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Teoria-Esercizi(libro Zanichelli)

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Academic year: 2021

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(1)

1.

La necessità di ampliare l’insieme Q

L’estrazione di radice non è un’operazione interna in Q

Q

Abbiamo visto che, partendo dall’insieme dei numeri naturali N, per rendere interna la sottrazione, operazione inversa dell’addizione, è stato necessario introdurre l’insieme dei numeri interi Z.

Analogamente, con l’introduzione dell’insieme dei numeri razionali Q, è stato possibile rendere interna la divisione, operazione inversa della molti-plicazione:

N , Z , Q.

Nell’insieme Q è possibile eseguire sempre le quattro operazioni di addi-zione, sottraaddi-zione, moltiplicazione e divisione (esclusa la divisione per 0). Tuttavia, è necessario ampliare ancora l’insieme Q, perché l’operazione inversa della potenza, l’estrazione di radice, non è interna in Q.

Infatti abbiamo visto che un qualsiasi numero razionale corrisponde a un numero decimale finito o periodico e viceversa, mentre in alcuni casi l’estrazione di radice ha come risultato numeri decimali illimitati e non periodici.

Per semplicità studiamo il problema limitandoci a considerare solo la ra-dice quadrata.

TEORIA

I numeri reali

e i radicali

Il problema di Delo

Una leggenda narra che nell’anno 400 a.C. la città di Atene fu colpita da una terribile epidemia di peste. Una delegazione di ateniesi si diresse a Delfi per consultare l’oracolo, nella speranza che

potesse indicare un modo per porre fine all’epidemia. Questo fu il responso dell’oracolo: «Ateniesi, per far cessare la peste, dovete duplicare l’altare consacrato ad Apollo nell’isola di Delo»…

…come fecero gli ateniesi a raddoppiare l’altare?

nn© La risposta a pag. 686

10

(2)

La radice quadrata e i numeri razionali

Nell’insieme dei numeri razionali positivi o nulli, che indichiamo con

Q10, la radice quadrata non è un’operazione interna, perché esistono

numeri la cui radice quadrata non è un numero razionale.

Dimostriamo, per esempio, che 2 non ha per radice quadrata un nume-ro razionale, facendo vedere che non esiste alcun numenume-ro razionale che, elevato al quadrato, dia come risultato 2.

Suddividiamo a tale scopo l’insieme dei razionali positivi, compreso lo zero, in due sottoinsiemi: uno contenente le sole frazioni apparenti, cioè i numeri naturali, e l’altro contenente tutte le altre frazioni.

Procediamo in questi due insiemi alla ricerca di un numero il cui quadrato sia uguale a 2.

1.Nessun naturale ha come quadrato 2. Infatti, associando a ogni natu-rale il suo quadrato, si può vedere che fra i quadrati il numero 2 non compare.

n 0 1 2 3 4 5 … n2 0 1 4 9 16 25 …}a

b}è una frazione appa-rente se a è multiplo di b. Per esempio, }62} 5 3 è ap-parente; }12} e }7

2} non sono apparenti.

Radice quadrata

La radice quadrata di un numero razionale positivo o nullo è quel numero, positivo o nullo, che, ele-vato al quadrato, dà come risultato il numero dato. DEFINIZIONE

a

b

a

b

2

se (a 0, b 0)

=

=

La definizione di radice quadrata

Vogliamo definire la radice quadrata come operazione inversa dell’eleva-mento al quadrato; dato un numero a, vogliamo quindi determinare un numero b che, elevato al quadrato, dia a.

Consideriamo, per esempio, 25. È vero che: (2 5)2

5 25 e 525 25.

Ci sono due numeri, 2 5 e 5, che elevati al quadrato danno 25; tuttavia, affinché la radice quadrata sia un’operazione, dobbiamo associare a 25 un solovalore. Per convenzione, scegliamo il valore positivo. Diciamo che la radice quadrata di 25 è 5 e scriviamo:

Ï25w 5 5.

Inoltre, non tutti i numeri razionali hanno la radice quadrata. Per esem-pio, Ï2w 1w6w non esiste perché nessun numero elevato al quadrato dà come risultato un numero negativo.

(3)

Paragrafo 1.La necessità di ampliare l’insieme Q TEORIA

In una frazione non

ap-parente ridotta ai minimi termini il numeratore e il denominatore sono primi fra loro. Se eleviamo al quadrato la frazione, anco-ra numeanco-ratore e denomi-natore sono primi fra loro, perché sono dati dagli stessi fattori, ripetuti due volte. Per esempio:

1

}5 7}

2

2 5 }5 7 2 2 } 5 }5 7 ? ?7 5 } .

2. Nessuna frazione non apparente ha come quadrato 2. Supponiamo per assurdo che esista una frazione non apparente }b}a , ridotta ai minimi ter- mini, il cui quadrato sia uguale a 2, ossia tale che:

1

} a b}

2

2

5 2.

Se }b}a non è una frazione apparente, significa che a non è multiplo di b. Ma allora neanche la frazione

1

}

a b}

2

2 5 } a b ? ? a b

} può essere apparente; pertanto non può essere vera l’uguaglianza tra la frazione

1

}

a b}

2

2

non apparente e il numero naturale 2, che è una frazione apparente.

Possiamo concludere che non esiste alcun numero razionale il cui quadrato sia uguale a 2; pertanto l’operazione di radice quadrata non è interna in Q10.

Punti di una retta e numeri razionali

Nella rappresentazione dei numeri razionali su una retta, a ogni numero razionale corrisponde un punto della retta. Viceversa, è vero che a ogni punto della retta corrisponde un numero razionale?

Possiamo rispondere che non è vero con un esempio.

ESEMPIO Consideriamo la retta orientata r. Costruiamo sul segmento AB unitario un quadrato (figura 1a), indicando con d la misura della diagona-le AC (figura 1b), e applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo ABC:

d2

5 121 125 2.

Il segmento AE (figura 1c) misura d, con d2

5 2. Al punto E della retta r non può quindi corrispondere un numero razionale.

Abbiamo così mostrato che esiste un punto sulla retta r a cui non corri-sponde nessun numero razionale.

m Figura 1

a. Costruiamo sul segmento

unitario il quadrato ABCD.

b. Tracciamo la diagonale AC. c. Riportiamo AC con il compasso

sulla retta, ottenendo il segmento AE. 0 1 2 A D B C r r r 0 2 A D B C 1 1 1 0 2 A D B C 1 E dTeorema di Pitagora: in un triangolo rettangolo l’area del quadrato costrui-to sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

(4)

Abbiamo già visto che

ogni numero razionale si può scrivere in forma deci-male limitata o illimitata periodica e viceversa.

2.

Dai numeri razionali ai numeri reali

Le successioni approssimanti

Consideriamo la frazione }5

6}, che corrisponde al numero decimale perio-dico 0,83w.

Questo numero può essere approssimato al numero di cifre decimali che si vuole, per difetto o per eccesso.

Le approssimazioni per difetto all’intero e a una, due, tre... cifre deci-mali sono le seguenti:

0 0,8 0,83 0,833 0,8333 ... Le approssimazioni per eccesso sono:

1 0,9 0,84 0,834 0,8334 ...

In prima approssimazione possiamo dire che }5

6} è compreso fra 0 e 1, in seconda approssimazione che }5

6} è compreso fra 0,8 e 0,9 e così via. Più aumentano le cifre decimali, più ci si avvicina al valore }5

6} .

Questo procedimento si può applicare a ogni numero decimale periodico. Ogni numero decimale periodico può essere associato a due successioni di numeri decimali finitiche lo approssimano sempre meglio.

I numeri decimali illimitati non periodici

Vediamo ora se è possibile applicare il procedimento delle approssima-zioni alla radice quadrata di 2, Ï2w, che come abbiamo dimostrato non è un numero razionale.

Cerchiamo prima due successioni di numeri decimali, tali che i loro qua-drati approssimino il numero 2, per difetto e per eccesso.

Prima approssimazione.Sappiamo che: (1)2

, 2 , (2 )2.

Seconda approssimazione.Calcoliamo tutti i quadrati dei numeri con una cifra decimale, compresi fra 1 e 2, e controlliamo fra quali di questi numeri si trova il numero 2:

(1,1)2 5 1,21 (1,2)2 5 1,44 (1,3)2 5 1,69 (1,4)2 5 1,96 (1,5)2 5 2,25

Possiamo fermarci qui, perché abbiamo già trovato i due numeri richiesti: 1,96 , 2 , 2,25 ossia (1,4)2

, 2 , (1,5)2.

Terza approssimazione. Con un procedimento analogo calcoliamo i quadrati dei numeri con due cifre decimali, compresi fra 1,4 e 1,5, con-trollando fra quali di essi si trova il 2.

(1,41)2

5 1,9881 (1,42)2

(5)

Paragrafo 2.Dai numeri razionali ai numeri reali TEORIA

Possiamo fermarci qui, perché abbiamo già trovato i due numeri fra cui è compreso 2:

1,9881 , 2 , 2,0164 ossia (1,41)2,2 , (1,42)2.

Ulteriori approssimazioni.Questo procedimento può continuare per la terza cifra decimale, la quarta e così via.

Scriviamo ora le due successioni che approssimano per difetto e per ec-cesso Ï2w.

● S1: 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; ...

● S2: 2; 1,5; 1,42; 1,415; 1,4143; 1,41422; ...

I termini della prima successione sono crescenti, quelli della seconda de-crescenti. La differenza fra un termine della seconda successione e il cor-rispondente della prima successione va via via diminuendo:

2 2 1 5 1; 1,5 2 1,4 5 0,1; 1,42 2 1,41 5 0,01...

Tuttavia, aumentando il numero delle cifre decimali, non si giunge mai a uno stesso numero decimale finito o periodico. In tal caso, infatti, dovremmo tro-vare un numero razionale il cui quadrato è 2, cosa esclusa in precedenza. Comunque, così come la scrittura 0,833333... è collegata alle due succes-sioni che approssimano }5

6}e rappresenta } 5

6}in forma decimale, possia- mo pensare che anche 1,41421... sia la scrittura decimale di Ï2w.

Scriviamo

Ï2w 5 1,41421...

Ï2w, pur avendo infinite cifre decimali, non è periodico. Un numero di questo tipo viene detto numero decimale illimitato non periodico e non è un numero razionale.

I numeri irrazionali

Potremmo far vedere che ogni volta che un’estrazione di radice non ha come risultato un numero razionale, esiste un procedimento per associa-re alla radice un numero decimale illimitato non periodico. Diamo allora la seguente definizione.

I numeri irrazionali sono infiniti. Per esempio, Ï3w, Ï5w, Ï3

2w, Ï5

7w sono numeri irrazionali.

Esistono anche numeri irrazionali che non derivano dall’estrazione di ra-dici: per esempio, il numero p 5 3,14159...

Se usi la calcolatrice per

calcolare Ï2w, trovi un nu-mero decimale finito che è una sua approssimazione.

Il procedimento delle

successioni approssimanti si può estendere anche alle radici cubiche, quarte ecc.

Il rapporto fra le misure

della circonferenza e del diametro è costante e viene indicato con p (pi greco). Nel 1761 il matematico te-desco Lambert dimostrò che p è un numero irrazio-nale.

Numero irrazionale

Chiamiamo numero irrazionale ogni numero decimale illimitato non pe-riodico.

(6)

I numeri reali

Poiché esistono dei numeri non razionali, dobbiamo ampliare l’insieme dei numeri razionali considerando un nuovo insieme, che chiamiamo in-sieme dei numeri reali; tale inin-sieme è l’unione dell’inin-sieme dei numeri razionali e di quello degli irrazionali.

Indichiamo con R l’insieme dei numeri reali, mentre R10 è l’insieme dei

numeri reali positivi o nulli.

Nell’insieme R si possono eseguire le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, potenza, estrazione di radice, ma non:

a) la divisione per 0;

b)l’estrazione di radice con indice pari di numeri negativi.

Come l’insieme Q, anche l’insieme R è denso, cioè, dati due numeri rea-li a e b, esiste sempre un numero reale compreso tra essi, e quindi ne esi-stono infiniti.

L’insieme R si può mettere in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta: a ogni numero reale corrisponde un punto della retta e vicever-sa. Per questo si dice che R è un insieme completo.

Le operazioni tra numeri reali e le approssimazioni

Dal punto di vista teorico sarebbe possibile definire in modo rigoroso le operazioni fra numeri reali e studiarne le proprietà.

Si può inoltre dimostrare che R è un ampliamento di Q: le operazioni fra numeri reali conservano le proprietà formali delle operazioni fra nu-meri razionali.

Noi ci limiteremo a osservare che, per svolgere i calcoli, si devono utiliz-zare le approssimazioni decimali dei numeri reali. Cerchiamo di capire che cosa questo comporta.

Consideriamo Ï31w e Ï67w, limitandoci, per semplicità, alle approssima-zioni con due cifre decimali:

Ï31w è approssimato per difetto da 5,56 e per eccesso da 5,57, ossia 5,56 , Ï31w , 5,57;

Ï67w è approssimato per difetto da 8,18 e per eccesso da 8,19, ossia 8,18 , Ï67w , 8,19.

Notiamo che le approssimazioni per difetto forniscono sempre cifre certe, ossia cifre che sarebbero senz’altro presenti se considerassimo approssima-zioni con più di due cifre decimali. In altre parole siamo sicuri di poter scrivere:

Ï31w 5 5,56... Ï67w 5 8,18...

Per calcolare Ï2w 2w è

necessario introdurre un nuovo insieme numerico.

Q è denso, ma non è

completo.

Numero reale

Chiamiamo numero reale ogni numero razionale o irrazionale.

DEFINIZIONE 2

π

– 3 2

R Q Z N ◗ Le calcolatrici fornisco-no approssimazioni per difetto.

(7)

Paragrafo 2.Dai numeri razionali ai numeri reali TEORIA

Calcoliamo ora la somma di Ï31w e Ï67w per eccesso e per difetto. 5,56 1 8,18 5 13,74 (per difetto) Ï31w 1 Ï67w 5

5,57 1 8,19 5 13,76 (per eccesso)

Poiché il risultato è compreso fra 13,74 e 13,76, non si può dire con cer-tezza quale sia la seconda cifra decimale della somma considerata. L’unica cifra decimale certa è la prima, quindi possiamo solo scrivere:

Ï31w 1 Ï67w 5 13,7...

La somma è nota con un’incertezza maggiore di quella dei suoi ad-dendi.

Questa «propagazione dell’incertezza» è ancora più evidente se eseguia-mo la eseguia-moltiplicazione.

Prendiamo come fattori gli addendi dell’esempio precedente e calcolia-mone il prodotto per eccesso e per difetto.

5,56 ? 8,18 5 45,4808 (per difetto) Ï31w ? Ï67w 5

5,57 ? 8,19 5 45,6183 (per eccesso)

Nel prodotto sono comparse quattro cifre decimali, ma non per questo il risultato è più preciso. Infatti, poiché il prodotto è compreso fra 45,4808 e 45,6183, l’incertezza è già presente nella prima cifra decimale, quindi possiamo scrivere:

Ï31w ? Ï67w 5 45,...

Il prodotto è noto con un’incertezza maggiore di quella dei suoi fat-tori.

Questi due esempi forniscono un’idea dei problemi che sorgono quando si opera con approssimazioni di numeri irrazionali.

Per evitare questi problemi, si preferisce non operare con i numeri reali in forma approssimata, ma definendo le operazioni con i radicali. Per esempio, impareremo che Ï31w ? Ï67w 5 Ï31w?w67w 5 Ï20w77w.

È facile comprendere che, se invece di un’operazione eseguiamo i calcoli relativi a un’espressione con più operazioni, l’incertezza si propaga di operazione in operazione, rendendo sempre meno attendibile il risultato.

ESEMPIO

Calcoliamo il prodotto Ï31w ? Ï67w ? Ï80w. Procedendo per difetto, otteniamo:

5,56 ? 8,18 ? 8,94 5 406,598352.

Se invece procediamo per eccesso, otteniamo: 5,57 ? 8,19 ? 8,95 5 408,283785.

(8)

3.

I radicali

Abbiamo visto che la radice quadrata è l’operazione inversa della potenza con esponente 2 e che il simbolo Ïaw indica la radice quadrata di a, che esiste se a $ 0 e rappresenta un numero reale non negativo.

Allo stesso modo possiamo parlare di radice cubica come operazione in-versa della potenza con esponente 3.

Per esempio, la radice cubica di 8 è 2 perché 23

5 8 e la radice cubica di 2 27 è 2 3 perché (2 3)35 2 27.

L’algoritmo di Erone è un procedimento che per-mette di calcolare la radice quadrata di un numero. Possiamo spiegarlo meglio con un esempio, utiliz-zando un’interpretazione geometrica.

Cerchiamo di calcolare Ï8w.

Ï8w può essere intesa come la misura del lato di un quadrato di area 8. Vediamo come costruire tale quadrato operando per approssimazioni successive. Scegliamo un numero b , 8, per esempio 5, e il numero h 5 }b8} 5 }8

5} 5 1,6.

Costruiamo il rettangolo di lati 5 e }8

5}, che è equi-valente al quadrato perché ha area 8.

I valori di b e h approssimano la misura del lato del quadrato, uno per eccesso e l’altro per difetto. Calcoliamo ora il valore medio b1fra b e h:

b15 }b 1 2 h } 5 }5 1 2 1,6 } 5 3,3 e consideriamo poi h15 }b 8 1 } 5 } 3 8 ,3} 5 2,42…

ESPLORAZIONE: ERONE E LA RADICE QUADRATA

8

h1.2,42

h = 1,6

b = 5 b1= 3,3

lo vale 8, b1è un valore approssimato per eccesso della misura del lato del quadrato, mentre h1è un valore approssimato per difetto.

Poiché b1è il valore medio fra b e h, b1approssima Ï8w meglio di b.

Possiamo ora considerare b25 } b11 2 h1 } e }b8 2 } , e procedere poi in questo modo quante volte voglia-mo: le dimensioni dei rettangoli forniranno ap-prossimazioni sempre più precise di Ï8w, una per eccesso, l’altra per difetto. Dalla tabella (in cui i va-lori decimali sono approssimati) possiamo notare che con questo procedimento giungiamo piuttosto rapidamente a un valore di Ï8w con una buona ap-prossimazione. Infatti, se calcoliamo Ï8w con una calcolatrice, otteniamo Ï8w 5 2,828… b h 5 } b 8 } }b 12 h } 5 1,6 3,3 3,3 2,4242 2,8621 2,8621 2,7951 2,8286 … … … IN DIECI RIGHE

Erone non è stato il solo ad affrontare il problema dell’estrazione della radice quadrata.

Descrivi altri metodi in una relazione redatta con il computer.

Cerca nel Web: metodi calcolo radice qua-drata, Archita, Bombelli, Newton.

Costruiamo un nuovo rettangolo i cui lati misuri-no b1e h1. Anche in questo caso l’area del

(9)

rettango-Paragrafo 3.I radicali TEORIA

Ogni numero reale a ha sempre una sola radice cubica in R che si indica

con Ï3 aw.

In generale la radice n-esima è l’operazione inversa della potenza con esponente n. ESEMPIO Ï4 81 w 5 3, perché 34581. Ï5 32 w 5 2, perché 25532. Ï2 0w 5 0, perché 0250. Ï7 2 w 1w28w 5 2 2, perché (2 2)75 2128. Ï4 2

w 1w6w non esiste, perché non esiste un numero b tale che b45 216.

Dalla definizione di radice n-esima si deduce la seguente proprietà: (Ïn aw)n5 a

con a $ 0 se n è pari, ∀a [ R se n è dispari.

Nell’insieme dei numeri reali l’operazione di radice è sempre interna, tranne il caso in cui si hanno a , 0 e n pari; si può infatti dimostrare che la radice n -esima di un numero reale positivo o nullo esiste sempre ed è unica.

Un po’ di terminologia

La scrittura Ïn aw viene detta radicale.

Il numero n viene detto indice del radicale; il numero a si chiama radi-cando. Se il radicando è scritto sotto forma di potenza, l’esponente di tale potenza si chiama esponente del radicando.

35 radicando indice esponente del radicando

√

4 ◗ Si legge ennesima. DEFINIZIONE

Radice di un numero reale a

Dati un numero reale a e un numero naturale n Þ 0:

● se a $ 0, la radice n-esima di a è quel numero reale b $ 0 la cui potenza con esponente n è uguale

ad a;

● se a , 0 e n dispari, la radice n-esima di a è quel numero reale b , 0 la cui potenza con esponente n

è uguale ad a;

● se a , 0 e n pari, non esiste la radice n-esima di a.

La radice n -esima di a si indica con il simbolo Ïn aw.

bn = a naturale diverso da 0 n a = b

reali maggiori o uguali a 0

bn = a naturale dispari n a = b

reali minori di 0 naturale pari n a non esiste

reale minore di 0

(10)

Per la radice quadrata l’indice del radicale può essere omesso: Ï5w è un modo diverso di scrivere Ï25w. I radicali con indice 2 vengono detti radi-cali quadratici, quelli con indice 3 radiradi-cali cubici.

Casi particolari

Per ogni n naturale diverso da 0 e per ogni a reale si ha: 1.Ï1aw 5 a (infatti a15a)

2.Ïn 0w 5 0 (infatti 0n50) 3.Ïn 1w 5 1.

Non si attribuisce alcun significato alla radice con l’indice uguale a 0: Ï0

aw non ha significato.

4.

I radicali in R

1

0

Ci limiteremo ora, per semplicità, allo studio delle proprietà dei radicali nell’insieme dei numeri reali non negativi che abbiamo indicato con R0

1

. Pertanto considereremo espressioni del tipo:

Ïn

a

w 5 b, con a, b $ 0 e n [ N 2 {0}.

Le condizioni di esistenza dei radicali in R

R

1

0

Nell’espressione Ïn aw il radicando deve essere un numero reale positivo o nullo. Quando il radicando è un’espressione letterale, bisogna porre la condizione che essa sia maggiore o uguale a 0, indipendentemente dal-l’indice di radice.

ESEMPIO

Ï3

xw 2w 1w ha come condizione di esistenza x 2 1 $ 0, ossia: C.E.: x $ 1.

Per dimostrare i prossimi teoremi utilizzeremo spesso la seguente pro-prietà, che ci limitiamo a enunciare.

◗ Ï1 2w 5 2; Ï20w 5 0;

Ï2

1w 5 1.

◗ Ï0 2w non ha significato

perché nessun numero ele-vato a 0 dà 2.

La proprietà nonvale in

generale se a , 0 o b , 0: per esempio,

(2 5)25(1 5)2,

ma 2 5Þ5!

Dati due numeri reali a e b, non ne-gativi, e un numero naturale n, di-verso da 0, se a e b sono uguali, sono uguali anche le loro potenze n -esime e viceversa.

PROPRIETÀ

a b an bn

= =

naturale diverso da 0

(11)

Paragrafo 4.I radicali in R10 TEORIA

La proprietà invariantiva dei radicali

DIMOSTRAZIONE

n ?p

Per la definizione di radicale in R10, Ï n

awmw e Ïawmw?pw indicano numeri

posi-tivi o nulli. Eleviamo i due radicali allo stesso esponente n ? p.

Primo membro Secondo membro

n ?p

(

Ïn

awwm

)

n ?p

5

(

Ïawmw?pw

)

n?p5

Per la terza proprietà delle potenze: Per la definizione di radice: 5

[(

Ïn awmw

)

n

]

p

5 5am ?p.

Per la definizione di radice: 5 [am]p

5

Per la terza proprietà delle potenze: 5am?p.

Poiché le potenze dei due radicali forniscono lo stesso risultato, possiamo scrivere:

n ?p

(

Ïn

awwm

)

n?p

5

(

Ïawmw?pw

)

n ?p.

Essendo le basi delle potenze due numeri positivi o nulli, per la proprietà a 5 b ⇔ an 5 bnabbiamo: n?p Ïn aww 5 Ïawm mw?pw. ESEMPIO 2?3 1.Ï2w 5 Ï2w2 3w 5 Ï6w.8 3?5 2.Ï3 aw2w 5 Ïaw2w 5 Ï?5 15aw10w.

Due radicali sono

equi-valentise rappresentano lo stesso numero reale, po-sitivo o nullo. Per esem-pio, Ï4w e Ï6 64w sono equi-valenti perché Ï4w 5 2 e Ï6

64 w 5 2.

Dato un radicale, si può ottenere un radicale equivalente moltipli-cando per uno stesso numero na-turale (diverso da 0) sia l’indice del radicale sia l’esponente del radi-cando. TEOREMA

√

n am

√

n •p am •p • p p =

Terza proprietà delle

potenze: (an)m5 an?m.

(12)

La semplificazione di radicali

Per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza, possiamo anche scrivere la proprietà invariantiva nel modo seguente:

n ?p

Ïawwm?pw 5 Ïnawmw (con am

$ 0).

In questo caso si dice che si è semplificato il radicale.

ESEMPIO

1. Ï95w6w 5 Ï9:3w56;w 5 Ï3 3 5w2w.

2. Ï6aw4w 5 Ï6:2aw4w 5 Ï;2 3

a w2w.

ESEMPIO Ï3 5w4w è un radicale irriducibile, perché 3 e 4 sono primi fra loro.

Per semplificare un radicale e renderlo irriducibile, occorre: a) cercare il M.C.D. fra indice ed esponente del radicando; b)dividere l’indice e l’esponente per il loro M.C.D.

ESEMPIO Rendiamo irriducibile il radicale Ï207w12w.

a) M.C.D. (20; 12) 5 4;

b)dividiamo per 4 l’indice e l’esponente del radicando: Ï20

7w12w 5 Ï20:47w12w;w 5 Ï4 5

7w3w.

La semplificazione e il valore assoluto

Per semplificare il radicale Ï4 (2w 5w)w non possiamo scrivere:2

Ï4

(2

w 5w)w 5 Ï2 2?2(2w 5w)w 5 Ï2 2

2 w 5w

perché, essendo il radicando negativo, l’ultimo membro non rappresenta un numero reale.

Dato un radicale, si può ottenere un radicale equivalente dividendo l’indice della radice e l’esponente del radicando per un divisore co-mune. TEOREMA

√

n am

√

n • p am • p : p : p = Radicale irriducibile

Un radicale si dice irriducibile (cioè non semplificabile) quando il suo in-dice e l’esponente del radicando sono primi fra loro.

DEFINIZIONE ◗ È sbagliato semplificare così: Ï6 23 w 1w 5w3w 5 Ï2w1w 5w .

Non è sempre possibile

semplificare un radicale. Per esempio, il radicale Ï5

a2

w non si può semplifi-care, perché 5 e 2 non han-no divisori comuni, tranne l’unità.

Osserva che Ï4(2w 5w)w è2

un radicale in R1 0perché

l’esponente 2 è pari e dun-que (25)2

. 0.

Nonè invece un radicale in

R1 0il radicale Ï 15 (2w 5w)w,9 perché (25)9 , 0. BRAVI SI DIVENTA Videolezione cV34a

(13)

Paragrafo 4.I radicali in R10 TEORIA

Tuttavia la semplificazione è possibile perché l’esponente del radicando è pari, e perciò possiamo scrivere (2 5)2

5 (1 5)2, e poiché (1 5)2 5 *2 5*2, si ha: Ï4 (2 w 5w)w 5 Ï2 4 (1w 5w)w 5 Ï2 4 * 2 w 5ww 5 Ï*2 * 2 w 5ww 5 Ï5w.*

In generale, se a ,, 0 e m? p è pari, risulta:

Per esempio: Ï8

(2

w2)w2w 5 Ï4 w2w2w 5 Ï 4 2w.

In particolare, se n è pari:

che nel caso di n 5 2 diventa:

ESEMPIO Semplifichiamo il radicale: Ï(aw 2w 1w)w.2

Poiché a è una variabile che può assumere qualunque valore, l’espressio-ne (a 2 1)2

è non negativa, mentre l’espressione a 2 1 può essere sia po-sitiva sia negativa. Per poter semplificare occorre utilizzare il valore asso-luto:

Ï(aw 2w 1w)w 5 ua 2 1u.2

La riduzione di radicali allo stesso indice

Applicando la proprietà invariantiva, si possono trasformare due o più radicali in altri che hanno lo stesso indice. In particolare, si può ridurli a radicali che abbiano il minimo comune indice.

I passaggi necessari sono due: a) cercare il m.c.m. fra gli indici;

b)trasformare ogni radicale in uno equivalente, che ha per indice il m.c.m. trovato.

ESEMPIO Riduciamo al minimo comune indice i seguenti radicali. Ï5 2a w2w; Ï4 a w3w (con a $ 0). a)m.c.m. (5; 4) 5 20;

b)eleviamo ogni radicando al quoziente fra il m.c.m. e l’indice; nel no-stro caso, rispettivamente 20 ; 5 5 4 e 20 ; 4 5 5.

Ï5 2a w2w 5 Ï5?4 (2 wawww 5 Ï2)4 2016waw8w; Ï4 a w3w 5 Ï4?5 (a w3w)5w 5 Ï20wa15w. Ïaw2w 5u au. Ïn a wnw 5uau, Ïn?p a wmw?pw 5 Ïnwuaw.um

(14)

Il confronto di radicali

Si dimostra che fra due radicali con lo stesso indice è maggiore quello che ha il radicando maggiore. Per esempio, Ï5 28w . Ï5 12w, poiché 28 . 12. Per confrontare radicali con indici diversi bisogna ridurli prima a radicali che abbiano lo stesso indice.

ESEMPIO

Confrontiamo i due radicali Ï4 5w e Ï6 8w. Riduciamoli allo stesso indice:

Ï4 5w 5 Ï125w3w 5 Ï12 12 w5w, Ï6 8w 5 Ï128w2w 5 Ï12 64 w.

Poiché 64 , 125, anche Ï1264w , Ï1212w5w, quindi Ï6 8w , Ï4 5w.

5.

La moltiplicazione e la divisione

fra radicali

La moltiplicazione fra radicali

Si possono moltiplicare due o più radicali se questi hanno lo stesso indi-ce. Vale infatti il seguente teorema.

DIMOSTRAZIONE

Eleviamo i due membri dell’uguaglianza allo stesso esponente n . Otteniamo:

Primo membro Secondo membro

(

Ïn a w ? Ïn b w

)

n 5

(

Ïn aw ?wbw

)

n5

Per la quarta proprietà delle potenze: Per la definizione di radice: 5

(

Ïn aw

)

n?

(

Ïnbw

)

n5 5a ? b.

Per la definizione di radice: 5a ? b.

Teorema del prodotto

Il prodotto di due radicali con lo stesso indice è un radicale che ha per in-dice lo stesso inin-dice e per radicando il prodotto dei radicandi, ossia

Ïn a w? Ïn b w5 Ïn a w?wbw

con a e b reali, a $ 0, b $ 0 e n naturale, n Þ 0.

TEOREMA

In particolare, per i

ra-dicali quadratici: Ïaw ? Ïbw 5 Ïawbw.

Quarta proprietà delle

po-tenze:

(a ? b)n5 an? bn

.

BRAVI SI DIVENTA

(15)

Paragrafo 5.La moltiplicazione e la divisione fra radicali TEORIA

Poiché le potenze n -esime di Ïn aw Ïn bw e di Ïn abw forniscono lo stesso ri-sultato a ? b, concludiamo che sono uguali anche le loro basi, quindi:

Ïn a w ? Ïn bw 5 Ïn aw?wbw. ESEMPIO Ï4 2w ? Ï4 5w 5 Ï42w? 5w 5 Ï4w.10

In particolare, moltiplicando un radicale quadratico per se stesso si ottie-ne il radicando:

Ï3w ? Ï3w 5 Ï3w2w 5 3.

Se i radicali hanno indice diverso, per moltiplicarli è necessario ridurli al loro minimo comune indice.

ESEMPIO

Ï2w ? Ï3

5w 5 Ï6 2w3w ? Ï6 5w2w 5 Ï6 2w3w 5?w2w 5 Ï6 8w? 2w5w 5 Ï6w0w.20

La divisione fra radicali

Si possono dividere tra loro due radicali se questi hanno lo stesso indice. Vale infatti il seguente teorema.

La dimostrazione è analoga a quella del teorema del prodotto.

Anche per le divisioni valgono considerazioni analoghe a quelle fatte per le moltiplicazioni. ESEMPIO 1.Ï5 8w ; Ï52w 5 Ï5 8w;w2w 5 Ï54w. 2.Ï3 aw ; Ï4 bw 5 Ï12aw4w ; Ï12 b w3w 5

!

12 }a b

§

3 4 }

§

(con a $ 0 e b . 0). Teorema del quoziente

Il quoziente di due radicali (il secondo diverso da 0) con lo stesso indice è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il quoziente dei radicandi. Ïn a w ; Ïn b w 5 Ïn a w;w bw,

con a e b reali, a $ 0 e b . 0, n naturale, n Þ 0.

TEOREMA

Con a e b non negativi:

an5 bn

⇔ a 5 b.

BRAVI SI DIVENTA

(16)

Il trasporto di un fattore fuori dal segno di radice

Riprendiamo l’uguaglianza: Ïn

aw ? Ïnbw 5 Ïn aw?wbw, con a $ 0 e b $ 0.

Per la proprietà simmetrica dell’uguaglianza possiamo scrivere Ïn

aw?wbw 5 Ïnaw ? Ïnbw,

che significa: la radice n-esima del prodotto a ? b è uguale al prodotto della radice n -esima di a per la radice n -esima di b. In altre parole: un ra-dicale il cui radicando è scomposto in fattori non negativi è uguale al prodotto di più radicali con lo stesso indice che hanno per radicandi i di-versi fattori.

Questa proprietà permette di trasportare fuori dal segno di radice i fat-tori del radicando che hanno come esponente un multiplo di n.

ESEMPIO

1. Consideriamo il radicale Ï3 aw9w b?w2w, con a $ 0.

Applichiamo il teorema del prodotto e poi la proprietà invariantiva: Ï3 aw9 ? w bw2w 5 Ï3 aw9w ? Ï3 bw2w 5 a3 ? Ï3 bw2w.

Il fattore a9è stato portato fuori dalla radice cubica ed è diventato a3.

2. Semplifichiamo il radicale Ï3 aw13w, con a $ 0.

Il fattore a13 è una potenza con esponente maggiore dell’indice, ma

non multiplo. Esso si può scrivere come prodotto a12

? a. Pertanto: Ï3 aw13w 5 Ï3 aw12w?waw 5 Ï3 aw12w ? Ï3 aw 5 a4 ? Ï3 aw.

Notiamo che la divisione 13 ; 3 ha come quoziente 4 e resto 1.

In generale, considerato il radicale Ïn waw, con a $ 0 e m $ n, e indicatim

con q il quoziente di m ; n e con r il resto (e quindi, m 5 n ? q 1 r), si ha: Ïn a ww 5 Ïm n a wwn?q 1wrw 5 Ïn a wn?wq ? w awrw 5 Ïn a wwn?qw ? Ïn a ww 5 ar qÏn a wrw.

Quando si vuol portare fuori radice un fattore di cui non si conosce il se-gno, si scrive tale fattore in valore assoluto.

ESEMPIO

Ï5aww, se a [ R, diventa Ï5w Ïaw2 2w 5 Ï5w uau. ◗ Ï3 aw13w 5 Ï3 aw3?ww411w 5 5 Ï3 aw3?w4 ? w aw1w 5 5 Ï3 aw3?w4w ? Ï3 aw1w 5 a4 ? Ï3aw (con a $ 0). ◗ Nel radicale Ï3 2w 13w 5w

nonsi può portare fuori 2 perché 23è un addendo e

non un fattore del radi-cando.

BRAVI SI DIVENTA

(17)

Paragrafo 6.La potenza e la radice di un radicale TEORIA

6.

La potenza e la radice di un radicale

La potenza di un radicale

DIMOSTRAZIONE

Eleviamo a n entrambi i membri dell’uguaglianza.

Primo membro Secondo membro

[(

Ïn a w

)

m

]

n 5

(

Ïn a wmw

)

n 5

Per la terza proprietà delle potenze: Per la definizione di radice: 5

(

Ïn

a w

)

m ?n

5 5am.

Per la stessa proprietà: 5

[(

Ïn

a w

)

n

]

m

5

Per la definizione di radice: 5am.

I due membri sono uguali alla stessa espressione am

e quindi sono uguali fra loro. Poiché le potenze n -esime delle due espressioni

(

Ïn

a w

)

m

e Ïn

a wwm

sono uguali, concludiamo che sono uguali anche le espressioni stesse.

ESEMPIO 1.

(

Ï5 3w

)

45Ï5 3w4w 5 Ï5w.81 2.

(

Ï4wa3w

)

55Ï4(aww3)5w 5 Ï4wa15w 5a3?Ï4 wa3w (con a $ 0). In particolare,

(

Ïn a w

)

n 5Ïn waw 5n a.

La radice di un radicale

(

Ï32w

)

35Ï32w3w 5 2.

La radice m -esima di un radicale di indice n è un radicale che ha per in-dice il prodotto degli indici m ? n e per radicando lo stesso radicando.

Ï

m Ïn

w

aw

w

5 Ï m?n a w,

con m e n naturali, n Þ 0 e m Þ 0, e a reale, a $ 0.

TEOREMA

La potenza m -esima di un radicale è un radicale che ha per indice lo stes-so indice e per radicando la potenza m -esima del radicando, ossia

(

Ïn a w

)

m 5 Ï n a wmw,

con n e m naturali, n Þ 0 e m Þ 0, e a reale, a $ 0.

TEOREMA

Nei radicali quadratici:

(

Ïaw

)

m

(18)

DIMOSTRAZIONE

Eleviamo entrambi i membri dell’uguaglianza allo stesso esponente m ? n e dimostriamo che

(

Ï

m

Ïn

w

w

w

a

)

m ?n5

(

Ïm ?nwa

)

m ?n.

Primo membro Secondo membro

(

Ï

m

Ïn

w

w

w

a

)

m ?n5

(

m ?nÏaw

)

m ?n5

Per la terza proprietà delle potenze: Per la definizione di radice: 5

[(

Ï

m Ï

w

n

w

wa

)

m

]

n5 5a.

Per la definizione di radice: 5 [Ïn aw]n

5a.

I due membri sono entrambi uguali ad a e quindi sono uguali fra di loro. Poiché le potenze di esponente m ? n dei due radicali

Ï

m Ï

w

n w

w

ae Ïm ?nw sonoa uguali, concludiamo che sono uguali anche i radicali stessi.

Per la proprietà commutativa della moltiplicazione m ? n 5 n ? m, e si ha:

Ï

m

Ïn

w

w

w

a5 Ïm ?nw 5 Ïa n ?mw 5a

Ï

n Ï

w

mw

w

a.

Pertanto è possibile scambiare gli indici delle radici. Ciò può rendere più immediata la semplificazione di un radicale.

ESEMPIO

Ï

3

Ï4

w

w

w

a3w

w

5

Ï

4 Ï

w

3aw

w

3w

w

5 Ï4 aw (con a $ 0).

Il trasporto di un fattore dentro al segno di radice

Dato il radicale 3 ? Ï45w, è possibile portare il fattore 3 sotto il segno di ra-dice, tenendo presente che 3 5 Ï4 3w4w.

Possiamo scrivere: 3 ? Ï45w 5 Ï4 3w4w ? Ï4 5w 5 Ï43w4 ? w 5w. In generale, se a $$ 0, a ? Ïn bw 5 Ïnwaw ? Ïn n b w 5 Ïn a wnw? bw,

cioè, per trasportare dentro alla radice un fattore non negativo, occorre elevarlo all’indice del radicale.

ESEMPIO

1.2 Ï3 7w 5 Ï32w3w 7?w 5 Ï356w. 2.3a2Ï3 bw 5 Ï3 (3waw2w)w 5 Ï3b 3wa27ww.6b

Osservazione.I fattori negativi non vengono portati dentro la radice: il segno meno resta fuori e viene portato dentro il valore assoluto elevato all’indice del radicale.

ESEMPIO

2 3 Ï5w 5 2 Ï9w? 5w 5 2 Ï45w.

Possiamo portare

den-tro radice (3a2)3, perché è

sempre 3a2$ 0.Se n 5 2, si ha: aÏbw5 Ïaw2w Ïbw5Ïaww2b (con a, b $ 0). ◗ Il valore assoluto di 2 3 è 3. BRAVI SI DIVENTA Videolezione cV36c

(19)

Paragrafo 7.L’addizione e la sottrazione di radicali TEORIA ◗ Analogamente, Ï9w 2 Ï4wnonè Ï9w2w 4w! Infatti, Ï9w 2 Ï4w 5 3 2 2 5 1, mentre Ï9w2w 4w 5 Ï5w.

Si opera in analogia con

quanto si farebbe con i monomi 2ae 5a, ponendo

a 5Ï3w:

2a 1 5a 5 (2 1 5)a 5 7a 2a 2 5a 5 (2 2 5)a 5 2 3a.

I radicali 5 ? Ï92w e

5 ? Ï72wnonsono simili, perché le due radici hanno indici diversi, 9 e 7.

I radicali a ? Ï3w eb

a ?Ï3wb2wnonsono simili,

perché le due radici hanno radicandi diversi,

b e b2.

7.

L’addizione e la sottrazione

di radicali

Non sempre è possibile semplificare espressioni che contengono somme o differenze di radicali.

ESEMPIO

Ï4w 1 Ï9wnonè Ï4w1w 9w ! Infatti:

Ï4w 1 Ï9w 5 2 1 3 5 5, mentre Ï4w1w 9w 5 Ï13w. In generale:

Ïaw 1 ÏbwÞÏaw1w bw e Ïaw 2 ÏbwÞÏaw2w bw.

Però, date le espressioni 2 ?Ï3w e 5 ?Ï3w, si possono eseguire l’addizione o la sottrazione raccogliendo a fattore comune Ï3w:

2 Ï3w 1 5 Ï3w 5 (2 1 5)Ï3w 5 7 Ï3w 2 Ï3w 2 5 Ï3w 5 2 3 Ï3w.

ESEMPIO

9 ? Ï5 2w e 7 ? Ï5 2w sono simili, perché i due radicali hanno lo stesso indice 5 e lo stesso radicando 2.

A volte due radicali possono essere trasformati in radicali simili portan-do fuori dalla radice alcuni fattori.

ESEMPIO

I radicali b2?Ïbw3w e Ïbw5w, con b $ 0, non sono simili.

Portiamo fuori radice i fattori:

b2?Ïbw3w 5 b2? b ?Ïbw 5 b3?Ïbw; Ïbw5w 5 b2?Ïbw.

I radicali ottenuti b3?Ïbw e b2?Ïbw sono simili.

Radicali simili

Due radicali irriducibili si dicono simili quando hanno lo stesso indi-ce, lo stesso radicando e possono essere diversi solo per il fattore che li moltiplica, detto coefficiente del radicale. DEFINIZIONE è simile 3

a 15

BRAVI SI DIVENTA Videolezione cV37a

(20)

Con radicali simili possiamo eseguire l’addizione o la sottrazione.

ESEMPIO

1.4 Ï3 aw 1 2Ï3 aw 5 6Ï3 aw (con a $ 0). 2.a Ï2w 1 Ï2w 5 (a 1 1)Ï2w.

Somma algebrica di radicali simili La somma algebrica di due o più radicali simili è il radicale, simile ai dati, che ha come coefficiente la somma algebrica dei coefficienti.

REGOLA

3

+ 2

= 5

8.

La razionalizzazione

del denominatore di una frazione

Razionalizzare il denominatore di una frazione significa trasformare la frazione in una equivalente che non ha radicali a denominatore. Ciò ri-sulta utile, per esempio, nella somma di frazioni.

Per razionalizzare il denominatore di una frazione si applica la proprietà invariantiva delle frazioni, moltiplicando numeratore e denominatore per uno stesso fattore diverso da 0. Esaminiamo i casi più comuni.

PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI

È maggiore }Ï8} 1 }2w Ï 12 3w } o }Ï2w 1 1 0 Ï3w } ?

FRANCESCO: «Nessuna delle due: sono uguali! Ho fatto il calcolo approssimato, sapendo che Ï3w è circa 1,7 e Ï2w è circa 1,4: entrambe le espres-sioni danno 0,3».

CHIARA: «Forse hai usato un’approssimazione eccessiva. Inoltre, anche se due espressioni hanno lo stesso valore approssimato con un nume-ro grande di cifre, non è detto che siano uguali. Posso farti degli esempi».

FRANCESCO: «Giusto. E poi, perché tanti calcoli? Usiamo l’algebra!». cPer il confronto, utilizza le regole sui radicali e quelle sulle disuguaglianze.

(21)

Paragrafo 9.I radicali quadratici doppi TEORIA

◗ Ï2w ? Ï2w 5 Ï4w 5 2.

Se al denominatore c’è

una differenza, dobbiamo invece moltiplicare per la somma dei due termini.

1. Il denominatore è un unico radicale

ESEMPIO

Se il denominatore contiene un radicale quadratico, basta moltiplicare numeratore e denominatore per il radicale stesso.

}Ï6 2w } 5 }Ï6 2w } ? } Ï Ï 2w 2w } 5 }6 ? 2 Ï2w } 5 3 ? Ï2w.

Il risultato 3 ? Ï2w non contiene radicali al denominatore.

In generale, supposto a . 0, se il radicale al denominatore non è quadra-tico, si razionalizza nel seguente modo:

} Ïn 1 a w} 5 }wm Ïn aw Ïn m w aw Ïn n 2 w aw m w n 2 wwm } 5 }Ïn Ï a n m w a 1 w n w ( 2 w n w2w m w m) w } 5 } Ïn Ïn aw a w n 2 w n w m w } 5 } Ïn aw a n 2 wmw } . ESEMPIO } Ï5 21 49 w } 5 } Ï5 21 7w2w } 5 } Ï5 21 7w2w } ? } Ï Ï 5 5 7 7 3 w 3 w } 5 }21Ï 7 5 7w3w } 5 3Ï5 7w3w.

2. Il denominatore è la somma o la differenza di due termini, dei quali almeno uno è un radicale quadratico

ESEMPIO } Ï7w 1 8 Ï2w } .

Moltiplichiamo numeratore e denominatore per la differenza Ï7w 2 Ï2w, in modo da applicare il prodotto notevole (a 1 b)(a 2 b) 5 a2

2 b2. } Ï7w 1 8 Ï2w } ?

}

(

Ï Ï 7w 7w 2 2 Ï Ï 2w 2w

)

}

5

}

(

Ï 8

(

Ï 7w

)

7w 2 2 2

(

Ï Ï 2w 2w

)

)

2

}

5

}

8

(

Ï7w 5 2 Ï2w

)

}

.

9.

I radicali quadratici doppi

Si chiama radicale quadratico doppio un’espressione del tipo:

Ï

a

w

1

w

w

Ïbw

w

oppure

Ï

a

w

2

w

w

Ïbw

w

.

Un radicale doppio può essere trasformato nella somma o nella differen-za di due radicali semplici solo quando l’espressione a2

2 b è il quadrato di un numero razionale o di un’espressione che non contiene radicali. In tal caso valgono le due uguaglianze che consideriamo di seguito, in cui a, b, a2

(22)

Ï

w

a

w

1

w

Ïw

w

b5

1

;

Ï

w

a

w

2

w

Ïbw

w

5

2

.

ESEMPIO

Trasformiamo il radicale doppio

Ï

8

w

2

w

w

Ï15w

w

nella differenza fra due ra-dicali semplici.

Ciò è possibile poiché 82

2 15 5 64 2 15 5 49 5 72.

Ï

8

w

2

w

w

Ï

w

w155

!

}

§

8

§

1 2 Ï

§

49w }

§

2

!

}

§

8

§

2 2 Ï

§

49w }

§

5 5

!

}

§

81 2

§

7 }

§

2

!

}

§

82 2

§

7 }

§

5

!

§

}1 2 5 }

§

2

!

}1 2

§

}

§

.

10.

Le equazioni, i sistemi

e le disequazioni con coefficienti

irrazionali

Le proprietà finora esaminate vengono utilizzate anche quando si risol-vono equazioni, sistemi e disequazioni con coefficienti irrazionali.

ESEMPIO

1. Risolviamo l’equazione

(

Ï2w 1 1

)

(x 1 1) 5 2 (2 2 x). Svolgiamo i calcoli:

Ï2wx 1 Ï2w 1 x 1 1 5 4 2 2x.

Portiamo i termini con l’incognita al primo membro, gli altri al secondo: Ï2wx 1 x 1 2x 5 4 2 Ï2w 2 1.

Sommiamo i termini simili: 3x 1 Ï2wx 5 3 2 Ï2w. Raccogliamo l’incognita x :

(

3 1 Ï2w

)

x 5 3 2 Ï2w. Dividiamo per 3 1 Ï2w:

}

(

3 3 1 1 Ï Ï 2 w 2w

)

x

}

5 }3 3 2 1 Ï Ï 2 w 2w }. a 2 Ïaw 22w bw }} 2 a 1 Ïaw 22w bw }} 2 a 2 Ïaw 22w bw }} 2 a 1 Ïaw 22w bw }} 2 ◗ Il radicale doppio Ï3ww1wÏ2ww

nonè trasformabile in una somma o differenza di ra-dicali semplici, in quanto 32

2 2 5 7 non è il quadra-to di un razionale.

(23)

Paragrafo 11.Le potenze con esponente razionale TEORIA

Nel caso in cui sia

m , 0, supponiamo a . 0. ◗ 1 5 Ï4 1w 5 1; 0 5 Ï0}32 w 5 0.3 1 }4 Razionalizziamo il denominatore: x 5}3 3 2 1 Ï Ï 2 w 2 w }?}3 3 2 2 Ï Ï 2 w 2 w }5

}

(

3 2 9 2 Ï 2 2 w

)

2

}

5}9 1 2 2 7 6Ï2w }5}11 2 7 6Ï2w }. La soluzione è x 5 }11 2 7 6Ï2w } . 2. Risolviamo la disequazione }3ÏÏw2 3 w x } 2 }Ï2 6 w } . }5Ï 2 6 w x }.

Tenuto conto che Ï6w 5 Ï2w ? Ï3w, il m.c.m. dei denominatori è 2Ï2w ? Ï3w; moltiplichiamo tutti i termini per 2 Ï2w ? Ï3w:

}3ÏÏw2 3 w x } ? 2 Ï2w ? Ï3w 2 }Ï2 6 w } ? 2 Ï2w ? Ï3w . ? 2 Ï2w ? Ï3w. Eseguiamo i calcoli: 12x 2 4 . 30x → 12x 2 30x . 42 18x . 4 → → 1 } 1 18 8 } x , 2 } 1 4 8 } → x , 2 } 9 2 }.

11.

Le potenze con esponente

razionale

È possibile scrivere i radicali in una forma diversa, che permette di estende-re il concetto di potenza al caso in cui l’esponente sia un numero razionale.

ESEMPIO 1. 5 5 Ï3 5w 5 Ï2 3 25w; 2. 22 5 Ï52w24w 5

!

5

1

}

§

1 2}

§

2

4

§

5

!

5} 1

§

1 6 }

§

3. (2 4) non ha significato, perché nella definizione sono escluse le po-tenze di numeri negativi.

1 }2 4 } 5 2 }3 5Ï6w x } 2

Potenza con esponente razionale La potenza con esponente raziona-le }m

n} di un numero reale a, positi-vo o nullo, è la radice n-esima di am.

DEFINIZIONE



a m n = n am (a ≥ 0)

(24)

La definizione data permette di estendere alle potenze con esponente ra-zionale le proprietà delle potenze con esponente intero, che ricordiamo nella tabella qui sotto.

PROPRIETÀ ESPRESSIONE CON

1.Prodotto di potenze di am?an5am1n ugual base

2.Quoziente di potenze di am;an5am2n a Þ 0 ugual base

3.Potenza di una potenza (am)n5am ?n

4.Prodotto di potenze di an?bn5(a ? b)n ugual esponente 5.Quoziente di potenze di } b an n } 5

1

} b a }

2

n b Þ 0 ugual esponente

6.Segno di una potenza (2 a)d5 2ad d numero dispari (1 a)d5 1ad d numero dispari (6 a)p5 1ap p numero pariaai 7.Potenza con base

1

} b a }

2

2n 5

1

}b a}

2

n 5 }b an n } a Þ 0 ∧ b Þ 0 frazionaria ed esponente negativo n . 0

Le proprietà delle potenze con esponente razionale possono essere dimo-strate mediante le proprietà dei radicali. Per esempio, dimostriamo che:

a ?a 5a 1 . Infatti: a ?a 5Ïn aww ? Ïm q awpw 5 Ïnqawmwqw ? Ïnqaww 5 Ïnp nqawmwqw? aww 5np 5Ï nq awwmq1ww 5 anp 5a 1 5a 1 .

Nelle espressioni irrazionali, invece di operare con i radicali, possiamo operare con le potenze.

p } q m } n np } nq mq } nq mq1np } nq p } q m } n p } q m } n p } q m } n

ESEMPI DI ESPRESSIONI IRRAZIONALI

SEMPLIFICAZIONE ADDIZIONE POTENZA

con i Ï12 7w8w 5 Ï12;47w8;w4w 5 Ï37ww2 2Ï3aw2w 1 5 Ï3waw 5 (2 1 5) Ï2 3aw2w 5 7 Ï3aww2

(

Ï7aww3

)

25Ï7 (aw3w)2w 5 Ï7aww6 radicali con le 7 57 57 2a 15a 5(2 1 5)a 57a (a )25a ?25a potenze 6 } 7 3 } 7 3 } 7 2 } 3 2 } 3 2 } 3 2 } 3 2 } 3 8;4 } 12;4 8 } 12

(25)

Paragrafo 12.I radicali in R TEORIA

12.

I radicali in

R

R

Riprendiamo lo studio dei radicali in R. Se il radicando è positivo o

nul-lo, non ci sono variazioni rispetto a quello che abbiamo finora studiato. Partendo dalla definizione data nel paragrafo 3, considereremo il concet-to di radicale anche nel caso di radicando negativo.

Il seguente diagramma fornisce una sintesi sulla radice n-esima di un nu-mero reale a.

Le condizioni di esistenza dei radicali in

R

Dal diagramma precedente puoi notare che una radice con indice dispari esiste qualunque sia il radicando, mentre una radice con indice pari esiste solo se il radicando è positivo o nullo.

In questo caso, se il radicando è un’espressione letterale, dobbiamo porre le relative condizioni di esistenza.

ESEMPIO

Troviamo le condizioni di esistenza in R del radicale Ï4 1w2w 2wxw. Essendo l’indice pari, la condizione di esistenza è:

1 2 2x $ 0, ossia C.E.: x # }1 2} .

La proprietà invariantiva

In generale, la proprietà invariantiva non vale per le radici con radicando negativo.

Per esempio, dato il radicale Ï3 2w 8w, non possiamo scrivere Ï3 2 w 8w 5 Ï3?2 (2 w 8w)w 5 Ï2 6 64 w 5 2.

Possiamo però trasformare il radicale iniziale in uno a esso equivalente, ma con il radicando positivo, e di seguito applicare la proprietà invarian-tiva. Se n è dispari e a un numero reale positivo, vale la relazione:

Ïn

2

w aw 5 2 Ïn

a w.

Applicando questa proprietà al radicale considerato, si ha: Ï3

2

w 8w 5 2 Ï3

8w.

A questo punto possiamo applicare la proprietà invariantiva: Ï3 2 w 8w 5 2 Ï3 8w 5 2 Ï3?28w 5 2 Ï2 6 64w 5 2 2. a n ∃in R

{

{

{

n pari n dispari a > 0 a = 0 a < 0

numero reale positivo = 0

a > 0 a = 0 a < 0

numero reale positivo = 0

numero reale negativo

Alcuni esempi: Ï6w 5 2;64 Ï8 0w 5 0; Ï4 2 w 8w1w non esiste; Ï3 27 w 5 3; Ï7 0w 5 0; Ï5 2 w 3w2w 5 2 2 ◗ Per il radicale Ï3 xw1w 8w, essendo l’indice dispari, non ci sono condizioni, ossia C.E.: ∀x [ R.

(26)

La semplificazione e il valore assoluto

Per semplificare una radice con radicando scomponibile in fattori negati-vi basta introdurre il valore assoluto quando l’indice della radice è pari. Quando l’indice è dispari si procede al solito modo.

ESEMPIO

1.Ï2(2w5)w2w 5 u 2 5u 5 5.

2.Ï12(2w3)w10w 512;2Ï(2w3)w10w;2w 5 Ï6 u 2w 3wuw.5

3.Ï3(2w2)w3w 5 2 2.

In generale, valgono le seguenti uguaglianze: Ïn

awnw 5

5

a se n è dispari uua uu se n è pari

La riduzione di radicali allo stesso indice

La proprietà invariantiva permette di ridurre due o più radicali allo stes-so indice.

ESEMPIO Riduciamo al minimo comune indice i seguenti radicali:

Ï3 2 waw2 2 w 1w; Ïaw4 1 w 1w.

a) Trasformiamo il primo radicale, rendendo positivo il radicando: Ï3 2 waw2 2 w 1w 5 Ï3 2w (aw2w 11w)w 5 2 Ï3 aw2w 11w; b)m.c.m. (3; 2) 5 6;

c) eleviamo ogni radicando al quoziente fra il m.c.m. e l’indice: 2 Ï3 aw2w 11w 5 2 Ï6 (aw2w 11w)w;2 Ïaw4 1 w 1w 5 Ï6 (a w4 1 w 1w)w.3

Per le operazioni di moltiplicazione, divisione, addizione, sottrazione e l’elevamento a potenza valgono per i radicali in R le stesse proprietà

in-contrate nei paragrafi precedenti per i radicali in R1 0.

(27)

Paragrafo 13.Le equazioni di secondo grado TEORIA

13.

Le equazioni di secondo grado

Che cosa sono le equazioni di secondo grado

Le lettere a, b e c rappresentano numeri reali o espressioni letterali e si chiamano primo, secondo e terzo coefficiente dell’equazione; c è anche detto termine noto.

ESEMPIO L’equazione 5x222x 2 1 5 0

è di secondo grado in forma normale, e i tre coefficienti sono: a 5 5; b 5 2 2; c 5 2 1.

Se, oltre ad a Þ 0, si hanno anche b Þ 0 e c Þ 0, l’equazione si dice com-pleta. Per esempio, l’equazione 2x225x 1 6 5 0 è completa.

Se invece l’equazione è incompleta, abbiamo i seguenti casi particolari.

Una soluzione (o radice) dell’equazione è un valore che, sostituito all’incognita, rende vera l’uguaglianza fra i due membri.

ESEMPIO

L’equazione x225x 1 6 5 0 ha per soluzioni i numeri 2 e 3.

Infatti, sostituendo a x il numero 2, si ottiene: (2)225(2) 1 6 5 0

e sostituendo il valore 3 si ottiene: (3)225(3) 1 6 5 0.

Risolvere un’equazione di secondo grado significa cercarne le soluzioni. In genere, cercheremo le soluzioni nell’insieme R dei numeri reali.

Come vedremo, le soluzioni di un’equazione di secondo grado possono essere al massimo due.

Un’equazione è di secondo grado se, dopo aver applicato i princìpi di equivalenza già studiati per le equazioni di primo grado, si può scrive-re nella forma:

ax21 bx 1 c 50, con a Þ 0.

La forma

ax21 bx 1 c 50 è detta forma normale.

Conoscendo i radicali è

possibile affrontare lo stu-dio delle equazioni di secondo grado. Qui ci limitiamo a esaminare i metodi risolutivi utili per i problemi di applicazione dell’algebra alla geometria che studierai.

◗ 21 è il termine noto.

EQUAZIONI INCOMPLETE

COEFFICIENTI FORMA NORMALE NOME ESEMPIO

b Þ 0, c 5 0 ax21 bx 50 equazione spuria 2x225x 5 0

b 5 0, c Þ 0 ax21 c 50 equazione pura 2x216 5 0

(28)

La formula risolutiva

Si può dimostrare che le soluzioni dell’equazione ax21 bx 1 c 5 0, con

a Þ 0, sono: x15}2 b 1Ï 2a bww 422wawcw }, x25}2 b 2Ï 2a b2 w 2w 4wawcw }.

L’espressione viene detta formula risolutiva del-l’equazione di secondo grado.

ESEMPIO Calcoliamo le radici dell’equazione 4x22 7x 2 2 5 0.

}7 1 8 9 } 5 2 x 5 5 }7 6 8 Ï81w } 5 }7 2 8 9 } 5 2 }1 4} Le radici dell’equazione sono x15 2 e x25 2 }

1 4}.

Chiamiamo discriminante, e indichiamo con la lettera greca D (delta), l’espressione che nella formula risolutiva è sotto radice, cioè:

Per sapere se esistono soluzioni reali di un’equazione di secondo grado è sufficiente calcolare il discriminante: se è negativo, non esistono soluzio-ni reali.

In generale, risolvendo l’equazione ax21 bx 1 c 5 0, possono

presen-tarsi tre casi, che dipendono dal valore del discriminante: 1. D .. 0: l’equazione ha due soluzioni reali e distinte:

x15 }2 b 1 2a ÏDw } , x25 }2 b 2 2a ÏDw } . 2. D 5 0: l’equazione ha due soluzioni reali coincidenti:

x15 x25 2 } 2 b

a } .

3. D ,, 0: l’equazione non ha soluzioni reali, cioè in R è impossibile.

Le equazioni pure, spurie, monomie

Le equazioni pure: ax2

1 c 5 0

ESEMPIO

1. Risolviamo l’equazione 5x22 20 5 0.

Invece di applicare la formula risolutiva generale, isoliamo il termine con l’incognita, portando al secondo membro il termine noto:

5x25 20 → x25 4 → x 5 6 Ï4w 5 6 2 → x 15 2 2, x25 2. D 5 b2 2 4ac. 7 6 Ï7w 22w 4w ?w4w? (w2w 2w)w }}} 2 ? 4 x 5 }2 b 6 Ï 2 b w a 2 2 w 4wawcw } ◗ Dimostreremo questa

formula nel volume 3, dove studieremo in modo più completo le equazioni di secondo grado. ◗ a 5 4, b 5 2 7, c 5 2 2. ◗ Se D 5 0: x15 x25 }2 b 2 6 a Ï0w } . Si dice anche che la solu-zione è doppia.

Per esempio, l’equazione

x22 3x 1 5 5 0 ha

D 5 9 2 20 5 2 11. Poiché D , 0, non esisto-no soluzioni reali.

Qui e in seguito

sottin-tendiamo che cerchiamo le soluzioni delle equazioni nell’insieme R dei numeri

(29)

Paragrafo 13.Le equazioni di secondo grado TEORIA

2. Risolviamo l’equazione 3x21 27 5 0. 3x2

1 27 5 0 → 3x25 2 27 → x25 2 9.

Poiché nessun numero reale ha quadrato negativo, l’equazione non ha soluzioni reali.

Le equazioni spurie: ax2

1 bx 5 0

ESEMPIO Risolviamo l’equazione 6x2

2 5x 5 0. Raccogliamo x: x (6x 2 5) 5 0.

Per la legge di annullamento del prodotto:

x 5 0 oppure 6x 2 5 5 0 → x 5 }5 6}. L’equazione ha due soluzioni: x15 0 e x25 }

5 6} .

Le equazioni monomie: ax2

5 0

ESEMPIO Risolviamo l’equazione 2x2

5 0. 2x2

5 0 → x25 0 → x15 x25 0.

In generale, un’equazione di secondo grado monomia, del tipo ax2

5 0, ha sempre due soluzioni reali coincidenti: x15 x25 0.

In generale, un’equazione di secondo grado spuria, del tipo ax2

1 1 bx 5 0, ha sempre due soluzioni reali di cui una è nulla:

x15 0, x25 2 } a b } .

In generale, un’equazione di secondo grado pura, del tipo ax2

1 c 5 0, con a e c numeri reali discordi, ha due soluzioni reali e opposte:

x15 1

!

2

§

} a c

§

}

§

; x25 2

!

2

§

} a c

§

}

§

.

(30)

L’altare di Apollo, famoso in tut-ta la Grecia, aveva una forma particolare: era, infatti, un cubo. Per soddisfare la richiesta dell’oracolo di Delfi occorreva dunque costruire un nuovo alta-re di uguale forma ma con volu-me doppio.

La leggenda narra che per prima cosa gli ateniesi si recarono sull’isola di Delo e costruirono un nuovo altare, con il lato dop-pio del precedente.

Se l era il lato dell’altare origina-le, il suo volume era

V 5 l3,

mentre il volume del nuovo alta-re valeva:

V′ 5(2l)358l358V. La peste non cessò: gli ateniesi avevano infatti costruito un alta-re non due, ma otto volte più grande di quello iniziale. Resisi conto dell’errore, si rimi-sero al lavoro e costruirono un nuovo altare, mettendo sopra a quello vecchio un altro cubo del-le stesse dimensioni. Anche

que-LA QUADRATURA DEL CERCHIO

Un altro dei problemi celebri della geometria classica che coinvolge i numeri irrazionali è quello della quadratura del cerchio. Dato un cerchio, bisogna costruire un quadrato di area pari a quella del cerchio.

Dal punto di vista algebrico, indicati con r il raggio del cerchio e con l il lato del quadrato da trovare, vale la relazione: pr25 l2→ l 5 Ïpw?r.

Assunto per semplicità r 5 1, si tratta di costruire un lato di misura Ïpw. Nel 1882 venne dimostrata l’impossibilità di tale costruzione attraverso le regole euclidee di riga e compasso. Abbandonando tali regole è possibile ottenere la sua rap-presentazione attraverso vari metodi. Il numero Ïpw è, come Ï32w, un numero irrazionale.

sta volta, la peste non terminò: il volume era quello richiesto, ma l’altare non era più un cubo.

Analizziamo il problema dal punto di vista algebrico. Per co-struire un altare cubico di volu-me doppio rispetto a quello ori-ginale deve essere

V′ 52V → l′352l3, e quindi:

l′ 5Ï32w ? l.

In conclusione, bisogna poter misurare un lato pari a Ï32w ? l; se per semplicità assumiamo l 51, si tratta di costruire un segmento a cui corrisponda il numero Ï3 2w.

Le regole fondamentali delle co-struzioni della geometria eucli-dea, applicate nell’antica Grecia, permettono il solo utilizzo di riga e compasso. Tali strumenti sono ben diversi da quelli odier-ni: per esempio, la riga euclidea non ha unità di misura e tacche utili per misurare, ma è una semplice asta che serve solo a tracciare segmenti di retta.

Oggi sappiamo, tramite dimo-strazione algebrica, che con tali mezzi è impossibile ottenere un segmento di lunghezza Ï3 2w. Il problema di Delo della dupli-cazione del cubo costituisce una delle questioni più discusse della Grecia classica. Molti matematici del tempo, come Ippocrate di Chio, Archita di Taranto e Me-necmo, riuscirono a risolvere il problema attraverso metodi di-versi, abbandonando comunque le regole geometriche di riga e compasso. È importante osser-vare che il segmento ottenuto at-traverso questi procedimenti, corrispondente al numero Ï3 2w, risulta una grandezza incom-mensurabile rispetto al segmen-to di misura 1, cioè non esiste un segmento sottomultiplo comune. Questo significa che Ï32w non è un numero razionale, ovvero non esiste alcun razionale che, elevato al cubo, sia uguale a 2. Si tratta quindi di un numero irrazionale. La leggenda narra che la peste terminò quando gli ateniesi si ri-volsero al filosofo Platone, che spiegò finalmente la risposta dell’oracolo: il dio non aveva bi-sogno di un altare dal volume duplicato, ma voleva far capire ai Greci che trascuravano lo studio della matematica e in particolare della geometria. , V V' 2, , V V ,

Il problema di Delo

…come fecero gli ateniesi a raddoppiare l’altare?

(31)

ESERCIZI

LA TEORIA IN SINTESI

I numeri reali e i radicali

1.

La necessità di ampliare

l’insieme Q

La radice quadrata di un numero è quel numero po-sitivo o nullo che, elevato al quadrato, dà come risul-tato il numero dato.

L’estrazione di radice non è un’operazione interna in Q.

Per esempio, 2 non ha per radice quadrata un nume-ro razionale.

2.

Dai numeri razionali ai numeri reali

Ogni numero razionale può essere approssimato me-diante due successioni di numeri decimali: una che lo approssima per eccesso, l’altra che lo approssima per difetto. ESEMPIO 0 , 0,2 , 0,22 , … , }2 9} , ... , 0,23 , 0,3 , 1 a meno di 0,01 a meno di 0,1 a meno di 1

I numeri irrazionali sono numeri decimali illimitati non periodici. Possono essere approssimati per difet-to e per eccesso da due successioni di decimali. I numeri reali sono tutti i numeri razionali e irrazio-nali.

L’insieme R è denso, cioè fra due numeri reali a e b esiste sempre un altro numero reale, e quindi ne esisto-no infiniti; iesisto-noltre R è completo, cioè a ogni numero reale corrisponde un punto della retta e viceversa.

3.

I radicali

Dati un numero reale a e un numero naturale n di-verso da 0:

● se a è positivo o nullo la radice n-esima di a è quel

numero reale b, anch’esso non negativo, la cui po-tenza con esponente n è uguale ad a;

● se a è negativo e n è dispari, la radice n-esima di a è

quel numero reale b negativo la cui potenza con esponente n è uguale ad a;

● se a è negativo e n è pari, non esiste la radice

n-esi-madi a.

Dalla definizione di radice n-esima si deduce la se-guente proprietà: dati un numero reale a positivo o nullo e un numero naturale n pari, oppure un nume-ro reale a e un numenume-ro n dispari, la radice n-esima del numero a, elevata alla n, dà come risultato il nu-mero a.

Al simbolo Ïn aw, con a $ 0, si dà il nome di radicale con indice n. I radicali con indice 2 si chiamano ra-dicali quadratici, quelli con indice 3 rara-dicali cubici.

bn = a naturale diverso da 0 n a = b

reali maggiori o uguali a 0

a = b n bn = a naturale dispari reali minori di 0 a non esiste n naturale pari reale minore di 0

(

an

)

n= a

con a maggiore o uguale a 0 e n pari o con a reale e n dispari

(32)

4.

I radicali in

R

1 0

Limitando lo studio ai radicali in R1

0, nell’espressio-ne Ïn

a

w il radicando deve essere un numero positivo o nullo indipendentemente dall’indice di radice. Proprietà invariantiva dei radicali: dato un radica-le, moltiplicando l’indice del radicale e l’esponente del radicando per uno stesso numero naturale diver-so da 0, si ottiene un radicale equivalente. È possibile ottenere un radicale equivalente anche dividendo in-dice ed esponente per un loro divisore comune.

Applicando la proprietà invariantiva è possibile sem-plificareun radicale oppure ridurre allo stesso in-dicepiù radicali.

Nella semplificazione, se il radicando è letterale e non se ne conosce il segno, occorre scrivere il radi-cando in valore assoluto.

ESEMPIO

Ïaww 5 a, 2 Ïn

aww 5 a.n

5.

La moltiplicazione e la divisione

fra radicali

Il prodotto di due radicali con lo stesso indice è un ra-dicale che ha lo stesso indice e per radicando il pro-dotto dei radicandi.

ESEMPIO

Ï3w ? Ï7w 5 Ï2w1w.

Se i radicali hanno indice diverso, per moltiplicarli è sufficiente ridurli al loro minimo comune indice.

Considerazioni analoghe valgono per il quoziente di radicali. ESEMPIO Ï2ww ; Ï4 5 2ww 5 Ï3 10 (2 ww4)w ; Ï5 10 (2 w3w)w 52 5 Ï102ww ;20w 2ww 5 Ï6 102ww 5 Ï14 5 2ww.7

Un fattore del radicando, scritto sotto forma di po-tenza con base non negativa, può essere portato fuori dal segno di radice, se il suo esponente m è maggiore o uguale all’indice n della radice. Il fattore esterno ha per esponente il quoziente della divisione fra m e n, quello interno ha per esponente il resto della divisione. 5

√

2 4

√

3 prodotto dei radicandi riduciamo allo stesso indice = stesso indice • =

√

2000 6 •

√

125 6 16

√

6 • 514

√

3 54•3+2

√

3 52

√

3 54• 54•3

√

3 52

√

3 • 3 4 14 2 = quoziente resto = = 35 radicando indice esponente del radicando

√

4

semplificazione riduzione allo stesso indice 75

√

3 710

√

6 :2 :2 =

√

a10 12 a5

√

6 •22 a9

√

12 a3

√

4 •33 = =

√

n am

√

n •p am •p = (a≥ 0) • p ≠ 0 • p ≠ 0

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