Calcolo integrale per funzioni di una variabile
Dove la suddivisione dell’intervallo [a,b] è individuata dai punti
Costruiamo la somma di Cauchy-Riemann Calcolo integrale
Integrale definito
x0=a x1 x2 x3 x4 x5=b ξ1 ξ2 ξ3 ξ4 ξ5
n=5
Sia f:[a,b]→R, limitata
, ,
, ,
, 1 2 1
0 x x x x b
x
a n n
n
j j n
j
j j j
n f
n a x b
x f
S
1 1
1) ( )
( )
(
n a h b
jh a
xj
,
x0=a x1 x2 x3 x4 x7=b ξ1 ξ2 ξ3 ξ4 ξ5 ξ6 ξ7
n=7 x5 x6
All’aumentare dei punti della suddivisione di [a,b]
aumenta il numero degli addendi della somma di Cauchy- Riemann e tali addendi diminuiscono in valore assoluto Integrale definito
La scelta dei punti è arbitraria
ξj
Si dice che la funzione f:[a,b]→R, limitata, è integrabile secondo Riemann in [a,b], se detta Sn una sua qualsiasi successione di Cauchy-Riemann, esiste finito il limite di Sn (per n →∞), e tale limite non dipende dalla scelta dei punti ξj. Allora si pone
Integrale definito Definizione
b
a
n Sn f (x)dx
lim
Si legge «integrale da a a b in dx» f(x) si chiama
funzione integranda e x è la variabile d’integrazione ed è una variabile muta:
ha lo stesso significato di
ba
dt t
f ( )
ba
dx x f( )
I= [a,b] è il dominio di integrazione, a e b sono gli estremi di integrazione.
rappresenta
l’area del «sottografico» di f(x).
Infatti la somma Sn rappresenta un’approssimazione dell’area del «trapezoide T » individuato da f:
Integrale definito, interpretazione geometrica
I
b
a b
a
f dx x f dx x
f ( ) , ( ) ,
ba
dx x f ( )
( , ) : , 0 ( )
: x y R2 a x b y f x
T
Se f(x) è positiva allora
Integrale definito, interpretazione geometrica
a b
T
T di area dx
x f f
Se
b
a
)
(
0
Se in [a,b], f cambia segno allora è sempre un
numero ma non rappresenta più l’area del sottografico di f.
ba
dx x f ( )
Osservazione
è un numero, non dipende da x.
ba
dx x f( )
Se f cambia segno in [a,b], e si vuole calcolare l’area del sottografico di f, allora si deve suddividere l’intervallo in tanti intervallini in cui f è di segno costante:
Integrale definito, interpretazione geometrica
a T1 b
c
a
d
c
b
d
dx x f dx x f dx x f f
di co sottografi del
area ( ) ( ) ( )
y=f(x)
c d
T2
T3
Per qualunque suddivisione di [a,b] si ha
b a c
n a x b
x f
S
n
j n
j
j j j
n ( ) ( ) c ( )
1 1
1
Integrale definito
L’insieme delle funzioni integrabili secondo Riemann in I=[a,b] si indica con R(I) o R([a,b]).
R(I) non è vuoto, infatti ogni funzione costante y=c è integrabile su qualunque intervallo [a,b] e si ha
b a
a b c dx
c ( )
a b
y=c
x1 x2 x3
c+c+…+c (n volte)
Integrale definito, classi di funzioni integrabili Teorema.
Se f:[a,b]→R è continua, allora è integrabile.
Teorema.
Se f:[a,b]→R è monotona e limitata, allora è integrabile.
Teorema.
Se f:[a,b]→R è limitata in [a,b] con un numero finito di punti di discontinuità, allora è integrabile.
Questo teorema si puo’ estendere alle funzioni limitate con una infinità numerabile di punti di discontinuità, cioè i punti di discontinuità possono essere infiniti ma non devono
essere «troppi».
La funzione di Dirichlet su [a,b]:
è limitata e non è integrabile secondo Riemann (i punti di discontinuità sono «troppi»: tutto [a,b] )
Infatti se si scelgono i punti ξj razionali si ha
Se invece si scelgono i punti ξj irrazionali si ha
Q x
se
b a Q x x se
f 0 [a,b]-
] , [ ) 1
(
) ( ) (
1 ) (
) (
1
1 1
1 x x b a
x x f
S
n
j
j j n
j
j j j
n
0 ) (
0 ) (
) (
1
1 1
1
n
j
j j n
j
j j j
n f x x x x
S
Integrale definito, proprietà
Siano f e g integrabili in [a,b], allora:
1. Linearità dell’integrale: se α e β sono costanti la funzione αf(x)+βg(x) è integrabile e si ha
b
a
b
a
b
a
dx x g dx
x f dx
x g x
f( ) ( ) ( ) ( )
2. Additività dell’integrale rispetto all’intervallo di integrazione:
Se allora f è integrabile anche su [a,s] e [s,b] e: asb
b
a
s
a
b
s
dx x f dx x f dx x
f( ) ( ) ( )
3. Positività e monotonia:
In particolare
Per convenzione, se a<b si pone Integrale definito, proprietà
b
a
dx x f
f 0 ( ) 0
b
a
b
a
dx x g dx x f g
f ( ) ( )
ba b
a
dx x f dx x
f( ) ( )
ba a
b
dx x f dx
x
f( ) ( )
Teorema della media integrale
i) Sia f limitata e integrabile secondo Riemann in [a,b]
Allora
Dove
ii) Se f è continua su [a,b] ∃x0 ∊ (a,b):
(valor medio integrale di f su [a,b]) M dx x a f m b
b
a
1
( )f sup M e f inf m
b a b
a, ] [ , ]
[
) ( )
1 (
x0
f dx x a f b
b
a
Teorema della media integrale Dimostrazione
i) Essendo f(x) limitata si ha
Integrando membro a membro su [a,b]:
ii) Indichiamo con y0 il valore
che è un valore compreso tra m ed M.
Essendo f continua, per il teorema dei valori intermedi, esisterà x0 ∊ (a,b): f(x0)= y0 cioè la tesi
M x f m ( )
M dx x a f m b
b
a
1
( )
b
a
dx x a f
y b1 ( )
0
Teorema della media integrale
a b
A
a b
R
a b
C
x0 x0
A D
Area (A)=area(R)
Area C = Area D f(x0)
y=f(x)
