Candidato: Alessandro Iacopetti Relatore: Dott. Antonio Tarsia
Controrelatore: Prof. Paolo Acquistapace
Titolo: Sistemi ellittici totalmente non lineari del secondo ordine Data discussione: 28 marzo 2008
In questa tesi vogliamo esporre i principali risultati riguardanti l’esistenza e l’uni-cit`a della soluzione per il problema di Dirichlet, la regolarit`a all’interno e al bordo, per sistemi differenziali totalmente non lineari di tipo ellittico. In particolare ci occupiamo di sistemi del secondo ordine in forma non variazionale.
Esistono diverse definizioni di ellitticit`a per i sistemi differenziali lineari: ad esem-pio possiamo citare la Condizione di Legendre, quella di Legendre-Hadamard, quella di Cordes e la Condizione (A) di Campanato. Noi utilizziamo quest’ultima nella sua formulazione per sistemi non lineari.
La Condizione (A) ha il pregio di essere strettamente correlata alla Teoria degli operatori vicini, la quale permette di trovare, in maniera semplice ed elegante, risul-tati di esistenza e di unicit`a della soluzione. Inoltre, questa condizione di ellitticit`a permette agevolmente di ottenere teoremi di regolarit`a all’interno negli spazi Lp,λ di
Morrey e negli spazi Lp,λ di Campanato.
Nel primo capitolo esponiamo in modo esauriente tutti i principali risultati della Teoria degli operatori vicini, il cui nucleo centrale `e il Teorema fondamentale, il quale stabilisce che se A, B : X → Y sono applicazioni fra spazi di Banach, e A `e vicina a B (in un senso che precisiamo), allora, se B `e una bigezione, anche A lo `e. Come conseguenza della teoria, viene anche dimostrata una generalizzazione del Teorema di Lax-Milgram ad operatori non lineari surgettivi, ed un teorema che generalizza il Teorema delle funzioni implicite di Hildebrandt-Graves.
Nel secondo capitolo illustriamo vari teoremi di regolarit`a all’interno per sistemi ellittici di diversa natura, ed un risultato di esistenza ed unicit`a globale per il problema di Dirichlet relativo a sistemi ellittici in forma quasi base, ossia aventi parte principale del tipo F (x, D2u). L’idea della dimostrazione del Teorema di esistenza ed unicit`a
globale `e di provare che l’operatore F (x, D2u) `e vicino all’operatore di Laplace, per poi concludere grazie al Teorema fondamentale della teoria degli operatori vicini. Infatti, come `e noto dalla teoria dei sistemi ellittici lineari, l’operatore di Laplace `e una bigezione fra gli spazi H2(Ω, RN) ∩ H01(Ω, RN) e L2(Ω, RN), dove Ω `e un aperto limitato, convesso ed avente frontiera regolare.
Le dimostrazioni dei teoremi di regolarit`a delle soluzioni seguono il metodo di Campanato: ricavare la differenziabilit`a delle soluzioni, ottenere maggiorazioni di
tipo Caccioppoli e di tipo Poincar´e, e l’utilizzo dei cosiddetti lemmi algebrici.
Per quanto riguarda i sistemi in forma completa, ossia con parte principale del tipo F (x, u, Du, D2u), attraverso il Teorema del punto fisso di Birkhoff-Kellogg-Schauder,
otteniamo un risultato di esistenza locale, e proviamo un teorema di h¨olderianit`a locale delle soluzioni.
Nel terzo ed ultimo capitolo, forniamo un risultato di regolarit`a (differenziabilit`a) fino al bordo per il problema di Dirichlet su una semisfera, relativo a sistemi ellittici omogenei in forma base, ossia del tipo F (D2u) = 0. Occorre sottolineare che, mentre
per i sistemi non lineari variazionali esistono diversi lavori riguardanti la regolarit`a al bordo, per quelli in forma non variazionale resta ancora aperto il problema di sviluppare una teoria della regolarit`a negli spazi Lp,λ.
