CA 04 Modi e Stabilita' di un sistema

Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia Automation

Robotics and System CONTROL

Corso di laurea in Ingegneria

Meccatronica

MODI E STABILITA’ DEI SISTEMI

MODI E STABILITA’ DEI SISTEMI

DINAMICI

Antitrasformate di Laplace

סּ

La determinazione dell'evoluzione libera e

dell'evoluzione forzata di un sistema lineare stazionario

si riportano all'antitrasformazione di un rapporto di

polinomi in s, cioè di una funzione del tipo

)

(

)

(

...

)

(

)

(

)

(

0 1 1

s

X

s

b

s

X

s

b

s

b

s

b

s

X

s

F

s

Y

m i i i i i m m m m

∑

= − −

+

+

₌

+

=

=

סּ

Si definisce

_n-m

grado relativo della funzione razionale

F(s)

סּ

Per la fisica realizzabilita’ del sistema occorre che:

n > m

n – m > 0

Marzo - Giugno 2011

)

(

)

(

...

...

)

(

)

(

)

(

0 0 0 1 1 1

s

X

s

a

s

X

a

s

a

s

a

s

b

s

b

s

b

s

X

s

F

s

Y

_n i i i i n n n n i m m

∑

∑

= = − − −

₌

+

+

+

+

+

+

=

=

2 CA-04-ModiStabilità

Antitrasformata di Laplace

F(s)

X(s)

Y(s)

₍

₎

0

₍

₎

s

X

s

a

s

b

s

Y

_n i m i i i

∑

∑

=

=

Dalla Funzione di Trasferimento e’

possibile determinare l’uscita del

sistema una volta applicato un

determinato ingresso

0

s

a

i i i

∑

=

Applichiamo un ingresso impulsivo

∑

m

i

s

b

Grado Relativo

Se:

סּ grado relativo ¸ 1

Frazione strettamente propria: si può scomporre il rapporto di P(s) e Q(s) in una somma di termini facilmente antitrasformabili, detta somma di fratti semplici. Esempio:

סּ _{grado relativo = 0}

Dividendo i polinomi si ottiene la somma di una costante e di una frazione strettamente propria, che si possono antitrasformare indipendentemente

(l'antitrasformata della costante è la stessa moltiplicata per un impulso di Dirac). Esempio:

Antitrasformata di Laplace

סּ E’ noto che un polinomio di grado n a coefficienti reali ammette n zeri reali o

complessi, cioè l'equazione algebrica ottenuta imponendo l'annullarsi di un polinomio

ammette n radici reali o complesse. Se fra tali radici ve n‘è una complessa, vi è pure la sua coniugata.

Antitrasformate di Laplace

סּ

Siano p

1

, … , p

n

le sue radici, per cui il polinomio

Φ

(s) si

può scrivere nella forma fattorizzata

In particolare, se z

₁

, … ,z

_m

e p

₁

, …,p

_n

sono

rispettivamente gli zeri di P(s) e Q(s) (polinomio a

rispettivamente gli zeri di P(s) e Q(s) (polinomio a

numeratore e a denominatore di F(s)) si ha la forma

fattorizzata

in cui con

K (=b

_m

)

si è indicato un opportuno coefficiente

reale.

Zeri e Poli

סּ

Si definiscono le costanti complesse:

z

₁

, …, z

_m

zeri di

F(s)

p

₁

, …, p

_n

poli di

F(s)

סּ

Una funzione razionale è completamente determinata, a

meno di un fattore costante K, una volta assegnati i suoi

zeri e i suoi poli.

Antitrasformate di Laplace

סּ

Esempio

סּ

Esempio

Antitrasformata di Laplace

∑

∑

=

₌

=

n j m i i

s

_c

b

Riscriviamo in la Funzione di Trasferimento come somma di Fratti

semplici (Fattorizzazione)

Residuo, da calcolarsi per soddisfare

l’uguaglianza

∑

∑

∑

= = =

−

=

=

n j _j j n i i i i

p

s

c

s

a

s

Y

1 0 0

)

(

Antitrasformata di Laplace

H(s)

La Fattorizzazione della Funzione di Trasferimento corrisponde alla

suddivisione della risposta impulsiva in elementi “semplici”, chiamati modi

del Sistema

1 1

p

s

c

−

c

Marzo - Giugno 2011 CA-04-ModiStabilità

X(s)

Y(s)

2 2

p

s

c

−

n n

p

s

c

−

10

Modo del Sistema

t

p

e

c

p

s

c

L

1

1

1

1

1

=













−

−

Si definisce Modo di un Sistema l’antitrasfomata (

funzione nel

dominio del tempo

) di ciascun fratto semplice in cui viene

fattorizzata la Funzione di Trasferimento

p

s

₁

_



−

Modo del sistema (Caso in cui la Funzione di

Trasferimento ha tutti i poli semplici)

Modi di un Sistema

La somma dei modi di un sistema corrisponde all’uscita del Sistema

a cui e’ applicato l’ingresso Impulso di Dirac

t

p

t p

e

c

1 1

)

(t

δ

Marzo - Giugno 2011 CA-04-ModiStabilità

Controlli Automatici

t

p

e

c

2

2

t p n n

e

c

)

(t

δ

)

(t

y

12

Antitrasformate di Laplace

סּ

Antitrasformazione in caso di poli semplici

סּ

Antitrasformazione in caso di poli multipli

Antitrasformate di Laplace – Poli

semplici

סּ _{Lo sviluppo della F(s) in somma di fratti semplici corrisponde all'espressione}

K

_i

:

residui relativi ai vari poli

p

_i

Reali

in corrispondenza di poli reali

Complessi coniugati

סּ _{I residui si possono ricavare facilmente da}

Marzo - Giugno 2011

Complessi coniugati

in corrispondenza di poli complessi coniugati

14 CA-04-ModiStabilità

Antitrasformate di Laplace – Poli

semplici

סּ _Riassumendo:

סּ Complessivamente, si ha: סּ Complessivamente, si ha:

Antitrasformate di Laplace – Poli

semplici

ESEMPIO

סּ _Sia

I residui sono:

e infine, antitrasformando i singoli termini, si ottiene Marzo - Giugno 2011 -0.10 2 4 6 8 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Tempo (sec) f( t) f(t) 16 CA-04-ModiStabilità

Antitrasformate di Laplace – Poli

semplici

סּ Quando si hanno coppie di poli complessi coniugati, nella antitrasformata f(t) sono presenti

esponenziali complesse moltiplicate per coefficienti complessi: essi si possono però facilmente ricondurre a prodotti di esponenziali reali per funzioni trigonometriche applicando le formule di Eulero.

σ

j

ω

φ

e

j φ

Si abbiano infatti i poli complessi coniugati

Antitrasformate di Laplace – Poli

semplici

סּ Posto

mettendo in forma polare i residui (u₁+j v₁ = M ejφ1) si può scrivere

da cui, antitrasformando, si ottiene da cui, antitrasformando, si ottiene

funzione che, infine, si può porre nella forma

Antitrasformate di Laplace – Poli

semplici

סּ _Sia

Scomponendo in fratti semplici e calcolando i residui si deduce

Antitrasformate di Laplace – Poli

semplici

4 5 6 7 f(t) 0 2 4 6 8 10 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Tempo (sec) f( t)

Antitrasformate di Laplace – Poli

semplici

סּ _{Dovendo antitrasformare l'espressione generale}

si può ricorrere all'impiego di tabelle, che riportano le antitrasformate di alcuni fratti elementari. Per usare tali tabelle, anzitutto si pone lo sviluppo in fratti semplici nella forma

1

−

=

Un Esempio: Risposta al gradino

unitario

Risposta al gradino unitario di un sistema elementare del primo ordine.

סּ Se per esempio:

סּ Antitrasformando i due termini si ha:

סּ _{A parte un guadagno, la risposta è del tipo}

f(t) = 1 – e

-t/τ

סּ La risposta è dunque caratterizzata dal valore di

τ

(costante di tempo)

Antitrasformate di Laplace – Poli

semplici

סּ _{Per ottenere i termini del primo ordine dai corrispondenti termini della F(s) basta}

eseguire opportune posizioni.

Infatti in questo caso i poli p_i sono reali e quindi:

dove il parametro

ττττ

costante di tempo

ττττ

_i costante di tempo

caratterizza la risposta al gradino unitario del sistema elementare del primo ordine.

j

ω

Antitrasformate di Laplace – Poli

semplici

סּ _{Andamento di}

f(t) = 1 – e

-t/τ _{per diversi valori di}

τ

_{(=5, 4, 3, 2, 1)}

j

ω

Piano s

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1-exp(-t/ττττ) 63,2%

ττττ

= 1 Marzo - Giugno 2011

σ

σ

= -1/

τ

0 2 4 6 8 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 x x x Tempo (sec) Al diminuire di ττττ, la “velocità” dell’uscita aumenta

ττττ

= 5

ττττ

= 1 x

ττττ

= 5 x 24 CA-04-ModiStabilità

Antitrasformate di Laplace – Poli

semplici

סּ _{Per quanto riguarda i termini relativi ai poli complessi coniugati, si ha}

che equivale ad un termine del tipo

in cui si è posto in cui si è posto

Antitrasformate di Laplace – Poli

semplici

סּ _{Risposta a gradino di un termine del secondo ordine}

1 1.5 Marzo - Giugno 2011 0 2 4 6 8 10 0 0.5 Tempo (sec) 26 CA-04-ModiStabilità

Antitrasformate di Laplace – Poli

semplici

סּ _{Avendo posto lo sviluppo in fratti nella forma}

Antitrasformate di Laplace – Poli

multipli

סּ _{Si suppone che gli n poli della funzione razionale F(s) si possano dividere in h gruppi,}

ciascuno formato da r_i (i = 1, … ,h) poli coincidenti.

In altre parole, si suppone che si abbiano h poli diversi p_i (i = 1, … , h), ciascuno caratterizzato da un ordine di molteplicità r_i ¸ 1. Naturalmente è

סּ _{Lo sviluppo in fratti semplici in questo caso è dato da}

סּ in cui le costanti K

il si ricavano mediante la formula

Antitrasformate di Laplace – Poli

multipli

סּ _{Facendo uso della proprietà di linearità e della relazione}

si può infine ottenere l'antitrasformata come

Anche in questo caso i coefficienti K_i sono complessi coniugati in

Antitrasformate di Laplace – Poli

multipli

סּ _{Esempio: Sia}

Calcolando i residui si deduce

e pertanto

da cui, antitrasformando

Antitrasformate di Laplace – Poli

multipli

סּ _{Si ottiene:} 0.14 0.16 0.18 f(t) 0.06 0.08 0.1 0.12 f( t)

Antitrasformate di Laplace

סּ

Nel calcolo di una antitrasformata si ottengono termini del

tipo:

A) K, K eσt_{, K e}σt _sin(

ω

_{t +}

φ

_{) poli semplici}

B) K th_{, K t}h _eσt_{, K t}h _eσt _sin(

ω

_{t +}

φ

_{) poli multipli}

Antitrasformata di Laplace – Modi di un sistema

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 f( t) K * exp(σσσσt) σσσσ= 0 σσσσ> 0 σσσσ< 0

K e

σt -3 -2 -1 0 1 2 3 f( t) K * exp (σσσσt) * sin(w t + f) σσσσ= 0 σσσσ> 0 σσσσ< 0 K eσt _sin(

ω

_{t +}

φ

₎ Poli semplici 0 2 4 6 8 10 0 0 2 4 6 8 10 -3 1.5 2 2.5 K * t * exp(σσσσt) σσσσ< 0, j = 2

K t

j

_e

σt 0.5 1 1.5 2 2.5 K * t 2 * exp(σσσσt) * sin(w t + f) σσσσ< 0, j = 2

K t

j

_e

σt

_sin(

ω

_{t +}

φ

₎

Antitrasformata di Laplace

Risultato fondamentale:

סּ l'antitrasformata di una funzione razionale fratta rimane limitata se e solo se la

funzione da antitrasformare

– non presenta alcun polo a parte reale positiva e

– gli eventuali poli a parte reale nulla sono semplici,

diverge in caso contrario.

סּ _{I poli che caratterizzano la trasformata della risposta di un sistema dinamico}

lineare stazionario a un segnale di ingresso la cui trasformata di Laplace sia una lineare stazionario a un segnale di ingresso la cui trasformata di Laplace sia una funzione razionale fratta (come l'impulso di Dirac, il gradino, la sinusoide) sono quelli della funzione di trasferimento, più quelli relativi al segnale di ingresso.

Convergenza dei Modi

סּ

Come si è visto, la posizione dei poli della funzione di

trasferimento (i poli del sistema) rispetto all'asse

immaginario influisce sulla proprietà di convergenza del

modo corrispondente.

סּ

Definizione:

–

Un modo m(t) si dice convergente a zero se:

–

Un modo m(t) si dice convergente a zero se:

–

Un modo m(t) si dice limitato se esiste una costante M:

0

)

(

lim

_t

_→

_∞

m

t

=

∞

<

=

M

t

m

(

)

|

|

lim

Proprieta’ di convergenza

dei modi

סּ

In base alla relazione che esiste tra ciascun polo del

sistema e il corrispondente modo, possiamo affermare

che:

–

Se un polo ha parte reale negativa, il corrispondente modo

e’ convergenze a zero.

–

Se un polo semplice ha parte reale nulla, il corrispondente

–

Se un polo semplice ha parte reale nulla, il corrispondente

modo e’ limitato

–

Se un polo ha parte reale positiva, oppure ha parte reale

nulla ma e’ di molteplicita’ maggiore di uno, il

corrispondente modo e’ divergente.

Definizione di Stabilita’ di un Sistema

סּ

Sia dato un sistema in quiete, cioe’ un sistema per cui l’uscita y(t)

rimarrebbe costante in presenza di ingresso costante (o nullo).

סּ

Si sottoponga al sistema un ingresso impulsivo (una approssimazione

dell’impulso di Dirac).

סּ

_Definizione:

–

Il sistema si dice asintoticamente stabile se:

0

)

(

lim

y

t

=

–

Il sistema si dice semplicemente stabile se esiste M:

0

)

(

lim

_t

_→

_∞

y

t

=

∞

<

=

∞

→

y

t

M

t

|

(

)

|

lim

Proprieta’ di Stabilita’

di un Sistema

סּ

Siccome la riposta di un sistema all’ingresso impulsivo e’

data dalla somma dei modi del sistema, il cui carattere di

convergenza e’ a sua volta dipendente dal polo

corrispondente:

–

Un sistema e’ asintoticamente stabile se tutti i poli hanno

parte reale negativa.

parte reale negativa.

–

Un sistema e’ semplicemente stabile se tutti i poli hanno

parte reale negativa e se esistono poli semplici a parte

reale nulla.

–

Un sistema e’ instabile se esiste anche un solo polo a

parte reale positiva, oppure un polo a parte reale nulla di

molteplicita’ maggiore di uno.

Sommario

סּ

Abbiamo definito due concetti:

–

I modi di un sistema, come antitrasformata di Laplace della

risposta libera della Funzione di Trasferimento.

–

Il carattere di convergenza dei modi, e quindi la stabilità

del sistema fisico descritto dal modello matematico.

סּ

Riferimenti al libro di testo:

סּ

Riferimenti al libro di testo:

–

La stabilità in termini generali è trattata nel capitolo 2.6, da

pag. 41.

–

I modi del sistema (trattati con il formalismo nello spazio

degli stati e autovalori) sono trattati nel capitolo 3.2.5, da

Assignment 4.1

סּ

Calcolare la antitrasformata di Laplace delle seguenti

funzioni nella variabile complessa s:

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Robotics and System CONTROL