FRAZIONI ALGEBRICHE: CAMPO DI ESISTENZA Frazione Algebrica C.E.: poni il denominatore diverso da zero Risolvo l'equazione

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FRAZIONI ALGEBRICHE: CAMPO DI ESISTENZA

Frazione Algebrica C.E.: poni il denominatore diverso da zero

Risolvo l'equazione

3x²+2x+5 x−4

x−4≠0 x≠4

5x³+6x+5 x

12x+25 x+5 3x⁷+5x³+4

x−12 x⁵+8x+15

5−x 6x³+x+12

2+x

Frazione Algebrica

Se necessario scomponi

in fattori il

denominatore

C.E.: poni diverso da zero ciascun fattore del denominatore in cui compaiono le lettere

Risolvi le equazioni

x−2 3x³−12x

3x³−12x=3x( x²−4)=

=3x( x−2)( x+2)

x≠0 x−2≠0 x+2≠0

x≠0 x≠2 x≠−2

2−x 3x²−15x

a−1 a²−a−6

3 y²−y

b (b−2)²

(3)

(4)

FRAZIONI ALGEBRICHE EQUIVALENTI

Completa la frazione in modo che sia equivalente a quella della prima colonna

Scrivi quale operazione hai fatto

2xy

3z⁴ 6xz⁵ = (2zx)( 2xy)

(3z⁴)(2zx) = 4x²yz 6xz⁵

Ho moltiplicato numeratore e denominatore per 2zx

x²yz xy²z⁴

xz = xz

yz⁴ Ho diviso numeratore e denominatore

per xy

12ab 4a³b²c

3

2xy 4x²by³

2x²y² 2−4a

2x−2y x− y

x−3 x−2

3−x x−1

x

2x−2

12a²x+4a

2a²+2a a+1

x²−2xy+ y² x²−y²

x− y

5−ab

ab a²b²

6a−2 8bx

3a −1 x+ y

x− y y−x

4a−6

12−18a 6−9a

a+b

a−b a²−b²

1+x²

−2x 2x

−6

−x+3z

6

(5)

SEMPLIFICAZIONE DI FRAZIONI ALGEBRICHE

Scomponi in fattori il numeratore e il denominatore, se necessario

Calcola MCD tra numeratore e denominatore

Determina la frazione ridotta ai minimi termini procedendo nel seguente modo:

Se MCD=1: la frazione è già ridotta ai minimi termini.

Se MCD ^≠1: dividi numeratore e denominatore per MCD.

2x⁴y 3xyz⁴

xy 2x^{4 3}y

3 x y z⁴=2x³ 3z⁴ x²+1

x²+2x+1

x²+1 (x+1)²

1 x²+1

(x+1)² x²yz

xy²z⁴ 12ab 4a³b²c

2xy 4x²by³

2−4a 2x−2y x²−3x

x²y b²−3 b²−3b

3a 9a +3ab

4a²−9b² 2ax−3bx 4a−b² 4+b²−4b x²−4x+4

x²−4 x+ y x− y x+ y x+ y a²+b²

a+b

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OPPOSTO DI UNA FRAZIONE ALGEBRICA

Opposto della frazione

Come si indica

Come si calcola Moltiplica per -1

il numeratore e lascia invariato il denominatore

Moltiplica per -1 il denominatore e lascia invariato il numeratore

x− y

x+2 −x−y

x+2

−x+y x+2

x− y

−x−2 2a−b

a+b

−x+1 x+1 2xy+4

y+2

−a−2

−a−3 2−5a 2x−9y

x x²−1

−2a a−b a−b+1

a−b x+ y−2

−x

(7)

INVERSO DI UNA FRAZIONE ALGEBRICA

Inverso della frazione

Come si indica

Come si calcola

Scambia tra loro numeratore e denominatore lasciando invariato il segno

2a−b a+b

1 2a−b

a+b

a+b 2a−b

−x−1 x+1

1

−x−1 x+1

−x+1 x−1

2xy+4 y+2 3a +2 ab 2−5a 2x−9y

x x²−1

2ax a−b a−b+1

a−b x+ y−2

−x

(8)

SOMMA E DIFFERENZA DI FRAZIONI ALGEBRICHE

Somma di due o più frazione algebriche

Calcola il mcm tra i denominato ri

Riduci allo stesso

denominatore le frazioni della prima colonna trasformandole in frazioni equivalenti

Scrivi una sola frazione che abbia come denominatore quello comune

e come

numeratore la somma dei numeratori

Risolvi le operazioni al numeratore

Scomponi in fattori numeratore e

denominato

re e

semplifica, se possibile.

2a 3x−a

6

6x 4a

6x−ax 6x

4a−ax 6x

a(4−x) 6x 4xy

5 +7xy 3a x a−a

x 1 3ab−1

a² 2a 5b− 2

a²b 1 x²−3

x+5 7

x−3+−5x x²−9 3

x−1+ 1 x+1 x+1

2( x−1)+ x+2 x²+2x−3 x²−1

x−1−x+1 x²−1 2ab−1

a 5a a+b− 3

a²−b²

(9)

MOLTIPLICAZIONE TRA FRAZIONI ALGEBRICHE

Moltiplicazione tra due o più frazioni algebriche

Scomponi in fattori

numeratore e

denominatore, se necessario

Semplifica in croce, se possibile

Scrivi il segno del prodotto e una sola frazione avente come numeratore il prodotto dei nmeratori e come denominatore il prodotto dei denominatori

2mn 5n²∗15n

8m²

12 mn

15 n²∗15³ n

48m²

3 4m 4x²−12xy+9y²

3xy ∗(− 7xy²

2x−3y) (2x−3y)²

3xy ∗(− 7xy²

2x−3y) (2x−3y)²

3 x y ∗(− 7 x y²

(2x−3y)) −7y(2x−3y)

3 =

=−14xy−21y² 3

x a∗a

x 22ab²c

5x² ∗15x³ 11a²b 2a²bc⁶

21( x−y)∗7x−7y 12a²b c 3xyz³

5ab ∗20a³ 9xyz⁵∗3z² 2x−4y

3xy+6y²∗ 15x²y³ 4x²−8xy 2x−4y

3xy+6y²∗ 15x²y³ 4x²−8xy x²−xy

2x−2y∗x²−y² x+ y 3a+1

3a²−3∗(− 3a 6a+2)

(10)

DIVISIONE TRA FRAZIONI ALGEBRICHE

Moltiplicazione tra due frazioni algebriche

Moltiplica la prima per l'inverso della seconda

Risolvi la moltiplicazione

2ab 5x²:12a

15x

2ab 5x²∗15x

12a

12 ab

15 x²∗15³ x

612 a =

13 b

26 x= b 2 x x− y

12z : y²−x² 3z²

x− y 12z∗ 3z²

y²−x²

(x−y)

412 z ∗

13 z²

(x− y)( y+ x) = z 4( x− y)

x a:a

x x a:x

a b ac:ab

c² b

b−1: b²+3b b²+2b−3 4b²−4

15b : 2b−2 5b² a+1

a²−2a+1: a²+3a+ 2 a−1 a+2

3 : a²−3a+2 a−1 a²−4

2b : a+2 b²

(11)

SCOMPOSIZIONE DI UN POLINOMIO

BINOMIO

Somma di due quadrati (irriducibile) a² + b²

Differenza di due quadrati a²−b²=a−bab

Somma di due cubi a³b³=aba²−abb² Differenza di due cubi a³−b³=a−ba²abb²

TRINOMIO

Quadrato di un binomio a²2abb²=ab² Raccoglimento totale

Contare i termini

Due

termini Quattro

termini Tre

termini

Differenza di due quadrati

Somma di

due cubi Differenza di due cubi Somma

di due quadrati

Quadrato di un binomio

Trinomio particolare

Cubo di un

binomio Raccoglimento

parziale

(12)

SCOMPOSIZIONE: RACCOGLIMENTO TOTALE

Consideriamo il polinomio 4 a³+2a²x−8a⁴

Mi chiedo se esiste un fattore comune ai tre termini del polinomio. In particolare calcolo il loro massimo comune denominatore:

M.C.D. (4 a³, 2a²x, 8a⁴) = 2a²

Metto in evidenza 2a² e ottengo:

4a³+2a²x−8a⁴=2a²(2a+x−4a²)

dove il fattore _(2a+x−4a²₎ è il risultato della divisione tra polinomio iniziale 4 a³+2a²x−8a⁴ e il M.C.D. 2a²

Osservazione: Eseguendo l'ultimo prodotto posso verificare la correttezza della scomposizione

Polinomio M.C.D.

tra i termini del polinomio

Scomposizione tramite

raccoglimento totale

Riprova

4 a³+2a²x−8a⁴ 2a² 2a²(2a+ x−4a²) 2a²(2a+x−4a²)=4 a³+2a²x−8a⁴ 12a⁴b+10a³

4x³+2x

27x³y²+9x²y⁵−15x³y 15ax³+18ax²−3a³x 7ax²+14a−21a³x+7 5a⁴b+10ab−a³b²

2( x−1)−x²(x−1)−x( x−1) x²−x

(a−b)²−(a−b)

(13)

SCOMPOSIZIONE: RACCOGLIMENTO PARZIALE

Consideriamo il polinomio ax+ay+bx+by

Mi chiedo se esiste un fattore comune tutti i termini del polinomio (raccoglimento totale). La risposta è no. Esistono però dei fattori in comune se i termini vengono presi a gruppi, in particolare:

a è in comune tra i primi due termini b è in comune agli ultimi due termini

Metto quindi in evidenza la a tra i primi due termini e la b tra gli ultimi due termini. Ottengo dunque:

ax+ay+bx +by=a( x+ y)+b( x+ y)

I due addendi così ottenuti hanno in comune il fattore (x+y), che quindi può essere messo in evidenza. Si ottiene dunque

a( x+ y)+b( x+y)=( a+b)( x+ y)

Polinomio Raccoglimento

parziale Raccoglimento

totale Riprova

ax+ay+bx+by a( x+ y)+b( x+ y) (a+b)( x+ y) (a+b)( x+ y)=ax +ay+bx+by xy+4x+3y+12

3ab+4b−3ax−4x ab−b+ac−c ax+ay−x− y 3x²+3−x²y− y abx−b+acx−c ax+a²−bx−ab

(14)

SCOMPOSIZIONE: DIFERENZA DI QUADRATI Si usa la formula

^a²^−b²=(a−b)( a+b)

già incontrata per i prodotti notevoli.

Esempio: Consideriamo il polinomio:

^4x²^−9y⁴ Osservo che:

• il polinomio è composto da due termini

• i due termini sono due quadrati, infatti ^4x²⁼⁽^2x)² e 9y⁴=(3y²)²

• uno dei due quadrati compare con segno - e l'altro quadrato compare con + Posso quindi applicare la formula della differenza di due quadrati.

I termini ^a² e ^b² nella formula sono rappresentati da:

^a²^=4x² e ^b²^=9y⁴

(Osservazione: scelgo ^b²^=9y⁴ perché sono entrambi preceduti da un segno -) Si ha quindi che

^a=2x e b=3y²

Applicando la formula ottengo dunque:

^4x²^−9y⁴^=(2x−3y²^)(2x+3y²⁾

Polinomio

^a²^−b²

Quadrato preceduto da segno +

^a²

Quadrato preceduto da segno -

^b²

^a ^b ^(a−b)(a+b) Riprova

4x²−9y⁴ 4x² 9y⁴ 2x _3y² (2x−3y²)(2x +3y²) (2x−3y²)(2x+3y²)=

=4x²+6xy²−6xy²−9y⁴=

=4x²−9y⁴ x²−9b⁴

(15)

SCOMPOSIZIONE: QUADRATO DI UN BINOMIO Si usa la formula

^a²^+2ab+b²^=(a+b)² già incontrata per i prodotti notevoli.

^x⁴^+10x²^y+25y² Osservo che:

• il polinomio è composto da tre termini

• due dei tre termini sono quadrati, infatti ^x⁴⁼⁽^x²⁾² e 25y²=(5y)²

• l'altro termine è il doppio prodotto tra le basi dei due quadrati che ho appena individuato, infatti ^{2( x}²^{)(5y)=10 x}²^y

Posso quindi applicare la formula del quadrato di un binomio, dove

^a²⁼^x⁴ e ^b²^=25y² sono i due quadrati quindi ^a=x² e ^b=5y sono le due basi.

Applicando la formula ottengo dunque:

^x⁴^+10x²^y+25y²^=(x²^+5y)²

Osservazione 1: Eseguendo l'ultimo prodotto posso verificare la correttezza della scomposizione Osservazione 2: Se il doppio prodotto ha segno negativo allora le due basi sono discordi.

Polinomio

^a²^+2ab+b²

Primo quadr ato ^a²

Secondo quadrat o

^b²

a ^b

Controllo doppio prodotto

^2ab

Scomposizio ne

(a+b)²

Riprova

x⁴+10x²y+25y² x⁴ 25y² x² 5y 2( x²)(5y)=

=10 x²y

(x²+5y)² (x²+5y)²=

=x⁴+10x²y+25y² x²+8x+16

z⁶−6z³+9 4y+4y²+1 4a²b²+a⁴+4b⁴ a⁴−b²+2a²b a⁸−b²+2a⁴b

(16)

SCOMPOSIZIONE: TRINOMIO PARTICOLARE Si usa la formula

^x²+sx+ p=(x+a)(x+b)

dove s=a+b somma e _{p=a b} prodotto

^x²^+2x−15 Osservo che:

• il polinomio è composto da tre termini

• il coefficiente del termine di secondo grado (cioè di ^x²) è 1.

Posso quindi provare ad applicare il metodo del trinomio particolare.

Pongo dunque

s=2 coefficiente del termine di primo grado, cioè di x e _p=−15 termine noto (cioè non moltiplica alcuna lettera) Cerco dunque due numeri a e b tali che la loro somma è 2 e il loro prodotto è ⁻¹⁵

Partendo a considerare il prodotto, procedo per tentativi verificando ogni volta se la somma viene 2, cioè:

Le coppie di numeri che come prodotto danno ⁻¹⁵ sono:

Tentativo 1: La coppia (1,−15) dà come prodotto ⁻¹⁵

Per questa coppia verifico la somma: 1−15=−14 quindi non va bene.

Tentativo 2: La coppia (−1,15) dà come prodotto ⁻¹⁵

Per questa coppia verifico la somma: −1+15=14 quindi non va bene.

Tentativo 3: La coppia (5,−3) dà come prodotto ⁻¹⁵

Per questa coppia verifico la somma: 5−3=2 quindi VA BENE!

Ho quindi trovato i due numeri a e b che danno come prodotto ⁻¹⁵ e come somma 2, cioè:

_a=5 e _b=−3 Applicando la formula ottengo dunque:

^x²+2x−15=( x+5)( x−3)

(17)

Polinomio

x²+sx+ p

Somma s

Prodotto p

Coppia di numeri (a ,b) tali che

s=a+b e _{p=a b}

Scomposizione

(x+a)( x+b) Riprova

x²+2x−15 +2 −15 (5,−3) (x+5)( x−3) (x+5)( x−3)=

=x²+5x−3x−15=

=x²+2x −15 x²+7x+12

x²−6x+8 x²+6x+5 x²+6x+8 x²+7x+6 x²+8x+15 x²−3x−4 x²+x−6

ESERCIZI DI RIEPILOGO

Polinomio da scomporre Riconosci il tipo di scomposizione Scomponi il polinomio

−9+a² a²b−18b+b⁵c 4a²+12ab+9b²

b⁴−1

6a²+2a−3ab−b b²+8bc+16c² x²−5x+6

4ab+16b−3ax−12x

−25a⁴b²+9 9x²+25a⁴−30a²x 9x²+3x+3 12ac²+3a−6a²