Integrale di Riemann

1)INTEGRALE DI RIEMANN

Definizione 1

Sia [a,b] un intervallo compatto e x0 ,x1, x2…xn (n N) n+1 punti distinti di [a,b] tali che: 0 1 ... n

a x  x  x b

L’insieme Ordinato

P={x0 , x1 ,…. xn }

Si chiama una partizione dell’intervallo [a,b]. Osservazione 1

Si noti che la partizione P di [a,b] definito nella precedente definizione decompone [a,b] negli n intervalli compatti [x0,x1], [x1, x2]..[xn-1,xn ] i quali sono a due a deprivi di punti interni comuni e tali che la loro unione è uguale ad [a,b].

Premesso ciò consideriamo una funzione reale f limitata nell’intervallo [a,b] di definizione. Per ogni partizione P={x0 ,….,xn } di [a,b]

Poniamo: mi =inf f(x), Mi =sup f(x) i=(0,….,n-1) [xi ;xi+1] [xi ;xi+1]

E cioè indichiamo con mi l’estremo inferiore della restrizione di f all’intervallo [xi ;xi+1] e con Mi l’estremo superiore di tale restrizione.

Consideriamo le due somme (dette somme integrali inferiori e superiori s(P)= m0 (x1-x0)+m1(x2 -x1)+....+mn-1(x n -x n-1) S(P)= M0 (x1-x0)+M1(x2-x1)+....+Mn-1(x n -x n-1) in altri modi: s(p)= ( ) b a f x dx



; S(p)= 1 1 0 ( ) n i i i i M x x    



E' evidente che al variare della partizione P di [a,b] tali somme integrali descrivono due insiemi numerici che possiamo indicare con i simboli.

A={S(P)}, B={S(P)}

Tali insiemi numerici sono separati e quindi risulta:

S(P1)S(P2) per ogni coppia di partizione di [a,b].

Conseguentemente, per l'assioma di completezza di R esiste almeno un numero reale che risulta maggiore o uguale di ogni elemento di A e minore o uguale di ogni elemento di B. Nel quale esista un unico elemento di separazione dei due insiemi A e B.

Posto ciò si da la seguente definizione. Definizione di integrale(secondo Reimann)

Si dice che la funzione f limitata in [a,b] è integrabile (secondo Reimann) in [a,b] quando i due insiemi numerici A e B sono(oltre che separati) contigui e cioè ammettono un unico elemento separatore.

Quando ciò accade l'elemento separatore si indica col simbolo ( )

b

a

f x dx



e tale numero reale si chiama integrale di Reimann della funzione f esteso all'intervallo [a,b].

I numeri reali a e b si chiamano estremi di integrazione e la funzione f(x) funzione integranda. Osservazione 2

Si noti che, in base alla definizione se f è integrabile in [a,b] risulta: S(P)  ( )

b

a

f x dx



 S(P) Per ogni partizione P dell'intervallo [a,b] Si dimostra quindi il seguente risultato:

Teorema(sull' integrabilità delle funzioni continue)

Una funzione reale f(x) la quale sia continua nell'intervallo [a,b] è integrabile in [a,b] secondo Reimann.

Osservazione 3

Si noti che se f è continua in [a,b] per il teorema di Weistrass, esistono in [a,b] il minimo m e il massimo M di f. Conseguentemente risulta:

mf(x)M x[a,b] e la funzione f limitata in [a,b].

2) PROPRIETÀ NOTEVOLI DELL'INTEGRALE DI REIMANN

Le principali proprietà dell'integrale sono contenute nelle seguenti proposizioni.

1)Prop. distributiva:

Siano f e g due funzioni reali limitate nell'intervallo [a,b] e c1,c2 una coppia di costanti reali . Se f e g sono integrabili in [a,b]

allora: c1f + c2g è integrabile in [a,b] e ( ) ( ) a b b a f x dx g x dx





[ 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ) b b b a a a c f x c g x c f x dx c g x dx







Osservazione

Si noti che dalla proprietà distributiva si deduce che:

1 ( ) 1 ( ) b b a a c f x dx c f x dx





2)Proprietà additiva:

Sia f una funzione reale limitata e integrabile nell'intervallo [a,b]. c[a,b] risulta: ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx







3)Proprietà di confronto:

Siano f e g due funzioni reali limitate e integrabili nell'intervallo [a,b].

(

f(x)g(x) x[a,b]

)

 ( ) ( )

a b

b a

f x dx g x dx





4) Proprietà del valore assoluto dell'integrale:

Sia f una funzione reale limitata e integrabile nell'intervallo [a,b]. In tale ipotesi anche la funzione |f| è integrabile in [a,b] e risulta.

0 1 ( ) ( ) b a f x f x dx b a  



( ) ( ) b b a a f x dx  f x dx





5) Teorema della media:

Se f è una funzione reale e continua nell'intervallo [a,b] esiste un punto x0[a,b] tale che risulta: 0 ( ) ( )( ) b a f x dx f x b a



Dimostrazione Teorema della media:

Siccome l'integrale di Reimann è l'elemento separatore della somma integrale inferiore e della ( ) ( ) ( )

b

a

s P 

_

f x dx S P

somma integrale superiore, allora, per ogni partizione P di [a,b] si ha:

Se inoltre consideriamo la partizione P di [a,b] costituita dai soli punto a e b quindi P={a,b} risulta: s(P)=m(b-a) e S(P)=M(b-a)

dove m e M sono rispettivamente il massimo e il minimo di f in [a,b] dalle due ipotesi si ha dunque:

m(b-a) ( ) M(b-a)

b

a

f x dx







e dividendo per b-a:

m 1 ( ) M b a f x dx b a   



Abbiamo così ottenuto che il valore medio dell'integrale e cioè il numero reale: 0 1 ( ) b a y f x dx b a  



è un numero compreso fra il minimo e il massimo di f in [a,b]. Esiste allora un punto x0[a,b] tale che f(x)=y0 e cioè:

0 1 ( ) ( ) b a f x f x dx b a  



SIGNIFICATO GEOMETRICO DELL'INTEGRALE DI RIEMANN

L'integrale di Riemann di una funzione ha un notevole significato geometrico.

Per comprendere bene questa cosa è opportuno presentare due definizione: Definizione 1.

Si chiama plurirettangolo ogni poligono che risulti essere un rettangolo oppure l'unione di un numero finito di rettangoli a due a due privi di punti interni comuni.

Ad esempio è un plurirettangolo l'insieme P.

area plurirettangolo P=areaR1(rettangolo1)+areaR2+...+areaRn Definizione 2.

Sia f(x) una funzione reale definita in un intervallo compatto[a,b] di estremi non negativi. Si chiama rettangoloide di base [a,b] relativo alla funzione f l'insieme dei punti (x,y) del piano cartesiano tali che :

axb e 0yf(x) grafico cfr. pag 6

nel primo caso la funzione f è limitata in [a,b] nel secondo caso no,

In tale ipotesi, per ogni partizione P={ x0 ,x1, x2…xn } di [a,b] la somma integrale inferiore s(p)= 1 1 0 ( ) n i i i i m x x    



rappresenta l'area del plurirettangolo, unione dei rettangoli R1,R2,..Rn. Di base rispettivamente x1-x0, x2 -x1,..., x n -x n-1

e altezza m0 ,m1, m2…mn . Tale plurirettangolo è contenuto nel rettangoloide R di base [a,b] relativo alla funzione f(x).

Analogalmente la somma integrale superiore: S(p)= 1 1 0 ( ) n i i i i M x x    



rappresenta l'area di un plurirettangolo contenente il rettangoloide R unione degli n rettangoli di base rispettivamente x1-x0, x2 -x1,..., x n -x n-1 e altezza M0 ,M1, M2…Mn.

Al valore della partizione P di [a,b] gli insiemi numerici A={s(P)} e B={S(P)} rappresentano geometricamente l'insieme delle aree dei plurirettangoli contenuti nel rettangoloide R e l'insieme delle aree dei plurirettangoli contenuti in R.

Si dice che il rettangoloide R è dotato di area se gli insiemi numerici A e B delle aree dei plurirettangoli contenuti e contenenti R sono continui.

In tale ipotesi l'unico elemento separatore si chiama area del rettangoloide R.

Ne consegue intuitivamente , tenendo conto della definizione di integrale secondo Reimann il seguente risultato:

Significato geometrico dell'integrale di Reimann.

Se f(x) è una funzione non negativa e integrabile nell'intervallo [a,b] allora il rettangoloide R di base [a,b] relativo alla funzione f(x) è dotato di area che risulta:

area R= ( ) b a f x dx



( ) b a f x dx



Osservazione(notevole).

Consideriamo una funzione reale f0 in [a,b]. E' evidente che anche ora è preferibile definire il rettangoloide di base [a,b] relativo a f. si tratta dell'insieme dei punti (x,y) del piano cartesiano tali che:

x[a,b] e f(x) y0

Premesso ciò indichiamo con R il rettangoloide di base [a,b] relativo alla funzione f e con R' il rettangoloide di base [a,b] relativo alla funzione opposta "-f(0 in [a,b]).

Poichè i rettangoloidi R e R' sono congruenti deve risultare areaR=areaR'

D'altra parte sappiamo già che :

areaR'= ( ( )) ( ) b b a a f x dx f x dx   





Si deduce quindi: areaR=- ( ) b a f x dx



Quindi se f0 in [a,b] l'integrale di f esteso ad [a,b] è opposto dell'area del rettangoloide di base [a,b] relativo a f.

4) INTEGRALE DEFINITO

E' utile per il seguito la seguente nozione di integrale. Definizione.

Sia f una funzione reale limitata e integrabile nell'intervallo [a,b] e x1 ,x2 [a,b]. Se x1 <x2 allora il simbolo 2 1 ( ) x x f x dx



denota l'integrale di Riemann di f esteso all'intervallo [x1 ,x2].. Se ciò non accade si pone:

1 2 2 1 1 2 1 2 - ( ) ( ) 0 x x x x f x dx se x x f x dx se x x       _ 





Il simbolo 2 1 ( ) x x f x dx



che ha significato qualunque siano gli estremi di integrazione x1 ,x2 (e non soltanto quando x1 <x2) si chiama integrale definito di f di estremi x1 e x2.

Osservazioni

Si osservi che per l'integrale definito la proprietà additiva vale per ogni terna x1, x2 x3 di punti di [a,b]: 3 2 3 1 1 2 ( ) ( ) ( ) x x x x x x f x dx f x dx f x dx







5) INTEGRALE INDEFINITO

Definizione (di funzione primitiva)

Sia f(x) una funzione reale definita in un intervallo I (qualsiasi). Ogni funzione F(x) che sia derivabile in I e tale che

F'(x) = f(x) xI si dice una primitiva di f nell'intervallo I .

Quindi se f ammette una primitiva F ne ammette infinite essendo essendo tali le funzioni F+c con c costante qualsiasi. D'altra parte esiste il seguente:

Teorema (sulle primitive)

Sia f una funzione reale definita in un intervallo I e dotata di primitiva. V.s.i. (F e G primitive di f in I)(  c  R : G(x)=F(x)+c xI)

Conseguentemente se f è dotata di primitiva due qualunque delle sue primitive differiscono per una costante.

Dim.

Consideriamo la funzione H(x)=G(x)-F(x). Per l'ipotesi posta risulta: '( ) '( ) - '( ) ( ) - ( ) 0 .

H x G x F x  f x f x  x I

Dal teorema sulle funzioni con derivata nulla si deduce allora che la funzione H(x) è costante in I e cioè la tesi.

Da queste considerazioni deduce la seguente

Sia f una funzione definita in un intervallo I.

Se F(x) è una primitiva di f(x) allora tutte e solo le primitive di f(x) in I sono le infinite funzioni F(x)+c che si ottengono da F(x) aggiungendo una qualsiasi costante c.

Dim.

Se F è primitiva di f in I, per quanto stabilito all'inizio, tutte le funzioni F+c con cR sono primitive di f in I. D'altra parte per la proposizione precedente solo le funzioni F+c sono primitive di f in I. Infatti se g è una qualsiasi primitiva di f in I, per la proposizione precedente risulta G=F+c con c costante.

Definizione 2 (Funzione integrale)

Sia f(x) una funzione integrabile in un intervallo I e sia x0 I. La funzione: F(x)= 0 ( ) x x f x dx  x I



si chiama la funzione integrale della funzione f di punto iniziale x0 Osservazione

Si noti che la funzione integrale è funzione dell'estremo superiore di integrazione x dell'integrale definito. Si noti anche che l'integrale definito è stato scritto usando come variabile di integrazione t invece di x.

Ciò è lecito in quanto l'integrale definito è un numero che non dipende dalla variabile di integrazione .

Teorema fondamentale del calcolo dell'integrale.

Se f(x) è una funzione continua nell'intevvallo I, la funzione integrale F(x)=

0 ( ) x x f t dt



è derivabile in ogni punto x I e risulta F'(x)=f(x) xI.

In alteri termini se f(x) è continua in I la funzione integrale è una primitiva di f(x) in I. Dim.

Considerato il rapporto incrementale di F(x), per la proprietà additiva dell'integrale definito si ha:

0 0 0 0 ( ) ( ) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x h x x h x h x x x x x F x h F x f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt h h h h          _{    }         





 









D'altra parte per il teorema della media applicato all'intervallo compatto di estremi x e x+h esiste un punto xh dipendente da h e appartenente all'intervallo in questione tale che:

( ) ( )( ( ) ( )( ) ( ) ) ( ) x h x h h h h h x x f t dt f x f t dt f x x h x f x hx h x f x h          





( ) ( ) ( )_h F x h F x f x h h   _

E anche posto xh =x + Ơh con Ơ [0,1]

( ) ( ) ( ) F x h F x f x h h h   _{  }

Dall'ipotesi di continuità di f(x) nell'intervallo I segue che:

0 0

( ) ( )

'( )def lim lim ( ) ( )

h h F x h F x F x f x h f x h  _{ }       Osservazione 3

L'importanza del teorema fondamentale del calcolo dell'integrale è evidente se f è costante la nozione integrale definito risolve sul piano teorico mediante tale teorema il problema del calcolo di una primitiva di una funzione definita in un intervallo e cioè risolve il problema fondamentale del calcolo integrale.

Notiamo ancora che si è detto che il problema dell'esistenza della primitiva è risolto solo

teoricamente poiché nella pratica accade spesso che una funzione espressa elementarmente non è dotata di primitiva anch'essa espressa elementarmente.(Ad es. ( )

x

e f x

x

 ).

Dal teorema fondamentale del calcolo integrale si deducono le seguenti proposizioni: Corollario (formula fondamentale del calcolo integrale)

Sia f(x) una funzione continua nell'intervallo compatto[a,b]in I. Tale ipotesi se G(x) è una primitiva di f risulta

( ) ( ) ( ) b a f x dx G b G a



( ) ( ) ( ) b a f x dx G b G a



e cioè l'integrale definito di f(x) è uguale alla differenza di valori di una qualsiasi primitiva di f(x) negli estremi di integrazione a e b.

Dim.

Per il teorema fondamentale del calcolo integrale la funzione integrale: ( ) ( )

x

a

F x 



f t dt è una primitiva di f(x) nell'intervallo[a,b].

Conseguentemente essendo per ipotesi G(x) anch'essa una primitiva di f,deve risultare : ( ) ( )

x

a

G x 



f t dt c _{dove c è un opportuna costante reale.} Per x=a dall'espressione precedente si ha:

( ) 0

G a   c c quindi la formula ( ) ( )

x

a

G x 



f t dt c _{si può scrivere nel seguente modo:}

( ) ( ) ( )

x

a

Osservazione 4.

è evidente l'importanza della formula:





( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx G b G a  G x



Essa permette in modo molto semplice e rapido il calcolo dell'integrale definito di una funzione continua in un intervallo purché sia nota una primitiva di tale funzione.

Per tale motivo questa formula si chiama formula fondamentale del calcolo integrale. Le considerazione fin qui svolte rendono lecita la seguente:

Definizione di integrale indefinito.

Sia f una funzione reale continua in un intervallo I. In tale ipotesi f è dotata di primitiva per il teorema fondamentale del calcolo integrale.

L'insieme di tutte le primitive delle funzioni f nell'intervallo I si denota con il simbolo :



f x dx( )

che si legge: integrale indefinito di f o anche integrale del differenziale di f(x). Osservazioni.

Si noti che se F' è una primitiva di f in I risulta:





.

( ) def ( ) .

f x dx _ F x c con c Cost arbitraria



L'integrale indefinito a differenza dell'integrale definito, che è un numero reale, rappresenta un insieme di infinite funzioni.

Tuttavia per ragioni di semplicità, nella pratica si scrive:



f x dx F x( )  ( )c

Con ciò si vuole indicare che, al variare della costante reale c, l'espressione F(x)+c fornisce tutte le primitive di f in I la quale rappresenta l'integrale indefinito della funzione f nell'intervallo I.

Ancor più semplicemente, quando non ci sia possibilità di equivoco. si scrive:

_

f x dx F x( )  ( ) . Intendendosi con ciò che F(x) è una primitiva di f(x) in I e quindi rappresenta, a meno di una costante additiva, l'integrale indefinito di f in I.

6) DIFFERENZIALE

Consideriamo una funzione f(x) in un intervallo [a,b] x]a,b[si ricorre alla formule di Taylor di punto iniziale x0 e di ordine 1:

0 0 0 1

( ) ( ) '( )( ) ( )

f x  f x  f x x x r x

Osserviamo che posto h=x-x0 tale espressione si può riscrivere nella forma:

0 0 0

( ) ( ) '( ) ( )

f x h  f x  f x h r h

dove r h r x( ) (1 0h) denota un infinitesimo di ordine superiore ad h per h0. Indicando con x il generico punto di ]a,b[ abbiamo in definitiva.

supponendo h come variabile reale ovvero h  R. Ciò posto si danno le seguenti definizione:

I)La differenza f x h(  ) f x( ) dei valori f nei punti x e x+h si chiama incremento della funzione f e si annota con il simbolo f . Si pone cioè:

'( )

d  t dt.

II)L'unione f'(x)h si denota col simbolo df e si chiama differenziale della funzione f. Se poniamo df=f(x)h  x a b] , [  h R x h:  [ , ]a b .

Una volta date queste definizioni abbiamo:

( )

f df r h

  

e cioè l'incremento f e il differenziale df differiscono per un infinitesimo di ordine superiore ad h per h0.

Osservazioni

Si noti che se g(x)=x , avremo g'(x)=1, e quindi dx=h e cioè il differenziale di x è una funzione (della sola variabile h) che si identifica con h. Ne segue che: df=f'(x)dx.

Integrali indefiniti immediati cfr.(tavole pag 17)

Dal Teorema di derivazione delle funzioni composte si ha:



DF x( ) f x( )



(DF( ( )) t  f( ( )) '( )) t  t e cioè:



F x primitiva di f x( ) ( )

 

 F( ( )) r primitiva di f( ( )) '( ) r  r



Conseguentemente: ( ) ( ( )) '( ) ( ) x t f t t dt f x dx         





Questa formula ci permette di generalizzare la tabella degli integrali immediati. Osservazione

Si noti che, per quanto visto sul differenziale, risulta d  '( )t dt. Pertanto si può scrivere:

( ) ( ( )) '( ) ( ) x t f t r dt f x dx         





Osservazione 2

Contrariamente a quanto accade per la derivazione, non sempre una primitiva di una funzione f che sia un espressione elementare corrisponde ad un espressione elementare.

Ad esempio è stato provato che le funzioni ,

x

e senx

x x siano prive di primitive elementarmente

esprimibili.

Se un espressione elementare f è dotata di primitiva elementarmente esprimibile si dice che è possibile calcolare



f x dx( ) o anche che l'integrale



f x dx( ) è calcolabile.

Inoltre mentre la derivazione di un espressione elementare è sempre possibile utilizzando le regole di derivazione, l'integrazione indefinita di un espressione elementare non è sempre possibile anche utilizzando le regole di integrazione indefinita che nel seguito stabiliamo.

INTEGRAZIONE PER TRASFORMAZIONE DELLA FUNZIONE INTEGRANDA. Il metodo consiste nel ricondurre, con opportuni artifici, al calcolo di un integrale a quello di un integrale immediato. cfr. esempi pag 19.

INTEGRAZIONE PER SCOMPOSIZIONE IN SOMMA.

Proprietà distributiva.

Siano f e g due funzioni continue in un intervallo e c1 ,c2 costanti. Si ha:





c f x1 ( )c g x dx c f x dx c g x dx2 ( )



 1



( )  2



( ) Dim.

Siano F(x) e G(x) rispettivamente una primitiva di f(x) e una primitiva di g(x). Risulta Allora:

1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) 2 ( ).

c f x dx c g x dx c F x







 c G x

D'altra parte D c F x



1 ( )c G x2 ( )



c f x1 ( )c g x2 ( ).e quindi anche:



c f x1 ( )c g x dx c F x2 ( )



 1 ( )c G x2 ( ).



La precedente uguaglianza fornisce il metodo di integrazione per scomposizione in somma che consiste nel trasformare l'integrale di un espressione elementare in una somma di integrali immediati in genere di tipo generalizzato.

INTEGRAZIONE PER PARTI

Siano f e g funzioni derivabili in un intervallo con derivata continua(??). Essendo: ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( )

Df x g x  f x g x  f x g x . E' quindi lecito integrare membro a membro questa uguaglianza. Ne segue, utilizzando anche la proprietà distributiva dell'integrale:

( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( )

( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )

f x g x  f x g x  f x g x





.

Questa uguaglianza si chiama formula di integrazione per parti.

Nel prodotto integrando a primo membro la funzione f(x) si suole chiamare fattore finito e il differenziale "g'(x) dx" fattore differenziale.

Col metodo di integrazione per parti si risolve il calcolo dell'integrale al primo membro di G a quello dell'integrale a secondo membro. E' possibile, e in ciò consiste l'utilità del metodo, che quest'ultimo integrale sia di un tipo che sappiamo calcolare mentre ciò non accade per l'integrale a primo membro. cfr. Esempi pag 23.

Osservazione

In alcuni casi, per calcolare l'integrale, è necessario applicare ripetutamente la regole di integrazione per parti.

INTEGRAZIONE DELLE FUNZIONI RAZIONALI.

Consideriamo l'integrale: 1 2 ( ) ( ) P x dx P x



dove P1 e P2 sono due polinomi di grado m e n. Se mn è possibile dividere i due polinomi e se indichiamo con q e r il polinomio quoziente e il polinomio resto si ottiene: P x1( )P x q x2( ) ( )r x( ) da cui dividendo per P2 e integrando:

1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P x r x dx q x dx dx P x   P x







Ne segue che il calcolo dell'integrale è ricondotto al calcolo dell'integrale 1 2 ( ) ( ) P x dx P x



è ricondotto al calcolo del polinomio q(x) che è riportato al calcolo dell'integrale di una funzione con un

numeratore di grado inferiore a quello del denominatore.

In ogni caso, dunque è necessario dunque calcolare l'integrale di una funzione razionale con grado inferiore a quello del denominatore.

Per calcolare l'integrale di una tale funzione razionale si scompone la funzione r(x)/P2(x) in una somma di funzioni razionali del tipo:

2 2 ; 4 0 ( )n ( )m A Bx C con b ac ax b ax bx c      

Per semplicità cominciamo esaminando il caso in cui P2 sia un polinomio di 2^ grado e quindi r(x) sia un polinomio di grado minore di 2:

P2(x)= ax2+bx+c; r(x)=mx+n. In tal caso per calcolare l'integrale: 2

mx n ax bx c



 



.

E' necessario distinguere i tre casi >0; <0; =0. cfr. esempi pag 27.

La scomposizione in fattori semplici si esegue seguendo le seguenti due regole:

1)Se il polinomio P2 (x) una volta scomposto in fattori contiene una potenza del tipo (ax+b)n si introducono nella scomposizione n parti semplici del tipo:









1 1 2 2 2 2 , ₂ ,..., ₂ n n n B x C B x C B x C ax _{bx c ax bx c ax bx c}      _{   } 1 ,

_

2

_

2 ,...,

_

_

n n A A A ax b ax b  ax b

2) Se il polinomio P2(x) contiene una potenza del tipo (ax2+bx+c)m con =b2-4ac<0, si introducono nella scomposizione m fratti semplici del tipo:









1 1 2 2 2 2 , ₂ ,..., ₂ m m m B x C B x C B x C ax _{bx c ax bx c ax bx c}      _{   } .

METODO DI INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE

Abbiamo visto quando abbiamo generalizzato la tabella degli integrali immediati che f(x) è una funzione continua e x=(t) è una funzione derivabile in un intervallo con derivata continua, risulta:

( ( )) '( ) ( ( ))

f  t  t dt F  t



Se F(x) è primitiva di f(x), sicché



f(x)dx=



f



(t) '( )



 t dt_t1_{( )x} allora la funzione G(t)=F((t))

è primitiva di f((t)) '(t) e quindi



f( ( )) '( ) t  t dt F( ( )) t .

Supponiamo che la funzione (t) sia invertibile, in tal caso, essendo x=(t)t=-1_{(x) dalla formula} precedente si deduce: f x dx( )  



f( ( ) '( ) t t dt_t1_{( )x}

tale formula si interpreta come segue: se la funzione G(t) è primitiva di f( ( ) '( ) t t (sicché risulta: ( ( )) ( )

f  t d t





f



( ) '( )t



 t dt) allora la funzione composta _{F x( )G(}1_{( ))x è primitiva della} funzione f(x) e quindi



f x dx G( )  (1( ))x F x( ).

L'uguaglianza f x dx( )  



f( ( ) '( ) t t dt_t1_{( )x} fornisce il metodo di integrazione indefinito per

sostituzione: Per calcolare l'integrale



f x dx( ) si sceglie un opportuna funzione invertibile (t) e mediante una delle sostituzioni equivalenti x=(t) o t=(x)-1 _{, si perviene all'integrale}



f( ( )) '( ) t  t .

Se si riesce a calcolare quest'ultimo integrale e G(t) è una primitiva di f( ( )) '( ) t  t allora risulta

( ) b b b a a a f g dx f dx gdx    







_{f x dx G( ) }



_1_{( )x}





.

SOSTITUZIONI RAZIONALIZZANTI.

Abbiamo visto che una opportuna sostituzione x=(t), oppure t=(x)-1, _{può essere utle per il calcolo} integrale. In genere tale sceltadella funzione invertibile (t) dipende dall'integrale in esame . Vi sono però alcuni classi di integrale che si risolvono con sostituzioni standard le quali si chiamano sostituzioni razionalizzanti in quanto trasformano l'integrale in un integrale di funzione razionale. Nel seguito con il simbolo R f x f x



1( ), ( ),...., ( )2 f xn



denoteremo un espressione razionale delle

funzioni f x f x1( ), ( ),...., ( )2 f xn e cioè un espressione elementare nella quale le funzioni

1( ), ( ),...., ( )2 n

f x f x f x sono tra di loro legate soltanto da operazioni razionali. cfr. tabella pag 36.

INTEGRALI DEFINITI

Valgono le seguenti regole di integrazione definita.





( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x g x  f x g x dx









1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx f t d       





dove x=(t)t=-1_(x).

Tali formule, unite alla proprietà distributiva. ( ) b b b a a a f g dx f dx gdx    







forniscono le regole di integrazione definita rispettivamente per parti, per sostituzione, per scomposizioni di somma. cfr. esempi pag 40.