insertae. 6. Regulae elegantiarum Francisci nigri cum explanatione Clichthove. 7. Magistratum Rhomanorum diligens declaratio. 8. Item Io. Badii Ascensii de recte scribendi ratione compendiosa [· · ·] 9. Apex Ascensianus de graecis dictionibus [· · ·] 10. Eiusdem de orthographia cum arte diphthongandi Guarini Veronensis regulae commodissimae. 11. De eadem exactum Georgii Vallae compendium. 12. Item divi-siones praeceptorum et Augustini Dathi et Francisci Nigri novissime superadditae per Ioannem Mediovillanum. 13. Addita praeterea sunt [· · ·] duo aurea eiusdem Dathi opuscula [· · ·] characteribus Basiliensium [· · ·] excusae: Adam Petri, 1520;
• In hoc libro contenta. Opus magnorum moralium Aristotelis, duos libros complectens: Girardo Ruffo Vaccariensi interprete. Eidem no-ve traductioni e graeco in latinum, adiectus ad literam commentarius: cum annotationibus obscuros locos explanantibus. Altera eiusdem ope-ris magnorum moralium interpretatio, per Georgium Valla Apud Lu-tetia Parisiorum: in officina libraria Simonis Colinaei, [· · ·] 1522 [· · ·] vicesima Septembri;
• Alexandri Benedicti physici anatomice sive historia corporis humani. Adie tum est huic opusculum Georgii Vallae Placentini eiusdem rei sive argumenti, elegans sane et perutile. Eucharius excudebat, 1527. • Georgii Vallae placentini [· · ·] De simplicium natura liber unus.
Argen-tine: per Henricum Sybold, 1528 mense augusto;
• In Ciceronis partitiones commentaria Georgii Vallae. Parisiis: ex offi-cina Roberti Stephani e regione scholae decretorum, 1528;
• Georgii Vallae Placentini viri clariss. De natura oculorum, item Aristo-telis problemata quae ad oculos pertinent. Argentorati: per Henricum Sybold mense Martio (pubblicata presumibilmente nel 1529;
• Georgii Vallae Placentini viri clariss. De natura partium animalium. Argentorati: per Henricum Sybold, 1529. mense Martio;
• Georgius Valla Placentinus De tuenda sanitate per victum et quae se-cundum cuiusque naturam in victu sequenda aut fugienda sunt. Paulus Aeginata De ciborum facultatibu. Aegentorati: per Henricum Sybold, mense Augusto (pubblicato presumibilmente nel 1529);
• Georgii Vallae Placentini viri clarissimi de urinae significatione, ex pocrate, Paulo Aeginata, ac Theophilo item Galeni Quaestiones in
Hip-pocratem Dioclis epistola, de bona valetudine tuenda, ad Antigonum regem. Argentorati: per Henricum Sybold, 1529;
• Pselli De victus ratione ad Constantinum Imperatorem libri 2. Rhazae, cognomento experimentatoris, De pestilentia liber. Georgio Valla Pla-centino interprete. Ioannis Manardi [· · ·] In artem Galeni medicinalem luculenta expositio. Basileae: in aedibus Andreae Cratandri, mense Iulio, 1529;
• De inventa medicina, et in quot partes distributa sit. Isagogai Ioan-nitii medici illustris. Argentorati: per Henricum Sybold (pubblicato presumibilmente nel 1530);
• Georgius Valla Placentinus De corporis commodis et incommodis. Eiu-sdem De differentia pulsuum Problemata Aristotelis de re medica. Dia-logus Parthenii de sectione humani corporis. Argentorati: per Henri-cum Sybold, mense Iulio, 1530;
• De mundo Aristotelis lib.1. Philonis lib.1. Gulielmo Budaeo inter-prete. Cleomedis lib.2. Georgio Valla interinter-prete. Aristotelous Peri kosmou, pros Alexandron bibl.en. Philonos Ioudaiou Peri kosmou bi-bl.en. Ad haec Scholion doctiss. in aristotelis libellum De mundo, Simone Grynaeo authore [· · ·] Basileae: apud Ioan. Valderum, mense Martio, 1533;
• Georgii Trapezuntii De re dialectica liber, scholiis Ioannis Neomagi, et Bartholomaei Latomi illustratus. Accessit Georgii Vallae Placen-tini de expedita ratione argumentandi libellus, cum Petri Mossellani Protogensis in eiusdem categoremata ac categorias scholiis. Lugduni: apud Antonium Vincentium, 1553 (Lugduni: excudebat Petrus Fradin, 1533);
• Georgii Trapezuntii De re dialectica liber, scholiis Ioannis Neomagi, et Bartholomaei Latomi illustratus. Accessit Georgii Vallae Placen-tini de expedita ratione argumentandi libellus, cum Petri Mossellani Protogensis in eiusdem categoremata ac categorias scholiis. Lugduni: apud Antonium Vincentium, 1553 (Lugduni: excudebat Petrus Fradin, 1533);
• Marci Tullii Ciceronis Tusculanarum quest. libri quinque, cum Phi-lippi Beroaldi Bononiensis, et Georgii Vallae Placentini Commentariis. Parisiis: apud Michaelem Vascosanum, in via sancti Iacobi, sub signo Fontis, 1533;
• Contenta decem librorum Moralium Aristotelis, tres conversiones: pri-ma Argyropyli Byzantii, secunda Leonardi Aretini, tertia vero Antiqua, per capita et numeros conciliatae: communi, familiarique commenta-rio ad Argyropylum adiecto. 1. Fab. introductio in Ethicen. Magna moralia Aristot. Georgio Valla interprete. Parisiis: ex officina Simonis Colineani, 1535 (In almo Parisiensium studio: impensis, sumptibus et diligentia Simonis Colinaei, 1535 Calendis Octobris);
• Decem librorum Moralium Aristotelis, tres conversiones: prima Argy-pyli Byzantii, secunda Leonardi Aretini, tertia vero antiqua, per capita et numeros conciliatae: communi, familiarique commentario ad Argy-ropylum adiecto. 1. Fab. introductio in Ethicen. Magna moralia Ari-stot. Georgio Valla interprete. Leonardi Aretini dialogus de moribus. Index in Ethicen. Item in Magna moralia. Parisiis: ex officina Simonis Colinaei: in almo Parisiensium studio, 1535. Calendis Octobribus; • M.Tul. Ciceronis, De partitione oratoria, dialogus, Iacobi Strabaei, ac
Georgii Vallae commentariis illustratus. Lugduni: apud Seb. Gry-phium, 1536;
• M. Tul. Ciceronis, De partitione oratoria, dialogus, Iacobi Strebaei, ac Georgii Vallae commentariis illustratus. Lugduni: apud Seb. Gry-phium, 1538;
• Nemesii philosophi clarissimi De natura hominis liber utilissimus. Gior-gio Valla Placentino interprete. Lugduni: apud Seb. Gryphius, 1538; • Georgii Trapezuntii De re dialectica libellus perquam utilis summa
ac-curatione emendatus cum Ioannis Noviomagi scholiis ab eodem iam tertio recognitis, atque locupletatis. Adiectus est Georgii Vallae Pla-centini De expedita ratione argumentandi libellus, cum Petri Mosellani Protegensis in eiusdem Categoremata ac Categorias scholiis. Venetiis: apud Ioannem de Ferris, et fratres, de Rivoltella, 1540;
• M.T. Ciceronis De Fato liber. Parisiis: ex officina Michaelis Vascosani, in via quae est ad D. Iacobum, sub fontis insigni, 1541;
• Claudii Ptolomaei [· · ·] Omnia, quae extant, opera, Geographia excep-ta, quam seorsim quoque hac forma impressimus [· · ·] Basileae: apud Henricum Petrum, Mense Martio 1541;
• Galeni septima classis artem morborum curatricem describit: promp-taque ad id opus remedia quem plurima subjungit, necnon quae ad
de-ligationes, luxationes et fracturas attinet, chirurgiam. Venetiis: apud haeredes Lucaeantonii Juntae, 1541;
• L. Vitruvii Roscii Parmensis De comoda ac perfecta elocutione. Epi-stolarum scribendarum ratio, per Marinum Scodrensem. Clausulae fa-miliarum epistolarum Ciceronis [...] per Joannem Gabrielem oratorem Senensem. D. Erasmi Roterodami Opus de conscribendis epistolis, in compendium redactum, per Joan. Erverveldem Monhemium. Georgii Vallae De orthographia. Basileae: Robert Winter; 1541.
• Alexandri Aphrodisei [· · ·] De febribus causis et differentiis, opusculum comprimis eruditum a Georgio Valla Placentino latinitate donatum. In librum, Ioannis Damascein principis Arabum medici, de exquisi-ta febrium curatione compendiosum diegema. Albano Torino autho-re. Eiusdem Aphorismorum libellus eodem Torino. In inclyta Basilea (Apud inclytam Basileam: in officina Roberti Vinthera, 1542. mense Septembri);
• Nicephori [· · ·] Compendiaria de arte disserendi ratio, omnium eru-ditorum iudicio absolutissima, Georgio Valla [· · ·] interprete. Chirii Fortunatiani Consulti Dialectica caeteris omnibus et doctior et argu-tior. Georgii Vallae [· · ·] De expedita ratione argumentandi libellus, ad Nicephori imitationem factus. Basileae, 1542;
• De partitione oratoria M.T. Ciceronis dialogus Jacobi Lodoici Stre-baei ac Georgii Vallae Placentini commentariis, illustratus. Quibus iam recens adiecimus, Bartholomaei Latomi in eundem enarrationes. Lugduni: apud Seb. Gryphium, 1545;
• Georgii Trapezuntii De re dialectica liber, scholiis Ioannis Neomagi, et Barthol. Latomi illustratus. Accessit Georgii Vallae Placentini de ex-pedita ratione argumentandi libellus, cum Petri Mosellani Protegensis in eiusdem categoremata ac categorias scholiis. Lugduni: Godefridus et Marcellus Beringi fratres excudebant, 1545;
• Georgii Trapezuntii De re dialectica liber, scholiis Ioannis Neomagi, et Barthol. Latomi illustratus. Accessit Georgii Vallae Placentini de ex-pedita ratione argumentandi libellus, cum Petri Mosellani Protogensis in eiusdem categoremata ac categorias scholiis. Lugduni: apud An-tonium Vincentium, 1545 (Lugduni: Godefridus et Marcellus Beringi fratres excudebant, 1545);
• M.T. Ciceronis Tusculanarum quaestionum libri 5, ad vetustiss. exem-plar manu scriptum summa diligentia correcti et emendati: ac com-mentariis clariss. virorum Georgii Vallae, Philippi Beroaldi, et Ioa-chimi Camerarii: deinde Erasmi Roterodami, Iani Pagnini, et Pauli Manutii variis lectionibus et scholiis illustrati. Cum indice rerum ac verborum locupletiss. Parisiis: Apud Vascosanum, via Iacobaea, ad insigne Fontis, 1549;
• De usu astrolabi compendium, schematis commodissimis illustratum, ac mendis quamplurimus repurgatum. Authore Ioanne Martino Pobla-cion. Cui accessit Procli Diadochi Fabrica, ususque astrolabi, Geor-gio Valla Placentino interprete. Praeterea Gregorae Nicephori Astrola-bus, eodem interprete. Lutetiae: apud Gulielmum Cavellat, in pingui Gallina, ex adverso collegii Cameracensis, 1554;
• De partitione oratoria M.T. Ciceronis dialogus, Iacobi Lodoici Stre-baei, Georgii Vallae Placentini, ac Bartholomaei Latomi commentariis, illustratus. Quibus iam recens adiecimus Christophori Hegendorphini scholia. Lugduni: apud Seb. Gryphium, 1554;
• De usu astrolabi compendium, schematibus commodissimis illustratum, ac mendis quamplurimis repurgatum. Authore Ioanne Martino Pobla-cion. Cui accessit Procli Diadochi Fabrica, ususque; Astrolabi, Georgio Valla Placentino interprete. Praeterea Gregoriae Nicephori Astrola-bus, eodem interprete. Lutetiae: apud Gulielmum Cavellat, in pingui Gallina, ex adverso collegii Cameracensis, 1556;
• Dialecticae elementa absolutissima. Georgio Valla [...] interprete. Chi-rii Fortunatiani Consulti dialecticae incunabula. Eiusdem computus christianus. Georgii Vallae [...] de expedita ratione argumentandi liber. Basileae, 1558;
• Georgii Trapezuntii De re dialectica liber, scholiis Ioannis Neomagi, et Bartholomaei Latomi illustratus. Accessit Georgii Vallae [· · ·] De expedita ratione argumentandi libellus, cum Petri Mosellani [· · ·] in eiusdem categoremata ac categorias scholiis. Lugduni: apud haered. Sep. Gryphii, 1559;
• Aristotelis Stagiritae Libri Omnes, quibus tota Moralis Philosophia, quae ad formandos mores tum singulorum, tum familiae, tum civitatis, spectat, continetur. Quorum seriem versa pagella indicabit. Lugduni: apud haeredes Iacobi Iuntae, 1560 (Lugduni: ex typographia Theobaldi Pagani);
• Galeni omnium operum. Sexta classis, Curandi rationem. Extraordi-nem classium libri, Hoc volumen omnes eos libros continet, quos non esse classicos existimavimus. Venetiis: apud Vincentium Valgrisium, 1562;
• 5: Aristotelis Stagiritae Libri omnes, quibus tota moralis philosophia, quae ad formandos mores tum singulorum, tum familiae, tum civita-tis, spectat, continetur. Omnia ad Graecum exemplar recognita: quo-rum seriem versa pagella indicabit. Tomus quintus. Lugduni: apud Ioannam Iacobi Iuntae F., 1579;
• Aristotelis Stagiritae Libri omnes, quibus tota moralis philosophia, quae ad formandos mores tum singulorum, tum familiae, tum civitatis, spectat, continetur. Omnia ad Graecum exemplar recognita: quorum seriem versa pagella indicabit. Tomus quintus. Lugduni: apud Ioan-nam Iacobi Iuntae F., 1579. (Ed. a cura di Ioannis Bernardus Feli-cianus, Georgius Valla, Alexandrus Chamaillardus, Leonardus Aretino, Bernardinus Donatus.);
• 5: Aristotelis Stagiritae Libri omnes, quibus tota moralis philosophia, quae ad formandos mores, tum singulorum, tum familiae, tum civitatis, spectat, continetur. Omnia ad Graecum exemplar recognita: quorum seriem versa pagella indicabit. Tomus quintus. Lugduni: sumptibus Horatii Cardon, 1618;
La fortuna del De expetendis
rebus
In questa appendice riportiamo tutti i brani tratti dalle opere dei matematici dei secoli XVI e XVII, che si sono ispirati direttamente al lavoro di Giorgio Valla. Per rendere pi`u agevole il confronto al lettore, poniamo a fronte gli scritti valliani con quelli degli autori matematici che li hanno presi come fonte, cos`ı che si possa osservare subito ad una prima lettura le numerose corrispondenze tra essi. Essendo, tuttavia, questa un’appendice direttamen-te collegata al capitolo 4 di questo lavoro, rimandiamo ad esso per ogni approfondimento sull’argomento.
E.1
Giorgio Valla e Leonardo da Vinci
Leonardo lesse dal De expetendis rebus le macchine pneumatiche, l’ottica, l’idea delle lunule, forse anche l’idea che la scienza derivi sia dall’intelletto che dall’esperienza o esperimento (in Trattato della Pittura, Paragone).
Codice 8936 Madrid, cc.2v-3r;si trova una lista autografa di 116 libri, da-tabile giugno 1505, in cui viene espressamente citata l’enciclopedia valliana: “Libro di zorzo Valla” forse anche la citazione “Quadratura del circulo” `e da riferirsi al passo contenuto all’interno del De expetendis rebus.
Vi sono delle corrispondenze tra il Trattato della pittura vinciano e l’en-ciclopedia valliana:
De expetendis rebus Trattato della pittura Verum scientiae ac
demonstratio-nis aliquod principium est; id vero ex veris necessariis, primis, imme-diatis, notioribus causisque. Im-mediatae autem et per se fidem facientes propositiones sunt, que per sese certae. Fiunt autem hae immediateae propositiones tum ab intellectu, tum ab adiuvan-tibus sensibilibus, ex quibus ex-perimento, ex quo experientia immutabilisque cognitio1.
Dicono quella cognitione essere meccanicha la quale `e partori-ta dall’esperientia, e quella esse-re scientifica che nasce et finisse nella mente, a quella essere semi-meccanicha che nasse dalla scien-tia et finisse nelle operationi ma-nuale. Ma a me pare che quelle scientie sieno vane et piene d’er-rori le quali non sonno nate dal-l’esperientia, madre d’ogni certez-za, et che non terminano in nota esperientia, cio`e che’lla loro orig-gine, o mezzo o fine, non passa per nessun’ de’ cinque sensi. [...] [Esperientia] non passe di sogno li suoi investighatori, ma sempre sopra li primi veri e noti princi-pij procede successivamente e con vere sequentie infino al fine, come si dinota nelle prime matematiche [...]2.
De expetendis rebus Trattato della pittura Differunt siquidem propter
sub-jecta, ars atque scientia. Est igi-tur ars cognitio universalium cum ratione, subiecta habens mutabi-lia, aut hoc modo. Ars est multi-plex notionum congregatio, quae ad quempiam sunt finem exerci-tatae eorum, quae vitae huma-nae succurrunt utilem. [...] Solet etiam ars hoc modo diffiniri: ars est habitus viam iens cum ima-ginatione, ideo cum imaginatione propter naturam, quae ipsa quo-que habitus censet[ur], quod in-sidat in quibus est, suamque in eis habeat essentiam, ut in ani-mali, in stirpe, in lapide, et cae-teris. It quoque viam, hoc est or-dinem suum prosequitur dici vo-lunt, quod duce ratione omnia eiusmodi efficiat, at non imagi-natione, quemadmodum ars: ne-que enim praestruit quicne-que in-trorsum, quod sibi velit compa-rare. At artifex ratiocinatur cum quodpiam sibi vult, fingit, forma-tque introrsum et perinde effigiat sibi, quae facienda sunt omnia3.
Et se tu dirai tali scientie vere et note essere de spetie di meccani-che, impero che non si possono finire se no’ manualmente, io di-ro il medesimo di tutte l’arti che passano per le mani delli scrit-tori, la quale `e di spetie di dis-segno, membro della pittura. E l’astrologia et l’altre passano per le manuali operationi, ma prima sonno mentali com’`e la pittura. La quale `e prima nella mente del suo specculatore e non p`o perve-nire alla sua perfettione senza la manuale operatione4.
E.2
Giorgio Valla e Nicol`
o Copernico
De expetendis rebus De revolutionibus orbium caelestium
XXI. 41. (Fisica II) (De terrae essentia et quanta sit)
I. 3. (Quomodo terra cum aqua unum globum perficiat) c. 3r
Xenophanes ex inferna parte in infinitum crassitudine radicitus immissam esse, ex aere autem et igne compactam esse.
... ex inferna parte infinita radicitus crassitudine submissa, ut Xenophanes, sed rotunditate absoluta, ut philosophi sentiunt. XIII. 5. (Geometria IV) (De
sphaericis)
I. 6. (De immensitate caeli ad magnitudinem terrae) c. 4v Circulorum in sphaera qui per
sphaerae centrum sunt maximi, alii qui a centro utriinque ae-que distant a centro inter se sunt aequales, qui vero magis minores.
Circulus enim bifariam secans sphaeram, per centrum est sphae-rae, et maximus circumscribilium circulus.
XV. 3. (Geometria VI) (De optice)
I. 9. (An terrae plures pos-sint attribui motus, et de centro mundi) c. 7v
Sphaera ambobus spectata ocu-lis si diametros sphaerae aequa-lis fuerit rectae lineae distanti ab oculis hemisphaerium ipsius spectabitur.
... si modo rem ipsam ambobus (ut aiunt) oculis inspiciamus.
XVIII. 23. (Astronomia III) (De eo ut cognoscatur an rec-te, integreque sit fabrefactus astrolabus, necne)
I. 10. (De ordine caelestium orbium)
... Ptolemaeo. Septimum erat de ordine planetarum, quod etiam per ea quae dicta sunt rationem quamdam sibi vendicat. Iam ve-ro nonnulli etiam ex perigiis fa-ciendo, et apogiis coniecturam in-veniunt, apogium quidem Lunae proxime succedere perigio Mercu-rii. Rursus apogium Mercurii pe-rigio Veneris, huius apogium Solis perigio, ut ab his rationibus huiu-smodi ad se invicem ordinem sint consecuti, capiendo enim Lunae distantiam, ut demonstratum est 60 10 talium qualium unius est ex centro terrae minimum vero Solis intervallum 1160 hoc est talium 64 10 maximum Lunae, quorum differentia 1096 et quoniam recep-tum iam est multis disputationi-bus, ut in physiologia memorabi-mus in universi ordine inane non esse, quodque intervalla suis sunt densata medietatibus, congruere putant spectare rationem apogio-rum et perigioapogio-rum Mercurii Ve-nerisque insuperque inspicere, an dictos possint complere numeros, necne.
Contra vero, qui sub Sole Vene-rem et Mercurium ponunt, ex am-plitudine spatii, quod inter So-lem et Lunam comperiunt, ven-dicant rationem. Maximam enim Lunae a terra distantiam, par-tium 64 et sextantis unius, qua-lium quae ex centro terrae est una, invenerunt decies octies fe-re usque ad minimum Solis inter-vallum contineri, et illarum esse partium 1160. Inter ipsum ergo et Lunam 1096. Proinde ne tanta vastitas remaneret inanis, ex ab-sidum intervallis, quibus crassitu-dinem illorum orbium ratiocinan-tur, comperiunt eosdem proxime complere numeros, ut altissimae Lunae succedat infimum Mercu-rii, cuius summum proxima Ve-nus sequatur, quae demum sum-ma abside sua ad infimum Solis quasi pertingat.
XXI. 24. (Fisica II) ( De solis eclipsi)
I. 11. (De triplici motu telluris demonstratio) c. 11v Aristarchus post non vagas
stel-las solem locat terram moveri cir-ca solarem circulum et ob eius inclinationes ob umbrari solem.
Credibile est hisce similibusque causis Philolaum mobilitatem ter-rae sensisse: quod etiam nonnul-li Aristarchum samium ferunt in eadem fuisse sententia, non il-la ratione moti: quam allegat reprobatque Aristoteles.
De revolutionibus III. 2. (Historia observationum comprobantium inae-qualem aequinoctiorum conversionumque praecessionem): “... Spicam parti-bus 86 semis dictam vero in fronte Scorpii, ab aequinoctio autumni 36 cum triente longitudinis ...”.
Copernico prende la longitudine di 86030! dal De expetendis rebus; in una
copia del De revolutionibus in margine alla c.64r Brahe annota che solo Valla riporta questo valore [86030!], dove gli altri [hanno] 86040!.
E.3
Giorgio Valla e Giuseppe Ceredi
Tre Discorsi sopra il Modo d’Alzar Acque d`a Luoghi Bassi : Primo discorso pagina 6:
..Avenga che quasi a forte mi fur venduti da chi lor non conosceva, certi scritti di Herone, di Pappo, et di Dionisidoro tolti dalla libra-ria, che fu gia del dottissimo Giorgio Valla nostro Piacentino, il quale per gli meriti suoi inalzato dalla liberalit`a dell ˜OIllustrissimo Signor Giovan Giacomo Trivulzi, che allhora governava lo stato di Milano.
Primo discorso pagine 10 e 11:
Il secondo modo il quale segue il meto dell’aere `e molto ben di-chiarato dal Valla nostro Piacentino nel sesto libro della sua Geo-metria: havendo egli in ci`o trasportato molte cose da Pappo, et sigurando da questa istessa ragione diecenove bellissimi, et tutti diversi instromenti per mover l’acque;
Ceredi si riferisce a: De expetendis rebus XV.1. (Geometria VI) (De spirita-libus); l’ingegnere piacentino fa un errore perch`e non riconosce nello scritto di Valla l’opera di Erone, ma crede che Valla l’abbia presa da Pappo.
E.4
Giorgio Valla e Gioseffo Zarlino
Istituzioni Armoniche II.25. (Un’altro modo di divider qual si voglia Conso-nanza, ovvero Intervallo musicale in due, ovvero in pi`u parti equali), Zarlino espone la teoria geometrica alla base del mesolabio e in quest’occasione cita espressamente il De expetendis rebus:
L’altro modo di divider le consonanze, in due, overo in quante parti si voglia, che siano equali, `e non solamente bello: ma an-co pi`u utile del primo, per essere pi`u universale; et fu ritrovato da Eratosthene, quando ritrov`o il raddoppiamento del Cubo, nel
tempo che i Dalij (come narra Giovanni Grammatico) erano mole-stati dalla pestilenza; La quale inventione, et molte altre insieme pose Georgio Valla Piacentino nel Quarto libro della Geometria, [Fol. 94] la Geometria, insegnando di ritrovar due mezane linee proportionali tra due proposte. E’ ben vero, che senza l’aiuto di uno istrumento, nominato da alcuni Mesolabio, sarebbe vana et inutile ogni fatica;
Zarlino si riferisce al brano del De expetendis rebus XIII.2. (Geometria IV) (Ut Eratostene) in cui Valla presenta una serie di soluzioni al problema di determinare la linea media proporzionale tra due linee date, e una di tali soluzioni `e svolta con l’ausiolio del mesolabio:
Ptolemaeo regi Eratosthenes salutem plurimam dicit. Priscum quendam tragicum accepimus introducere Minoa Glauco sepul-crum excitare volentem interrogatum respondisse centum pedi-bus quaqua versus erigendum, ut duplicaretur hic quedam mem-brum unumquodque sepulchri duplum putavit esset faciendum qui tum hallucinari visus, iure quidem est lateribus siquidem du-plicatis planum quadruplum efficietur, solidum vero octuplum, quaesitum itaque esta geometris, quonanmodo solidum datum in eadem figura permanens posset duplicari, vocatumque huiusmodi problema cubi duplicatio. Proposito siquidem cubo quaerebant quomodo ipsum possent duplicem efficere.
E.5
Giorgio Valla e Orazio Tigrini
Nel Compendio della musica nel quale brevemente si tratta dell’arte del con-trappunto (Libri quattro) Tigrini cita espressamente un capitolo dell’enciclo-pedia valliana:
Compendio I.10. (Dell’unisono):
Boet. li. I.c.3. Franch. prat. li. 3.c.2. et i Theo. li. 1.c.2. et c.10. Giorgio Valla lib.2 cap.2. della sua Musica. Greg. Rhau en-chiridion lib.1.cap.6. Stefano vaneo lib.1.c.25.M.Gios.Zarl. Istit. har. li. 2.c.11. et c.29. Gregor. Rhau. enchiridio. lib.1.cap.6. signo posito in marg. S
Essendo la consonanza, come dice Boetio, una mistura di suono grave et acuto, che soave, et uniformemente perviene alle nostre orecchie; conseguentemente da una istessa, et sola voce, `o suono non si pu`o produrre consonanza alcuna; et se bene dai Musici
egli `e messo tra le consonanze, niente dimeno non `e propriamente consonanza; ma si come appresso gli Arimmetici l’unit`a non `e numero, ma origine di numeri; et appresso i Geometri il Punto non `e linea, ma principio della linea; cos`ı anco appresso; Musici l’unisono si dice non essere Consonanza, ma l’origine delle con-sonanze; et perci`o `e detto unisono, che altro non vuol dire, se non un solo suono; come per il presente sottoscritto essempio si dimostra.
De expetendis rebus VI.2. (Musica II)
Quoniam in consumato concentus systemate, hoc est insensili har-monia instrumenti, non phtongi modo, sed etiam intervalla et ge-nera et mutationes et toni inspectantur necessarium arbitramur de singulis breviter et dilucide nobis differendum et de phthongo quidem primum, quandoquidem is est hiusmodi harmoniae prin-cipium, sicut numeri unitas, punctum lineae et momentum tem-poris inde reliqua ut ipsorum ordo expostulabit. Verum quoniam phthongus et alia quae ad musicam pertinent, omnia a materia inspiciuntur, musices autem materia vox et corporis motus est de utroque nobis dicendum primo est inde de phthongo, nam ut non iniuria Peripateticus inquit Adrastus non Theon Platonicus sicut litteratae vocis omnisque orationis absoluta primaque sunt nom-nia et verba eorumque syllabe quae ex litteris, litteraeque voces primae vim elementorum habentes in divisibiles ac minimae in quas omnis resoluitur oratio ita modulatae vocis omnisque can-tus perfectae partes systemata tetrachorda et pentachorda hep-tachorda ochep-tachorda quae ex diastematis facta diastemata ex ph-thongis que sunt voces individuae et elementorum vice fungentes ex quibus omne melos et in quae resoluitur, vocem igitur quidam diffiniere aerem percussum, non recte sicut nequidem tempus est caeli motus, alii aeris plosum nec recte, nam et plodi aer post ubi sonitus non sit, alii corpus plosu affectum, alii porro rectius quidam explosis efficitur corporibus, sed id sonus nondum tamen vox Platonis Aristotelisque sententia dici post cum non nisi ab animali vox exeat, sed mox id huberius, motus aunt in tempo-re suam invenit doriam, tempus siquidem mensuram motus est. Motus porro binae sunt species, una quidem delatio, altera vero alteratio est delationis porro binae adhuc species una quidem cir-cum atque in gyrum. Altera vero in rectum et in gyrum quidem ex loco in locum delatio, ut solis et lunae, reliquorumque altro-rum in loco aunt permanent, ut revoluti coni et globi, circa suum
axem, delationis aunt in rectum sex sunt species de quibus in ipsa loquimur physiologia, teneatur itaque in presentia circa phthon-gos delatio loci ex loco in rectum ad auditus sensum deveniens, huius porro motus binae adhuc inquit Aristides sunt species, una quidem simplex, altera vero composita et compositae continua una altera quae sub intervallum cadit media altera. Continua igi-tur vox est, quae intensionum remissionumque oblivisciigi-tur quippe quae sensui non comparent quidam consistere quo ad silentium attigerit non videatur propter celeritatem qua defertur; quae vero sub intervallum cadit tenores habet manifestos et evidentes con-tinuaeque contraria est et certe quae remissiones et intensiones apertas non habet nec his deputantur metra ambabus. Conti-nua igitur vox qua disserimus, media est qua in legendis utimur poematis, intervallaris quae per medias voces simplices aliquot facit intervalla; ac prorsus cum ita vox movetur, ut auditui con-sistere videatur eam dicimus concinnam, cum aunt stare existi-matur, inde porro locum aliquem transcendere, cumque id secerit rursus in alium tenorem persiliere idque vicissim continuo face-re sentiatur huiusmodi motum dicimus, ut nunc hoc utar verbo intervallarem; caeterum sermocinalem continuum dicimus, diffe-rentibus, namque nobis ita demum vox pro locum movetur, ut nusque consistere videatur, contra aunt habet intervallaris con-sistere namque videtur, idque qui faciunt non iam loquum, sed canere dicuntur qua propter inter differendum vocem figendam non ducimus nisi ab affectu in hunc motum pervenire cogamur; at in modulatu contra facimus continuum fugimus et stare stude-mus, nam quanto magis vox una quaeque constiterit, tanto magis sensui melos videtur examinatius; quidem igitur iuxta vocis locum bini sint motus unus quidem continuus, qui et sermocinalis, alter vero intervallaris qui et meloedicus nuncupatur ex his quae a no-bis dicta sunt siquere potuit. At quoniam interdicendum memo-ravimus intensionem, remissionem, tenorem de singulis deinceps nobis dicendum videtur, his namque ut expedit traditis phthongi quoque diffinitio manifesta fuerit. Intensio igitur est vocis motus continuus ex graviori inacutiorem locum. Remissio similiter est vocis motus continuus ex acutiore in graviorem locum. Harum aunt definitio acumen et gravitas et acumen quidem intensionis; acumen siquidem est per intensionem definitio. Gravitas aunt remissionis; gravitas namque est definitio per remissione. Tenor est mora quaedam ac status vocis hoc est aequabilitas aut per-mittatur mihi dicere identitas motus per locum vocis tum
nan-que nos quonan-que dicimus vocem stare cum nobis ipsam ostendat sensus, neque in acutum, neque in gravem evadere sed in uno eo-demque tenore permanere, videtur autem vox inter modulandum hoc facere movetur quidem interfaciendum aliquod intervallum stat vero in ipso residens phthongo inde etiam phthongi status appellantur, ut autem summam contrahamus ad musicam perci-piendam accedendum experientia et oratione. Illa enim sensus haec rationem confirmat; vox est ex gravitate in acutum locus; omnis rationalis et intervallaris vocis motus aut intensus aut re-missus; vox sermocinalis continuis phthongis et fluentibus constat non uno tenore consistens; quae aunt vox nomniatur intervallaris non continua sed aliquanto distinctior tenorem suum manifestum constituit in extremis locorum quam excedit insistens unde et in-tervallaris dicta et sermocinali diversa; proprium inin-tervallaris est emmeles et ecmeles. Emmeles rationalibus utitur intervallis quae nec excedunt nec deficiunt. Ecmeles contra irrationalibus defi-cientibusque aut superfluentibus; vocis motus ex gravi in acutum tendes locum intensio, contra vero vocatur remissio. Intentio igi-tur acutum parit; ut remissio gravem; utrisque aunt communis est tenor siquidem acutum et gravem quendam videntur per sese tenorem admittere.
E.6
Giorgio Valla e Francesco Maurolico
Valla Maurolico
De expetendis rebus;
Lib.XIII, Geometria IV, Cap.iv. De cylindrica sectione
Sereni cylindricorum libelli duo; liber primus
Si duorum circulorum aequalium et parallelorum diametri usque quaque paralleli existentes cumactae in circulorum planis ca permanens centrum, ac cir-cumducentes rectam lineam ipsa-rum extrema in eadem partem connectentem in idem rursus re-volvantur, descripta a circumacta linea superficies cylindrica super-ficies apellatur, quae certe in in-finitum augeri potest recta linea ipsam describente in infinitum ducta.
Def.1: Si duorum circulorum ae-qualium et parallelorum semidia-metri usque quaque paralleli exi-stentes circumactae in circulorum planis circa permanens centrum ac circumducentes rectam lineam ipsarum extrema in eadem par-tem connectenpar-tem in idem rur-sus revolvantur, descripta a cir-cumacta linea superficies cylin-drica superficies apellatur, quae certe in infinitum augeri potest, recta linea ipsam describente in infinitum ducta.
Cylindrus autem est figura com-prehensa ex circulorum parallelis et inter ipsas assumpta cylindrica superficie.
Def.2: Cylindrus autem est figu-ra solida comprehensa sub circulis et cylindrica superficie.
Basis sunt cylindri circuli. Def.3: Bases cylindri, circuli. Axis est recta linea acta per
ipsorum centra.
Def.4: Axis est recta linea acta per ipsorum centra.
Latus cylindri linea est quae cum sit recta sitque in cylindri su-perficie utrique basi annectitur quam fatemur quoque circum-actam cylindricam superficiem describere.
Def.5: Latus cylindri est rec-ta in cylindrica superficie inter basium periferis, quaecircumacta cylindricam superficiem describit.
Cylindrorum recti quidem sunt axem ad rectos angulos habent basibus.
Def.6: Rectus cylindrus est, cuius axis ad basim perpendicu-laris est.
Scaleni aunt quam non ad rectos habent angulos basibus axem.
Def.7: Scalenus autem, cuius axis ad basim inclinatur.
Si fuerint binae rectae lineae se in-vicem contingentes ad binas rec-tas lineas se pariter invicem con-tingentes utrasque inter se aequa-les, quae ipsarum connectunt ex-trema ipsae quoque aequales ac paralleli sunt.
Prop.1: Si binae rectae angulum continentes binis angulum conti-nentibus singulae singulis et pa-ralleli et aequales fuerint: quae ipsarum connectunt extrema et paralleli quoque sunt et aequales invicem.
Si cylindrus plano secetur per axem sectio parallelogrammum erit.
Prop.2: Si cylindrus plano se-cetur per axem: sectio parallelo-grammum est.
Si cylindrus plano secetur pa-rallelo per axem papa-rallelogram- parallelogram-mo, sectio parallelogrammum erit aequales habens angulos ex axe parallelogrammo.
Prop.3: Si cylindrus plano sece-tur parallelo ei, quod per axem parallelogrammo sectio parallelo-grammum erit aequiangulum ei, quod per axem.
Si flexam lineam subtendat rec-ta linea at a linea inflexa in sub-tensam perpendiculares aequa-le potuerint ei quod sub sec-tionibus subtensae linea circuli circumferentia erit quae flexa est.
Prop.15: Si flexam lineam sub-tendat recta linea, omnisque per-pendicularis a flexa in rectam ae-quale possit ei, quod sub segmen-tis subtensae: flexa semicirculus est.
Si cylindrus plano secetur paral-lelo basibus sectio circulus erit, centrum habens in axe.
Prop.13: Si cylindrus plano se-cetur parallelo basibus: sectio circulus est centrum habens in axe.
Si cylindrus scalenus in plano per axem secetur ad rectos angulos basi; secetur autem altero pla-no rectoque ad per axis paralle-logrammum, ac facienti commu-nem sectiocommu-nem in parallelogram-mo rectam lineam aequales qui-dem facientem angulos eis qui sunt parallelogrammi, at non pa-rallelum existentem basibus, basi-bus parallelogrammi sectio circu-lus erit, vocitatur sane eiusmodi haec ductio plani subcontraria.
Prop.16: Si cylindrus scalenus plano secetur per axem ad rectos angulos basi, et rursum plano se-cundo ad primum recto ita ut pla-norum communis sectio faciat47 angulos cum parallelogrammi per axem lateribus aequales ipsius pa-rallelogrammi angulis sed sub-contrarie positos: sectio secun-di plani in cylindro circulus est, vocaturque subcontraria sectio.
Dato cylindri puncto quopiam in superficie ducere per punctum latus cylindri.
Prop.8: Dato puncto in super-ficie cylindrica, per datum punc-tum describere latus cylindri. Si cylindrus plano secetur per
axem, sectus autem etiam alte-ro plano secanti basis planum, at communis sectio basis et secantis plani ad rectos angulos vel basi per axem parallelogrammi, vel in ipsa recta linea.
Prop.10: Si cylindrus plano se-cetur per axem recto ad basim et rursum plano secundo ad primum recto, sectionis quam planum se-cundum in cylindro facit diameter prima bifariam secat secundam et omnem eius parallelum.
Valla Maurolico
De expetendis rebus;
Lib.XIII, Geometria IV, Cap.iv. De cylindrica sectione
Sereni cylindricorum libelli duo; liber secundus
Cylindro dato secto ellipsi conum constituere in eadem basi cylin-dri qui sit sub eadem altitudine et eodem plano sectus faciensque similem ellipsim cylindri ellipsi.
Prop.5: Proposito cono, secto-que ellipsi ad libitum: super ean-dem basim ad eanean-dem altitudi-nem cylindrum constituere, qui sectus eodem, quo conus, pla-no ellipsim faciat similem ellipsi conicae.
Valla Maurolico
De expetendis rebus;
Lib.XVI, Astronomia
I, Cap.ii. De sphaerae mobolitate
Autolyci De Sphaera quae movetur, ex traditione Mau-rolyci; Liber
Sphaerae puncta aequaliter fer-ri dicuntur quaecunque aequa-li tempore aequales ac similes praetereunt magnitudines, at si in linea aliqua delatum aliquod punctum aequaliter binas transie-rit lineas eandem habebit ratio-nem tam tempus ad tempus in quo punctum ambarum transierit linearum, quam linea ad lineam.
Sphaerae puncta aequaliter fer-ri dicuntur, quaecunque aequali tempore aequales ac similes prae-tereunt periferias. At si in li-nea aliqua delatum aliquod punc-tum aequaliter, binas transierit li-neas, eandem habebit rationem tempus ad tempus, quibus singu-las transit lineas, quam linea ad lineam.
Si aequaliter sphaera volua[t]ur cifra suum axem cuncta quae in superficie sunt sphaerae puncta, quaecunque non sunt in axe or-bes describent parallelos, eosdem polos habentes cum sphaera et insuper ad axem rectos.
Propositio 1. Si aequali-ter sphaera voluatur cifra suum axem, cuncta quae in superficie sunt Sphaerae, puncta, praeter polos, circulos describent paralle-los et ad axem rectos et eosdem cum sphaera polos habentes. Si sphaera voluatur aequaliter
cir-ca suum axem cuncta quae in superficie puncta sunt sphaerae in tempore aequali similes cir-cunferentias praeteribunt orbium parallelorum in quibus feruntur.
Propositio 2. Si sphaera volua-tur aequaliter circa suum axem, cuncta, quae in superficie puncta sunt sphaerae, similes periferias circulorum parallelorum, in qui-bus feruntur, in tempore eodem preteribunt.
Si aequaliter sphaera evoluatur circa suum axem, quas in tem-pore aequali circunferentia tran-smittent puncta quaedam orbium parallelorum per quae feruntur eae ipsae similes erunt.
Propositio 3. Si aequaliter sphaera evoluatur circa suum axem, quas in tempore eodem pe-riferias transmittent puncta quae-dam in circulis parallelis, per quos feruntur, eae ipsae similes erunt. Si in sphaera manens maximus
or-bis ad rectos angulos existens axi horizontis, quem a nostris finien-tem diximus appellari tam non apparen, si hemisphaerium evo-luimus sphaerae circa suum axem, superficiei sphaerae punctum nul-lum occidit, nulnul-lum oritur, sed quae sunt in hemispherio appa-renti semper apparent quae vero in latenti semper occultantur.
Propositio 4. Si in sphaera, maior circulus manens separet id, quod apparet de sphaera ab eo, quod non apparet, sitque ad rec-tos angulos axi sphaere, super quo movetur: nullum punctum super-ficiei sphaerae oritur, nullum oc-cidit. Sed quae sunt in hemi-sphaerio apparenti, sempre appa-rent. Quae vero in latenti, semper occultantur.
Si per polos sphaerae orbis ma-nens definiat apparens et non ap-parens cuncta in superficie sphae-rae puncta ipsa evoluta et occi-dunt et oriuntur et tempore ae-quali supra horizontem elevantur et sub horizonte vertuntur.
Propositio 5. Si per polos sphaerae circulus manens definiat apparens et non apparens: cunc-ta in superficie sphaerae punc-ta, ipsa evoluta et occidunt et oriuntur et aequali tempore mo-rantur super horizontem et sub horizonte.
Si in sphaera maximus orbiss ma-nens definiat quod apparens est sphaerae et quod non apparens obliquus existens ad axe attinget binos orbes aequales et paralle-los invicem et eorum unus ad parentem polum semper erit ap-parens, alter autem ad latentem semper latens.
Propositio 6. Si in sphaera ma-ior circulus manens definiat quod apparens est sphaerae et quod non apparens, obliquus existens ad axem, attinget binos circulos aequales et parallelos invicem et eorum unus ad apparentem po-lum semper erit apparens: alter autem ad latentem semper latens.
Si horizon in sphaera orbis et apparens sphaerae ac non appa-rens obliquus fuerit ad axem; qui axi ad rectos sunt angulos or-bes secantes horizontem in eisdem punctis semper horizontis ortus et occasus faciuntur; item porro si militer inclinantur verguntque ad ad horizontem.
Propositio 7. Si circulus in sphaera fixus apparens ab occul-to distinguat obliquus existens ad axem: circuli, qui ad angulos rec-tos axi, in eisdem punctis sem-per horizontis ortus et occasus fa-ciuntur et similiter inclinantur ad horizontem.
Qui eadem contingunt maximi orbes quae et horizon attingit evoluta sphaera conveniunt in horizonte.
Propositio 8. Si circulus maior in sphaera fixus apparens ab oc-culto dirimat inclinatus ad axem: quicunque circulus maior contin-git duos circulos parallelos ae-quales semper unum apparentem semperque occultum, quos hori-zon contingit: evoluta sphaera, congruit horizonti.
Si in sphaera maximus orbis quae sit obliquus ad axem definiat ap-parens sphaera et latens pariter orientibus punctis quae sunt ad apparentem polum posterius cidunt quae autem ex pariter oc-cidentibus ad apparentem polum prius oriuntur.
Propositio 9. Si in sphaera maior circulus obliquus ad axem definiat manifestum ab occulto: quod ex simul orientibus punctis est polo apparenti propinquius, posterius occidit. Quod autem ex simul occidentibus, dicto polo vicinius, prius eritur.
Si in sphaera maximus orbis quae et obliquus ad axem definiat apparens sphaerae et latens et per polos sphaerae orbis in una circunferentia sphaerae bis erit rectus ad horizontem.
Propositio 10. Si in sphae-ra maximus orbis obliquus ad axem definiat apparens sphaerae et latens: circulus, qui per polos sphaerae, bis rectus fit horizonti in uno sphaerae ambitu.
Si in sphaera maximus orbis quae sit obliquus ad axem definiat ap-parens sphaerae et latens, alius vero aliquos obliquus maximus or-bis maiores attingat, aut quos horizon tangat per omnem hori-zontis circunferentia, quae sit in-ter parallelos orbes, quos attingat ortus et occasus facit.
Propositio 11. Si in sphaera maior circulus obliquus ad axem definiat apparens sphaerae et la-tens: alius vero maior circulus pa-rallelos maiores attingat, aut quos horizon semper apparentem sem-perque occultum tangit. Per om-nem horizontis periferiam paral-lelis, quos attingit, interpositam ortus et occasus facit.
Si in sphaera manens orbis de-latum aliquem orbem eorum qui in sphaera semper bifariam secet, neuter autem ipsorum ad rectos fuerit angulos axi neque per po-los sphaerae uterque ipsorum erit maximus.
Propositio 12. Si in sphaera manens circulus delatum aliquem circulum eorum, qui in sphaera, semper per aequalia secet: neu-ter autem ipsorum ad rectos fue-rit angulos axi, neque per polos sphaerae: uterque ipsorum erit maior.
Valla Maurolico
De expetendis rebus;
Lib.XVI, Astronomia I, Cap.iv. De orbis terrarum habitatu
Theodosii de habitationibus liber
Sub septentrionali polo habitanti-bus hemisphaerium quidem mun-di usque quaque idem apertum est unum, alterum vero omni-no idem occultum, nec astro-rum aliquod ipsis occidit, oritu-rue, sed quae in aperto sunt, pror-sus sunt in conspectu, at quae in occulto usque quaque nusquam comparent.
Propositio 1 Sub septentriona-li polo habitantibus hemisphae-rium quidem mundi usque qua-que idem apertum est unum, al-terum omnino idem occultum. Nec astrorum aliquod ipsis occi-dit, oriturue, sed quae in aperto sunt, prorsus sunt in conspectu: at quae in occulto usque quaque nusquam comparent.
Sub aequinoctiali habitantibus omnia astra et occidunt et oriun-tur aequali tempore super ho-rizonte attollentur horizontique subuehentur.
Propositio 2 Sub aequinoctia-li habitantibus omnia astra et oriuntur et occidunt et aequali tempore super horizontem attol-lentur horizontique subuehentur. Per omnem locum qui sub
me-dia zona, quod nostri segmentum vocant signifer rectus insistit.
Propositio 3 Per omnem lo-cum, qui sub media zona Tro-picis parallelis interclusa, signifer quotidie rectus erigitur horizonti. Quibus ad verticem punctum a
polo tantum abit, quantum tro-picus distat ab aequinoctiali, il-lis simul sex signa et occidunt et oriuntur.
Propositio 4 Quorum vertex a polo tantum abit, quantum Tro-picus distat ab aequinoctiali, il-lis simul sex signa et occidunt et oriuntur.
Sub aequinoctiali habitantibus meridianus bifariam secabit super horizontem signiferi hemicyclium, quando tactus tropicorum et si-gniferi fuerint in horizonte, tum autem etiam signifer rectus erit ad horizontem.
Propositio 5 Sub aequinoctiali habitantibus meridianus bifariam secabit super horizontem signiferi semicirculum, quando tactus tro-picorum et signiferi fuerint in Ho-rizonte et tunc signifer rectus erit ad horizontem.
Sub aequinoctiali habitantibus si-gniferi hemicyclia omnia in tem-pore aequali oriuntur, similiter etiam e regione positae circunfe-rentiae.
Propositio 6 Sub aequinoctiali habitantibus signiferi semicirculi omnes in tempore aequali oriun-tur, similiter etiam oppositae periferiae.
Quibus differunt horizontes hoc solo ad ortum magis, quam ad oc-casum illis instituuntur astra non vaga, neque simul oriuntur, neque simul occidunt, sed quanto prius ad orientem habitantibus oritur, tanto etiam prius occidit.
Propositio 7 Habitantibus sub eodem parallelo stellae neque si-mul oriuntur, neque sisi-mul occi-dunt sed quanto prius oriuntur orientaliori, tanto prius occidunt.
Sub eodem meridiano habitanti-bus fixa astra, quaecumque sunt inter semper apparentem polum et aequinoctialem diutius super horizonte feruntur illisque ad sep-tentrionem habitant, quamque ad meridiem et quanto prius oriun-tur ad septentrionem habitan-tibus, tanto posterius occidunt, quae vero inter semper in ap-parentem, occultumque orbem et aequinoctialem diutius super ho-rizonte apparent ad meridiem ha-bitantibus, quam ad septentrio-nem posterius occidunt, at in aequinoctiali simul oriuntur et occidunt.
Propositio 8 Sub eodem meri-diano habitantibus stellae quae-cumque sunt inter maximum sem-per apparentium parallelorum et aequinoctialem diutius super ho-rizontem feruntur illis, quid ad septentrionem habitant, quam il-lis, qui ad meridiem. Et quanto prius oriuntur ad septentrionem habitantibus, tanto posterius oc-cidunt. Quae vero astra inter ma-ximum semper occultorum et ae-quinoctialem, diutius super hori-zontem apparent ad meridiem ha-bitantibus, quam ad septentrio-nem et quanto prius oriuntur iis, qui ad meridiem, tanto posterius occidunt.
At si horizontes non fuerit sub eo-dem meridiano, atque ita non va-ga astra quaecumque sunt inter semper apparentem circulum et aequinoctialem diutius super ho-rizonte feruntur ad septentrionem habitantibus quam ad meridiem, quantoque magis interest inter la-tentem semper et aequinoctialem diutius super horizonte feruntur, quam quae ad meridiem, vel ad septentrionem habitantibus.
Propositio 9 At si horizontes neque sub eodem parallelo, ne-que sub eodem fuerint meridiano, sequetur tantum arcuum super horizontem peractorum praedic-to modo inequalitas. Non autem ortuum et occasuum anticipatio.
Sub polo septentrionali habitanti-bus diutius semestri tempore sol super horizonte apparet, fere au-tem sex menses sub horizonte, dies quidem ipsis est maior sep-tem mensibus; nox ausep-tem fere ut maxime mensium septem.
Propositio 10 Sub polo utro-libet habitantibus sol semestri tempore super horizontem iu-giter fertur et tantundem sub horizonte.
Habitantibus ad meridiem sol mi-nore tempore super horizontem attolletur, quam sub septentrio-nali polo habitantibus, breviorque ipsis erit dies.
Propositio 11 A polo versus Arcticum vel Antarcticum proce-dentibus, haec iugis mora solis su-per horizontem, aut sub horizonte minor fiet semestri tempore, mi-norque donec ad spacium quatuor et viginti horarum sub arctico vel antarctico redigatur.
Osserviamo in particolare che nel De expetendis rebus vengono citati alcuni autori e precisamente nell’ordine:
De expetendis rebus XIII.2. (Geometria IV) • Ex Herone in mechanicis traditionibus.
• Ex Philone byzantino. • Ut Apollonius.
• Ut Diocles in pyriis.
• Ut Pappus in mechanicis institutionibus. • Ut Porus.
• Ut Menaechmus.
• Archytae inventio, ut tradit Eudemus et Eutotius. • Ut Eratosthenes.
• Ut Nicomedes, ubi de conchoidibus lineis. • Ut Philoponus.
• Ut Dionysodorus.
• Ut Diocles in libro Pyrion. Praeparatio ad Archimedis opera
• 26 Et hic quidem est modus Heronis, qui Mechanica scripsit. Subii-ciemus nunc aliorum philosophorum circa idem problema ex Eutocio sumptas traditiones.
• 27 Et hic est modus Apollonii, et Philonis Byzantii, ut testatur Ioan-nes Philoponus Alexandrinus. Et est idem ferme cum modo Heronis: quamvis demonstrationes aliquantum differant.
• 28 Est autem haec traditio Pappi in Mechanicis. Et hac eadem uti videntur Diocles, et Porus.
• 29 Fuit autem haec inventio Platonis, cum, Deliis pestilentia laboran-tibus, consultus Apollo respondisset, [...]
• 30 Et haec est Eratosthenis traditio. • 31 Et haec est inventio Menaechmi [...]
• 32 Est autem inventio Archytae Tarentini, ut refert Eudemus, et Eu-tocius [...]
E.7
Giorgio Valla e Bartolomeo Zamberti
Valla Zamberti
De expetendis rebus;
Lib.XII, Geometria III, Cap.i
Gli Elementi; Lib.V
Rationem habere dicuntur ad se invicem magnitudines quae pos-sunt multiplicatae invicem exce-dere. Hoc dicit quia punctum aut linea infinita multiplicata se excedere non possunt.
Diffinitio quinta. Rationem habere ad invicem magnitudi-nes dicuntur: quae possunt multiplicare invicem excedere.
In eadem ratione magnitudines dicuntur esse prima ad secundam et tertia ad quartam, cum primae et tertiae aeque multiplices ea-rum, quae secundae et quartae ae-quae multiplicium iuxta quamvis multiplicationem utramque; alte-rius, vel una ex cesserant, vel una aequales fuerint, vel una inter se invicem acceptae defecerint.
Diffinitio sexta. In eadem ra-tione magnitudines dicuntur es-se: prima ad secundam et ter-tia ad quartam: quando primae et tertiae aeque multiplices: se-cundae et quartae aeque multi-plicia iuxta quamvis multiplica-tionem utraque utramque: vel una excedunt vel una sunt aequa-les: vel una defficiunt sumptae ad invicem.
Si fuerint quotlibet magnitudi-nes magnitudinum quotcumque numero pares singulae singu-lis aeque multiplices, quotupla unius est una magnitudo, totupla omnium omnia fuerint.
Theorema primum. propo-sitio prima. Si fuerint quae-libet magnitudines quorumquae-libet magnitudinum aequalium nume-ro: singulae singularum aeque multiplices: quotuplex est unius una magnitudo: totuplices erunt et omnes omnium.
Si prima secundae aeque multi-plex fuerit et tertia quartae; fuerit etiam quinta secundae aeque mul-tiplex et sexta secundae et com-posita prima et quinta secundae aeque multiplex erit et tertia et sexta quartae.
Theorema secundum. propo-sitio ii. Si prima secundae aeque fuerit multiplex et tertia quartae; fuerit autem et quinta secundae aeque multiplex et sexta quar-tae et composita prima et quinta secundae aeque multiplex erit et tertia et sexta quartae.
Si primum secundi aeque mul-tiplex fuerit et tertium quarti. Sumpta autem fuerint aeque mul-tiplicia primi et tertii et aeque sumptorum utrumque utriusque aeque multiplex fuerit; alterum quidem secundi; alterum vero quarti.
Theorema iii. propositio iii. Si primum secundi aeque fue-rit multiplex et tertium quarti: summant autem aeque multipli-cia primi et tertii et aeque sump-torum utrunque utriusque aeque erit multiplex: alterum quidem secundi: alterum autem quarti. Si primum quantum ad
secun-dum eandem habuerit rationem et tertium ad quartum et aeque multiplicia primi et tertii ad ae-que multiplicia secundi et quarti iuxta quamcunque multiplicatio-nem eandem habebunt ratiomultiplicatio-nem sumpta invicem.
Theorema iiii. propositio iiii. Si primum ad secundum eandem habuerit rationem et ter-tium ad quartum et aeque mul-tiplicia primi et tertii: ad aeque multiplicia secundi et quarti iux-ta quamvis multiplicationem ean-dem habebunt rationem sumpta ad invicem.
Lemma. Quoniam igitur demon-stratum est, quod si excedit g; ip-sum m; excedit etiam l; ipip-sum n et si aequale aequale et si minus minus et si in quam excedit m; ip-sum l2; excedit etiam n; ipsum l
et si aequale aequale et si minus minus et ob hoc erit, ut g ad e ita h ad f .
Lemma sive assumptio. Quo-niam igitur demonstratum est quod si excedit k ipsum m excedit quoque et l ipsum n et si aequale aequale et si minus minus mani-festum autem est quod k ipsum m excedit et l excedit ipsum n et si aequale aequale et si minus mi-nus. Ac pro hoc erit ut g ad e sic h ad f .
Porisma. Hinc manifestum est quod si quatuor magnitudi-nes proportionem habeant contra quoque proportionem habere.
Corelarium. Hinc manifestum est quod si quattuor magni-tudines proportionales fuerit et e contra quoque proportionales erunt.
Si magnitudo magnitudinis ae-quae fuerit multiplex, quod abla-tum ablati, id reliquum reliqui, aeque multiplex erit quo totum totius est multiplex.
Theorema v. propositio v. Si magnitudo magnitudinis ae-que fuerit multiplex: quod abla-ta ablaabla-tae et reliqua reliquae ae-que erit multiplex quo tuplex tota totius est multiplex.
Si duae magnitudines duarum magnitudinum aeque fuerint mul-tiplices et ablatae aliquae sint eo-rumdem aeque multiplices et reli-quae eisdem vel aequales sunt, vel aeque ipsarum multiplices.
Theorema vi. propositio vi. Si duae magnitudines: duarum magnitudinum aeque fuerint mul-tiplices et ablatae aliquae earum aeque fuerint multiplices et reli-quae eisdem vel aequales sunt: vel aeque ipsarum multiplices. In aequalium magnitudinum
ma-ior ad eandem mama-iorem habet rationem, quam minor et ea-dem ad minorem maiorem habet rationem quam ad maiorem.
Theorema viii. propositio viii. In aequalium magnitudinum maior ad eandem: maiorem ratio-nem habet: quam minor et eadem ad minorem maiorem rationem habet quam ad maiorem.
Quae eidem sunt rationes et interse invicem sunt eaedem.
Theorema xi. propositio xi. Quae eidem sunt aeedem rationes et adinvicem sunt eaedem. Si primum ad secundum eandem
habeat rationem et tertium ad quartum; at tertium ad quar-tum maiorem habeat rationem, quam quintum ad sextum et pri-mum ad secundum maiorem ha-bebit rationem; quam quintum ad sextum.
Theorema xiii. propositio xiii. Si prima ad secundam ean-dem habuerit rationem et ter-tia ad quartam maiorem ratio-nem habeat: quam quinta ad sex-tam. Prima quoque ad secundam maiorem rationem habebit quam quinta ad sextam.
Si quatuor magnitudines propor-tionem habeant etiam vicissim proportionem habebunt.
Theorema xvi. propositio xvi. Si quattuor magnitudines proportionales fuerint et vicissim proportionales erunt.
Si compositae magnitudines pro-portionem habeant divisae quo-que sibi proportionibus responde-bunt.
Theorema xvii. propositio xvii. Si compositae magnitudi-nes proportionales fuerint: divi-sae quoque proportionales erunt. Si divisae magnitudines fuerint,
etiam compositae proportionem habebunt.
Theorema xviii. propositio xviii. Conversa praecedentis. Si divisae magnitudines proportio-nales fuerint: compositae quoque proportionales erunt.
Si fuerit ut totum ad totum ita ablatum ad ablatum et reliquum ad reliquum erit, ut totum ad totum.
Theorema xix. propositio xix. Si fuerit sicut totum ad to-tum. sic ablatum ad ablatum et reliquum ad reliquum erit sicut totum ad totum.
Porisma. Hinc manifestum quod si compositae magnitudines proportionem habeant est con-vertenti proportionem hembunt quod oportebat demonstrare.
Correlarium. Hinc manife-stum est: quod si compositae magnitudines proportionales fue-rint et convertendo proportio-nales erunt. Quod oportebat demonstrare.
Valla Zamberti
De expetendis rebus;
Lib.XII, Geometria III, Cap.ii
Gli Elementi; Lib.VI
Triangula et parallelogramma, quae sub eodem sunt vertice ad se invicem sunt, ut bases.
Theorema primum. proposi-tio prima. Triangula et paralle-logramma quae sub eodem sunt vertice: ad se invicem sunt ut bases.
Si trianguli ad latus unum acta fuerit recta linea, proportionem habens secat trianguli latera et si trianguli latera proportionem ha-bentia secuerint, ad sectiones co-niuncta recta linea ad reliquum erit trianguli latus.
Theorema secundum. propo-sitio ii. Si trianguli ad unum la-terum acta fuerit aliqua recta li-nea proportionaliter secat ipsius trianguli latera et si trianguli la-tera proportionaliter secta fuerint ad segmenta connexa recta linea ad reliquum erit ipsius trianguli latus.
Aequalium et unum uni aequa-lem habentium angulum paralle-logrammorum reciproca sunt la-tera quae circa aequales angu-los et quorum parallelogrammo-rum unum uni aequalem haben-tium angulum reciproca sunt la-tera, quae circa aequales angulos, ea quoque aequalia sunt.
Theorema viiii. propositio xiiii. Aequalium et unum uni ae-qualem habentium angulum pa-rallelogrammorum reciproca sunt latera quae circum aequales an-gulos et quorum parallelogram-morum unum angulum uni angu-lo aequalem habentium reciproca sunt latera quae circum aequales angulos: ea quoque sunt aequalia. Aequalium et unum uni
aequa-lem habentium angulum trian-gulorum reciproca sunt latera quae circa aequales sunt angu-los et quorum unum uni ae-qualem habentium angulum re-ciproca sunt quae circa aequales angulos latera, ea sunt aequalia.
Theorema x. propositio xv. Aequalium et unum uni aequa-lem habentium angulum triangu-lorum reciproca sunt latera quae circum aequales angulos et quo-rum unum uni angulum aequa-lem habentium triangulorum re-ciproca sunt latera quae circum aequales angulos: ea quoque sunt aequalia.
Si quatuor rectae lineae propor-tionem habeant quod sub extre-mis comprehensum rectangulum est, aequale est ei quod sub me-diis continetur rectangulo et si sub extremis contentum rectan-gulum aequale sit ei quod sub me-diis comprehensum est rectangu-lo quatuor rectae lineae habebunt proportionem.
Theorema xi. propositio xvi. Si quattuor rectae linae propor-tionales fuerint: quod sub ex-tremis comprehensum rectangu-lum aequum est ei quod sub mediis continetur rectangulo et si sub extremis comprehensum rectangulum aequum fuerit ei quod sub mediis continetur rec-tangulo: quattuor rectae lineae proportionales erunt.
Si tres rectae lineae habeant pro-portionem sub extremis conten-tum rectangulum aequale est a, media quadrato et si sub extre-mis contentum rectangulum ae-quale fuerit a, media quadrato tres rectae lineae proportionales erunt.
Theorema xii. propositio xvii. Si tres rectae lineae pro-portionales fuerint: quod sub ex-tremis comprehensum rectangu-lum: aequum est ei quod a me-dia quadrato et si quod sub extre-mis continetur rectangulum: ae-quum fuerit ei quod a media qua-drato: ipsae tres rectae lineae proportionales erunt.
A data recta linea dato rectili-neo simile et similiter positum rectilineum describere.
Problema vi. propositio xviii. A data recta linea: da-to rectilineo: simile similiter quo positum rectilineum describere. Similia triangula ad se invicem in
dupla sunt ratione laterum similis rationis.
Theorema xiii. propositio xix. Similia triangula ad invi-cem in dupla sunt ratione laterum similis rationis.
Porisma. Ex hoc utique ma-nifestum est si tres rectae li-neae proportionales fuerint est ut prima ad tertiam, ita quod a prima triangulum ad id quod est a secunda simile et similiter descriptum.
Correlarium. Ex hoc utique manifestum est quo si tres rectae lineae proportionales fuerint: si-cut prima ad tertiam: sic quod a prima rectangulum ad id quod est a secunda simile similiterque descriptum.
Similia polygona in similia trian-gula dividuntur et numero aequa-lia et aequa ratione totis et po-lygonum ad popo-lygonum duplam habet rationem quod eiusdem ra-tionis latus et similis rara-tionis latus.
Theorema xiv. propositio xx. Similia polygona in similia trian-gula dividuntur et in aequalia nu-mero et aequa ratione totis et po-lygonum ad popo-lygonum duplicem rationem habet quod similis ra-tionis latus: ad similis rara-tionis latus.
Porisma. Proinde in universum similes rectilineae figurae ad se in-vicem in dupla sunt ratione la-terum qui in simili ratione et si ipsorum ab f g tertiam proportio-nalem sumamus x bs ad x du-plam rationem habet quod ab ad f g habet autem est polygonum ad polygonum quadrilaterum ad quadrilaterum duplam rationem, quod eiusdem rationis latus ad la-tus simile hoc est ab ad f g; de-monstratum autem est hoc etiam in triangulis.
Correlarium primum. Proin-de in universum manifestum est: quod similes rectilineae figurae adinvicem in dupla sunt ratione similis rationis laterum et si ip-sorum ab et f g proportionalem accipiamus x ipsa ab ad x du-plam habet rationem quod ab ad f g habet autem et polygonum ad polygonum: sive quadratum ad quadratum duplam rationem: quod similis rationis latus: ad si-milis rationis latus: hoc est ab ad f g patuit autem hoc etiam in triangulis.
Porisma. Proinde etiam in totum manifestum est quod si tres rectae lineae proportionales sint; erit etiam ut prima, ad ter-tiam, ita a prima species ad eam quo a secunda similem et simi-liter descriptam quod oportebat demonstrare.
Correlarium secundum. Proinde etiam in universum est manifestum quod si tres rectae lineae proportionales fuerint: erit sicut prima adtertiam: sic quae a prima species: ad eam quae a secunda: similis et similiter descripta est.
Si quattuor recte lineae sint pro-portionales et quae ab ipsis rec-tilinea similiaque et similiter de-scripta erunt proportionalia et si ab ipsis rectilinea similia et simi-liter descripta fuerint proportio-nalia ipsae quoque rectae lineae erunt proportionales.
Theorema xvi. propositio xxii. Si quattuor rectae lineae proportionales fuerint et ab eis rectilinea similia: similiter quae descripta proportionalia erunt et si ab ipsis rectilinea proportiona-lia fuerint: ipsae quoque rectae lineae proportionales erunt. Aequiangula parallelogramma ad
se invicem rationem habent com-positam ex lateribus.
Theorema xvii. proposi-tio xxiii. Aequangula paral-lelogramma adunvicem rationem habent compositam ex lateribus. In data recta linea, dato
recti-lineo aequale parallelogrammum comparare deficiens speciem pa-rallelogrammo simili dato, expe-dit utique datum rectilineum cui convenit aequale comparare non maius esse eo quod a dimidia comparati similibus existentibus de sectionibus ea quae a dimidia et cui expedit simile de esse.
Problema viii. propositio xx-viii. Ad datam rectam lineam. Dato rectilineo: aequale paralle-logrammum comparare defficiens specie parallelogrammo simili da-to: oportet iam datum rectili-neum cui expedit aequum com-parare non maius esse eo quod a dimidia comparatum similibus existentibus sumptis et eius quod a dimidia et cui expedit simile defficere.
Datae rectae lineae dato recti-lineo aequale parallelogrammum comparare excedens specie paral-lelogrammum simile datum.
Problema ix. propositio xx-viiii. Ad datam rectam lineam: dato rectilineo aequale paralle-logrammum pretendere excedens specie parallelogrammum simile dato.
Valla Zamberti
De expetendis rebus;
Lib.XII, Geometria III, Cap.iii
Gli Elementi; Lib.VII
Si duobus numeris in aequalibus expositis sublato semper minore a maiore reliquus numque prece-dente metiatur quoad unitas as-sumpta fuerit, qui sumti a princi-pio sunt numeri primi, ad se in-vicem erunt ut dici solet primi contra se positi.
Theorema primum. propo-sitio prima. Si duobus nume-ris inaequalibus expositis: subla-to semper minore a maiore: reli-quus minime metiatur praeceden-tem quoad assumta fuerit unitas: qui a principio numeri primi ad invicem erunt.
Omnis numerus omnis numeri mi-nor maioris, aut pars est, aut partes.
Theorema ii. propositio iv. Omnis numerus: omnis numeri minor maioris aut pars est aut partes.
Si numerus numeri partes fue-rit et alter alteris eaedem partes fuerit et pariter uterque pariter utriusque eaedem partes erit quae unus unius.
Theorema iii. propositio v. Si numerus numeri pars fuerit et al-ter alal-teris eadem pars et ual-terque utriusque eadem pars erit: quae unus unius.
Si numerus numeri partes sit quae ablatus ablati est reliquus reli-qui eadem partes erit quae totus totius.
Theorema v. propositio vii. Si numerus numeri pars fuerit: qualis ablatus ablati et reliquus reliqui pars erit: qualis totus totius.
Datis tribus numeris invenire quem minimum metiuntur nume-rorum.
Problema v. propositio xxx-viii. Tribus numeris datis inve-nire: quem minimum numerorum metiuntur.
Valla Zamberti
De expetendis rebus;
Lib.XII, Geometria III, Cap.iii
Gli Elementi; Lib.VIII
Si fuerint quotcumque numeri continui proportionales et extre-mi ipsorum priextre-mi contra se invi-cem positi sunt minimi in eadem ratione.
Theorema primum. propo-sitio prima. Si fuerint quoli-bet numeri continue proportiona-les: extremi vero ipsorum primi adinvicem fuerint: minimi sunt eandem ratione habentium eis.
Valla Zamberti
De expetendis rebus;
Lib.XII, Geometria III, Cap.iii
Gli Elementi; Lib.X
Duabus magnitudinibus, inae-qualibus expositis si a maiore auferatur maior, quae dimidium et eo quod relictum est ma-ius, vel dimidium, idque semper sit relicta fuerit aliqua magnitu-do, quae minor sit minore posita magnitudine.
Theorema primum. propo-sitio prima. Duabus magni-tudinibus inaequalibus expositis: si a maiori auferatur maius quae dimidium et eius quod relictum est maiusque dimidium: idque semper fiat: relinquetur quae-dam magnitudo minor minore magnitudine exposita.
Aliter. Constent binae magnitu-dines, inaequale ab c et quoniam minor est c multiplicata, erit [...]
Aliter idem ostendere. Con-stent binae magnitudines inae-quales ab c et quoniam minor est c multiplicatur: erit [...]
Commensurabiles magnitudines ad se invicem rationem habent, quam numerus ad numerum.
Theorema iii. propositio v. Commensurabiles magnitudi-nes adinvicem rationem habent quam numerus ad numerum. A longitudine commensurabilibus
rectis lineis quadrata ad se invi-cem rationem habent, quam nu-merus quadratus ad quadratum numerum et quadrata ad se invi-cem rationem habentia, quam nu-merus quadratus ad quadratum numerum, latera quoque habe-bunt longitudine commensurabi-lia at a longitudine incommen-surabilibus rectis lineis quadra-ta ad se invicem rationem non habebunt, quam numerus qua-dratus ad quadratum numerorum et quadrata ad se invicem ratio-nem non habentia, quam numerus quadratus ad quadratum nume-rum, nequidem latera habebunt longitudine commensurabilia.
Theorema vii. propositio ix. A longitudine commensurabilibus rectis lineis quadrata ad invicem rationem habent quam quadratus numerus ad quadratum numerum et quadrata adinvicem rationem habentia quam quadratus nume-rus ad quadratum numerum: la-tera quoque habebunt ne commensurabilia: A longitudi-ne vero incommensurabilibus rec-tis lineis quadrata adinvicem ra-tionem non habent quam quadra-tus numerus ad quadratum nume-rum. Et quadrata adinvicem ra-tionem non habentia quam qua-dratus numerus ad quadratum numerum neque latera habebunt longitudine commensurabilia.
Corellarium. Non dubium quin ex eis quae demonstrata sunt lon-gitudine commensurabiles omni-no etiam sint potentia, quae ve-ro potentia, non etiam longitu-dine; si ex longitudine commen-surabilibus rectis lineis quadrata rationem habent quam numerus quadratus ad quadratum nume-rum, at quae rationem habent, quam numerus ad numerorum commensurabilia sunt.
Correlarium. et manifestum est ex hiis ostensis quo longitudine commensurabiles omnino sunt et potentia, quae autem potentia: non omnino longitudine, si ex lon-gitudine, si ex longitudine com-mensurabilibus rectis lineis drata rationem habent quam qua-dratus numerus ad quadratum numerum.
Propositae rectae lineae invenire duas rectas lineas incommensura-biles. Unam quidem longitudi-ne solum. Alteram vero etiam potentia.
Problema iii. propositio x. Propositae rectae lineae: binas rectas incommensurabiles inveni-re lineas: alteram quidem longi-tudine tantum: alteram autem et potentia.
Valla Zamberti
De expetendis rebus;
Lib.XII, Geometria III, Cap.iiii
Gli Elementi; Lib.X
Lemma. Si ad aliquam rec-tam lineam comparetur parallelo-grammum deficiens specie a qua-drato parallelogrammum aequa-le est ei quod est sub sectioni-bus rectae lineae quae fiunt ex comparatione.
Lemma. (a Theorema xiii. propositio xvi. precedentis conversa) Si ad aliquam rec-tam lineam comparetur parallelo-grammum specie deficiens a qua-drato: comparatum aequum est ei quod sit sub comparatione fac-torum segmenfac-torum ipsius rectae lineae.
Si fuerint duae rectae lineae inae-quales; quartae autem parti eius quod est ex minori aequale maio-ri comparatur fuemaio-rit deficiens spe-cie a quadrato et per commen-surabilia ipsam diviserit longitu-dine maior minori maius poterit eo quod est a commensurabili si-bi longitudine et si maior minori maiorem potuerit eo quod est a commensurabili sibi longitudine; quartae vero parti eius quod est a minori aequale maiori compa-ratur deficiens specie a quadrato in longitudine commensurabilia ipsam distribuerit.
Theorema xiv. propositio xvii. Si fuerint binae rectae li-neae inaequales: quartae autem parti eius quod ex minori aequum maiori comparatum fuerit deffi-ciens specie a quadrato et in com-mensurabilia ipsam diviserit lon-gitudine: maior minore maius po-terit eo quod fit ex sibi longitu-dine commensurabili et si maior minore maius poterit eo quod fit a sibi commensurabili longitudi-ne: quartae vero parti eius quod a minori aequale maiori compara-tum deficiens specie a quadrato et in commensurabilia longitudine ipsam distribuet.
Si sint duae rectae lineae inae-quales at quartae parti eius, quod est ex minori aequale ad maio-rem comparetur deficiens quadra-to et per incommensurabilia ip-sam diviserit longitudine maior minore maius poterit eo quod est ab incommensurabili sibi et si ma-ior minore maius, maius poterit eo quod est ab incommensura-bili sibi et si maior minore ma-ius; maius potuerit eo quod ex in-commensurabili sibi; quartae au-tem parti eius quod est ex minori aequale ad maiorem comparetur deficiens specie quadrato per in-commensurabilia ipsam diviserit longitudine.
Theorema xv. propositio xviii. precedentis conver-sa. Si fuerint binae rectae lineae inaequales: quartae autem parti eius quod fit ex minore aequum ad maiorem comparetur defficiens specie a quadrato et per incom-mensurabilia ipsam diviserit lon-gitudine: maior minore maius po-test eo quod fit ex sibi incommen-surabili longitudine et si maior minore maius potuerit eo quod fit ex sibi incommensurabili: quar-tae autem ipsius quod fit ex mi-nore aequum ad maiorem com-paratum fuerit deficiens specie a quadrato: incommensurabilia sibi longitudine ipsam dispescit.
Si rationale ad rationalem com-paretur latitudinem facit rationa-lem et commensurabirationa-lem ei iuxta quam haeret longitudine.
Theorema xvii. propositio xx. Si rationale ad rationalem comparatum fuerit latitudinem efficit rationalem: commensura-bilem que ei ad quam comparatur longitudine.
Lemma. Quae potest irrationa-lem aream, irrationalis est.
Lemma. Potens irrationalem aream irrationalis est.
Quod sub rationalibus poten-tia solum commensurabilibus rec-tis lineis comprehensum ortho-gonium irrationale est et potens ipsum irrationalis est, vocetur autem media.
Theorema xiix. propositio xxi. Sub rationalibus potentia tantum commensurabilibus rec-tis lineis comprehensum rectan-gulum irrationale est: illudque potens irrationalis est: vocetur quo media.
Lemma. Si fuerint duae rectae lineae est ut prima ad secundam, ita quod ex prima ad id quod ex duabus rectis lineis.
Lemma. Si fuerint binae rectae lineae: est sicut prima ad secun-dam sic quod fit a prima ad id quod sub duabus rectis lineis. A media ad rationalem
compa-rata latitudo facit rationalem et incommensurabilem ei cui haeret longitudine.
Theorema xix. propositio xxii. A media ad rationalem comparata latitudo efficit ratio-nalem et ei incommensurabilem ad quam comparatur longitudine. Quae mediae commensurabilis,
media est.
Theorema xx. propositio xxiii. Quae mediae commensu-rabilis: media est.
Sub mediis potentia solum mensurabilibus rectis lineis com-prehensum orthogonium, aut ra-tionale, aut medium est.
Theorema xxii. proposi-tio xxv. Sub mediis tantum commensurabilibus rectis lineis comprehensum rectangulum aut rationale aut medium est.
