I N D I C E
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1.1 Matrici Ortogonali e Unitarie 1
1.1.1 Proprietà delle matrici ortogonali e unitarie 2
1.1.2 Proiezioni attraverso l’utilizzo di basi ortogonali 2
1.2 Algebra delle matrici circolanti 3
1.2.1 Una coppia di matrici particolari 7
1.2.2 Gli autovettori di Cn 9
1.3 Autofunzioni seno e coseno 12
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2.1 L’Algebra Lineare per le Funzioni 15
2.1.1 Spazi di Hilbert e prodotti scalari 15
2.2 La serie di Fourier per le funzioni periodiche 18
2.3 I coefficienti di Fourier 19
2.4 L’equazione dell’energia 20
2.5 Un’altra forma per la serie di Fourier: la serie complessa di Fourier 21
2.5.1 Tre regole per lavorare con F(x) =Â ckeikx 23
2.5.2 Il fenomeno di Gibbs 24
2.6 La Trasformata Discreta di Fourier 25
2.6.1 L’equazione dell’energia nel caso discreto 28
2.7 La Trasformata Veloce di Fourier 28
2.8 Convoluzioni 32
2.8.1 Convoluzioni Infinite, Discrete e Cicliche 32
2.8.2 Convoluzione di Funzioni 35
2.8.3 Regole per la Convoluzione Ciclica 36
2.8.4 Convoluzioni tramite le Matrici 37
2.9 Deconvoluzione tramite moltiplicazione per matrici 38
2.10 Integrale di Fourier 41
2.10.1 Autocorrelazione e Funzione di Densità Spettrale (Power Spectral Density) 42
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3.1 Introduzione 47
3.2 Applicazioni in finanza 47
3.2.1 Analisi spettrale (accenni) 48
3.2.2 Il Pricing delle opzioni 50
3.3 FFT e metodo binomiale di valutazione delle opzioni 54
3.3.1 Il metodo binomiale 54
3.3.2 Perché la Trasformata Veloce di Fourier? 57
3.4 Valutazione di una opzione con il metodo binomiale 57
3.5 Valutazione attraverso FFT 59
3.5.1 FFT in MATLAB 61
3.5.2 CONVOLUZIONI ed FFT per valutare l’opzione 63
3.5.3 Tempi di esecuzione a confronto 69
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a.1 Matrice alle differenze 75
a.2 Dal continuo al discreto 76
a.2.1 La differenza seconda di ogni vettore è analoga (e qualche volta uguale) alla derivata seconda 77
a.3 Codici MATLAB 78
a.3.1 Calcolo del prezzo di un’opzione con la ricorsione all’indietro del metodo binomiale 78
a.3.2 Calcolo del prezzo di un’opzione tramite la formula di Black e Scholes 79
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I N T R O D U Z I O N E
La scomposizione di una funzione periodica in una somma infinita di sinusoidali, o equi-valentemente di funzioni esponenziali complesse eikx, è ciò che viene chiamata analisi di
Fourier. Per ragioni fisiche e matematiche gli esponenziali sono funzioni speciali; uno dei motivi principali è il seguente: quando calcoliamo la derivata di eikx, o il suo
inte-grale, o trasliamo x di un ammontare h (eik(x+h)), il risultato che otteniamo è sempre un
multiplo di eikx. Gli esponenziali sono dunque particolarmente adatti per le equazioni
differenziali, integrali e alle differenze.
Ogni singola componente di frequenza in cui è scomposto un segnale, così come un autovettore, va per la sua strada, e ricostruisce in seguito la soluzione combinandosi con tutte le altre. Gli elementi centrali sono dunque l’analisi e la sintesi dei segnali. L’ap-proccio è del tipo time-to-frequency. Scomponendo una funzione in una serie di termini (detti anche armoniche), le frequenze coinvolte sono dei multipli interi della frequenza fondamentale dell’onda periodica (armonica fondamentale), e ognuna ha un’ampiezza che può essere calcolata con un integrale. Capita spesso di voler analizzare in manie-ra analoga funzioni non periodiche; ciò porta alla teoria delle tmanie-rasformate di Fourier. La trasformata di Fourier è una tecnica matematica che risolve una funzione, definita nel dominio del tempo, nel suo spettro di frequenza. La trasformata discreta veloce di Fourier (FFT) è un metodo per compiere la medesima operazione in maniera molto più efficiente, e trova applicazioni interessanti anche in finanza.
Nei primi due capitoli viene affrontata la teoria che sta alla base dell’analisi di Fou-rier. Partendo dall’algebra delle matrici circolanti, i cui autovettori sono le colonne della matrice di Fourier, ed estendendo la questione al caso infinito-dimensionale per mezzo degli spazi di Hilbert, arriveremo a definire le serie di Fourier e le tre classi principali di trasformate. Queste ultime non preservano l’operazione di moltiplicazione, la tramu-tano invece in una convoluzione. Anche le convoluzioni verranno trattate nel secondo capitolo e saranno lo strumento che, in congiunzione con la trasformata veloce, verrà utilizzato per valutare un’opzione europea all’interno del modello binomiale. Ciò sarà argomento del terzo capitolo, in cui verranno illustrate l’efficienza e le potenzialità del-l’algoritmo per calcolare la FFT, e sarà presentata una panoramica introduttiva all’uso che di quest’ultima viene fatto in finanza.
