Lezioni sui Fibrati
(a.a. 2018 /19)
Mauro Nacinovich
Indice
Parte 1. Nozioni topologiche 11
Capitolo I. Fibrati topologici 13
1.1. Prime definizioni 13
1.2. Prodotti 15
1.3. Restrizioni e fibrati indotti 16
1.4. Fibrati localmente banali 16
1.5. Un lemma di trivializzazione 18
1.6. Prolungamento di sezioni 18
1.7. Esempi 19
1.8. Fibrati di Serre 20
1.9. Condizione di Serre forte 24
1.10. Associato di Serre di un fibrato 26
1.11. Successione esatta di omotopia di un fibrato 27
1.12. Esempi 30
Capitolo II. Fibrati topologici con strutture di gruppo 37
2.1. Azioni di gruppo 37
2.2. Gruppi topologici 40
2.3. Azioni continue 50
2.4. Azioni di gruppo su un fibrato 52
2.5. Fibrati di Steenrod e fibrati principali 52
2.6. Un Lemma di trivializzazione 57
2.7. Invarianza omotopica 57
2.8. Fibrati universali 59
2.9. Fibrati di Milnor 62
Capitolo III. Alcuni spazi omogenei 69
3.1. Variet`a di Stiefel reali 69
3.2. Variet`a di Grassmann reali 71
3.3. Variet`a di Stiefel e di Grassmann complesse 74 3.4. Variet`a di Stiefel e di Grassmann quaternioniche 76
3.5. Variet`a di sottospazi isotropi 79
3.6. Classificazione omotopica dei fibrati principali 80
3.7. Sottospazi Lagrangiani reali 82
3.8. Sottospazi Lagrangiani complessi 83
3.9. Sottospazi proiettivi di una quadrica proiettiva complessa 84
3
Capitolo IV. Fibrati vettoriali 87
4.1. Fibrati vettoriali 87
4.2. Gruppo strutturale 88
4.3. Fibrati vettoriali associati a rappresentazioni lineari 89
4.4. Equivalenza di fibrati vettoriali 90
4.5. Fibrati vettoriali sulle sfere 92
4.6. La propriet`a (S ) 93
4.7. Classificazione omotopica I: base CW 95
4.8. Classificazione omotopica II: base compatta 96
Capitolo V. Elementi di K-teoria 101
5.1. Addendi banali 101
5.2. Gruppo di K-teoria ed equivalenza stabile 102
5.3. Caratterizzazione omotopica dell’equivalenza stabile 104
5.4. Gruppi si K-teoria relativi 106
5.5. I gruppiKK−1(B) 109
Parte 2. Connessioni principali 115
Capitolo VI. Fibrati principali differenziabili 117
6.1. Prime definizioni 117
6.2. La distribuzione verticale 118
6.3. Morfismi di fibrati principali 120
6.4. Classificazione dei fibrati principali 121
6.5. Il fibrato dei sistemi di riferimento 123
6.6. Fibrati vettoriali associati a rappresentazioni lineari 124 6.7. Riduzione del gruppo strutturale e G-strutture 125 6.8. G-strutture su una variet`a differenziabile 126
6.9. Forme tensoriali e pseudotensoriali 127
Capitolo VII. Connessioni principali 131
7.1. Il concetto di connessione principale 131
7.2. Pullback di una connessione principale 133
7.3. Forme di Christoffel ed equazioni di gauge 133 7.4. Sollevamento orizzontale di campi di vettori 135 7.5. Sollevamento orizzontale di cammini e trasporto parallelo 136
7.6. Il gruppo di olonomia 138
Capitolo VIII. Differenziazione covariante e curvatura 141
8.1. Differenziazione covariante 141
8.2. Espressione locale del differenziale covariante 144 8.3. Forma di curvatura ed equazioni di struttura 145
8.4. Connessioni piatte 146
8.5. La famiglia delle connessioni principali 147
8.6. Fibrato degli endomorfismi e rappresentazione aggiunta 147
8.7. Tensore di curvatura 148
INDICE 5
8.8. Trasporto parallelo di vettori 150
8.9. Differenziazione covariante secondo Koszul 151
8.10. Il Teorema di Ambrose-Singer 152
8.11. L’olonomia infinitesima 153
Capitolo IX. Connessioni principali invarianti 155
9.1. Automorfismi di un fibrato principale 155
9.2. Automorfismi di una connessione principale 156 9.3. Connessioni invarianti su uno spazio omogeneo 158 9.4. Connessioni invarianti su uno spazio riduttivo 159
9.5. Olonomia di una connessione invariante 160
Capitolo X. Variet`a affini e riemanniane 161
10.1. Connessioni lineari e variet`a affini 161
10.2. Forme di torsione e di curvatura 163
10.3. Derivazione covariante, tensori di torsione e di curvatura 164
10.4. Le identit`a algebriche di Bianchi 167
10.5. Interpretazione geometrica della torsione e della curvatura 168 10.6. Derivata covariante lungo una curva e parallelismo 169
10.7. Geodetiche 171
10.8. Esistenza di connessioni simmetriche 173
10.9. Metriche (pseudo-)riemanniane e connessione di Levi-Civita 174
10.10. Esempi 176
10.11. Estensione della metrica ai fibrati tensoriali 179 10.12. Tensore di curvatura di una variet`a pseudo-riemanniana 180 10.13. Connessioni principali su variet`a dotate di una connessione lineare 181 Capitolo XI. Applicazione esponenziale e campi di Jacobi 185
11.1. L’applicazione esponenziale 185
11.2. Intorni normali ed intorni convessi 186
11.3. Definizione dei campi di Jacobi 188
11.4. Campi di Jacobi su una variet`a Riemanniana 191
11.5. Punti coniugati 194
Capitolo XII. Tensore di curvatura 197
12.1. Propriet`a del tensore di curvatura 197
12.2. Curvatura sezionale 198
12.3. Il tensore di Ricci 199
12.4. Un Teorema di Myers 201
12.5. Curvatura scalare 202
12.6. Metriche di Einstein 203
Capitolo XIII. Connessioni lineari invarianti 205
13.1. Rappresentazione lineare d’isotropia 205
13.2. Connessioni canoniche sugli spazi riduttivi 208
13.3. Connessioni di Cartan-Shauten 212
13.4. Caratterizzazione della connessione canonica 215
13.5. Spazi affini simmetrici 216 Capitolo XIV. Propriet`a metriche delle variet`a Riemanniane 225
14.1. Geodetiche e distanza Riemanniana 225
14.2. Il funzionale dell’energia 227
14.3. Variet`a di Riemann compatte 227
14.4. Il teorema di Hopf-Rinow 228
14.5. Variet`a Riemanniane con curvatura sezionale negativa 231
14.6. Un teorema di Bochner 238
Capitolo XV. Gruppi di trasformazioni 241
15.1. Isometrie di uno spazio metrico 241
15.2. Un teorema di Bochner-Montgomery 244
15.3. Alcuni risultati sui gruppi di trasformazioni 248
15.4. Parallelismo assoluto 251
Capitolo XVI. Trasformazioni e decomposizione di de Rham 255
16.1. Applicazioni affini 255
16.2. Sottovariet`a affini 256
16.3. Variet`a totalmente geodetiche 257
16.4. Trasformazioni affini 258
16.5. Affinit`a infinitesime 259
16.6. Isometrie di una variet`a Riemanniana 262
16.7. Campi di Killing 264
16.8. Riducibilit`a 265
16.9. Decomponibilit`a e teorema di de Rham 267
Capitolo XVII. Immersioni, isometrie, campi di Killing 271
17.1. Immersioni pseudo-Riemanniane 271
17.2. Propriet`a algebriche del tensore di curvatura 277
17.3. La curvatura sezionale 280
Capitolo XVIII. Operatori differenziali sulle variet`a Riemanniane 283
18.1. Elemento di volume ed operatore di Hodge 283
18.2. Codifferenziale, operatore di Lapleace-Beltrami, divergenza 284 18.3. Co-differenziazione covariante di forme differenziali 288
18.4. Divergenza di tensori simmetrici 290
18.5. L’operatore di Laplace-Beltrami 293
18.6. Il Laplaciano naturale 296
18.7. Il Laplaciano di Lichnerowicz 297
18.8. Laplaciano sulle forme differenziali alternate 299
Capitolo XIX. Metriche invarianti 303
19.1. Metriche pseudo-Riemanniane su spazi omogenei 303 19.2. La connessione di Levi-Civita sugli spazi omogenei 304
Capitolo XX. Spazi simmetrici 307
INDICE 7
20.1. Spazi affini localmente simmetrici 307
20.2. Alcuni risultati sui gruppi di trasformazioni 309
20.3. Automorfismi affini e isometrie 314
20.4. Spazi Riemanniani globalmente simmetrici 320
20.5. Coppie simmetriche e simmetriche Riemanniane 323
Capitolo XXI. Mappa momento 327
21.1. Variet`a simplettiche 327
21.2. Campi simplettici e hamiltoniani 328
21.3. Definizione della mappa momento 330
21.4. Gruppi di coomologia delle algebre di Lie 332
Parte 3. Algebre di Clifford 335
Capitolo XXII. Campi di vettori sulle sfere 337
22.1. Vettori tangenti unitarii sulle sfere 338
22.2. Moltiplicazione ortogonale 338
Capitolo XXIII. Algebre 341
23.1. Prime definizioni 341
23.2. Algebre artiniane e noetheriane 341
23.3. Prodotto tensoriale 343
23.4. Centro 344
23.5. Gruppo delle unit`a 344
23.6. A-moduli 345
23.7. Algebre semisemplici 352
23.8. Algebre semplici 352
23.9. Algebre semplici centrali di dimensione finita 356
23.10. Algebre graduate e superalgebre 360
Capitolo XXIV. Algebre di Clifford 361
24.1. Algebre di Clifford associate al prodotto scalare reale 361 24.2. Algebre di Clifford di spazi vettoriali quadratici 368 24.3. Propriet`a generali delle algebre di Clifford 372
24.4. Algebre di Clifford di spazi split 376
24.5. Spazi quadratici reali di segnatura (p, q) 381
24.6. SottoalgebreC`0(Rp,q) 385
Capitolo XXV. Gruppi ortogonali e spinoriali 387
25.1. Gruppi ortogonali e loro algebre di Lie 387
25.2. Rappresentazioni spinoriali dell’algebra ortogonale 390
25.3. Antinvoluzioni canoniche 393
25.4. Gruppi spinoriali e loro rappresentazione vettoriale 394
25.5. Rappresentazione spinoriale 398
25.6. Forme bilineari invarianti 399
25.7. Prodotto vettore di spinori 404
25.8. Gruppi spinoriali e gruppi classici 405
Capitolo XXVI. Spinori reali e complessi 409
26.1. Spinori degli spazi split 410
Dimensione dispari 410
Dimensione pari 414
Tabella riassuntiva delle rappresentazioni spinoriali split 417
26.2. Spinori degli spazi quadratici reali 420
26.3. Forma bilineare canonica sugli spinori reali 421
26.4. Prodotto vettore di spinori reali 422
26.5. Appendice: Forme bilineari su C e su H 423
26.6. Rappresentazione mediante diagrammi di Satake 429
Capitolo XXVII. Ottonioni 433
27.1. Richiami sulle algebre 433
27.2. La costruzione di Cayley-Dickson 438
27.3. Un teorema di Hurwitz 441
27.4. Gli ottonioni 444
27.5. G2 445
27.6. Algebre di Jordan, geometria proiettiva ed F4 449 Parte 4. Appendice
Gruppi ed algebre di Lie 453
Capitolo XXVIII. Algebre di Lie 455
28.1. Nozioni fondamentali 455
28.2. Algebre di Lie lineari, derivazioni, rappresentazione aggiunta 456
28.3. Rappresentazioni lineari 459
28.4. Forme invarianti 461
28.5. Automorfismi 462
28.6. Algebre di Lie risolubili 463
28.7. Algebre di Lie semisemplici 464
28.8. Algebre di Lie nilpotenti 464
28.9. Il teorema di Engel 465
28.10. Il Teorema di Lie 467
28.11. Il pi`u grande ideale di nilpotenza di una rappresentazione 470
28.12. Il radicale nilpotente e il nilradicale 471
28.13. Automorfismi speciali 474
Capitolo XXIX. Gruppi di Lie 475
29.1. Gruppi di Lie e loro algebre di Lie 475
29.2. Alcune osservazioni sull’applicazione esponenziale 479
29.3. Sottogruppi di Lie 480
29.4. La forma di Maurer-Cartan 481
29.5. Applicazioni a valori in un gruppo di Lie 484
29.6. Omomorfismi di gruppi di Lie 486
29.7. Rappresentazioni lineari 486
29.8. Spazi omogenei 487
INDICE 9
29.9. Gruppi di Lie di trasformazioni 488
Capitolo XXX. Gruppi di Lie di matrici 493
30.1. La trasformata di Cayley 493
30.2. Alcuni gruppi lineari 495
30.3. Decomposizione di Cartan 496
Capitolo XXXI. Alcuni gruppi classici di piccola dimensione 501 31.1. I gruppi SL2(C), Sp(1, C), SO(3, C), SL2(R), SO(1, 2) 501 31.2. La quadrica di CP5ed alcuni omomorfismi di gruppi
(SL4(C), SO(6, C), SL4(R), SO+(3, 3), SU(4), SO(6)) 503
31.3. I gruppi Sp(2, C), SO(5, C), SO(5) 506
31.4. Rappresentazione spinoriale di alcuni gruppi di Lorentz 508 Capitolo XXXII. Gruppi ed algebre di matrici quaternioniche 515 32.1. I quaternioni e la struttura differenziale di SU(2), SO(3), SO(4) 515 32.2. Matrici di quaternioni e matrici complesse di tipo quaternionico 517
32.3. Gruppo lineare quaternionico 521
32.4. Gruppi unitari quaternionici 522
32.5. Gruppi ortogonali quaternionici 525
Capitolo XXXIII. Gruppi classici compatti 527
33.1. Il gruppo unitario U(n) 527
33.2. Il gruppo speciale unitario SU(n) 528
33.3. I gruppi ortogonali O(n) ed SO(n) 529
33.4. Il gruppo unitario simplettico Sp(n) 531
33.5. Sfere e gruppi compatti 533
33.6. Gruppi di omotopia dei gruppi classici 534
Capitolo XXXIV. Gruppi classici non compatti 539
34.1. La lista dei gruppi classici non compatti 539
34.2. I gruppi U(p, q) e SU(p, q) 541
34.3. I gruppi SO(p, q) 542
34.4. I gruppi Sp(n, C) e SU∗(2n) 542
34.5. I gruppi SO(n, C) ed SO∗(2n) 543
34.6. I gruppi Sp(p, q; C) 545
34.7. Connessione dei gruppi simplettici 546
Capitolo XXXV. Coomologia delle algebre di Lie e teorema di Levi-Malcev 549
35.1. Coomologia delle algebre di Lie 549
35.2. Una successione esatta lunga 555
35.3. Un criterio di Cartan 557
35.4. Elemento di Casimir di una rappresentazione 558 35.5. Coomologia delle algebre di Lie semisemplici. I 560
35.6. Un teorema di Weyl 562
35.7. Coomologia delle algebre di Lie semisemplici. II 563
35.8. Il teorema di Levi-Malcev 563
Capitolo XXXVI. Algebra inviluppante universale e teorema di Ado 567
36.1. Algebra inviluppante universale 567
36.2. Ideali cofiniti e rappresentazioni ideali 568 36.3. Rappresentazioni di dimensione finita ed ideali cofiniti 570
36.4. Estensioni di rappresentazioni 571
36.5. Il teorema di Ado 574
Bibliografia 577
Parte 1
Nozioni topologiche
CAPITOLO I
Fibrati topologici
Per le nozioni topologiche discusse in questo e nei capitoli successivi si posso- no utilmente consultare [28, 32].
1.1. Prime definizioni
Definizione 1.1.1. Un fibrato ξ `e una terna (E, π,B), in cuiE=E(ξ),B=B(ξ) sono spazi topologici e π = πξ:E → Bun’applicazione continua. ChiamiamoB base,Espazio totalee π proiezione di ξ.
Per ogni puntoBdiB, laEb=Eb(ξ)= π−1(b) si dice la fibra di ξ suB. Possiamo pensare un fibrato come una collezione di fibre, parametrizzate dai punti diBe legate tra loro dalla topologia diE.
Esempio 1.1.2. Il fibrato banale con fibra tipica F e base B ha come spazio totale il prodotto topologicoB×Fe come proiezione quella sul primo fattore π :B× F 3(b,v) → b ∈B.
Definizione 1.1.3. Un fibrato η `e un sottofibrato di ξ se E(η) ⊆E(ξ), B(η) ⊆B(ξ) e πη= πξ
B(η) E(η).
Definizione 1.1.4. Una sezione di ξ `e un’applicazione continua s :B(ξ) →E(ξ) tale che πξ◦ s= idB. Indicheremo conΓξ(B,E) l’iniseme delle sezioni di ξ.
Osservazione 1.1.5. Le sezioni di un fibrato banale (B×F, prB,B) con fibra tipicaFsi possono identificare alle funzioni continue diBinF.
Definizione 1.1.6. Un morfismo di fibrati f : ξ → η `e il dato di una coppia di ap- plicazioni continue ( fE, fB) : (E(ξ),B(ξ)) → (E(η),B(η)) che rendano commutativo il diagramma
(1.1)
E(ξ) −−−−−→fE E(η)
πξy
y
πη
B(ξ) −−−−−→fB B(η).
Proposizione 1.1.7. Se le mappe fE, fBdi un morfismo di fibrati f: ξ → η sono omeomorfismi, allora la coppia( fE−1, fB−1) : (E(η),B(η)) → (E(ξ),B(ξ)) definisce
ancora un morfismo di fibrati f−1: η → ξ.
Definizione 1.1.8. Un morfismo di fibrati f : ξ → η per cui fE, fBsiano omeo- morfismi si dice un isomorfismo di fibrati e la f−1: η → ξ la sua inversa.
13
Proposizione 1.1.9. La composizione di morfismi di fibrati `e ancora un morfi-
smo di fibrati.
Queste osservazioni si possono riassumere nella :
Proposizione 1.1.10. I fibrati e i loro morfismi formano gli ”oggetti” e le
”frecce”, o ”morfismi”, di una categoria.
Indicheremo conF la categoria dei fibrati.
Ricordiamo che una categoria C consiste dei dati di una famiglia di insiemi ob(C), gli oggetti di C, e per ogni coppia (a, b) di oggetti, di un insieme homC(a, b) di frecce da a a b. Per ogni tripla (a, b, c) di oggetti c’`e una composizione homC(a, b) × homC(b, c) → homC(a, c) che si suppone associativa. Inoltre, si richiede che per ogni a ∈ ob(C) vi sia un’identit`a 1a ∈ homC(a, a) per cui
f ◦1a= f per ogni f ∈ homC(a, b) ed 1a◦ g= g per ogni g ∈ hom(B,A).
Esempio 1.1.11. Sia Snla sfera unitaria in Rn+1. Allora TSn= {(x, v) ∈ Sn× Rn+1| (x |v)= 0}
`e lo spazio totale di un fibrato di base Sn, sottofibrato del fibrato banale Sn× Rn+1. Chiamiamo TSnil fibrato tangente di Sn. Le sue fibre sono spazi vettoriali reali di dimensione n.
Esempio 1.1.12. Con la proiezione
π: Rn+1\ {0} 3 x −→ x kxk ∈ Sn
la terna τ = (Rn+1\ {0}, π, Sn) `e un fibrato, che si dice anche intorno tubolare diSn in Rn+1. Si pu`o identificare τ al fibrato banale (Sn × R, prSn, Sn). mediante l’isomorfismo di fibrati descitto da fE: Sn×R 3 (x, t) → et· x ∈ Rn\{0} ed fB = idSn. Esempio 1.1.13. Sia 1≤k≤n. La proiezione π : Sk+13 (v0, v1, . . . , vk) →v0∈ Sn definisce il fibrato banale ([Sn]k+1, π, Sn) di base Sn e fibra tipica [Sn]k. Possia- mo definire il fibrato ξ = τk(Sn) dei k-riferimenti ortonormali su Sn come il suo sottofibrato che ha spazio totale
E(ξ)= {(v0, v1, . . . , vk) ∈ [Sn]k+1| (vi|vj)= δi, j, i, j = 0, . . . , k}, baseB(ξ)= Sne proiezione πξ(v0, v1, . . . , vk)= v0.
Esempio 1.1.14. Sia Grk(Rn) la variet`a di Grassmann (vedi §3.2) dei k-piani lineari di Rn. Il suo fibrato tautologico γ(Grk(Rn)) `e il sottofibrato del fibrato banale (Grk(Rn) × Rn, prGr
k(Rn), Grk(Rn)) che ha come spazio totale E= {(α, v) ∈ Grk(Rn) × Rn|v ∈ α}.
Possiamo considerare anche il suo ortogonale, con spazio totale E⊥= {(α, v) ∈ Grk(Rn) × Rn|v ⊥ α}.
L’applicazione (α,v) → (α⊥, v) definisce un isomorfismo tra il fibrato tautologico diGrk(Rn) e il fibrato ortogonale diGrn−k(Rn).
Possiamo definire in modo analogo i fibrati tautologici ed ortogonali associati alle grassmanniane di m-piani complessi o quaternionici.
1.2. PRODOTTI 15
Lo spazio tangente, l’intorno tubolare ed il fibrato canonico sono tutti esempi di fibrati vettoriali, cio`e fibrati le cui fibre sono spazi vettoriali in cui le operazioni vettoriali si possono descrivere come morfismi di fibrati.
1.2. Prodotti
Definizione 1.2.1. Il prodotto ξ1 × ξ2 di due fibrati `e il fibrato che ha come spazio totale il prodotto degli spazi totali, come basi il prodotto delle basi e come proiezione il prodotto delle proiezioni :
E(ξ1× ξ2)=E(ξ1) ×E(ξ2), B(ξ1× ξ2)=B(ξ1) ×B(ξ2),
πξ1×ξ2(v1, v2)= (πξ1(v1), πξ2(v2)), ∀(v1, v2) ∈E(ξ1) ×E(ξ2).
Il prodotto di fibrati cos`ı definito `e il prodotto nella categoriaF .
Ad uno spazio topologico B fissato possiamo associare la sottocategoriaFB
diF , i cui oggetti sono i fibrati sulla baseBe le cui frecce sono i morfismi che inducono l’identit`a suB. Un morfismo tra due elementi ξ ed η di FB`e completa- mente determinato dall’applicazione fE:E(ξ) →E(η) tra gli spazi totali. In questo caso identifichiamo per semplicit`a i morfisi della categoria con le applicazioni del- lo spazioCB(E(ξ),E(η)) delle applicazioni continue f :E(ξ) →E(η) che rendono commutativo il diagramma
E(ξ) f //
πCCξCCCC!!C
C E(η)
πη
}}{{{{{{{{
B.
Definizione 1.2.2. Un isomorfismo di due fibrati sulla stessa base, che induca l’identit`a sulla base, si dice un’equivalenza.
Scriveremo ξ1 ≈ ξ2per indicare che i due fibrati ξ1, ξ2sulla stessa baseBsono equivalenti.
Chiamiamo trivializzabile un fibrato equivalente ad un fibrato banale.
Il prodotto inFBsi dice prodotto fibrato. Diamone la definizione esplicita.
Definizione 1.2.3. Siano ξ1, ξ2due fibrati con la stessa baseB. Il loro prodotto fibrato, o somma di Whitney, `e il fibrato ξ di baseBcon spazio totale
(1.2) E(ξ)=E(ξ1) ×BE(ξ2)= {(v1, v2) ∈E(ξ1) ×E(ξ2) | πξ1(v1)= πξ2(v2)}
e proiezione πξ(v1, v2)= πξ1(v1)= πξ2(v2).
Indicheremo il prodotto fibrato con ξ1×Bξ2, oppure ξ1⊕Bξ2 (la seconda so- prattutto per fibrati vettoriali), omettendo a volte l’indicazione della base quando questa sia chiara dal contesto e l’omissione non provochi quindi confusione.
Proposizione 1.2.4. Se ξ1, ξ2 ∈FBsono fibrati banali con fibreF1,F2, rispet- tivamente, allora ξ1×Bξ2 `e ancora banale con fibraF1×F2. Proposizione 1.2.5. Le sezioni di una somma di Whitney ξ1×Bξ2sono tutte e sole quelle della forma b →(s1(b), s2(b)), con si∈Γξi(B(ξi),E(ξi)).
Esempio 1.2.6. Una somma di Whitney di fibrati non banali pu`o essere bana- le. Ad esempio, questo `e il caso dei fibrati tangente e normale di una sfera di dimensione n ≥ 2. [Il fibrato tangente della circonferenza S1`e banale.]
1.3. Restrizioni e fibrati indotti
Definizione 1.3.1. Dato un fibrato ξ ed un sottospazio topologicoA della sua baseB(ξ), la restrizione di ξ adA `e il fibrato ξ|A con
E(ξ|A)= π−1ξ (A) ⊆E(ξ), B(ξ|A)= A, πξ|A:E(ξ|A) 3v → πξ(v) ∈ A.
Chiamiamo ξ|Arestrizione adAdel fibrato ξ.
Si verifica facilmente che, se A ⊆B, la restrizione `e un funtore di categorie FB→FAe che per le restizioni di fibrati vale la propriet`a transitiva.
Siano A, B due spazi topologici e φ : A → Bun’applicazione continua. Dato un fibrato ξ di baseB, poniamo
E(φ∗ξ)= {(x, v) ∈ A × E | πξ(v)= f (x)}, πφ∗ξ(x,v)= x, ∀(x, v) ∈E(φ∗ξ).
(1.3)
Definizione 1.3.2. φ∗ξ= (E(φ∗ξ), πφ∗ξ, A) `e un fibrato di baseA, che si dice indotto suA da φ. Chiamiamo φ∗ξil pullback di ξ su A, ovvero il fibrato su A indotto dall’applicazione φ.
La f : φ∗ξ → ξcon fE(x,v)= v ed fB = φ `e il morfismo canonico del fibrato indotto. In questo caso si usa indicare con ˜φ(sollevamento di φ) l’applicazione tra gli spazi totali.
Sia f : ξ → η un morfismo di fibrati. Il pullback fB∗η`e un fibrato di baseB(ξ) e la
E(ξ) 3v −→ (πξ(v), fE(v)) ∈E(φ∗η)
definisce un morfismo f!: ξ → fB∗ηdi fibrati di baseB = B(ξ). Il morfismo as- segnato f si pu`o scrivere come la sua composizione con il morfismo canonico
fB∗η → ηdel fibrato indotto.
1.4. Fibrati localmente banali
Definizione 1.4.1. Due fibrati ξ ed η sulla stessa baseBsi dicono localmente equivalentise, per ogni puntoBdiBpossiamo trovare un intorno aperto Ub diB inBtale che ξ|Ubed η|Ubsiano equivalenti.
Proposizione 1.4.2. I pullback e le restrizioni di fibrati (localmente) equivalenti
sono (localmente) equivalenti.
Definizione 1.4.3. Un fibrato ξ si dice localmente banale con fibra tipica F se
`e localmente equivalente al fibrato banale (B(ξ) × F, πB(ξ),B(ξ)).
Useremo a volte la notazione ξ= (E, π,B,F) per indicare un fibrato localmente banale con fibra tipica F.
1.4. FIBRATI LOCALMENTE BANALI 17
Poich´e la proiezione del prodotto topologico su uno dei fattori `e un’applicazio- ne aperta, la proiezione sulla base in un fibrato localmente banale ξ= (E, π,B,F) `e un’applicazione aperta e quindiBha la topologia quoziente indotta dalla proiezione π:E→B. Abbiamo perci`o
Proposizione 1.4.4. Se ξ, η sono due fibrati localmente banali, allora ogni ap- plicazione continuaΦ :E(ξ) →E(η) che trasformi fibre di ξ in fibre di η definisce un morfismo di fibrati di ξ in η.
Dimostrazione. L’ipotesi `e che si possa trovare un’applicazione φ che renda commutativo il diagramma
E(ξ) −−−−−→Φ E(η)
πξ
y
y
πη
B(ξ) −−−−−→φ B(η).
Dobbiamo dimostrare che φ `e continua: Se U `e un aperto diB(η), allora φ−1(U)= πξ(Φ−1(π−1η (U))) `e aperto perch´e πηeΦ sono continue e πξaperta. Sia ξ= (E, π,B,F) un fibrato localmente banale con fibra tipica F e {Bi} un ricomprimento fondamentale della sua baseB = B(ξ) mediante sottospazi di tri- vializzazione. Per ogni indice i sia φi:Bi×F→ Ei = π−1(Bi) un omeomorfismo di trivializzazione, che renda cio`e commutativo il diagramma
Bi×F φi //
πPBiPPPP ''P Ei
xxqqqqqqπ
Bi.
SeBi, j =Bi∩Bj , ∅, per ogni b ∈Bi, jl’applicazione φi, j(b) : F → F definita da (1.4) (b, φi, j(b)(v))= φ−1i ◦ φj(b,v), ∀v ∈F.
`e un omeomorfismo della fibra. La φi, j = φ−1i ◦ φj:Bi, j× F → Bi, j× F definisce un’equivalenza del fibrato banale.
Definizione 1.4.5. Chiamiamo A = {(Bi, φi)} un atlante di trivializzazione del fibrato ξ e le {φi, j} le sue funzoni di transizione.
Le funzioni di transizione φi, jsono caratterizzate dalle propriet`a : φi,i = idBi,
(i)
φi, j◦ φj,k(b)= φi,k(b), ∀b ∈Bi, j,k=Bi∩Bj∩Bk, (ii)
Bi×F3 (b,v) −→ φi, j(b)(v) ∈F `e continua.
(iii)
Viceversa, queste propriet`a caratterizzano le funzioni di transizione di un fibrato localmente banale :
Proposizione 1.4.6. SianoB,F spazi topologici e {Bi} `e un ricoprimento fon- damentale diB. Data una famiglia {φi, j} di funzioni definite sulle intersezioniBi, j, a valori negli omeomorfismi di F, che soddisfino le propriet`a(i), (ii) ed (iii), vi `e,
a meno di equivalenza, un unico fibrato localmente banale con fibra tipicaFdi cui esse siano le funzioni di transizione.
Dimostrazione. Il fibrato ξ si costruisce incollando i fibrati localmente banali di spazio totaleBi×Fmediante le funzioni di transizione.
1.5. Un lemma di trivializzazione
Lemma 1.5.1. Siano ξ un fibrato localmente banale, con fibra tipicaFeB1,B2 due sottoinsiemi chiusi della sua baseB=B(ξ), tali cheB1∪B2=BeB1∩B2sia un retratto1diB2. Se i fibrati ξ|B1 e ξ|B2 sono trivializzabili, allora lo `e anche ξ.
Se φ1: B1× F → E|B1definisce una F-trivializzazione di di ξ suB1, `e possibile trovare una trivializzazione di ξ suBdefinita da una φ: B× F → E che estenda φ1. Dimostrazione. Siano ρ ∈ C (B2, B1∩B2) una retrazione e φi:Bi×F→ E|Bi per i= 1, 2, omeomorfismi di trivializzazione.
La funzione di transizione φ1,2verifica la
φ1(p, v) = φ2(p, φ1,2(p)(v)), ∀p∈B1∩B2, ∀v ∈F. Dico che la φ :B×F→E, definita da
φ(p, v) =
φ1(p, v), sep∈B1,v ∈F, φ2(p, φ1,2(ρ(p))(v)), sep∈B2,v ∈F,
`e una trivializzazione di ξ suB. Infatti l’inversa φ−1(σ)=
φ−11 (σ), se π(σ) ∈B1, (π(σ), φ−12,1(π(σ))(v)), se π(σ) ∈B2,
`e ancora un morfismo di fibrati.
Possiamo ora dimostrare
Lemma 1.5.2. Ogni fibrato localmente banale su [0, 1]n `e trivializzabile.
Dimostrazione. Sia ξ un fibrato localmente banale su [0, 1]n, con fibra tipica F. Per un intero positivo ν sufficientemente grande possiamo suddividere [0, 1]n in νnipercubi di lato 1/ν, su ciascuno dei quali ξ sia trivializzabile. Ordiniamo gli νn ipercubi Q1, . . . , Qνn in ordine lessicografico. In questo modo, per ogni h con 2 ≤ h ≤ νn l’ipercubo Qh si retrae per deformazione sulla sua intersezione con Si<hQi. La tesi segue allora per ricorrenza, utilizzando il Lemma 1.5.1.
1.6. Prolungamento di sezioni
Teorema 1.6.1. Siano ξ un fibrato localmente banale con fibra tipicaF,Aun sottoinsieme chiuso diBBB(ξ) e supponiamo che (B,A;K ) sia uno spazio cellulare relativo. Ciascuna delle due seguenti condizioni `e sufficiente affinch´e ogni sezione di ξ|Asi estenda ad una sezione globale di ξ:
(1) F`e m-connesso per ogni m< dim(B,A;K );
1Questo significa che esiste un’applicazione continua ρ ∈C (B2, B1∩B2) tale che ρ(p)= p per ogni p ∈B1∩B2.
1.7. ESEMPI 19
(2) vi `e una coppia cellulare relativa (Y,X;K0) tale che B=Y× I ed A= (X× I) ∪ (Y× {0}).
Dimostrazione. La prima `e un’ipotesi sulla fibra, la seconda sulla base.
Supponiamo valga la (1) e dimostriamo per ricorrenza che, data una sezione di ξ|A, si pu`o costruire una sequneza {sm} di sezioni, definite su ξ|A∪Bm, doveA∪Bm
`e lo scheletro m-dimensionale di (B,A;K ) (unione diAe delle celle di dimensione minore o uguale ad m diB\A), con sm|A= s ed sm|A∪Bm−1 = sm−1se m ≥ 1.
Poich´e A ∪B0 `e unione diAe di un sottospazio discreto disgiunto daA, possia- mo definire il prolungamento s0 ∈Γξ(A∪B0,E) di s assegnando arbitrariamente i valori di s0nei punti di (A∪B0) \A. Proseguiamo la dimostrazione ragionando per ricorrenza. Supponiamo sia 1 ≤ m ≤ dim(B,A) e che il teorema valga per cop- pie cellulari relative di dimensione minore di m ed, in particolare, di aver definito sm−1∈Γξ(A∪Bm−1,E). Osserviamo che, se {(Li, A; K(i))}i∈I `e una catena di sotto- spazi cellulari relativi di (A∪Bm,A;Km), ordinati mediante inclusione e contenenti (A∪Bm−1,A;Km−1), e per ogni i sia definito un prolungamento s(i) di sm−1 la cui restrizione a ciascun Lj ⊂ Li sia s( j), allora risulta definito un prolungamento ˜s di ssuSLi, con ˜s|Li = s(i). Per il lemma di Zorn ci sar`a quindi un sottospazio massi- male L, conA∪Bm−1⊆ L ⊆ A∪Bmsu cui la sezione sm−1si estende ad una sezione sL. Dimostriamo che L= A∪Bm. Se cos`ı non fosse, potremmo trovare una cella m-dimensionale di (B,A;K ) non contenuta in L. Possiamo supporre la cella defi- nita da una mappa φ : Im →B, dove abbiamo posto I = [0, 1], che si restringe ad un omeomorfismo su (0, 1)m. Possiamo suddividere Imin νmcubi m-dimensionali di lato 1/ν e considerare su φ(Im) la struttura cellulareKφ, in cui le immagini degli νm cubi sono le celle chiuse di dimensione m. Scegliendo ν abbastanza grande, possiamo supporre che la restrizione del fibrato a ciascuna di queste νm celle sia banale. Per l’ipotesi di ricorrenza, applicata a (φ(Im),A∩ φ(Im);Kφ), la sezione definita su L si estende ad una sezione s0definita suA∪ L ∪ φ(Im)m−1. Per l’ipotesi cheFsia (m − 1)-connesso, la s0, definita sul bordo dei cubetti, si estende ad un’ap- plicazione continua sui cubetti. Otteniamo in questo modo un prolungamento di sL adA∪ L ∪ φ(In). Questo contraddice la massimalit`a di L. Quindi deve essere L = A∪Bm. Le {sm}, ottenute per ricorrenza, ci danno una sezione ˜s che estende ssuB.
La dimostrazione del teorema sotto l’ipotesi (2) si fa estendendo la sezione alle celle relative di (B,A), dopo averle ordinate in modo che ciascuna corrisponda a un ipercubo che ha una retrazione sulla parte della sua frontiera coperta daAe dalle celle precedenti. Utilizzando la trivializzazione data dal Lemma 1.5.2, si ottiene
l’estensione.
1.7. Esempi
Esempio 1.7.1. Sulle sfere di dimensione dispari S2n−1 `e possibile definire un campo analitico di vettori tangenti X con kXk ≡ 1.
Consideriamo S2n−1come una sottovariet`a analitica reale di Cn e descriviamo il suo spazio tangente T S2n−1come un sottofibrato del fibrato banale :
TS2n−1= {(z, w) ∈ S2n−1× Cn |Re(w∗z)= 0}.
Allora X(z) = iz `e un campo analitico di vettori tangenti ad S2n−1 che ha in ogni punto lunghezza 1.
Esempio 1.7.2. Su S4n−1`e possibile definire un campo analitico (X1, X2, X3) di terne di vettori tangenti ortonormali in ogni punto. In particolare, T S3 `e trivializ- zabile.
Possiamo considerare S4n−1 come un sottospazio analitico dello spazio Hn, dove H `e l’algebra associativa dei quaternioni di Hamilton. Allora
TS4n−1= {(q, ξ) ∈ S4n−1× Hn|Re(ξ∗q)= 0}.
Se i, j , k sono le unit`a immaginarie di H, allora X1(q) = q · i, X2(q) = q · j ed X3(q)= q · k definiscono la terna desiderata.
Esempio 1.7.3. Il pullback ad Sndel fibrato tangente di Sn+m `e equivalente alla somma di Whitney del fibrato tangente di Sne del fibrato banale (Sn×Rm, πSn, Sn).
1.8. Fibrati di Serre
Indichiamo con I l’intervallo chiuso [0, 1] di R. Per ogni coppia di interi po- sitivi m, n con m<n consideriamo Imcome il sottospazio delle n-uple (t1, . . . , tn) di Incon ti= 0 per i > m. Conveniamo che I0 = {0}.
Definizione 1.8.1. Chiamiamo di Serre2un fibrato ξ che soddisfi la condizione (S) per ogni intero positivo n ed ogni coppia di applicazioni continue
f: In →B(ξ) ed ˜f0: In−1→E(ξ), con πξ◦ ˜f0(t)= f (t), ∀t ∈ In−1 ⊂ In, esiste un’applicazione continua ˜f: In → E(ξ) che renda commutativo il diagramma
(1.5) In−1 f˜0 //
E(ξ)
πξ
In f˜ p 77p pp
fNN''N NN NN
B(ξ).
Una ˜f che renda commutativo il diagramma (7.12) si dice un sollevamento o rialzamentodi f .
Osservazione 1.8.2. Prodotti e restrizioni di fibrati di Serre sono ancora fibrati di Serre.
2Jean-Pierre Serre (n. 1926) `e un matematico francese che ha dato contributi fondamentali alla topologia e alla geometria algebriche, e alla teoria algebrica dei numeri. Medaglia Fields nel 1954, ha ricevuto il premio Wolf nel 2000 ed il premio Abel nel 2003.
1.8. FIBRATI DI SERRE 21
Esempio 1.8.3. Il fibrato ξ, conE(ξ)= I,B(ξ)= I e πξ(x)= x/2 non `e di Serre : le sue fibre sopra i punti b ∈ (12, 1] sono vuote e quindi la f : I1 → I=B(ξ) definita da f (b)= b, ˜f0(0)= 0 non ammette un sollevamento.
Il fibrato ξ, conE(ξ) = I, B(ξ) = I e πξ(x) = 4x(1 − x) non `e localmente banale, perch´e la sua fibra `e {12} sul punto 1, mentre consiste dei due punti x± = (1 ± √
1 − b)/2 se b , 1. Qui la condizione di Serre non `e soddisfatta per n = 2 : se f (t1, t2) = 4t1(1 − t1)(1 − t2) per 0 ≤ t1, t2 ≤ 1 ed ˜f0(t1) = t1, non ci pu`o essere un sollevamento ˜f di f ad I2 con dato iniziale ˜f0. Infatti, f (0, I) = {0} e quindi dovrebbe essere ˜f(0, t)= 0 ed ˜f(1, t) = 1 per ogni t ∈ I. `E poi f (I, 1) = {0} e quindi f˜(t, 1) sarebbe un cammino, sulla fibra di ξ su 0, che congiunge 0 a 1; questo non
`e possibile perch´e la fibra consiste dei due punti 0, 1.
Lemma 1.8.4 (Localit`a della condizione di Serre). Sia ξ un fibrato. Se per ogni puntopdella baseB(ξ) possiamo trovare un intorno aperto Updi p inB(ξ) per cui ξ|Upsia di Serre, allora ξ `e di Serre.
Dimostrazione. Sia n un intero positivo ed ( f, ˜f0) ∈ C (In, In−1;B(ξ),E(ξ)), con πξ◦ ˜f0 = f |In−1. L’immagine f (In) `e compatta e pu`o quindi essere ricoperta con un numero finito di aperti di B(ξ) su cui la restrizione di ξ sia un fibrato di Serre. Potremo quindi trovare un intero positivo ν, sufficientemente grande, tale che ciascun ipercubo Q di lato 1/ν contenuto in Inabbia immagine f (Q) su cui la restrizione ξ|Qsia di Serre. Quadrettiamo Inin νnipercubi
Qi1,...,in = {ik− 1 ≤ tk ≤ ik, 1 ≤ k ≤ n}, per 1 ≤ i1, . . . , in≤ ν,
ordinati lessicograficamente rispetto agli indici. Per ogni (i1, . . . , in) indichiamo con Q0i
1,...,in l’unione di In−1e di tutti i Qj1,..., jn con ( j1, . . . , jn) ≺ (i1, . . . , in). L’os- servazione fondamentale `e che tutte le coppie (Qi1,...,in, Qi1,...,in∩Q0i
1,...,in) sono omeo- morfe alla coppia (In, In−1). Infatti Qi1,...,in∩Q0i
1,...,in `e un connesso non vuoto, unione di facce dell’ipercubo Qi1,...,in, che si retrae in ∂Qi1,...,in su una delle facce dell’iper- cubo. Questo di permette di costruire per ricorrenza la ˜f, estendendo prima ˜f0 ad un sollevamento su In−1∪ Q1,...,1, utilizzando il fatto che (Q1,...,1, Q1,...,1∩ In−1) `e omeomorfa ad (In, In−1) e ξ|f(Q1,...,1) `e di Serre. Dopo aver esteso ˜f0 ad un solleva- mento su In−1 ∪ Q0i
1,...,in, con (i1, . . . , in) (ν, . . . , ν), si ottiene la sua estensione a un sollevamento su In−1 ∪ Q0i
1,...,in ∪ Qi1,...,in, utilizzando il fatto che la coppia (Qi1,...,in, Qi1,...,in ∩ Q0i
1,...,in) `e omeomorfa alla coppia (In, In−1) e che ξ|f(Qi1,...,in) `e di
Serre.
Corollario 1.8.5. Ogni fibrato localmente banale `e di Serre.
Dimostrazione. Per il Lemma 1.8.4, `e sufficiente verificare che ogni fibrato banale `e di Serre. Consideriamo un fibrato banale (B×F −−→π B) e, per un intero n> 0, siano f ∈ C (In,B) ed ˜f0 ∈ C (In−1,B× F) due applicazioni continue con π ◦ ˜f0= f |In−1. Osserviamo che si pu`o scrivere ˜f0(t)= ( f (t), φ(t)), per ogni t ∈ In−1, per un’applicazione continua φ ∈C (In−1,F). Baster`a porre
f˜(t1, . . . , tn)= ( f (t1, . . . , tn), φ(t1, . . . , tn−1)).
La dimostrazione `e completa.
Esempio 1.8.6. Fissiamo due funzioni continue φ1≤ φ2 ∈ C (I, R) e siano E= {(x, y) ∈ R2 | φ1(x) ≤y ≤ φ2(x)},B = I e π(x, y) = x. Allora (E, π,B) `e sempre un fibrato di Serre, anche se non `e localmente banale quando
∅ ( {x ∈ I | φ1(x)= φ2(x)} ( I.
Teorema 1.8.7 (di omotopia del sollevamento). Siano ξ un fibrato di Serre ed (X,A) una coppia cellulare relativa. Allora, per ogni applicazione ˜f:X→E(ξ) ed ogni omotopiaΦ ∈ C (X×I,B(ξ)) di f = πξ◦ ˜f ed ogni omotopiaΨ ∈ C (A×I,E(ξ)) di ˜f |Ache sollevaΦ|A×I, possiamo trovare un’omotopia ˜Φ ∈ C (X× I,E(ξ)) di ˜f che sollevaΦ ed estende Ψ.
[L’enunciato `e illustrato dal diagramma]
A× I
Ψ
++WW WW WW WW WW WW WW WW WW WW WW WW WW W
A //
aaCCCC CCCCC
X f˜ //
wwoooooooooooooo
Nf
NN NN NN
&&N NN NN
E(ξ)
πξ
X× I
Φ˜
g g g g g g g
33gg g g g g g
Φ //B(ξ)
Dimostrazione. Per ogni intero m ≥ 0 indichiamo conA∪Xml’unione diAe delle celle di dimensione minore o uguale di m diX\A.
Dimostriamo per ricorrenza su m che, per ogni intero m ≥ 0, `e possibile costrui- re un’omotopia ˜Φm∈C ((A∪Xm) × I,E(ξ)) con ˜Φm|A×I= Ψ, ˜Φm|(A∪Xm−1)×I= ˜Φm−1
se m > 0, ˜Φm(x, 0)= ˜f(x) suA∪Xme πξ◦ ˜Φm= Φ|(A∪Xm)×I.
Per m= 0, le celle di dimensione zero di (X,A) formano un sottoinsieme discre- to disgiunto daA. Se {x} `e una di queste celle, per la propriet`a di Serre l’applicazio- ne I 3 t →Φ(x, t) ∈B(ξ) ha un sollevamento I 3 t → ˜Φ0(x, t) conΦ0(x, 0)= ˜f(x).
Definendola uguale aΨ suA× I, otteniamo cos`ı la ˜Φ0.
Sia ora m > 0 e supponiamo di aver gi`a costruitoΦm−1. Consideriamo la fami- glia delle coppie (L,ΨL) in cui L `e unione diA∪Xm−1e di celle di dimensione m diX\AeΨLun’omotopia di ˜f |Lche coincide con ˜Φm−1su (A∪Xm−1) × I e solleva Φ|L×Icon valore iniziale ˜f. Semiordiniamo questa famiglia mediante la relazione (L0, ΨL0) ≺ (L,ΨL) se L0 ⊂ L eΨL = ΨL0 su L0× I. Poich´e ogni catena massimale ammette un maggiorante, per il lemma di Zorn c’`e un (L,ΨL) massimale. Basta verificare che L=A∪Xm. Infatti, se (L,ΨL) `e una coppia con L $A∪Xm, vi `e una cella di dimensione m diX\ A non contenuta in L. Possiamo descriverla come una ψ ∈ C (Im,X) la cui restrizione ad ˚Im `e un omeomorfismo con ψ(˚Im) ⊂ X\A. Per composizione con laΨLotteniamo un’applicazione che `e definita su tutte le facce dell’ipercubo Im+1, tranne che sulla
{(t1, . . . , tm, 1) | 0 < ti< 1, 1 ≤ i ≤ m},
corrispondente a tm+1= 1. Detto ∂0Im+1 tale insieme, osserviamo che la coppia (Im+1, ∂0Im+1) `e omeomorfa alla coppia (Im+1, Im). Per la propriet`a di Serre, pos- siamo allora prolungare il sollevamento dell’omotopiaΨLad (L ∪ ψ(Im)) × I, con valore iniziale ˜f su L ∪ ψ(Im). Quindi, per la massimalit`a, deve essere L=A∪Xm e possiamo allora definire ˜Φm= ΨL.
1.8. FIBRATI DI SERRE 23
Otteniamo il sollevamento dell’omotopia cercato ponendo ˜Φ = ˜ΦmsuA∪Xm,
per ogni intero m ≥ 0.
Definizione 1.8.8. Chiamiamo rivestimento generalizzato un fibrato ξ local- mente banale con fibre discrete. Togliamo l’aggettivo generalizzato se richiediamo cheE(ξ) eB(ξ) siano connessi e non vuoti.
Lemma 1.8.9 (unicit`a del sollevamento). Siano ξ un rivestimento generalizzato, Xuno spazio connesso ed ˜f0, ˜f1 ∈ C (X,E(ξ)) due applicazioni continue, a valori nello spazio totale, che inducono una stessa applicazione a valori nella base: tali cio`e che πξ◦ f0 = πξ◦ f1. Se ˜f1(x0)= ˜f2(x0) per un punto x0diX, allora ˜f0= ˜f1. Dimostrazione. Punti distinti sulla stessa fibra di un rivestimento generalizza- to hanno intorni aperti disgiunti : infatti, se b ∈B(ξ) ed indichiamo conFla fibra tipica di ξ in un intorno di b, possiamo trovare un intorno aperto U ed un omeo- morfismo φ : U ×F → π−1ξ (U) con πU = πξ◦ φ. Sev1 ev2sono punti distinti di π−1
ξ (b), allora φ(U × {v1}) e φ(U × {v2}) sono intorni disgiunti div1ev2inE(ξ). Da questo segue che sia l’insieme {x ∈ X| f0(x)= f1(x)} in cui f0ed f1assumono lo stesso valore, sia il suo complementare {x ∈X | f0(x) , f1(x)} sono aperti. SeX `e connesso, uno dei due deve essere vuoto e l’altro uguale adX. Proposizione 1.8.10. Siano ξ un rivestimento generalizzato,Xuno spazio cel- lulare connesso ed x0un punto diXcorrispondente ad una sua cella di dimensione zero. Siano ˜f0, ˜f1 ∈C (X,E(ξ)) con ˜f0(x0)= ˜f1(x0). Se f0 = πξ◦ f0ed f1 = πξ◦ f1 sono {x0}-omotope, allora anche ˜f0e ˜f1lo sono.
Dimostrazione. Per il teorema sul rialzamento dell’omotopia, una {x0}-omo- topiaΦ tra f0ed f1si rialza ad una {x0}-omotopia ˜Φ di ˜f0. Per il Lemma 1.8.9, `e Φ(x, 1) = ˜f˜ 1(x) perch´e ˜Φ( · , 1) `e un rialzamento di f1che ha in x0lo stesso valore
di ˜f1.
Pi`u in generale, per un qualsiasi fibrato di Serre diversi sollevamenti con lo stesso dato iniziale sono omotopi.
Teorema 1.8.11 (di omotopia del sollevamento). Siano ξ un fibrato di Ser- re,(X,A) una coppia cellulare relativa, ˜f0, ˜f1 ∈ C (X,E(ξ)) due applicazioni con f˜0|A = ˜f1|A. Se f0 = πξ◦ ˜f0 ed f1 = πξ◦ ˜f1 sonoA-omotope, anche ˜f0 e ˜f1sono A-omotope.
Dimostrazione. Sia f ∈ C (X× I,B(ξ)) unaA-omotopia tra f0 ed f1. Poich´e anche (X× I, (A× I) ∪ (X× {0, 1})) `e una coppia cellulare relativa, per il teorema di sollevamento dell’omotopia, l’omotopia costanteΦ ∈ C ((X× I) × I,B(ξ)), definita da
Φ(x, t; s) = f (x, t), ∀(x, t) ∈X× I, ∀s ∈ I.
si rialza ad un’omotopia ˜Φ ∈ C ((X× I) × I,E(ξ)) con
πξ◦ ˜Φ = Φ,
Φ(x, t; 0) = ˜f˜ 0(x)= ˜f1(x), ∀x ∈ A, ∀t ∈ I, Φ(x, 0; 0) = ˜f˜ 0(x), ∀x ∈X, Φ(x, 1; 0) = ˜f˜ 1(x), ∀x ∈X.
La ˜f(x, t)= ˜ft(x)= ˜Φ(x, t; 0) definisce allora un’A-omotopia tra ˜f0e ˜f1. 1.9. Condizione di Serre forte
Definizione 1.9.1. Diciamo che il fibrato ξ soddisfa la condizione di Serre forte se, per ogni spazio topologicoXed ogni applicazione continua ˜f ∈ C (X,E(ξ)) di Xnel suo spazio totale, ogni omotopiaΦ di f = πξ◦ ˜f si rialza ad un’omotopia ˜Φ di ˜f.
E(ξ)
πξ
X
f˜ 11
//
f --
X × I
Φ˜ n n 77n n n
n
ΦPPPPPP ''P PP
PP PP
B(ξ)
Una classe importante di fibrati che soddisfano la condizione di Serre forte `e associata alla nozione topologica di cofibrazione.
Definizione 1.9.2. Una coppia topologica (X,A) si dice una cofibrazione, o coppia di Borsuk3seX× I ammette una retrazione su (X× {0}) ∪ (A× I).
Questa condizione `e equivalente al fatto che per ogni spazio topologico Y, ogni omotopiaΦA della restrizione adAd’un’applicazione continua f ∈ C (X, Y) si estende ad un’omotopia di f . La possiamo rappresentare con il diagramma :
A //
fA
X
f
O ''O OO OO OO OO OO OO
X × I_ _ _Φ_ _ //_Y.
A × I v;;v vv vv vv
v ΦA
44ii ii ii ii ii ii ii ii ii ii ii
3Karol Borsuk (1905-1982), topologo polacco. A lui si devono diverse nozioni sulle retrazioni e l’introduzione, insieme a Spanier, dei gruppi di coomotopia, da cui `e derivata l’omotopia stabile.
Introdusse inoltre una teoria delle forme. Il teorema di Borsuk-Ulam dice che, per ogni applicazione continua f di Snin Rn, c’`e almeno un punto x ∈ Snper cui f (x)= f (−x).
1.9. CONDIZIONE DI SERRE FORTE 25
Siano infatti Y uno spazio topologico, f ∈C (X, Y) e ΦA ∈ C (A× I, Y) un’o- motopia di fA = f |A. Se ρ :X × I → (X × {0}) ∪ (A× I) `e una retrazione, la Φ = ΦA◦ ρ ∈C (X× I, Y) `e un’omotopia di f che estende laΦA.
Viceversa, possiamo considerare l’immersione
ρA:A× I 3 (a, t) → (a, t) ∈ ([A× I] ∪ [X× {0}]) come un’omotopia della restrizione adAdell’applicazione
f:X3 x → (x, 0) ∈ ([A× I] ∪ [X× {0}]).
L’estensione ρ della ρAad un’omotopia di f `e la retrazione cercata.
Se (X,A) `e una coppia topologica ed Y uno spazio topologico, possiamo defi- nire un fibratoΞ = Ξ(X, A; Y) ponendo
E(Ξ) = C (X, Y), B(Ξ) = C (A, Y), πΞ( f )= f |A, ∀ f ∈ C (X, Y).
Proposizione 1.9.3. Se (X,A) `e una cofibrazione conXdi Hausdorff localmente compatto ed Y un qualsiasi spazio topologico, alloraΞ soddisfa la condizione di Serre forte.
Dimostrazione. Sia Z uno spazio topologico, ˜f ∈ C (Z, C (X, Y)) un’applica- zione continua eΦ0∈C (Z×I, C (A, Y)) un’omotopia della πΞ◦ ˜f. Poich´e abbiamo supposto cheXfosse di Hausdorff e localmente compatto, le applicazioni
˜g : Z ×X3 (z, x) −→ [ ˜f(z)](x) ∈ Y, G: Z × A × I 3 (z, a, t) −→ [Φ0(z, t)](a) ∈ Y
sono continue e quindi G `e un’omotopia della restrizione di ˜g a Z × A. La coppia (Z ×X, Z × A) `e ancora una cofibrazione e quindi G si prolunga ad un’omotopia ˜G di ˜g. Otteniamo quindi l’omotopia cercata definendo
Φ : Z × I 3 (z, t) → Φ(z, t) ∈ C (X, Y) mediante [Φ(z, t)](x) = ˜G(z, x, t). Proposizione 1.9.4. Le fibre di un fibrato ξ che abbia base connessa per archi e soddisfi la condizione di Serre forte sono omotopicamente equivalenti.
Dimostrazione. Sia s0 ∈ C (I,B(ξ)) un cammino continuo che congiunge due punti b0e b1della base. Indichiamo con s1il cammino inverso s1(t)= s0(1 − t), da b1a b0. SianoF0 = π−1ξ (b0) edF1 = π−1ξ (b1) le fibre sopra i due punti. I cammini s0ed s1si possono considerare come omotopie delle proiezioni delle applicazioni d’inclusione ı0:F0 → E(ξ) ed ı1:F1 → E(ξ), cio`e delle F0 3 v → b0 ∈ B(ξ), F1 3 v → b1 ∈ B(ξ). Per la condizione di Serre forte, possiamo trovare delle omotopie
˜s0:F0× I →E(ξ) ed ˜s1:F1× I →E(ξ) che li sollevano. Abbiamo ottenuto cos`ı due mappe
f0:F03v → ˜s0(v, 1) ∈F1 ed f1:F1 3v → ˜s1(v, 1) ∈F0.
Dico che f0 ed f1 sono l’una un’inversa omotopica dell’altra. Poich´e possia- mo scambiare tra loro, nel ragionamento, i punti b0 e b1, possiamo limitarci a
dimostrare che f1◦ f0∈C (F0,F0) `e omotopa all’identit`a suF0. Definiamo
:F0× I 3 (v, t) −→
˜s0(v, 2t), se 0 ≤ t ≤ 1/2,
˜s1( ˜s0(v, 1), 2t − 1), se 1/2 ≤ t ≤ 1.
Poich´e s0· s1(t)= s0(1 − |1 − 2t|), l’applicazione
H(x, t; τ)= s0 (1 − τ)(1 − |1 − 2t|)
definisce un’omotopia di πξ◦(v, t) = s0·s1(t). Per la propriet`a di Serre forte, questa si solleva ad un’omotopia ˜H: (F0× I) × I → E(ξ) di . `E (1 − τ)(1 − |1 − 2t|)= 0 sui tre dei lati del quadrato {0 ≤ t, τ ≤ 1} corrispondenti a τ = 1 e a t = 0, t = 1.
Quindi, quando (t, τ) percorre questi tre lati del quadrato, la ˜H(v, t; τ) assume valori inF0. Possiamo quindi definire un’omotopia di applicazioni continue diF0 in s´e ponendo
K(v, t)=
H(v, 0; 3t),˜ 0 ≤ t ≤ 1/3, H(˜ v, 3t − 1; 1), 1/3 ≤ t ≤ 2/3, H(v, 1; 3 − 3t), 2/3 ≤ t ≤ 1.˜
Poich´e K(v, 0) = v e K(v, 1) = ˜s1( ˜s0(v, 1), 1) = f1◦ f0(v), questo completa la
dimostrazione.
Lemma 1.9.5. SeX`e connesso per archi ed x0, x1, x00, x01 ∈Xsono quattro suoi punti, allora gli spaziC (I, 0, 1;X, x0, x1) eC (I, 0, 1;X, x00, x01) sono omotopicamen- te equivalenti.
Dimostrazione. Gli spazi C (I, 0, 1;X, x0, x1) eC (I, 0, 1;X, x00, x01) sono le fibre del fibratoΞ = Ξ(I, {0, 1};X) sui punti (x0, x1) ed (x00, x01) della sua baseC ({0, 1},X)= X×X. La tesi `e allora conseguenza della Proposizione 1.9.4, perch´e, per la Propo- sizione 1.9.3, vale perΞ la condizione di Serre forte.
1.10. Associato di Serre di un fibrato Sia ξ un fibrato. Poniamo
(1.6) E(ξ∗)= {(v, s) ∈E(ξ) ×C (I,B(ξ)) | s(0)= πξ(v)}, πξ∗(v, s)= s(1).
Definizione 1.10.1. Chiamiamo associato di Serre di ξ il fibrato ξ∗che ha la stessa base di ξ, mentre lo spazio totale E(ξ∗) e la proiezione πξ∗ sono definiti dalla (1.6).
Possiamo considerare ξ come un sottofibrato di ξ∗, facendo corrispondere a v ∈E(ξ) la coppia (v, sv) formata dav e dal cammino costante {t → πξ(v)}. Lo spazio totaleE(ξ∗) si retrae per deformazione suE(ξ), mediante la
E(ξ∗) × I 3 (v, s; τ) → (v, rτs) ∈E(ξ), definita da rτs(t)= s([1 − τ]t).
Proposizione 1.10.2. Per ogni fibrato ξ, il suo associato di Serre ξ∗soddisfa la condizione di Serre forte.
