INTEGRALE (DI RIEMANN)PER FUNZIONI DI DUE E TRE VARIABILI SU RETTANGOLI

INTEGRALE

(DI RIEMANN)PER FUNZIONI DI DUE

E TRE VARIABILI

SU RETTANGOLI

Argomenti della lezione Argomenti della lezione

 Definizione di Definizione di

integrali doppi e tripli integrali doppi e tripli

secondo Riemann secondo Riemann

 Proprietà Proprietà

dell’integrale. Classi di dell’integrale. Classi di

funzioni integrabili funzioni integrabili

DEFINIZIONE DI DEFINIZIONE DI

INTEGRALI INTEGRALI

DOPPI E TRIPLI DOPPI E TRIPLI

SECONDO SECONDO

RIEMANN

RIEMANN

Introdurremo ora la nozione di Introdurremo ora la nozione di

integrale multiplo (secondo Riemann) integrale multiplo (secondo Riemann) in modo simile a quanto è stato fatto in modo simile a quanto è stato fatto

per funzioni di una sola variabile.

per funzioni di una sola variabile.

I casi di funzioni di due o tre variabili I casi di funzioni di due o tre variabili

sono quelli che c’interessano di più, sono quelli che c’interessano di più,

ma, in via di principio, lo stesso ma, in via di principio, lo stesso

metodo è applicabile a funzioni di metodo è applicabile a funzioni di

più variabili reali (m > 3).

più variabili reali (m > 3).

Sia dunque dato un intervallo o Sia dunque dato un intervallo o

rettangolo

rettangolo chiusochiuso II in in RR²² o o RR³³ (più in generale in

(più in generale in RR^mm).).

I = [a,b]

I = [a,b][c,d] [c,d] inin R R²² I = [a,b]

I = [a,b][c,d] [c,d]  [e,f] [e,f] inin R R³³

I = [a

I = [a₁₁,b,b₁₁]][a[a₂₂,b,b₂₂] ] … … [a[a_mm,b,b_mm] ] inin R R^mm

Diremo scomposizione Diremo scomposizione

(decomposizione) del rettangolo I (decomposizione) del rettangolo I

un insieme finito di punti di un insieme finito di punti di

suddivisione sugli assi

suddivisione sugli assi x, y, zx, y, z (in generale sugli assi

(in generale sugli assi xx¹¹, x, x²², .. , x, .. , x^mm) ) disposti come segue

disposti come segue a = x

a = x₀₀ < x < x₁₁ < … < x < … < x_pp = b = b c = y

c = y₀₀ < y < y₁₁ < … < y < … < y_qq = d = d

Alternativamente si può dire Alternativamente si può dire

decomposizione di

decomposizione di II la famiglia la famiglia finita dei sottorettangoli

finita dei sottorettangoli

II_ijkijk = = [x[x_i-1i-1,x,x_ii]][y[y_j-1j-1,y,y_jj]][z[z_k-1k-1,z,z_kk],],

i = 1, .. , p; j = 1, .. , q; k = 1, .. , r i = 1, .. , p; j = 1, .. , q; k = 1, .. , r

Qui abbiamo descritto la situazione Qui abbiamo descritto la situazione in in RR³³; successivamente ; successivamente

rappresentiamo graficamente la rappresentiamo graficamente la

situazione in

situazione in RR²²

xx yy

c = y c = y₀₀

yy₁₁ yy_q-1q-1 yy₂₂ d = y d = y_qq

II₁₂₁₂

I I

Sia ora data una funzione a valori Sia ora data una funzione a valori

reali e

reali e limitata limitata

f: I  R^s  R (s = 2, 3, .. , N)

Poiché

Poiché ff è limitata su tutto è limitata su tutto II, lo sarà, lo sarà su ogni

su ogni II_ijij (consideriamo da ora in(consideriamo da ora in

poi, per maggiore semplicità, il caso poi, per maggiore semplicità, il caso

bidimensionale).

bidimensionale).

Sia Sia mm_ijij = inf {f(x,y): (x,y) = inf {f(x,y): (x,y)^TT  I I_ijij}} e sia

e sia

MM_ijij = sup {f(x,y): (x,y) = sup {f(x,y): (x,y)^TT  I I_ijij}} Indicheremo con la lettera

Indicheremo con la lettera  una una decomposizione finita di

decomposizione finita di II e con e con D(I)D(I) l’insieme di tutte le l’insieme di tutte le

decomposizioni finite di decomposizioni finite di II

Data una decomposizione

Data una decomposizione  di di II, , considereremo le

considereremo le somme inferiorisomme inferiori relative alla funzione

relative alla funzione ff e a e a 

Diremo poi

Diremo poi somme superiorisomme superiori

S(f ,  )  M_ij (x_i  xi 1)(y _j  y j 1)

i  1, .., p j 1 ,.., q



s(f ,  )  m_ij (x_i  x^{i 1})(y _j  y ^{j 1})

i 1,..,p j 1,..,q



Come si è fatto nel caso di Come si è fatto nel caso di

dimensione 1, si può introdurre fra dimensione 1, si può introdurre fra

le decomposizioni di

le decomposizioni di II una relazione una relazione di di “finezza”“finezza”: : ₁₁ è è più finepiù fine di di ₂₂ se, su se, su

ogni asse, i punti di suddivisione di ogni asse, i punti di suddivisione di

₁₁ sono un soprainsieme dei punti di sono un soprainsieme dei punti di decomposizione di

decomposizione di _{2 2} ..

Cioè, se

Cioè, se ₂₂ è individuata dai punti di è individuata dai punti di suddivisione sull’asse

suddivisione sull’asse xx e e yy rispettivamente

rispettivamente {a = x”{a = x”₀₀ < x” < x”₁₁ < … < …

< x”

< x”_p”p” = b} = b} e e {c = y”{c = y”₀₀ < y” < y”₁₁ < … < …

< y”

< y”_q”q” = d} = d} , mentre , mentre ₁₁ è individuata è individuata da da {a = x’{a = x’₀₀ < x’ < x’₁₁ < … < x’ < … < x’_p’p’ = b} = b} e e

{c = y’

{c = y’₀₀ < y’ < y’₁₁ < … < y’ < … < y’_q’q’ = d} = d}, diremo , diremo che che ₂₂ è è meno finemeno fine di di ₁₁ (e scriveremo (e scriveremo

_{2 2}  _{1 1} e e _{1 1}  ₂₂) se ) se

{a = x”

{a = x”₀₀ < x” < x”₁₁ < … < x” < … < x”_p”p” = b} = b} 

 {a = x’{a = x’₀₀ < x’ < x’₁₁ < … < x’ < … < x’_p’p’ = b} = b}

ee

{c = y”

{c = y”₀₀ < y” < y”₁₁ < … < y” < … < y”_q”q” = d} = d} 

 {c = y’{c = y’₀₀ < y’ < y’₁₁ < … < y’ < … < y’_q’q’ = d} = d}

La relazione introdotta è una La relazione introdotta è una

relazione d’

relazione d’ordine ordine tra tra decomposizioni di

decomposizioni di II, che è un , che è un ordineordine

Le due decomposizioni precedenti Le due decomposizioni precedenti

sono

sono inconfrontabiliinconfrontabili; nessuna è più; nessuna è più fine dell’altra

fine dell’altra

Si verifica, come nel caso Si verifica, come nel caso

unidimensionale, che date due unidimensionale, che date due

decomposizioni

decomposizioni ₁₁ e e ₂₂ ne esiste ne esiste una una  che è più fine di entrambe. che è più fine di entrambe.

Basta prendere quella che ha, su Basta prendere quella che ha, su

ogni asse, l’unione dei punti di ogni asse, l’unione dei punti di

decomposizione di

decomposizione di ₁₁ e e ₂₂..

Inoltre, se

Inoltre, se _{1 1}  ₂₂ si verifica che si verifica che s(f,

s(f, ₁₁) ≥ s(f, ) ≥ s(f, ₂₂) ) e e S(f, S(f, ₁₁) ≤ S(f, ) ≤ S(f, ₂₂) ) Questo fatto ci permette di

Questo fatto ci permette di

riconoscere che le due classi delle riconoscere che le due classi delle

somme inferiori e superiori sono somme inferiori e superiori sono

Cioè, per ogni

Cioè, per ogni ₁₁ e e ₂₂ in in D(I)D(I), vale , vale

s(f,

s(f, ₁₁) ≤ S(f, ) ≤ S(f, ₂₂) )

Infatti è ovvio che per ogni

Infatti è ovvio che per ogni  data data sia

sia s(f,s(f,) ≤ S(f,) ≤ S(f,) ) Date poi

Date poi ₁₁ e e ₂₂ e detta e detta  una una decomposizione più fine di decomposizione più fine di

entrambe, si ha entrambe, si ha

Allora potremo considerare Allora potremo considerare

sup { s(f,

sup { s(f,) : ) :   D(I)} D(I)}

Il numero reale così ottenuto Il numero reale così ottenuto

si dice l’

si dice l’integrale inferioreintegrale inferiore (secondo Riemann)

(secondo Riemann) di f esteso a Idi f esteso a I Analogamente

Analogamente inf { S(f,

inf { S(f,) : ) :   D(I)} D(I)}

è detto

è detto integrale superiore di f integrale superiore di f esteso ad I

esteso ad I..

Gli integrali inferiore e superiore Gli integrali inferiore e superiore

si indicano talvolta con i simboli si indicano talvolta con i simboli





I

--

f(x,y) dm f(x,y) dm





e rispettivamente e rispettivamente

Qui Qui dxdydxdy è posto per ricordare è posto per ricordare

l’area o misura del sottorettangolo l’area o misura del sottorettangolo II_{ij ij}  . Allo stesso scopo si scrive più . Allo stesso scopo si scrive più

genericamente

genericamente dmdm..

Se accade che le classi delle Se accade che le classi delle

somme inferiori e superiori siano somme inferiori e superiori siano

contigue

contigue, cioè , cioè sese accade che accade che

l’integrale superiore e inferiore l’integrale superiore e inferiore

siano uguali

siano uguali, allora la funzione si , allora la funzione si dice

dice integrabile secondo Riemannintegrabile secondo Riemann e e il valore comune si dice

il valore comune si dice l’integrale l’integrale (s.R.) di f

(s.R.) di f







Scriveremo

Analogamente definiremo Analogamente definiremo

f (x, y, z)dxdydz  f (x, y, z)dm

I



I



f(x,y,z)dm  f(x,y,z)dm

I



I



Nel caso dell’integrale triplo

Nel caso dell’integrale triplo dmdm è è indicato anche con

indicato anche con dx dy dzdx dy dz e ricorda e ricorda il volume del sottorettangolo

il volume del sottorettangolo II_ijkijk

Come nel caso unidimensionale Come nel caso unidimensionale

vale la seguente

vale la seguente condizione condizione

Teorema

(condiz. d’integrabilità di

se e solo se per ogni



esiste   D(I) D(I) tale che tale che



Data la decomposizione

Data la decomposizione  = {I= {I_}} e posto

e posto mm_ = inf {f(x): x = inf {f(x): x  I I_}} e e MM_ = sup = sup {f(x): x {f(x): x  I I_}} , diremo , diremo

oscillazione

oscillazione di di ff su su II_

_ = M= M_ - m - m_

Allora la condizione d’integrabilità Allora la condizione d’integrabilità

diviene diviene

Per ogni



Dove sta

Dove sta al posto di al posto di ijij o o ijkijk e e

m

=(x

-x

)(y

-y

)

e simili e simili

Si prova allora immediatamente Si prova allora immediatamente cheche

Teorema

Ogni funzione f : I  R^m  R, (m =2,3,..)

se è continua è integrabile su I

Infatti sappiamo che se

Infatti sappiamo che se ff è continua è continua su su II chiuso e limitato, allora, per chiuso e limitato, allora, per

ogni

ogni



(dipendente da



/m(I)

(Teorema di Heine - Cantor, (Teorema di Heine - Cantor,

Matematica I) Matematica I)

Data una decomposizione

Data una decomposizione , diciamo, diciamo diam(

diam() = max{ diam (I) = max{ diam (I_): I): I_ }}

Se Se  è una qualsiasi decomposizione è una qualsiasi decomposizione avente

avente diam(diam() <) < , poiché per , poiché per Weierstrass

Weierstrass

mm_ = min {f(x): x = min {f(x): x  I I_} = f(x} = f(x_’)’) e e MM_ = max {f(x): x = max {f(x): x  I I_} = f(x} = f(x_”)”), ,

allora allora

_ == f(xf(x_”)”) -- f(xf(x_’) < ’) <

/m(I)

Perciò Perciò

Si possono poi dimostrare i soliti Si possono poi dimostrare i soliti

teoremi sulla struttura dell’insieme teoremi sulla struttura dell’insieme

delle funzioni integrabili su delle funzioni integrabili su II

Teorema

Teorema ( (di linearitàdi linearità))

Se Se ff e e gg sono integrabili su sono integrabili su II e e , ,  sono numeri reali, allora

sono numeri reali, allora  f + f +  g g è integrabile su

è integrabile su II e vale e vale

(  f 

I

  _{g)dm }  ^fdm

I

 _  ^gdm

I



Teorema

Teorema ( (di monotoniadi monotonia))

Se Se ff e e gg sono integrabili su sono integrabili su II e e f(x) ≤ g(x)

f(x) ≤ g(x) x x  I I, allora , allora

fdm  gdm 



In particolare, se

In particolare, se f(x) ≥ 0 f(x) ≥ 0 x x  I I, , allora

allora

fdm ≥ 0



Teorema

Teorema ( (del valore assolutodel valore assoluto))

Se Se ff è integrabile su è integrabile su II lo è anche lo è anche |f||f|

e si ha e si ha

fdm



_{ f dm} 

Teorema

Teorema ( (della mediadella media)) Se Se ff è integrabile su è integrabile su II e e

l = inf { f(x): x

l = inf { f(x): x  I} I}, , L = sup { f(x): x

L = sup { f(x): x  I} I}, allora si , allora si haha

llm(I) m(I)

≤

fdm ≤



In particolare, se f è continua su I In particolare, se f è continua su I

 fdm

dove

dove cc  I I e e m(I)m(I) è la misura è la misura

(area o volume) del rettangolo (area o volume) del rettangolo II

Il numero Il numero

  1

m( I ) f dm



si dice la

si dice la media integralemedia integrale di di ff su su II..

Teorema

Teorema ( (del prodottodel prodotto))

Se Se ff e e gg sono integrabili su sono integrabili su II allora allora lo è

lo è f f  g g.. Teorema

Teorema ( (didi additività sul dominioadditività sul dominio)) Se Se ff è integrabile su è integrabile su II₁₁ e su e su II₂₂, che, che

hanno solo una faccia in comune, hanno solo una faccia in comune,

allora è integrabile su

allora è integrabile su I =I = II₁₁ II₂₂ e e l’integrale è la somma degli

l’integrale è la somma degli

INSIEMI INSIEMI

TRASCURABILI

TRASCURABILI

Un insieme limitato

Un insieme limitato TT  R^m si dice si dice trascurabile

trascurabile (o di (o di misura misura elementare nulla

elementare nulla) se, detto I un ) se, detto I un rettangolo che lo racchiude, per rettangolo che lo racchiude, per

ogni

ogni



decomposizione  di I, tale che di I, tale che

m(I

)  



dove sono stati indicati con

dove sono stati indicati con II_ quei quei sottorettangoli tali che

sottorettangoli tali che II_  T ≠ T ≠  Si può allora dimostrare che una Si può allora dimostrare che una

funzione limitata

funzione limitata f : I  R^m  R, è è R-integrabile se l’insieme integrabile se l’insieme DD_ff

dei suoi punti di discontinuità è dei suoi punti di discontinuità è

trascurabile trascurabile

Questo risultato amplia Questo risultato amplia

notevolmente la classe delle notevolmente la classe delle