20 Il calcolo dei limiti - Risoluzione di forme dete..>

(1)

3. Risoluzione di forme determinate

Esempio 1 Calcolare: 2 0 4 lim x x x � � �

� �

2 2 0 4 4 4 lim 0 0 x x x � _� � � � � � � � � �� Esempio 2 Calcolare: � � 2 2 1 3 8 lim 9 1 x x x � � � �

Risulta che la funzione ad argomento del limite ha uno zero al denominatore proprio in corrispondenza di x � �1₃. Poiché il

numeratore non viene anch’esso zero, possiamo applicare il teorema del quoziente. Il risultato tuttavia dipende dal fatto che il denominatore si avvicini a zero da valori positivi oppure negativi. Per capirlo occorre studiare il segno della quantità 9x �2 1: dal grafico si vede bene che quando x� �

�

1₃

�

� allora

2 9x � �1 0�. Pertanto: � �

�

2 2 2 2 1 3 1 8 8 8 3 9 lim 0 9 1 ₉ ₁ ₁ 3 x x x � _� � � � � � � � �� _� � _� � � � � Esempio 3 Calcolare:

� �

5 6 2 cos lim 4 cos 3 x x x � � �

Poiché il testo non specifica se bisogna calcolare il limite per 5 6 x ��_�� _{� oppure per}� x 5₆� � � _�� _�� _{� si} sottintende che vanno risolti entrambi. Risulta che la funzione ad argomento del limite ha uno zero al

denominatore proprio in corrispondenza di 5

6

x � �. Poiché il numeratore non viene anch’esso zero, possiamo applicare il teorema del quoziente. Anche in questo caso dobbiamo studiare il segno della quantità al denominatore 4 cos2x �3 per capire se viene 0� oppure 0�.

2 2

4 cos x� �3 0 � 4t � �3 0

Risulta che quando: 5 6 x��_�_�� _�_��

0

�

1

�

3 � �

�

3 2 �

�

3 2 5 6 �

�

� �

�

� �

3 2 �

(2)

si ha: 2 4 cos x� �3 0� e quindi:

� �

5 6 2 3 cos ₂ lim 4 cos 3 0 x x x �� Esempio 4 Calcolare: 2 2 2 lim 5 6 x x e x x � � � � � �

Anche in questo caso si annulla il denominatore ma non il numeratore. Vediamo x2�5x� tende a zero da 6 valori negativi o positivi:

2 ₅ ₆ ₀ _2; ₃

x � x� � � x � x �

Risulta che quando x�2� si ha:

2 ₅ ₆ ₀ x _� x_{� �} � pertanto: 2 2 2 2 2 lim 0 5 6 x x e e x x � � � � � _�� _{� ��} � �

avendo considerato che � � � . e2 2 0

Esempio 5 Calcolare: 1 8 8 1 lim 6 x x � � � � ��

Come sappiamo il limite di un’esponenziale è l’esponenziale del limite. Ad esponente abbiamo il denominatore x � per il quale risulta 8 evidentemente: � � 8 lim 8 0 x � x � � � � da cui: 5 6� � � _�� _� � � ��

�

5 6� � � _�� _� � � ��

�

0

�

2

�

_�

3 1

� �

1 6 x y �

� ��

0 8 y �x �

(3)

Esempio 6 Calcolare:

� �

2 tan 2 lim 1 tan x x e x �� Risulta:

� �

2 2 tan tan 2 2 2 2 0 0 lim 0 1 1 tan 1 tan 1 ( ) x x e e e x � � � � � �� Esempio 7 Calcolare:

� �

� � � 4� 4 tan lim 1 tan x x x � �� Risulta:

� �

� � � �

_{� �}

� �4 4 4 4 tan tan 4

lim 1 tan x 1 tan

x x � � � � � � � � _� � � � � � � � � � � � � �_�_� _�_� � � �2

_{� �}

tan 1 1� � � 0� �� 0� � � � �_� _� � � Esempio 8 Calcolare:

� �

6 1 1 2 sin lim x x e �� Risulta:

� �

6 6 1 1 1 2 sin 1 2 sin lim x x e e � � � � � � � �

studiamo il segno della quantità 1�2 sin x :

e come si vede dallo studio grafico, essa è positiva per x�

� �

�₆�, cioè 1 2 sin� x�0�. Sostituendo:

� �

6 1 1 1 2 sin ₀ e � e e � � � _�� tan y � x ��₂�� tan y � x � ��₄ �_� 2 � 1�� 2 � � 5 6 �

�

� �

�

6 � 1 2 y �

� �

�₆� 1 1 2 sin 0 sin 2 x x � � � �

(4)

Esempio 9 Calcolare: 2 lim x x e � �� Risulta: 2 ₍ ₎2 lim x 0 x e e e � � �� Esempio 10 Calcolare: 1 0 lim x x� e

1 lim x x��e

Iniziamo con il caso x � . Non essendo specificato il verso dal quale x deve tendere a zero, dovremo 0 calcolare entrambi i limiti destro e sinistro:

1 1 0 0 lim x x e e e � � �� 1 1 0 0 lim x 0 x e e e � � ��

Anche per il secondo caso x � � , non essendo specificato il segno dell’infinito, dobbiamo fare due limiti:

1 1 0 lim x 1 x e e e � _� �� 1 1 0 lim x 1 x e e e � _� ��

E’ utile meditare sull’andamento della funzione 1

x

y �e , qui a fianco riportato.

Esempio 11 Calcolare: 1 0 5 lim 3 5 x� _� x

Come sappiamo, in assenza di dettagli, vanno calcolati i limiti destro e sinistro:

1 1 0 ₀ 5 5 5 5 5 lim 0 3 5 3 3 5 ₃ ₅ x � x _� � �� _� � _� � � � � �� 1 y � 1x y �e

0

�

0

�

_�

(5)

quindi la funzione ( ) 5₁

3 5x

f x �

� si avvicina a 0 da sopra quando x tende a 0 da destra, e si avvicina a 5₃ da sotto quando x tende a 0 da sinistra, come viene illustrato molto schematicamente in figura.

Esempio 12 Calcolare: 2 2 1 lim 1 x x x e � � _�

In assenza di dettagli, vanno calcolati i limiti destro e sinistro:

� � 2 2 2 2 2 2 0 1 1 1 1 1 lim 1 1 0 1 1 1 1 x x x e e e e � � � � �� 2 2 2 2 2 2 0 1 1 1 1 1 1 lim 0 1 1 1 1 1 x x x e e _e _e � � � � �� Esempio 13 Calcolare: 0 1 lim sin x� x

In assenza di dettagli, vanno calcolati i limiti destro e sinistro:

0 1 1 1 lim sin sin 0 0 x� � x � � � � � �� 0 1 1 1 lim sin sin 0 0 x� � x � � � � � �� Esempio 14 Calcolare: 3 1 lim ₁ cos 2 x_�� _� x

La quantità 1₂�cosx tende a 0 quando

3

x ��, ma occorre conoscerne il segno:

1 _cos ₀ _cos 1 2� x� � x � 2

5

3

0

�

0

�

_�

1 �

2

�

2

�

_�

�

3 � 1 2 x �

� �

�₃�

(6)

e come si vede dallo studio grafico, essa è negativa per x�

� �

�₃�, cioè 1₂�cosx�0�. Sostituendo: � �3 1 1 lim ₁ 0 cos 2 x_� � � � x � � � �� 3 1 1 lim 1 _cos ₀ 2 x_� � � � x � � � �� Esempio 15 Calcolare: 10 1 lim log 1 x� _x�

(dove logx �log10x) 10 1 1 1 lim log 1 1 1 0 x_� � x_� � �_� � � � �� 10 1 1 1 lim log 1 1 1 0 x� � x� � �� Esempio 16 Calcolare: 7 14 lim 7 x x x � _�

Per il limite destro risulta:

7 14 98 98 98 lim 0 7 ₇ ₇ ₀ x x x � � � � � � � _� � � � ��

mentre il limite sinistro non esiste dato che x �7 è soltanto punto di accumulazione da destra per la

funzione ( ) 14 7 x f x x � � , il cui dominio è �7;�� . � Es determinati p 334 n 188,190, p 335 n195,199,200 1 log y � x

10

�

1�

�

(7)

��