Valla Zamberti
De expetendis rebus;
Lib.XII, Geometria III, Cap.i
Gli Elementi; Lib.V
Rationem habere dicuntur ad se invicem magnitudines quae pos- sunt multiplicatae invicem exce- dere. Hoc dicit quia punctum aut linea infinita multiplicata se excedere non possunt.
Diffinitio quinta. Rationem habere ad invicem magnitudi- nes dicuntur: quae possunt multiplicare invicem excedere.
In eadem ratione magnitudines dicuntur esse prima ad secundam et tertia ad quartam, cum primae et tertiae aeque multiplices ea- rum, quae secundae et quartae ae- quae multiplicium iuxta quamvis multiplicationem utramque; alte- rius, vel una ex cesserant, vel una aequales fuerint, vel una inter se invicem acceptae defecerint.
Diffinitio sexta. In eadem ra- tione magnitudines dicuntur es- se: prima ad secundam et ter- tia ad quartam: quando primae et tertiae aeque multiplices: se- cundae et quartae aeque multi- plicia iuxta quamvis multiplica- tionem utraque utramque: vel una excedunt vel una sunt aequa- les: vel una defficiunt sumptae ad invicem.
Si fuerint quotlibet magnitudi- nes magnitudinum quotcumque numero pares singulae singu- lis aeque multiplices, quotupla unius est una magnitudo, totupla omnium omnia fuerint.
Theorema primum. propo- sitio prima. Si fuerint quae- libet magnitudines quorumlibet magnitudinum aequalium nume- ro: singulae singularum aeque multiplices: quotuplex est unius una magnitudo: totuplices erunt et omnes omnium.
Si prima secundae aeque multi- plex fuerit et tertia quartae; fuerit etiam quinta secundae aeque mul- tiplex et sexta secundae et com- posita prima et quinta secundae aeque multiplex erit et tertia et sexta quartae.
Theorema secundum. propo- sitio ii. Si prima secundae aeque fuerit multiplex et tertia quartae; fuerit autem et quinta secundae aeque multiplex et sexta quar- tae et composita prima et quinta secundae aeque multiplex erit et tertia et sexta quartae.
Si primum secundi aeque mul- tiplex fuerit et tertium quarti. Sumpta autem fuerint aeque mul- tiplicia primi et tertii et aeque sumptorum utrumque utriusque aeque multiplex fuerit; alterum quidem secundi; alterum vero quarti.
Theorema iii. propositio iii. Si primum secundi aeque fue- rit multiplex et tertium quarti: summant autem aeque multipli- cia primi et tertii et aeque sump- torum utrunque utriusque aeque erit multiplex: alterum quidem secundi: alterum autem quarti. Si primum quantum ad secun-
dum eandem habuerit rationem et tertium ad quartum et aeque multiplicia primi et tertii ad ae- que multiplicia secundi et quarti iuxta quamcunque multiplicatio- nem eandem habebunt rationem sumpta invicem.
Theorema iiii. propositio iiii. Si primum ad secundum eandem habuerit rationem et ter- tium ad quartum et aeque mul- tiplicia primi et tertii: ad aeque multiplicia secundi et quarti iux- ta quamvis multiplicationem ean- dem habebunt rationem sumpta ad invicem.
Lemma. Quoniam igitur demon- stratum est, quod si excedit g; ip- sum m; excedit etiam l; ipsum n et si aequale aequale et si minus minus et si in quam excedit m; ip- sum l2; excedit etiam n; ipsum l
et si aequale aequale et si minus minus et ob hoc erit, ut g ad e ita h ad f .
Lemma sive assumptio. Quo- niam igitur demonstratum est quod si excedit k ipsum m excedit quoque et l ipsum n et si aequale aequale et si minus minus mani- festum autem est quod k ipsum m excedit et l excedit ipsum n et si aequale aequale et si minus mi- nus. Ac pro hoc erit ut g ad e sic h ad f .
Porisma. Hinc manifestum est quod si quatuor magnitudi- nes proportionem habeant contra quoque proportionem habere.
Corelarium. Hinc manifestum est quod si quattuor magni- tudines proportionales fuerit et e contra quoque proportionales erunt.
Si magnitudo magnitudinis ae- quae fuerit multiplex, quod abla- tum ablati, id reliquum reliqui, aeque multiplex erit quo totum totius est multiplex.
Theorema v. propositio v. Si magnitudo magnitudinis ae- que fuerit multiplex: quod abla- ta ablatae et reliqua reliquae ae- que erit multiplex quo tuplex tota totius est multiplex.
Si duae magnitudines duarum magnitudinum aeque fuerint mul- tiplices et ablatae aliquae sint eo- rumdem aeque multiplices et reli- quae eisdem vel aequales sunt, vel aeque ipsarum multiplices.
Theorema vi. propositio vi. Si duae magnitudines: duarum magnitudinum aeque fuerint mul- tiplices et ablatae aliquae earum aeque fuerint multiplices et reli- quae eisdem vel aequales sunt: vel aeque ipsarum multiplices. In aequalium magnitudinum ma-
ior ad eandem maiorem habet rationem, quam minor et ea- dem ad minorem maiorem habet rationem quam ad maiorem.
Theorema viii. propositio viii. In aequalium magnitudinum maior ad eandem: maiorem ratio- nem habet: quam minor et eadem ad minorem maiorem rationem habet quam ad maiorem.
Quae eidem sunt rationes et interse invicem sunt eaedem.
Theorema xi. propositio xi. Quae eidem sunt aeedem rationes et adinvicem sunt eaedem. Si primum ad secundum eandem
habeat rationem et tertium ad quartum; at tertium ad quar- tum maiorem habeat rationem, quam quintum ad sextum et pri- mum ad secundum maiorem ha- bebit rationem; quam quintum ad sextum.
Theorema xiii. propositio xiii. Si prima ad secundam ean- dem habuerit rationem et ter- tia ad quartam maiorem ratio- nem habeat: quam quinta ad sex- tam. Prima quoque ad secundam maiorem rationem habebit quam quinta ad sextam.
Si quatuor magnitudines propor- tionem habeant etiam vicissim proportionem habebunt.
Theorema xvi. propositio xvi. Si quattuor magnitudines proportionales fuerint et vicissim proportionales erunt.
Si compositae magnitudines pro- portionem habeant divisae quo- que sibi proportionibus responde- bunt.
Theorema xvii. propositio xvii. Si compositae magnitudi- nes proportionales fuerint: divi- sae quoque proportionales erunt. Si divisae magnitudines fuerint,
etiam compositae proportionem habebunt.
Theorema xviii. propositio xviii. Conversa praecedentis. Si divisae magnitudines proportio- nales fuerint: compositae quoque proportionales erunt.
Si fuerit ut totum ad totum ita ablatum ad ablatum et reliquum ad reliquum erit, ut totum ad totum.
Theorema xix. propositio xix. Si fuerit sicut totum ad to- tum. sic ablatum ad ablatum et reliquum ad reliquum erit sicut totum ad totum.
Porisma. Hinc manifestum quod si compositae magnitudines proportionem habeant est con- vertenti proportionem hembunt quod oportebat demonstrare.
Correlarium. Hinc manife- stum est: quod si compositae magnitudines proportionales fue- rint et convertendo proportio- nales erunt. Quod oportebat demonstrare.
Valla Zamberti
De expetendis rebus;
Lib.XII, Geometria III, Cap.ii
Gli Elementi; Lib.VI
Triangula et parallelogramma, quae sub eodem sunt vertice ad se invicem sunt, ut bases.
Theorema primum. proposi- tio prima. Triangula et paralle- logramma quae sub eodem sunt vertice: ad se invicem sunt ut bases.
Si trianguli ad latus unum acta fuerit recta linea, proportionem habens secat trianguli latera et si trianguli latera proportionem ha- bentia secuerint, ad sectiones co- niuncta recta linea ad reliquum erit trianguli latus.
Theorema secundum. propo- sitio ii. Si trianguli ad unum la- terum acta fuerit aliqua recta li- nea proportionaliter secat ipsius trianguli latera et si trianguli la- tera proportionaliter secta fuerint ad segmenta connexa recta linea ad reliquum erit ipsius trianguli latus.
Aequalium et unum uni aequa- lem habentium angulum paralle- logrammorum reciproca sunt la- tera quae circa aequales angu- los et quorum parallelogrammo- rum unum uni aequalem haben- tium angulum reciproca sunt la- tera, quae circa aequales angulos, ea quoque aequalia sunt.
Theorema viiii. propositio xiiii. Aequalium et unum uni ae- qualem habentium angulum pa- rallelogrammorum reciproca sunt latera quae circum aequales an- gulos et quorum parallelogram- morum unum angulum uni angu- lo aequalem habentium reciproca sunt latera quae circum aequales angulos: ea quoque sunt aequalia. Aequalium et unum uni aequa-
lem habentium angulum trian- gulorum reciproca sunt latera quae circa aequales sunt angu- los et quorum unum uni ae- qualem habentium angulum re- ciproca sunt quae circa aequales angulos latera, ea sunt aequalia.
Theorema x. propositio xv. Aequalium et unum uni aequa- lem habentium angulum triangu- lorum reciproca sunt latera quae circum aequales angulos et quo- rum unum uni angulum aequa- lem habentium triangulorum re- ciproca sunt latera quae circum aequales angulos: ea quoque sunt aequalia.
Si quatuor rectae lineae propor- tionem habeant quod sub extre- mis comprehensum rectangulum est, aequale est ei quod sub me- diis continetur rectangulo et si sub extremis contentum rectan- gulum aequale sit ei quod sub me- diis comprehensum est rectangu- lo quatuor rectae lineae habebunt proportionem.
Theorema xi. propositio xvi. Si quattuor rectae linae propor- tionales fuerint: quod sub ex- tremis comprehensum rectangu- lum aequum est ei quod sub mediis continetur rectangulo et si sub extremis comprehensum rectangulum aequum fuerit ei quod sub mediis continetur rec- tangulo: quattuor rectae lineae proportionales erunt.
Si tres rectae lineae habeant pro- portionem sub extremis conten- tum rectangulum aequale est a, media quadrato et si sub extre- mis contentum rectangulum ae- quale fuerit a, media quadrato tres rectae lineae proportionales erunt.
Theorema xii. propositio xvii. Si tres rectae lineae pro- portionales fuerint: quod sub ex- tremis comprehensum rectangu- lum: aequum est ei quod a me- dia quadrato et si quod sub extre- mis continetur rectangulum: ae- quum fuerit ei quod a media qua- drato: ipsae tres rectae lineae proportionales erunt.
A data recta linea dato rectili- neo simile et similiter positum rectilineum describere.
Problema vi. propositio xviii. A data recta linea: da- to rectilineo: simile similiter quo positum rectilineum describere. Similia triangula ad se invicem in
dupla sunt ratione laterum similis rationis.
Theorema xiii. propositio xix. Similia triangula ad invi- cem in dupla sunt ratione laterum similis rationis.
Porisma. Ex hoc utique ma- nifestum est si tres rectae li- neae proportionales fuerint est ut prima ad tertiam, ita quod a prima triangulum ad id quod est a secunda simile et similiter descriptum.
Correlarium. Ex hoc utique manifestum est quo si tres rectae lineae proportionales fuerint: si- cut prima ad tertiam: sic quod a prima rectangulum ad id quod est a secunda simile similiterque descriptum.
Similia polygona in similia trian- gula dividuntur et numero aequa- lia et aequa ratione totis et po- lygonum ad polygonum duplam habet rationem quod eiusdem ra- tionis latus et similis rationis latus.
Theorema xiv. propositio xx. Similia polygona in similia trian- gula dividuntur et in aequalia nu- mero et aequa ratione totis et po- lygonum ad polygonum duplicem rationem habet quod similis ra- tionis latus: ad similis rationis latus.
Porisma. Proinde in universum similes rectilineae figurae ad se in- vicem in dupla sunt ratione la- terum qui in simili ratione et si ipsorum ab f g tertiam proportio- nalem sumamus x bs ad x du- plam rationem habet quod ab ad f g habet autem est polygonum ad polygonum quadrilaterum ad quadrilaterum duplam rationem, quod eiusdem rationis latus ad la- tus simile hoc est ab ad f g; de- monstratum autem est hoc etiam in triangulis.
Correlarium primum. Proin- de in universum manifestum est: quod similes rectilineae figurae adinvicem in dupla sunt ratione similis rationis laterum et si ip- sorum ab et f g proportionalem accipiamus x ipsa ab ad x du- plam habet rationem quod ab ad f g habet autem et polygonum ad polygonum: sive quadratum ad quadratum duplam rationem: quod similis rationis latus: ad si- milis rationis latus: hoc est ab ad f g patuit autem hoc etiam in triangulis.
Porisma. Proinde etiam in totum manifestum est quod si tres rectae lineae proportionales sint; erit etiam ut prima, ad ter- tiam, ita a prima species ad eam quo a secunda similem et simi- liter descriptam quod oportebat demonstrare.
Correlarium secundum. Proinde etiam in universum est manifestum quod si tres rectae lineae proportionales fuerint: erit sicut prima adtertiam: sic quae a prima species: ad eam quae a secunda: similis et similiter descripta est.
Si quattuor recte lineae sint pro- portionales et quae ab ipsis rec- tilinea similiaque et similiter de- scripta erunt proportionalia et si ab ipsis rectilinea similia et simi- liter descripta fuerint proportio- nalia ipsae quoque rectae lineae erunt proportionales.
Theorema xvi. propositio xxii. Si quattuor rectae lineae proportionales fuerint et ab eis rectilinea similia: similiter quae descripta proportionalia erunt et si ab ipsis rectilinea proportiona- lia fuerint: ipsae quoque rectae lineae proportionales erunt. Aequiangula parallelogramma ad
se invicem rationem habent com- positam ex lateribus.
Theorema xvii. proposi- tio xxiii. Aequangula paral- lelogramma adunvicem rationem habent compositam ex lateribus. In data recta linea, dato recti-
lineo aequale parallelogrammum comparare deficiens speciem pa- rallelogrammo simili dato, expe- dit utique datum rectilineum cui convenit aequale comparare non maius esse eo quod a dimidia comparati similibus existentibus de sectionibus ea quae a dimidia et cui expedit simile de esse.
Problema viii. propositio xx- viii. Ad datam rectam lineam. Dato rectilineo: aequale paralle- logrammum comparare defficiens specie parallelogrammo simili da- to: oportet iam datum rectili- neum cui expedit aequum com- parare non maius esse eo quod a dimidia comparatum similibus existentibus sumptis et eius quod a dimidia et cui expedit simile defficere.
Datae rectae lineae dato recti- lineo aequale parallelogrammum comparare excedens specie paral- lelogrammum simile datum.
Problema ix. propositio xx- viiii. Ad datam rectam lineam: dato rectilineo aequale paralle- logrammum pretendere excedens specie parallelogrammum simile dato.
Valla Zamberti
De expetendis rebus;
Lib.XII, Geometria III, Cap.iii
Gli Elementi; Lib.VII
Si duobus numeris in aequalibus expositis sublato semper minore a maiore reliquus numque prece- dente metiatur quoad unitas as- sumpta fuerit, qui sumti a princi- pio sunt numeri primi, ad se in- vicem erunt ut dici solet primi contra se positi.
Theorema primum. propo- sitio prima. Si duobus nume- ris inaequalibus expositis: subla- to semper minore a maiore: reli- quus minime metiatur praeceden- tem quoad assumta fuerit unitas: qui a principio numeri primi ad invicem erunt.
Omnis numerus omnis numeri mi- nor maioris, aut pars est, aut partes.
Theorema ii. propositio iv. Omnis numerus: omnis numeri minor maioris aut pars est aut partes.
Si numerus numeri partes fue- rit et alter alteris eaedem partes fuerit et pariter uterque pariter utriusque eaedem partes erit quae unus unius.
Theorema iii. propositio v. Si numerus numeri pars fuerit et al- ter alteris eadem pars et uterque utriusque eadem pars erit: quae unus unius.
Si numerus numeri partes sit quae ablatus ablati est reliquus reli- qui eadem partes erit quae totus totius.
Theorema v. propositio vii. Si numerus numeri pars fuerit: qualis ablatus ablati et reliquus reliqui pars erit: qualis totus totius.
Datis tribus numeris invenire quem minimum metiuntur nume- rorum.
Problema v. propositio xxx- viii. Tribus numeris datis inve- nire: quem minimum numerorum metiuntur.
Valla Zamberti
De expetendis rebus;
Lib.XII, Geometria III, Cap.iii
Gli Elementi; Lib.VIII
Si fuerint quotcumque numeri continui proportionales et extre- mi ipsorum primi contra se invi- cem positi sunt minimi in eadem ratione.
Theorema primum. propo- sitio prima. Si fuerint quoli- bet numeri continue proportiona- les: extremi vero ipsorum primi adinvicem fuerint: minimi sunt eandem ratione habentium eis.
Valla Zamberti
De expetendis rebus;
Lib.XII, Geometria III, Cap.iii
Gli Elementi; Lib.X
Duabus magnitudinibus, inae- qualibus expositis si a maiore auferatur maior, quae dimidium et eo quod relictum est ma- ius, vel dimidium, idque semper sit relicta fuerit aliqua magnitu- do, quae minor sit minore posita magnitudine.
Theorema primum. propo- sitio prima. Duabus magni- tudinibus inaequalibus expositis: si a maiori auferatur maius quae dimidium et eius quod relictum est maiusque dimidium: idque semper fiat: relinquetur quae- dam magnitudo minor minore magnitudine exposita.
Aliter. Constent binae magnitu- dines, inaequale ab c et quoniam minor est c multiplicata, erit [...]
Aliter idem ostendere. Con- stent binae magnitudines inae- quales ab c et quoniam minor est c multiplicatur: erit [...]
Commensurabiles magnitudines ad se invicem rationem habent, quam numerus ad numerum.
Theorema iii. propositio v. Commensurabiles magnitudi- nes adinvicem rationem habent quam numerus ad numerum. A longitudine commensurabilibus
rectis lineis quadrata ad se invi- cem rationem habent, quam nu- merus quadratus ad quadratum numerum et quadrata ad se invi- cem rationem habentia, quam nu- merus quadratus ad quadratum numerum, latera quoque habe- bunt longitudine commensurabi- lia at a longitudine incommen- surabilibus rectis lineis quadra- ta ad se invicem rationem non habebunt, quam numerus qua- dratus ad quadratum numerorum et quadrata ad se invicem ratio- nem non habentia, quam numerus quadratus ad quadratum nume- rum, nequidem latera habebunt longitudine commensurabilia.
Theorema vii. propositio ix. A longitudine commensurabilibus rectis lineis quadrata ad invicem rationem habent quam quadratus numerus ad quadratum numerum et quadrata adinvicem rationem habentia quam quadratus nume- rus ad quadratum numerum: la- tera quoque habebunt longitudi- ne commensurabilia: A longitudi- ne vero incommensurabilibus rec- tis lineis quadrata adinvicem ra- tionem non habent quam quadra- tus numerus ad quadratum nume- rum. Et quadrata adinvicem ra- tionem non habentia quam qua- dratus numerus ad quadratum numerum neque latera habebunt longitudine commensurabilia.
Corellarium. Non dubium quin ex eis quae demonstrata sunt lon- gitudine commensurabiles omni- no etiam sint potentia, quae ve- ro potentia, non etiam longitu- dine; si ex longitudine commen- surabilibus rectis lineis quadrata rationem habent quam numerus quadratus ad quadratum nume- rum, at quae rationem habent, quam numerus ad numerorum commensurabilia sunt.
Correlarium. et manifestum est ex hiis ostensis quo longitudine commensurabiles omnino sunt et potentia, quae autem potentia: non omnino longitudine, si ex lon- gitudine, si ex longitudine com- mensurabilibus rectis lineis qua- drata rationem habent quam qua- dratus numerus ad quadratum numerum.
Propositae rectae lineae invenire duas rectas lineas incommensura- biles. Unam quidem longitudi- ne solum. Alteram vero etiam potentia.
Problema iii. propositio x. Propositae rectae lineae: binas rectas incommensurabiles inveni- re lineas: alteram quidem longi- tudine tantum: alteram autem et potentia.
Valla Zamberti
De expetendis rebus;
Lib.XII, Geometria III, Cap.iiii
Gli Elementi; Lib.X
Lemma. Si ad aliquam rec- tam lineam comparetur parallelo- grammum deficiens specie a qua- drato parallelogrammum aequa- le est ei quod est sub sectioni- bus rectae lineae quae fiunt ex comparatione.
Lemma. (a Theorema xiii. propositio xvi. precedentis conversa) Si ad aliquam rec- tam lineam comparetur parallelo- grammum specie deficiens a qua- drato: comparatum aequum est ei quod sit sub comparatione fac- torum segmentorum ipsius rectae lineae.
Si fuerint duae rectae lineae inae- quales; quartae autem parti eius quod est ex minori aequale maio- ri comparatur fuerit deficiens spe- cie a quadrato et per commen- surabilia ipsam diviserit longitu- dine maior minori maius poterit eo quod est a commensurabili si- bi longitudine et si maior minori maiorem potuerit eo quod est a commensurabili sibi longitudine; quartae vero parti eius quod est a minori aequale maiori compa- ratur deficiens specie a quadrato in longitudine commensurabilia ipsam distribuerit.
Theorema xiv. propositio xvii. Si fuerint binae rectae li- neae inaequales: quartae autem parti eius quod ex minori aequum maiori comparatum fuerit deffi- ciens specie a quadrato et in com- mensurabilia ipsam diviserit lon- gitudine: maior minore maius po- terit eo quod fit ex sibi longitu- dine commensurabili et si maior minore maius poterit eo quod fit a sibi commensurabili longitudi- ne: quartae vero parti eius quod a minori aequale maiori compara- tum deficiens specie a quadrato et in commensurabilia longitudine ipsam distribuet.
Si sint duae rectae lineae inae- quales at quartae parti eius, quod est ex minori aequale ad maio- rem comparetur deficiens quadra-