopia tra α · β e β · α. L’applicazione

I × I 3 (s, t) → F(s; t) = φ(tγ

(s) + (1 − t)γ

(s)) ∈ G

`e un’omotopia tra α · β e β · α. 

Osservazione 1.2.6. Se X `e uno spazio topologico, x

∈ X ed Y la compo- nente connessa per archi di X contenente x

, allora π

(X, x

) = π

(Y, x

) per ogni n ≥ 1, mentre l’insieme π

(X, x

) `e in corrispondenza biunivoca con le componenti connesse per archi di X.

1.3. Cambiamento del punto di base e azione del gruppo fondamentale In uno spazio topologico connesso per archi i gruppi di omotopia sono, a meno di isomorfismi, indipendenti dalla scelta del punto base.

Sia X uno spazio topologico ed α : I → X un cammino continuo, di estremi x

= α(0) ed x

= α(1).

Ad esso assoceremo un’applicazione α

: π

(X, x

) → π

(X, x

). Per definirla,

`e conveniente utilizzare le identificazioni:

π

(X, x

) ' π(D

, S

; X, x

) e π

(X, x

) ' π(D

, S

; X, x

).

La α

si ottiene allora per passaggio al quoziente dall’applicazione α∗ : C (D

, S

; X, x

) → C (D

, S

; X, x

) (1.10)

definita da:

α ∗ f =



 



 



f (2x) se |x| ≤

α(2|x| − 1) se

≤ |x| ≤ 1.

(1.11)

Chiaramente possiamo definire applicazioni

α∗ : C (I

, ∂I

; X, x

) → C (I

, ∂I

; X, x

) ed

α∗ : C (S

, e

; X, x

) → C (S

, e

; X, x

)

24 I. RICHIAMI SU SPAZI CELLULARI ED OMOTOPIA

utilizzando le composizioni con gli omeomorfismi canonici C (I

, ∂I

; X, x

) −−−−−→

C (I

, ∂I

; X, x

)

∼

 

 

 y

x

 

 



∼

C (D

, S

; X, x

) −−−−−→

C (D

, S

; X, x

)

∼

x

 

 



 

 

 y

∼

C (S

, e

; X, x

) −−−−−→

C (S

, e

; X, x

).

Teorema 1.3.1. L’applicazione (1.10) definisce per passaggio al quoziente un isomorfismo

(1.12) α

: π

(X, x

) → π

(X, x

).

Dimostrazione. Si verifica infatti che ˇα∗, con ˇα(t) = α(1 − t) cammino inverso

di α, `e l’applicazione inversa di α

. 

Osservazione 1.3.2. In particolare, se α, β ∈ C (I, {0, 1}; X, x

),

(α ∗ β)(s) =



 

 

 

 

 

 

α(4s), se 0 ≤ s ≤

, β([4s − 1]/2), se

≤ s ≤

, α(4s − 3), se

≤ s ≤ 1.

Quindi α ∗ β `e omotopa ad α · β · ˇ α (dove ˇα(t) = α(1 − t) `e il cammino inverso di α).

Otteniamo quindi il seguente:

Teorema 1.3.3. Sia (X, x

) uno spazio puntato. Per ogni intero n ≥ 1 l’appli- cazione:

(1.13)

C (I, {0, 1}; X, x

) × C (D

, S

; X, x

) 3 (α, f ) → α ∗ f ∈ C (D

, S

; X, x

) definisce per passaggio al quoziente un’azione di gruppo:

(1.14) π

(X, x

) × π

(X, x

) 3 ([α], [ f ]) → [α ∗ f ] ∈ π

(X, x

)

del gruppo fondamentale π

(X, x

) sull’n-esimo gruppo di omotopia π

(X, x

).

Per n = 1 tale azione coincide con l’inversa della rappresentazione aggiunta.

 Definizione 1.3.4. Una coppia topologica (B, A) ha la propriet`a di estensione dell’omotopia se, per ogni spazio topologico X, ogni omotopia ˜ f

∈ C (A × I, X) della restrizione ad A di un’applicazione f ∈ C (B, X) si estende ad un’omotopia

f ∈ ˜ C (B × I, X) di f.

1.4. Propriet`a dell’estensione e cofibrazioni

A volte `e utile interpretare l’omotopia utilizzando applicazioni a valori in spa-

zi di funzioni. Ricordiamo che, per applicazioni definite su un prodotto, vale il

seguente lemma.

1.4. PROPRIET `A DELL’ESTENSIONE E COFIBRAZIONI 25

Lemma 1.4.1. Siano B, Y, X spazi topologici e φ : B × Y → X un’applicazione.

Definiamo ˇ φ : B → X

mediante

φ ˇ (b)(y) = φ(b, y), ∀b ∈ B, ∀y ∈ Y.

Allora:

(1) Se φ `e continua, allora ˇ φ (b) `e continua per ogni b ∈ B e l’applicazione φ ˇ : B → C (Y, X) `e continua per la topologia compatta-aperta di C (Y, X).

(2) Viceversa, se Y `e localmente compatto e ˇ φ : B → C (Y, X) `e continua per la topologia compatta-aperta di C (Y, X), allora φ `e continua.

Dimostrazione. Indichiamo con pr

e pr

le proiezioni del prodotto cartesiano B × Y sulle coordinate.

(1) Se U `e un aperto di X e b ∈ B, allora [ ˇ φ (b)]

(U) = pr

 φ

(U) ∩ pr

(b) 

`e aperto perch´e pr

si restringe ad un omeomorfismo di pr

(b) su Y ed, essendo φ

(U) aperto in quanto φ `e continua, φ

(U) ∩ pr

(b) `e un aperto di pr

(b).

Quindi ˇ φ `e un’applicazione di B in C (Y, X). La famiglia degli insiemi W(K, U) = { f ∈ C (Y, X) | f (K) ⊂ U}, al variare di K tra i compatti di Y e di U tra gli aper- ti di X `e una prebase degli aperti di C (Y, X). `E quindi sufficiente verificare che φ ˇ

(W(K, U)) `e aperto in B se K `e un compatto di Y ed U un aperto di X. Sia b

∈ ˇ φ

(W(K, U)). Poich´e abbiamo supposto che φ fosse continua, per ogni y ∈ K possiamo trovare un intorno aperto ω

di b

in B ed un intorno aperto V

di y in Y tali che φ(ω

× V

) ⊂ U. Per la compattezza di K, possiamo trovare un numero fi- nito di punti y

, . . . , y

di K tali che K ⊂ S

i=1

V

. Allora ω = T

ω

`e un intorno aperto di b

in B e ˇ φ (ω) ⊂ W(K, U). Questo completa la verifica del punto (1).

(2) Supponiamo ora che Y sia localmente compatto e ˇ φ sia continua. Siano b

∈ B, y

∈ Y ed U un qualsiasi intorno aperto di x

= φ(b

, y

) in X. Poich´e ˇ φ (b

) `e continua, possiamo trovare un intorno compatto K di y

in Y tale che

φ ˇ (b

)(K) = φ({b

} × K) ⊂ U.

Poich´e ˇ φ `e continua per la topologica compatta-aperta di C (Y, X), possiamo allora trovare un intorno aperto ω di b

in B tale che ˇ φ (ω) ⊂ W(K, U). Questo equivale a φ (ω × K) ⊂ U. Quindi ω × K `e un intorno di (b

, y

) la cui immagine mediante φ `e contenuta in U. Questo argomento prova che φ ∈ C (B × Y, X) e completa quindi la

dimostrazione del Lemma. 

Corollario 1.4.2. Se B, X sono due qualsiasi spazi topologici, allora una f ∈ C (B × I, X) `e un’omotopia di applicazioni continue di B in X se e soltanto se ˇ f ∈ C (X, C (I, X)) `e un’applicazione continua di B nello spazio degli archi di X.

Se B `e localmente compatto, le omotopie di applicazioni continue di B in X

sono gli archi dello spazio C (B, X). 

Definizione 1.4.3. Una coppia topologica (B, A) ha la propriet`a di estensione dell’omotopia se, per ogni spazio topologico X, ogni omotopia ˜ f

∈ C (A × I, X) della restrizione ad A di un’applicazione f ∈ C (B, X) si estende ad un’omotopia

f ∈ ˜ C (B × I, X) di f.

26 I. RICHIAMI SU SPAZI CELLULARI ED OMOTOPIA

Identificando le omotopie di applicazioni a valori in X alle corrispondenti ap- plicazioni nello spazio degli archi di X, la propriet`a di estensione dell’omotopia si pu`o sintetizzare con il diagramma commutativo:

A



f˜_A

//

C (I, X)

val0



B

f˜xx ;;x xx

X

Lemma 1.4.4. Per ogni n ≥ 1, la coppia (D

, S

) ha la propriet`a di estensione dell’omotopia.

Dimostrazione. Siano X uno spazio topologico ed f : S

× I → X un’omo- topia della restrizione ad S

di un’applicazione continua φ : D

→ X. L’applica- zione

Φ(x, t) =



 



 



φ (x), se kxk ≤ 1, t = 0, f (x, t), se kxk = 1, 0 ≤ t ≤ 1,

`e continua a valori in X, definita sulla superficie Σ = (D

× 0) ∪ (S

× I) del cilindro D

× I , privata dei punti interni della base superiore. Osserviamo che Σ `e un retratto di D

× I. Possiamo costruire la retrazione ρ : D

× I → Σ, ad esempio, considerando per ogni (x, t) ∈ (D

× I), il punto ρ(x, t) in cui la semiretta

{(1 − τ)(0, 2) + τ · (x, t) | τ ≥ 0}

interseca Σ. Possiamo cio`e definire

ρ (x, t) =



 

 

 

 



 

 

 

 

 2 2 − t x, 0

!

, se 0 ≤ t ≤ 1, kxk ≤ (2 − t)/2, x

kxk , 2 − 2 − t kxk

!

, se 0 ≤ t ≤ 1, (2 − t)/2 ≤ kxk ≤ 1.

La Φ(ρ(x, t)) definisce l’omotopia cercata. 

Definizione 1.4.5. Una φ ∈ C (A, B) si dice una cofibrazione se per ogni spa- zio topologico X, per ogni applicazione continua f ∈ C (B, X), ed ogni omotopia

˜g ∈ C (A × I, X) di g = f ◦ φ, vi `e un’omotopia ˜f ∈ C (B × I, X) di f per cui sia

˜g(a, t) = ˜f(φ(a), t), per ogni a ∈ A e t ∈ I.

La cofibrazione φ : A → B si pu`o rappresentare con il diagramma commutati- vo:

A

φ

˜g //

C (I, X)

val0



B

f^f˜ //

x ;;x xx

x

X

In particolare, la propriet`a di estensione dell’omotopia di una coppia (B, A) si

pu`o riformulare richiedendo che l’inclusione A ,→ B sia una cofibrazione.

1.5. CW-COMPLESSI 27

Siano A, B, Y spazi topologici e φ ∈ C (A, B), ψ ∈ C (A, Y) due applicazioni continue. Possiamo incollare Y a B mediante ψ ponendo

Y ∪

B = (Y t B)/ ∼, con ψ(a) ∼ φ(a) se a ∈ A.

Abbiamo un’applicazione naturale, iniettiva e continua, ˆ φ : Y → Y ∪

B, che si ottiene componendo l’inclusione naturale di Y in Y t B con la proiezione nel quoziente.

Lemma 1.4.6. Se φ ∈ C (A, B) `e una cofibrazione, anche ˆφ ∈ C (Y, Y ∪

B) `e

una cofibrazione. 

1.5. CW-complessi

Indichiamo con D

la palla unitaria chiusa k-dimensionale D

= {kxk ≤ 1} ⊂ R

e con S

= {kxk = 1} la sua frontiera in R

.

Sia M uno spazio topologico. Una cella di dimensione k > 0 di M `e il dato di un sottoinsieme e di M e di un’applicazione continua φ

: D

→ M la cui restrizio- ne alla parte interna di D

definisca un omeomorfismo di ˚ D

su e con la topologia di sottospazio. La φ

si dice funzione caratteristica della cella e . Chiamiamo ¯ e la cella chiusa e ∂ e = φ

(S

) la frontiera di e e l’intero k dimensione della cella.

I singoletti chiusi {p} di M, con la funzione caratteristica D

3 0 → p ∈ {p}, sono le sue celle (aperte e chiuse) di dimensione zero, che consideriamo con frontiera vuota. Quando ci`o non comporti confusione, identificheremo la cella ( e , φ

) con il suo supporto e e scriveremo anche p invece di {p} per una cella di dimensione zero.

Una partizione in celle di M `e un ricoprimento K di M mediante celle (aperte) tale che, per ogni e ∈ K , la frontiera ∂ <sup>e</sup> sia contenuta in un’unione di celle di K di dimensioni pi`u piccole.

Definiamo CW-complesso uno spazio di Hausdor ff M su cui sia assegnata una partizione in celle K con le propriet`a:

(C) ogni cella chiusa interseca un numero finito di celle;

(W) K = {¯ ^e | e ∈ K } `e un ricoprimento fondamentale

di M.

Indichiamo con K

ed K

, rispettivamente, l’insieme delle celle di dimensione k di K e delle celle di dimensione ≤ k di K . L’unione ^S

(M) = S K

delle celle di dimensione minore o uguale di k si dice scheletro di dimensione k di M.

L’estremo superiore dell’insieme degli interi non negativi k per cui K

, ∅ si dice la dimensione di M.

Per semplificare la scrittura, indicheremo di norma con la sola lettera M il CW-complesso (M, K ) e con M

il suo scheletro k-dimensionale S

(M).

Un CW-complesso M `e localmente finito se ogni punto di M ha un intorno aperto che interseca un numero finito di celle. Questo equivale al fatto che ogni cella intersechi soltanto un numero finito di celle chiuse.

Un CW-complesso M `e compatto se e soltanto se la sua partizione in celle K

`e finita.

1Ci`o significa che un sottoinsieme A di M `e chiuso se e soltanto se A ∩ ¯e `e chiuso per ogni e∈K .

28 I. RICHIAMI SU SPAZI CELLULARI ED OMOTOPIA

Un CW-complesso M `e connesso se e soltanto se il suo scheletro 1-dimensiona- le M

`e connesso. Pi`u in generale, se p

∈ M `e una cella di dimensione 0, abbiamo

π

(M, p

) = π

(M

, p

) per ogni intero q ≥ 0.

Ricordiamo che uno spazio topologico M `e m-connesso

se, per ogni intero k con 0 ≤ k ≤ m, ogni f ∈ C (S

, M) `e omotopa ad un’applicazione costante.

Una coppia topologica (M, A) `e m-connessa se, per ogni intero k con 0 ≤ k ≤ m, ogni applicazione continua f ∈ C (D

, S

; M, A) `e omotopa ad un’applicazione costante. Vale la

Proposizione 1.5.1. Ogni applicazione f ∈ C (M, N) di un CW-complesso M di dimensione minore o uguale ad m in uno spazio topologico m-connesso N `e omotopa ad un’applicazione costante.

Sia A un sotto-CW-complesso di un CW-complesso M ed f ∈ C (M, A; N, B) un’applicazione a valori in una coppia m-connessa. Se tutte le celle contenute in M \ A hanno dimensione minore o uguale ad m, allora f `e A-omotopa

ad

un’applicazione a valori in B. 

1.5.1. Spazi cellulari relativi. Sia (B, A) una coppia topologica

. Una cella (aperta) di dimensione k > 0 di (B, A) `e un sottospazio e

di B \ A, omeomorfo a D ˚

mediante un’applicazione continua φ : D

→ B. Una cella di diemensione 0 di (B, A) `e semplicemente una cella di dimensione zero di B \ A.

Chiamiamo partizione cellulare relativa di (B, A) una partizione in celle K di B \ A, tale che, per ogni e

∈ K di dimensione k > 0 e funzione caratteristica φ ∈ C (D

, B), la frontiera ∂ e

= φ(S

) sia unione di e

∩ A e di un numero finito di celle di K di dimensione minore di k.

Sia K una partizione cellulare relativa di (B, A). Diciamo che (B, A; K ) `e uno spazio cellulare relativo, o un CW-complesso relativo se:

(H) B/A `e di Hausdor ff (in particolare, A `e chiuso in B);

(C) la chiusura di ogni cella di K interseca solo un numero finito di celle chiuse di K ;

(W) {A} ∪ { e

| e

∈ K } `e un ricoprimento fondamentale di B.

In modo equivalente, possiamo richiedere che il quoziente B/A, ottenuto identifi- cando ad un punto il sottoinsieme A di B, sia uno spazio cellulare, in cui l’immagine di A sia una cella di dimensione 0. Chiamiamo dimensione di (B, A; K ) l’estremo superiore, finito o infinito, delle dimensioni delle celle di K .

Una coppia cellulare `e in modo naturale anche una coppia cellulare relativa.

Proposizione 1.5.2. Sia (B, A; K ) uno spazio cellulare relativo ed X uno spa- zio topologico k-connesso per ogni k ≤ dim(B, A; K ). Allora ogni applicazione continua f : A → X si estende ad un’applicazione continua ˜ f : B → X.

2Per richiami sui gruppi di omotopia vedi il Cap. ?? di queste note.

3Conveniamo che un qualsiasi spazio topologico non vuoto sia (−1)-connesso.

4Esiste cio`e una ˜f = { ft} ∈C (M × [0, 1], N) tale che f0 = f , f1(M) ⊂ B ed ft(p)= f0(p) per ogni p ∈ A ed ogni t ∈ [0, 1].

5Ci`o significa che B `e uno spazio ed A un suo sottospazio topologico.