MC-03-cinematica 1_v2

Il vettore rappresenta la posizione del punto P nello spazio.

r

!

rappresenta lo spostamento del punto P fra l’istante t e l’istante t . 1 2

r

r

r

!

!

!

−

=

Δ

VETTORE POSIZIONE E

VETTORE SPOSTAMENTO

La velocità vettoriale

del punto P è:

t

r

t

t

r

r

v

Δ

Δ

=

−

−

=

!

!

!

!

La velocità rappresenta la velocità media nell’intervallo (t₁,t₂). Quando l’ampiezza dell’intervallo _Δt diventa molto piccola (tende a zero), si ottiene la velocità istantanea che è un vettore tangente alla traiettoria.

v!

VELOCIT

À

VETTORIALE

x

Le componenti della

velocità vettoriale lungo gli assi di riferimento

rappresentano le velocità dei punti proiezione sugli assi x ed y.

Le proprietà della velocità esaminate nel piano (x,y) si generalizzano al moto nello spazio rispetto agli assi x,y,z.

x

v

!

VELOCIT

À

VETTORIALE

Come nel caso UNIDIMENSIONALE, se vogliamo il valore

istantaneo di velocità vettoriale dobbiamo considerare intervalli di tempo molto piccoli.

Cioè: v_{istantanea se Δt}à0 STUDIAMO LA DIREZIONE X[m] Y[m] _r r’ Δr traiettoria

VELOCIT

À

VETTORIALE

La DIREZIONE del vettore v_istantanea è quella della retta tangente alla TRAIETTORIA nel punto considerato.

X[m]

Y[m] _r

traiettoria

P₁ v1 P2 ! 1 v! 2 v! 2 v! v! Δ L’accelerazione vettoriale del punto P è:

t

v

t

t

v

v

a

Δ

Δ

=

−

−

=

!

!

!

!

L’accelerazione rappresenta l’accelerazione media nell’intervallo (t₁,t₂).

a

!

Quando l’ampiezza

dell’intervallo _Δt diventa molto piccola (tende a zero), si ottiene l’accelerazione istantanea. y x v! a!

L’accelerazione istantanea è sempre orientata verso la parte concava della traiettoria.

L’accelerazione è nulla solo e soltanto quando il vettore velocità è costante (moto rettilineo uniforme).

UNITÀ DI MISURA

r

!

"

#

$ = m

!

"

#

$

v

!

"

#

$ =

m

_s

!

"

%

#

$

& = m ⋅ s

!

_"

#

_$

a

!

"

#

$ =

m

s

s

!

"

%

%

%

#

$

&

&

&

=

m

s

!

"

%

#

$

& = m ⋅ s

!

_"

#

_$

Se la velocità vettoriale è costante il moto è rettilineo e sono percorsi spazi uguali in tempi uguali, cioè gli spazi percorsi sono proporzionali ai tempi impiegati.

Considerando l’asse x lungo la direzione del moto e passando dai vettori agli scalari, si ottiene:

dove x_o è la posizione iniziale (all’istante t=0).

Le variabili x e v sono numeri positivi o negativi, secondo le convenzioni già stabilite.

t

v

x

x

₌

₊

Il moto rettilineo

uniforme è

rappresentato da

una retta nel grafico

spazio-tempo.

La pendenza della

retta è la velocità del

moto.

v

t

t

x

x

pendenza

=

−

−

=

In tale moto, la velocità è rappresentata da una retta orizzontale nel grafico

velocità-tempo. 0 100 200 300 400 500 0 5 10 15 20 25 tempo (s) sp az io ( m ) 0 10 20 30 0 5 10 15 20 25 tempo (s) vel o ci tà (m /s)

Il moto rettilineo uniforme è rappresentato da una retta nel grafico spazio-tempo.

vt

x

x

₌

₊

MOTO RETTILINEO

In un moto rettilineo con accelerazione costante lungo l’asse x, la velocità è:

at

v

v

₌

₊

Lo spazio percorso è dato da

2 o o o o m m o at 2 1 t v x x at 2 1 v 2 v v v t v x x + + = + = + = + = x_o è la posizione iniziale (t=0) v_o è la velocità iniziale (t=0)

MOTO RETTILINEO

UNIFORMEMENTE ACCELERATO

x_o= 150 m v_o= 4 m/s a = 10 m/s2 0 500 1000 1500 2000 2500 0 5 10 15 20 25 tem po (s) sp az io ( m ) 0 50 100 150 200 250 0 5 10 15 20 25 tempo (s) v e lo c ita ` (m /s ) 0 2 4 6 8 10 12 0 5 10 15 20 25 tempo (s) accel er az io n e (m /s^ 2)

MOTO RETTILINEO

UNIFORMEMENTE ACCELERATO

x_o= 400 m v_o= - 75 m/s a = 8 m/s2 100₀ 200 300 400 500 600 0 5 10 15 20 25 tempo (s) sp az io (m ) -100 -50 0 50 100 0 5 10 15 20 25 tempo (s) v e lo c ita ` (m /s ) 0 2 4 6 8 10 0 5 10 15 20 25 tempo (s) accel er az io n e (m /s^ 2)

MOTO RETTILINEO

UNIFORMEMENTE ACCELERATO

x_o= 150 m v_o= 50 m/s a = - 8 m/s2 -150 -100 -50 0 50 100 0 5 10 15 20 25 tempo (s) v e lo c ita ` (m /s ) -10 -8 -6 -4 -2 0 0 5 10 15 20 25 tempo (s) accel er az io n e (m /s^ 2)

MOTO RETTILINEO

UNIFORMEMENTE ACCELERATO

x_o= 500 m v_o= - 4 m/s a = - 12 m/s2 -2500 -2000 -1500 -1000 -500 0 500 1000 0 5 10 15 20 25 tempo (s) sp az io (m ) -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 0 5 10 15 20 25 tempo (s) v e lo c ita ` (m /s ) -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 0 5 10 15 20 25 tempo (s) accel er az io n e (m /s^ 2)

MOTO RETTILINEO

UNIFORMEMENTE ACCELERATO

y

MOTO VERTICALE NEL

CAMPO DELLA GRAVITÀ

Fotografia stroboscopica di una mela che cade; gli intervalli di tempo sono uguali.

Un oggetto lasciato cadere da una torre cade con velocità crescente e copre distanze via

y

MOTO VERTICALE NEL

CAMPO DELLA GRAVITÀ

(a) Una palla ed un leggero pezzo di carta vengono lasciati cadere allo stesso istante. (b) Ripetizione dell’esperimento

(a) Una pietra e una piuma vengono lasciati cadere simultaneamente (a) in aria,

In vicinanza della

superficie terrestre tutti i corpi si muovono con la stessa accelerazione g = 9.8 m/s2 _{= 980 cm/s}2

gt

v

v

gt

2

1

t

v

y

−

=

−

=

y

g

!

MOTO VERTICALE NEL

CAMPO DELLA GRAVITÀ

Corpo lanciato verso l’alto:

raggiunge la massima altezza h=h_max quando la velocità è nulla (al tempo t=t_max).

2g

v

gt

2

1

t

v

h

g

v

t

0

gt

v

v

=

−

=

=

⇒

=

−

=

MOTO VERTICALE NEL

CAMPO DELLA GRAVITÀ

Le due sfere hanno velocità verticale iniziale nulla: esse cadono in verticale con la stessa legge.

MOTO NEL

Se la velocità iniziale non è lungo la

verticale il corpo descrive una parabola. La velocità orizzontale rimane costante, mentre la velocità verticale varia.

a = g = 9.8 m/s2

Un punto materiale ha velocità iniziale v₀ inclinata di un angolo θ sull’orizzontale.

Vogliamo determinare la traiettoria del punto materiale. Si osserva che l’accelerazione è presente solo nella

direzione Y.

SUPERFICIE TERRESTRE X

Y

v_{0 θ}

Scriviamo separatamente le equazioni orarie del punto materiale su asse X ed asse Y.

MOTO DEL PROIETTILE (2)

Che tipo di Equazioni orarie governano il moto del punto materiale?

SUPERFICIE TERRESTRE X

Y

v₀

θ

Su asse X non c’è accelerazione: equazione del moto rettilineo uniforme.

Su asse Y c’è accelerazione g: equazione del moto uniformemente accelerato.

MOTO DEL PROIETTILE (3)

θ

_θ

Si scompone la velocità iniziale secondo le componenti X e Y.

x = v_0xt

y = v_0yt − 1

2 gt

2

Le due equazioni orarie sono:

MOTO DEL PROIETTILE (4)

Dalle due equazioni orarie si elimina il tempo e si ricava l’equazione della

traiettoria: t=x/v_0x y = v_0y x/v_0x –g(x/v_0x)2_/2à y = –(g/2v_0x2_)x 2 _+(v 0y/v0x)x X Y v₀ θ v_0x v_0y

Equazione di secondo grado del tipo: y = ax 2_+bx+c

MOTO DEL PROIETTILE (6)

Dalle due equazioni orarie e dalla equazione della traiettoria si possono ricavare molte caratteristiche salienti sul moto.

1.  Quanto tempo il proiettile resta in aria?

2.  Qual è la massima altezza raggiunta?

ESERCIZI (1)

Problema 1

Un sasso viene lanciato con una velocità di modulo pari a v = 17 m/s e con un angolo di θ = 58° sopra l’orizzontale.

Trascurando la resistenza dell’aria, determinare il tempo impiegato a raggiungere la massima altezza.

Soluzione

Nel punto di massima altezza la componente y della velocità è nulla.

Se t* _{è il tempo impiegato a raggiungere la massima altezza:}

V_y(t*_{) = 0}

Ma V_y = V_0y-gtà0 = V_0y-g t* _{à t}* _{= V}

0y/g = V0sen θ /g

ESERCIZI (2)

Problema 1

Un aereo da soccorso vola ad una velocità v = 360 km/h alla quota

costante di h = 490 m. Quale distanza x, misurata sull’orizzontale, percorre un pacco lasciato cadere dall’aereo?

Soluzione

La velocità iniziale ha SOLO la componente orizzontale, che rimane costante. x= V_0xt con V_0x = 360 km/h

E’ necessario determinare t* _{= tempo impiegato dal pacco a raggiungere}

il suolo y=h-gt2_{/2à 0=h-g t}* 2_{/2 à t}*2_{=2h/g à t}* _{= (2h/g)}1/2 x = V_0x (2h/g)1/2