Analisi delle problematiche della C.F.D. nell'individuare la transizione dello strato limite

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T| Å|x| zxÇ|àÉÜ|

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INTRODUZIONE

Introduzione

Stato dell’arte

Negli ultimi anni, grazie anche agli enormi progressi delle tecnologie informatiche, la fluidodinamica computazionale, C.F.D., ha ottenuto notevoli successi riuscendo a risolvere problemi che solo pochi anni fa apparivano insormontabili. Purtroppo persitono tutt’oggi delle problematiche la cui soluzione definitiva sembra ancora lontana. Uno dei casi esemplari è sicuramente l’utilizzo della C.F.D. per l’individuazione della transizione dello strato limite. Questo problema, affrontato in numerosi studi, non trova pareri concordi tra gli specialisti del settore e lascia numerosi interrogativi sulle metodologie ottimali per approntare uno studio del problema. I lavori svolti, infatti, sono generalmente troppo legati al problema specifico e non consentono l’estensione dei risultati ad una più ampia classe di flussi.

Il problema affrontato ed il lavoro svolto

Nel presente lavoro di tesi si è affrontato il problema dell’individuazione e della successiva ottimizzazione di un modello di turbolenza che potesse fornire i migliori risultati nell’individuare la transizione dello strato limite. Il lavoro principale è stato svolto su un corpo assialsimmetrico le cui caratteristiche geometriche ed aerodinamiche sono riportate nell’item ESDU 78019 [9], parallelamente è stato condotto uno studio sul modello didattico di lastra piana in un flusso asintotico ad incidenza nulla i cui risultati sono stati confrontati con i modelli teorici dello strato limite e con i dati sperimentali tratti da lavori ESDU [7][12][13]. Per entrambi i modelli le grandezze di riferimento su cui è stato effettuato il confronto sono state il coefficiente di resistenza e la posizione di inizio transizione. Al fine di ottimizzare la qualità della soluzione si è modellato opportunamente lo strato limite prestando particolare attenzione alle caratteristiche del dominio di calcolo nelle zone a contatto con la parete monitorandole con le grandezze y+, y* e Re . _y

In fase preliminare è stato condotto uno studio di sensibilità della soluzione alle caratteristiche geometriche del dominio, quindi, sul modello ottimizzato, si è svolta la

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campagna di sensibilità ai parametri fondamentali di controllo della soluzione. L’ultima fase del lavoro sull’assialsimmetrico ha visto l’implementazione dei calcoli con i modelli di turbolenza Spalart-Allmaras e Reynolds Stress su un dominio in cui è stata imposta la posizione della transizione separando la zona di flusso laminare sulla parte anteriore del corpo dal rimanente campo turbolento.

La campagna di prove sul modello di lastra piana è caratterizzata da due principali direzioni di sviluppo, in una prima fase vengono implementati i calcoli con i differenti modelli di turbolenza per un ampio range di numeri di Reynolds, successivamente si studiano le risposte dei medesimi modelli nei casi in cui si imponga la posizione di transizione dello strato limite. Anche in questo caso vengono effettuati dei confronti dettagliati tra i dati dei modelli di turbolenza ed i valori teorici e sperimentali.

Studio dei modelli di turbolenza e scelta dei parametri ottimali.

Analisi fisica del fenomeno e parametri che lo caratterizzano.

Campagna di prove sul corpo assialsimmetrico e conseguente selezione dei modelli di turbolenza adatti al problema specifico.

Campagna di prove sulla lastra piana.

Selezione del modello di turbolenza e successiva otti-mizzazione nella campagna di sensibilità ai parametri

Confronto tra modelli di turbolenza a differenti Re.

Prove con flusso interamente laminare

Studio su modelli a transizione fissata.

Implementazione di un caso a transizione fissata.

Output dell’attività svolta:

Comprensione del trattamento del flusso all’interno dello strato limite. Verifica delle capacità di individuazione della transizione.

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Ringraziamenti

Vorrei ringraziare innanzi tutto le persone che mi hanno seguito nel corso dello sviluppo di questo lavoro di tesi: ringrazio il Prof. Giovanni Lombardi, il Prof. Guido Buresti, l’Ing. Marco Maganzi e l’Ing. Senio Picchi per la loro disponibilità e il loro supporto.

Non posso dimenticare di ringraziare i miei compagni di studi a Pisa in particolar modo Simone, Lorenzo, Virginia, Riccardo, Luca, Edo e Filippo.

Un particolare ringraziamento alla famiglia Scaglione che ha permesso di intervallare al duro lavoro momenti di allegria e tranquillità.

Per ultimi, e più importanti, i ringraziamenti a mia sorella, ai miei genitori e alla nonna che mi hanno sempre sostenuto e incoraggiato in ogni circostanza, e a tutte quelle persone che, con il loro sostegno, hanno reso più leggera la lunga strada verso la laurea.

Un pensiero speciale va a Tiziana per essermi stata costantemente così vicina in tutti questi anni. Pisa, Italia 10 Ottobre, 2005 Francesco Giacalone

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INDICE

1 ANALISI BIBLIOGRAFICA PRELIMINARE

……….………..

2 GEOMETRIA ANALIZZATA

………..…….

3 DESCRIZIONE DELL’ANALISI NUMERICA

………..…….. 3.1 Premessa………..………..……... 3.2 Griglia di calcolo……….

3.2.1 Importazione del modello geometrico……… 3.2.2 Generazione della mesh……….. 3.2.3 Analisi preliminare di sensibilità alla griglia……….. 3.3 Modelli di turbolenza………..

3.3.1 Descrizione dei modelli………..…

3.3.1.1 Modello Spalart-Allmaras………..…. 3.3.1.2 Modello k-ε RNG………..….. 3.3.1.3 Modello k-ω SST………..…… 3.3.1.4 Modello Reynolds Stress……….. 3.3.1.5 Trattamento alla parete………. 3.3.2 Parametri di individuazione della transizione…………..….. 3.4 Parametri C.F.D.……….… 3.4.1 Modello Spalart-Allmaras……….…. 3.4.2 Modello k-ε RNG ...………..…. 3.4.3 Modello k-ω SST.………... 3.4.4 Modello Reynolds Stress……… 3.5 Verifica dei parametri utilizzati………..…..

4 RISULTATI

………. 4.1 Visualizzazione dei dati………..………..…….

4.1.1 Profili di velocità………...………..……

4.2 Analisi comparativa………...………...…. 4.3 Selezione del modello di turbolenza………..……… 4.4 Campo di validità dello studio……….….…….……

5 OTTIMIZZAZIONE DEL MODELLO

……….………... 5.1 Sensibilità alla griglia………..…..…...…… 5.2 Sensibilità ai parametri del modello……….………..…...…… 5.2.1 Turbolenza del flusso in ingresso ……….…….……

5.2.2 Courant number ……….…………...…. 51 52 61 65 68 68 69 70 72 72 74 1 3 8 8 10 10 12 17 21 22 23 24 25 26 27 30 34 37 40 43 46 50

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INDICE

6

MODELLO LASTRA PIANA

………..………….………….……...….. 6.1 Introduzione……….………..…..…. 6.2 Modello di calcolo e parametri C.F.D.…………....…....……..……..… 6.3 Risultati……….………...………... 6.4 Analisi comparativa dei risultati……….……….….…….. 6.4.1 Simulazioni con modelli dei turbolenza………....…… 6.4.2 Analisi dei casi laminari……….……..…..…..… 6.4.3 Modelli a transizione fissata……….……..….. 6.5 Conclusioni………..……….………...

7 MODELLO A TRANSIZIONE FISSATA

………....………....…….... 7.1 Risultati……….……….………..……..……..…………

8 CONCLUSIONI E SVILUPPI FUTURI

……..……….……….…..…...… 8.1 Conclusioni………..……… 8.2 Sviluppi futuri……….………...

APPENDICE

A

……….………..

B

……….……….

BIBLIOGRAFIA

………... 77 77 78 84 91 91 97 99 100 101 101 104

104 105 106 119 145

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INDICE DELLE FIGURE

Figura 1: Profilo del corpo (ESDU I - Myring)...7

Figura 2: Profilo del forebody (ESDU I No. 7)...9

Figura 3: Discretizzazione del profilo nella zona di transizione...9

Figura 4: Modello 3D realizzato in Catia...11

Figura 5: Dominio di calcolo in Gambit...12

Figura 6: Frammentazione del dominio...12

Figura 7: Pannello di generazione dello strato limite...13

Figura 8: Visualizzazione dello strato limite sul forebody...14

Figura 9: Pannello relativo alla generazione della mesh...15

Figura 10: Griglia di calcolo nella zona del forebody...15

Figura 11: Caratterizzazione delle condizioni al contorno...16

Figura 12: Andamento dei residui per il Modello A...19

Figura 13: Andamento del CD per il Modello A...19

Figura 14: Caratterizzazione dello strato limite in termini diy (Fluent User’s Guide) ....28 +

Figura 15: Differente approccio alla soluzione dello strato limite ...30

Figura 16: Transizione del flusso all’interno dello strato limite ...31

Figura 17: Profilo di velocità per un flusso laminare ...33

Figura 18: Profilo di velocità per un flusso turbolento ...33

Figura 19: Pannello di settaggio del tipo di solutore ...34

Figura 20: Pannello di settaggio del tipo di fluido ...35

Figura 21: Pannello relativo alle condizioni operative ...36

Figura 22: Pannello dei valori di riferimento del modello ...36

Figura 23: Pannello di scelta del modello e dei relativi parametri...37

Figura 24: Specifiche relative alla zona “inlet”, Spalart-Allmaras ...38

Figura 25: Specifiche relative alla zona “outlet”, Spalart-Allmaras ...38

Figura 26: Parametri di controllo della soluzione Spalart-Allmaras...39

Figura 28: Specifiche relative alla zona “inlet”, k-ε RNG ...41

Figura 29: Specifiche relative alla zona “outlet”, k-ε RNG ...42

Figura 30: Parametri di controllo della soluzione k-ε RNG...42

Figura 32: Specifiche relative alla zona “inlet”, k-ω SST...44

Figura 33: Specifiche relative alla zona “outlet”, k-ω SST...45

Figura 34: Parametri di controllo della soluzione k-ω SST ...45

Figura 36: Specifiche relative alla zona “inlet”, RSM ...47

Figura 37: Specifiche relative alla zona “outlet”, RSM ...48

Figura 38: Parametri di controllo della soluzione RSM...48

Figura 39: Pannello di inizializzazione della simulazione ...49

Figura 40: Pannello di avvio della simulazione ...49

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INDICE DELLE FIGURE

Figura 42: Modello Spalart-Allmaras, profilo di tensione tangenziale alla parete ...52

Figura 43: Modello k-ε RNG, profilo di tensione tangenziale alla parete ...53

Figura 44: Modello k-ω SST, profilo di tensione tangenziale alla parete ...53

Figura 45: Modello Reynolds Stress, profilo di tensione tangenziale alla parete ...54

Figura 46: Visualizzazione del coefficiente di pressione nel dominio adiacente al corpo, Spalart-Allmaras ...54

Figura 47: Visualizzazione del coefficiente di pressione, zoom al bordo d’attacco, Spalart-Allmaras ...55

Figura 48: Visualizzazione del coefficiente di pressione, zoom al bordo d’uscita, Spalart-Allmaras ...55

Figura 49: Andamento del coefficiente di pressione sul profilo, modello di turbolenza Spalart-Allmaras ...56

Figura 50: Andamento del coefficiente di pressione sul profilo, modello di turbolenza k-ε RNG ...56

Figura 51: Andamento del coefficiente di pressione sul profilo, modello di turbolenza k-ω SST ...57

Figura 52: Andamento del coefficiente di pressione sul profilo, modello di turbolenza Reynolds Stress...57

Figura 53: Visualizzazione del campo di velocità nel dominio adiacente al corpo, Spalart-Allmaras ...58

Figura 54: Visualizzazione del numero di Mach nel dominio adiacente al corpo, Spalart-Allmaras ...59

Figura 55: Visualizzazione dei profili di velocità in differenti zone del forebody, Spalart-Allmaras ...60

Figura 56: Visualizzazione dei profili di velocità, zoom al bordo d’uscita, Spalart-Allmaras ...60

Figura 57: Visualizzazioni progressive dei profili di velocità, Spalart-Allmaras ...61

Figura 58: Visualizzazioni progressive dei profili di velocità, zoom della zona di parete, modello Spalart-Allmaras ...62

Figura 59: Visualizzazioni progressive dei profili di velocità, k-ε RNG ...63

Figura 60: Visualizzazioni progressive dei profili di velocità, k-ω SST ...64

Figura 61: Visualizzazioni progressive dei profili di velocità, Reynolds Stress ...64

Figura 62: Visualizzazione delle posizioni di transizione e del valore del CD...67

Figura 63: Visualizzazione degli errori percentuali su Xtr e sul CD...67

Figura 64: Errori percentuali sul CD e sulla posizione della transizione...73

Figura 65: Variazione dei tempi di convergenza e dell’errore percentuale sul CD e su xtr...75

Figura 66: Variazione dei tempi di convergenza e dell’errore percentuale sul CD e su xtr...75

Figura 67: Pannelli di generazione dello strato limite e della mesh ...79

Figura 68: Caratterizzazione delle condizioni al contorno sul dominio di calcolo...80

Figura 69: Creazione di una zona separata del dominio...81

Figura 70: Caratterizzazione del flusso nella zona laminare ...82

Figura 71: Andamento del parametro y+ sulla lastra ...83

Figura 72: Valori globali del CF per i diversi modelli di turbolenza, confronto con i dati ESDU ...85

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Figura 74: Valori globali del CF per i diversi modelli, confronto con i dati teorici...86

Figura 75: Valori globali del CF per il modello a transizione fissata, confronto con i dati ESDU ...86

Figura 76: Valori puntuali del Cf per i due modelli di turbolenza, confronto con i dati teorici di strato limite laminare ...88

Figura 77: Valori puntuali del Cf per i due modelli di turbolenza, confronto con i dati teorici di strato limite turbolento...88

Figura 82: Profilo adimensionalizzato di velocità dentro lo strato limite per due ascisse differenti ...92

Figura 83: Progressiva evoluzione dei profili adimensionalizzati di velocità...93

Figura 84: Errore percentuale sul CF...94

Figura 85: Profilo del wall shear stress...95

Figura 86: Profilo del wall shear stress...96

Figura 87: Valori puntuali del Cf per il modello laminare, confronto con i dati teorici ...97

Figura 88: Valori puntuali del Cf per il modello laminare, confronto con i dati teorici ...98

Figura 89: Profilo adimensionalizzato di velocità per uno strato limite laminare ...98

Figura 90: Errore percentuale sul coefficiente d’attrito ...99

Figura 91: Visualizzazione delle velocità sul profilo, particolare della bolla di separazione...102

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CAPITOLO 1- Analisi bibliografica preliminare

1 Analisi bibliografica preliminare

Il “problema della turbolenza” è stato visto come una delle più grandi sfide della matematica, fisica ed ingegneria degli ultimi 100 anni [17].

Il grande interesse verso questo problema è legato agli enormi benefici pratici, in termini di sviluppo, che si trarrebbero da una completa e puntuale comprensione di tutti i meccanismi di sviluppo e trasformazione della turbolenza.

I quesiti senza risposta sono ancora molti sebbene i progressi tecnologici degli ultimi anni abbiano consentito un notevole balzo in avanti permettendo l’uso di modelli matematici improponibili in passato a causa degli enormi costi computazionali. I numerosi studi passati al setaccio nel corso di questo lavoro hanno evidenziato le difficoltà che, allo stato attuale, si hanno nel descrivere le dinamiche di formazione ed evoluzione dei flussi turbolenti, difficoltà nel comprendere le interazioni tra le differenti scale che li caratterizzano ed i meccanismi che li alimentano. Uno studio di revisione sullo stato attuale dello sviluppo dell’argomento è stato svolto da J.C.R. Hunt [17] con lo scopo di illustrare le principali direzioni verso cui volge la ricerca ed i problemi che costituiscono le barriere più difficili da superare. Si evidenzia come una questione chiave della ricerca più recente sia stata identificare e descrivere i differenti meccanismi che causano l’evoluzione di fluttuazioni instabili in un flusso laminare innescando fenomeni che portano il flusso ad essere totalmente turbolento. E’ quindi la transizione ad essere tutt’oggi un fenomeno compreso solo in parte anche a causa dei molteplici differenti modi in cui esso si innesca con cause eccitanti sempre differenti. La soluzione delle equazioni R.A.N.S. con differenti modelli di turbolenza inizia a fornire dei risultati interessanti, ma la comprensione

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Una direzione verso cui si può procedere è quella di valutare gli errori commessi nelle simulazioni in modo da effettuare una progressiva selezione dei parametri fino a giungere ad un modello che possa fornire dei risultati più simili ai dati sperimentali e validare in tal modo l’uso del software come strumento di previsione.

Pubblicazioni più recenti inerenti ai lavori svolti con software che utilizzano modelli R.A.N.S. non offrono risultati incoraggianti, anzi, sembrano restringere il campo di applicabilità del metodo a casi specifici per i quali viene effettuata una scelta ad hoc delle costanti del modello. Il punto di inizio transizione può oscillare all’interno di un intervallo estremamente ampio in base alle scelte operate in fase di pre-processing; in linea di massima inoltre vale l’affermazione secondo cui la transizione in flussi reali avviene solitamente molto più tardi di quanto predetto dalla C.F.D. con i modelli basati sulle R.A.N.S. indipendentemente dal modello di turbolenza che si scelga di utilizzare per il caso specifico [5] [14].

Anche lo sviluppo dello strato limite in termini di spessore, essendo strettamente connesso ai fenomeni turbolenti, risulta difficile da prevedere e si ha una netta separazione tra i dati ottenuti da simulazioni numeriche ed i risultati sperimentali [5][14]. Infine, lavori svolti nell’ambito del medesimo software di simulazione Fluent 6.1.22 su modelli bidimensionali di corpi assialsimmetrici hanno condotto ad asserire circa l’impossibilità di ottenere da tali simulazioni C.F.D. dei valori utili per prevedere il sorgere della transizione [6].

Quanto emerge dall’analisi degli studi citati e da altre autorevoli pubblicazioni è l’impossibilità, in linea di massima, di affidarsi a modelli di simulazione R.A.N.S. per ottenere valori attendibili del sorgere della transizione, il rischio che si corre è anche legato alle diverse possibilità riguardo il settaggio dei parametri di turbolenza, infatti una particolare combinazione di parametri potrebbe fornire dei risultati sorprendentemente vicini ai dati sperimentali. Ciò potrebbe portare a facili conclusioni circa la validità del metodo, in realtà il caso è unico e particolare e sarebbe impossibile generalizzare verso una più ampia casistica. Il nostro lavoro sarà quindi orientato verso la comprensione degli elementi che conducono all’errore circa la posizione della transizione e la gestione del software nel trattare lo strato limite tramite un modello di turbolenza.

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CAPITOLO 2 - Geometria analizzata

2 Geometria analizzata

Il corpo su cui stato effettuato lo studio di simulazione è un assialsimmetrico molto affusolato. L’esatto shape del profilo è costituito da una combinazione di forebody, midbody ed afterbody riportati sull’Item ESDU 77028 [8]. Tra le svariate possibili combinazioni, si è scelto di analizzarne una ben precisa della quale si ha un esempio numerico interamente svolto e quindi dei dati di confronto molto precisi circa la posizione della transizione ed il valore del coefficiente d’attrito. Le equazioni che descrivono la geometria specifica delle estremità sono riportate in tabella 1, mentre la parte centrale è costituita da un cilindro circolare.

Forebody Corpo No. 7

(

2

)

1 1 1 3 10 15 8 2 1

α

+ − = R r dove

(

₁

)

2 1 1 1 k l x k l x +               + = α con k₁=1 ESDU I Afterbody Corpo No. 9 3 2 1 ) 1 ( 2 1 ) 2 3 ( 1 _      − − +       − − − = l x A l x A R r Myring (Cubic)

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Le equazioni caratteristiche riportate in una routine Matlab sono servite per generare un file “*.dat” che racchiude le coordinate dei punti che descrivono il profilo. In tabella 2 vengono riportate tali coordinate in mm.

x Y x y x y x y x y 0 0 240 94,3206 800 100 1520 94,4 1760 56,8 2 9,3827 242 94,5196 810 100 1522 94,2187 1762 56,3793 4 13,2796 244 94,7141 820 100 1524 94,0347 1764 55,9573 6 16,2765 246 94,9042 830 100 1526 93,8481 1766 55,5341 8 18,8082 248 95,09 840 100 1528 93,6588 1768 55,1095 10 21,043 250 95,2714 850 100 1530 93,4669 1770 54,6836 12 23,0669 252 95,4485 860 100 1532 93,2724 1772 54,2564 14 24,9312 254 95,6214 870 100 1534 93,0753 1774 53,828 16 26,669 256 95,7901 880 100 1536 92,8756 1776 53,3983 18 28,3034 258 95,9546 890 100 1538 92,6733 1778 52,9673 20 29,851 260 96,1149 900 100 1540 92,4685 1780 52,5352 22 31,3246 262 96,2712 910 100 1542 92,2611 1782 52,1018 24 32,734 264 96,4235 920 100 1544 92,0512 1784 51,6672 26 34,0867 266 96,5717 930 100 1546 91,8387 1786 51,2314 28 35,3893 268 96,716 940 100 1548 91,6237 1788 50,7944 30 36,6467 270 96,8563 950 100 1550 91,4063 1790 50,3563 32 37,8633 272 96,9928 960 100 1552 91,1863 1792 49,9169 34 39,0428 274 97,1255 970 100 1554 90,9638 1794 49,4764 36 40,1881 276 97,2544 980 100 1556 90,7388 1796 49,0348 38 41,3021 278 97,3795 990 100 1558 90,5114 1798 48,592 40 42,3869 280 97,5009 1000 100 1560 90,2815 1800 48,1481 42 43,4446 282 97,6187 1010 100 1562 90,0491 1802 47,7032 44 44,477 284 97,7329 1020 100 1564 89,8144 1804 47,2571 46 45,4857 286 97,8436 1030 100 1566 89,5772 1806 46,8099 48 46,4719 288 97,9507 1040 100 1568 89,3376 1808 46,3616 50 47,4371 290 98,0543 1050 100 1570 89,0956 1810 45,9123 52 48,3822 292 98,1546 1060 100 1572 88,8512 1812 45,4619 54 49,3083 294 98,2515 1070 100 1574 88,6045 1814 45,0105 56 50,2163 296 98,345 1080 100 1576 88,3553 1816 44,558 58 51,1071 298 98,4353 1090 100 1578 88,1038 1818 44,1045 60 51,9813 300 98,5224 1100 100 1580 87,85 1820 43,65 62 52,8397 302 98,6063 1110 100 1582 87,5938 1822 43,1945 64 53,683 304 98,687 1120 100 1584 87,3353 1824 42,738 66 54,5116 306 98,7647 1130 100 1586 87,0746 1826 42,2805 68 55,3261 308 98,8394 1140 100 1588 86,8115 1828 41,8221 70 56,1271 310 98,9111 1150 100 1590 86,5461 1830 41,3627 72 56,9149 312 98,9799 1160 100 1592 86,2784 1832 40,9024 74 57,69 314 99,0458 1170 100 1594 86,0085 1834 40,4411 76 58,4528 316 99,1089 1180 100 1596 85,7363 1836 39,9789 78 59,2036 318 99,1692 1190 100 1598 85,4619 1838 39,5159 80 59,9428 320 99,2269 1200 100 1600 85,1852 1840 39,0519 82 60,6707 322 99,2819 1210 100 1602 84,9063 1842 38,587

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CAPITOLO 2 - Geometria analizzata 84 61,3877 324 99,3343 1220 100 1604 84,6252 1844 38,1212 86 62,0939 326 99,3841 1230 100 1606 84,3419 1846 37,6546 88 62,7896 328 99,4315 1240 100 1608 84,0564 1848 37,1871 90 63,4752 330 99,4764 1250 100 1610 83,7687 1850 36,7188 92 64,1507 332 99,519 1260 100 1612 83,4789 1852 36,2496 94 64,8165 334 99,5592 1270 100 1614 83,1869 1854 35,7796 96 65,4728 336 99,5972 1280 100 1616 82,8928 1856 35,3088 98 66,1197 338 99,633 1290 100 1618 82,5965 1858 34,8372 100 66,7574 340 99,6667 1300 100 1620 82,2981 1860 34,3648 102 67,3861 342 99,6982 1310 100 1622 81,9977 1862 33,8917 104 68,0059 344 99,7278 1320 100 1624 81,6951 1864 33,4177 106 68,6171 346 99,7554 1330 100 1626 81,3904 1866 32,943 108 69,2197 348 99,7811 1340 100 1628 81,0836 1868 32,4676 110 69,814 350 99,805 1350 100 1630 80,7748 1870 31,9914 112 70,3999 352 99,8271 1360 100 1632 80,4639 1872 31,5145 114 70,9778 354 99,8475 1370 100 1634 80,1509 1874 31,0369 116 71,5476 356 99,8662 1380 100 1636 79,836 1876 30,5587 118 72,1096 358 99,8834 1390 100 1638 79,519 1878 30,0797 120 72,6637 360 99,899 1400 100 1640 79,2 1880 29,6 122 73,2102 362 99,9133 1402 99,9983 1642 78,879 1882 29,1197 124 73,7491 364 99,9261 1404 99,9933 1644 78,556 1884 28,6387 126 74,2806 366 99,9376 1406 99,9851 1646 78,231 1886 28,157 128 74,8046 368 99,9479 1408 99,9735 1648 77,9041 1888 27,6748 130 75,3214 370 99,9569 1410 99,9586 1650 77,5752 1890 27,1919 132 75,831 372 99,9649 1412 99,9404 1652 77,2444 1892 26,7084 134 76,3334 374 99,9718 1414 99,919 1654 76,9116 1894 26,2243 136 76,8289 376 99,9778 1416 99,8943 1656 76,5769 1896 25,7396 138 77,3173 378 99,9829 1418 99,8663 1658 76,2404 1898 25,2543 140 77,7989 380 99,9871 1420 99,8352 1660 75,9019 1900 24,7685 142 78,2737 382 99,9906 1422 99,8008 1662 75,5615 1902 24,2821 144 78,7417 384 99,9934 1424 99,7632 1664 75,2192 1904 23,7952 146 79,2031 386 99,9955 1426 99,7224 1666 74,8751 1906 23,3077 148 79,6578 388 99,9972 1428 99,6784 1668 74,5291 1908 22,8197 150 80,106 390 99,9984 1430 99,6312 1670 74,1813 1910 22,3313 152 80,5478 392 99,9992 1432 99,5809 1672 73,8316 1912 21,8423 154 80,9831 394 99,9996 1434 99,5274 1674 73,4801 1914 21,3528 156 81,4121 396 99,9999 1436 99,4708 1676 73,1268 1916 20,8628 158 81,8347 398 100 1438 99,411 1678 72,7717 1918 20,3724 160 82,2511 400 100 1440 99,3481 1680 72,4148 1920 19,8815 162 82,6613 410 100 1442 99,2822 1682 72,0562 1922 19,3901 164 83,0654 420 100 1444 99,2131 1684 71,6957 1924 18,8984 166 83,4634 430 100 1446 99,1409 1686 71,3335 1926 18,4062 168 83,8554 440 100 1448 99,0656 1688 70,9696 1928 17,9136 170 84,2413 450 100 1450 98,9873 1690 70,6039 1930 17,4206 172 84,6214 460 100 1452 98,9059 1692 70,2365 1932 16,9272 174 84,9955 470 100 1454 98,8214 1694 69,8674 1934 16,4335 176 85,3638 480 100 1456 98,734 1696 69,4967 1936 15,9393 178 85,7263 490 100 1458 98,6435 1698 69,1242 1938 15,4448

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186 87,1194 530 100 1466 98,2515 1706 67,6176 1946 13,4635 188 87,4536 540 100 1468 98,1461 1708 67,2368 1948 12,9675 190 87,7823 550 100 1470 98,0377 1710 66,8544 1950 12,4711 192 88,1054 560 100 1472 97,9264 1712 66,4704 1952 11,9744 194 88,4232 570 100 1474 97,8121 1714 66,0848 1954 11,4775 196 88,7355 580 100 1476 97,6949 1716 65,6976 1956 10,9803 198 89,0425 590 100 1478 97,5748 1718 65,3088 1958 10,4829 200 89,3442 600 100 1480 97,4519 1720 64,9185 1960 9,9852 202 89,6406 610 100 1482 97,326 1722 64,5266 1962 9,4873 204 89,9317 620 100 1484 97,1972 1724 64,1332 1964 8,9892 206 90,2176 630 100 1486 97,0656 1726 63,7382 1966 8,4909 208 90,4984 640 100 1488 96,9311 1728 63,3417 1968 7,9924 210 90,774 650 100 1490 96,7937 1730 62,9437 1970 7,4937 212 91,0446 660 100 1492 96,6536 1732 62,5443 1972 6,9949 214 91,3101 670 100 1494 96,5106 1734 62,1433 1974 6,4959 216 91,5706 680 100 1496 96,3648 1736 61,7408 1976 5,9968 218 91,8262 690 100 1498 96,2162 1738 61,3369 1978 5,4975 220 92,0768 700 100 1500 96,0648 1740 60,9315 1980 4,9981 222 92,3225 710 100 1502 95,9107 1742 60,5246 1982 4,4987 224 92,5634 720 100 1504 95,7537 1744 60,1164 1984 3,9991 226 92,7995 730 100 1506 95,594 1746 59,7067 1986 3,4994 228 93,0308 740 100 1508 95,4316 1748 59,2956 1988 2,9996 230 93,2573 750 100 1510 95,2664 1750 58,8831 1990 2,4998 232 93,4792 760 100 1512 95,0985 1752 58,4692 1992 1,9999 234 93,6964 770 100 1514 94,928 1754 58,0539 1994 1,5 236 93,909 780 100 1516 94,7547 1756 57,6373 1996 1 238 94,1171 790 100 1518 94,5787 1758 57,2193 1998 0,5

Tab. 2: Coordinate geometriche del profilo

Per ottenere il modello su cui effettuare la simulazione le coordinate ottenute sono state importate nel software di modellazione solida Catia P3V5R12 attraverso una macro definita in Excel 2003. Il modello geometrico ottenuto, Fig. 1, è pronto per essere utilizzato nelle fasi successive relative alla creazione della griglia ed alle simulazioni della C.F.D.. Le dimensioni riportate in figura sono quelle reali.

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CAPITOLO 2 - Geometria analizzata

Profilo ESDU I - Myring cubic

-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 Lunghezza (mm) R a g g io (m m )

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3 Descrizione dell’analisi numerica

Nel presente capitolo si riporta una dettagliata analisi delle scelte effettuate e dei procedimenti seguiti nell’implementazione della simulazione numerica. Dopo una rapida descrizione della creazione della griglia di calcolo e dei vincoli computazionali che hanno imposto determinate configurazioni, si passano in rassegna i modelli di turbolenza il cui utilizzo risulta idoneo, in base alle indicazioni degli sviluppatori del software, al particolare problema in esame. Si analizzano quindi le scelte dei parametri della C.F.D. nei vari modelli di turbolenza seguendo le indicazioni fornite nei manuali Fluent.

3.1 Premessa

La particolare natura del problema trattato implica una qualità del profilo molto elevata in modo da avere una riproduzione virtuale che possa essere il più fedele possibile al modello reale. Il file “*.dat”, i cui valori sono riportati in tabella nel Cap.2, presenta un infittimento dei punti laddove la curvatura del profilo necessita di una più fitta discretizzazione per migliorare la regolarità della curva. Tale accortezza si rivela necessaria a causa del particolare tipo di flusso, molto sensibile ai dettagli geometrici. E’ noto inoltre, da studi numerici di riferimento [9], che il fenomeno di transizione dello strato limite si manifesta in una zona ben limitata e si è quindi ritenuto fondamentale ottimizzare le caratteristiche del modello nella zona in esame non solo dal punto di vista delle qualità geometriche, ma anche nella costruzione della griglia di calcolo. In figura 3 si nota in particolare l’elevato

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CAPITOLO 3 – Descrizione dell’analisi numerica

numero di punti che costruiscono la spline del profilo, nella zona in esame l’infittimento arriva ad una densità di 5 punti ogni 10 mm.

Profilo forebody ESDU I

0 20 40 60 80 100 120 140 160 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 Lunghezza (mm) R a g g io ( m m )

Figura 2: Profilo del forebody

Profilo zona transizione

40 50 60 70 80 60 70 80 90 100 110 120 130 140 Lunghezza (mm) R a g g io ( m m )

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3.2 Griglia di calcolo

La griglia di calcolo del modello ESDU I-Myring è stata realizzata utilizzando il software Gambit 2.1.6 in grado di creare mesh del dominio che possono essere adattate alle tipologie di flusso che caratterizzano il problema in esame. I parametri dimensionali caratteristici della griglia sono stati oggetto di un’analisi preliminare di sensibilità al fine di individuare un numero di celle tale da fornire il giusto compromesso tra qualità dei risultati e costi computazionali. Trattandosi di un corpo assialsimmetrico è stata sufficiente una trattazione bidimensionale del problema che ha snellito molto i tempi di calcolo rendendo possibile l’utilizzo di griglie ad un numero maggiore di elementi senza incrementare eccessivamente i tempi delle fasi di simulazione. La tipologia di griglia scelta per le prove è quella strutturata costituita da celle rettangolari, tale scelta consente di avere un maggior controllo sulle qualità del dominio di calcolo e permette di costruire lo strato limite sulla parete del solido. Questa caratteristica risulta fondamentale perché consente di attivare un trattamento molto accurato del flusso alla parete impossibile da ottenere con l’utilizzo di griglie non strutturate. Tale scelta abilita l’utilizzo di modelli numerici più avanzati proprio nelle zone del dominio che sono di maggior interesse per la trattazione del problema.

3.2.1 Importazione del modello geometrico

Il modello geometrico costruito in Catia P3V5R12 attraverso importazione dei punti dal file “*.xcl” risulta pronto per la successiva fase di esportazione in formato “*.igs”, formato compatibile in lettura con il software di creazione della griglia. Il corpo assialsimmetrico è quello riportato in figura 4, nel caso specifico si mostra una rappresentazione tridimensionale del corpo in cui sono evidenziate ed elencate le singole parti mentre, come già detto, lo studio viene effettuato sul profilo 2D con le specifiche direttive di assialsimmetria del corpo in fase di simulazione.

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Figura 4: Modello 3D realizzato in Catia

Il modello in ingresso al software Gambit è un semplice profilo, sarà oggetto della fase successiva il completamento della geometria e la conseguente creazione del dominio di calcolo. Nella costruzione del dominio, ovvero del box utilizzato per contenere il modello, occorre dimensionare la sezione in modo da non incorrere in fenomeni di bloccaggio, infatti l’elevato numero di Mach a cui viene effettuata la prova può condurre a locali fenomeni transonici se le dimensioni non sono adeguate. Nella fattispecie si è scelto di operare in maniera cautelativa costruendo un dominio avente 20 corde a monte ed a valle del corpo e 10 corde in direzione radiale. Con tali misure il coefficiente di bloccaggio risulta Cb =0.005, un valore che rientra ampiamente nei limiti comunemente utilizzati. In figura 5 si può vedere come appare in Gambit l’intero dominio di calcolo, il profilo oggetto di studio è quasi invisibile ad una prima osservazione. Il dominio viene successivamente suddiviso in zone più piccole, Fig. 6, allo scopo di ottenere una maggiore rapidità di intervento nelle modifiche apportate alla griglia in fasi successive.

Forebody

Middlebody

(21)

Figura 5: Dominio di calcolo in Gambit

Figura 6: Frammentazione del dominio

3.2.2 Generazione della mesh

La creazione della mesh del dominio di calcolo 2D è stata vincolata dalla necessità di ottenere un’altezza molto ridotta della prima cella in modo da soddisfare le richieste geometriche legate all’utilizzo di trattamenti avanzati del flusso alla parete. La scelta di utilizzare l’opzione di creazione dello strato limite è quindi obbligata e fornisce un ottimo controllo sia dimensionale che qualitativo delle celle che maggiormente possono

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condizionare il risultato della simulazione. Il primo step è stato la generazione dello strato limite sul profilo del corpo attraverso l’opzione “Create Boundary Layer” presente in Gambit, la necessità di avere valori adeguati del parametro y+1 ha condizionato la scelta della dimensioni geometriche. Dal seguente pannello, Fig. 7, si possono rilevare anche le scelte operate.

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Lo spessore locale dello strato limite è stato riportato in riferimento allo studio ESDU 79020 [10]. Il risultato di questo primo step, visibile in figura 8, è la presenza sul profilo di uno strato limite di spessore adeguato, contenente un preciso numero di celle caratterizzate da una corretta legge di crescita dimensionale .

Figura 8: Visualizzazione dello strato limite sul forebody

Il secondo step consiste nella generazione della griglia di calcolo per l’intero dominio, come detto si procede per zone separate in modo da avere un miglior controllo della legge di crescita dimensionale delle celle che saranno molto piccole in vicinanza del corpo e di dimensioni che aumentano progressivamente con la distanza dal profilo. La creazione di una griglia strutturata con l’utilizzo dello schema “Quad-Map” implica una buona regolarità delle discretizzazioni lineari che devono essere in egual numero sui lati opposti di ciascuna zona quadrangolare in cui è stato frazionato il dominio. Nel pannello riportato in figura 9 si possono visualizzare le impostazioni relative alla fase di discretizzazione del dominio. In seguito si riporta l’immagine di una frazione di dominio completa di griglia.

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Completata la creazione della griglia per l’intero dominio, si procede alla terza fase in cui vengono assegnate le condizioni al contorno e definite eventuali zone del dominio che devono possedere caratteristiche peculiari differenti dal resto del campo. Le condizioni al contorno sono molto semplici ed in linea con le condizioni standard comunemente utilizzate; l’unica particolarità riguarda l’inlet ovvero il bordo attraverso cui il fluido entra nel dominio di calcolo, per questo contorno è stata utilizzata la condizione di “Pressure far field”, resa necessaria dall’elevata velocità del flusso in entrata e dal conseguente utilizzo dell’opzione di comprimibilità del fluido.

Complessivamente le condizioni al contorno per l’intero dominio sono riassunte a seguire e visualizzate in figura 11: • Profilo solido • Inlet Edge • Outlet Edge • Lato superiore • Asse di simmetria

Figura 11: Caratterizzazione delle condizioni al contorno

Riguardo la caratterizzazione delle zone del dominio, l’intero campo è stato definito con le medesime qualità, individuate all’interno del software dalla denominazione “Default interior”. Completate le condizioni al contorno si procede alla scelta del solutore ovvero del programma che dovrà leggere la griglia creata e svolgere la simulazione, in questo caso dal menù a finestra “Solver” si sceglie direttamente Fluent5/6.

Lato superiore Inlet Edge Outlet Edge Asse di simmetria Profilo Wall

Pressure far field Pressure outlet Symmetry Symmetry

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Il lavoro svolto in Gambit è completo e viene salvato in formato “*.dbs”. Tale formato però non è compatibile in lettura con il software Fluent, si crea quindi un nuovo file, tramite esportazione da Gambit, del formato “*.msh”.

3.2.3 Analisi preliminare di sensibilità alla griglia

Al fine di ottimizzare il lavoro, riducendo al minimo i tempi necessari al calcolo, è stata svolta un’analisi preliminare sul modello utilizzando 3 griglie di calcolo A, B e C simili nei parametri ma differenti riguardo il numero complessivo di elementi. Il numero di celle è rimasto invariato nella zona dello strato limite, mentre si è ridotto in maniera anche considerevole il numero di celle alla periferia del dominio operando un aumento più marcato del gradiente di crescita dimensionale. Non avendo modificato nei 3 casi la qualità dello strato limite, non si è avuta alcuna variazione del parametro y . Nella tabella + 3 sono riportate le caratteristiche di ciascuna griglia.

Tab.3: Modelli relativi all’analisi preliminare di sensibilità

Strato Limite Griglia

Numero di celle 25000 505000 Skewness max 0,234 0,762 Skewness media 0,107 0,256 + y ≈1,3 ≈1,5 ≈1,8 Yp prima cella (mm) 0.003 Modello A Altezza (mm) 1,9 5,7-9,2 libera

Numero di celle 25000 730000 Skewness max 0,234 0,571 Skewness media 0,107 0,145 + y ≈1 ≈1,5 ≈1,8 Yp prima cella (mm) 0.003 Modello B Altezza (mm) 1,9 5,7-9,2 libera

Numero di celle 25000 1220000 Skewness max 0,234 0,623 Skewness media 0,107 0,255 + y ≈1 ≈1,5 ≈1,8 Yp prima cella (mm) 0.003 Modello C Altezza (mm) 1,9 5,7-9,2 libera

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calcolo che tale modello richiede. I risultati ottenuti sono stati soddisfacenti dal punto di vista della netta separazione dei valori che ha portato a delle scelte precise. Svolgendo le simulazioni su una stessa macchina dotata di processore Intel Pentium M 1.60GHz ed 1.00GB di Ram si sono potuti confrontare i tempi di calcolo e le velocità di convergenza delle soluzioni. Il parametro utilizzato come termine di paragone per il calcolo della convergenza del caso, sia in termini di tempo che in termini di numero di iterazioni necessarie, è il coefficiente di resistenza C il cui andamento generalmente oscilla attorno _D ad un valore medio sul quale si assesterebbe se si procedesse con un numero molto elevato di iterazioni. Per confrontare gli andamenti del coefficiente nei vari modelli si è utilizzato come limite un preciso valore della deviazione standard. In pratica si è considerata la simulazione giunta a convergenza quando la deviazione standard sulle ultime 2000 iterazioni assumeva valori inferiori al 3% del valore medio del C_D. Si riportano in una tabella riassuntiva i valori medi e le deviazioni standard del coefficiente di resistenza nei 3 modelli esaminati, con i relativi tempi macchina necessari alla simulazione ed il numero di iterazioni necessarie a giungere a convergenza alla luce delle limitazioni fissate.

D

C valore medio C _D deviaz. std. N° Iterazioni per la convergenza Tempo di simulazione Modello A 0,002629 ₃_,₄₅_*₁₀−5 _6000-8000 _{29h 7min} Modello B 0,002627 5 10 * 69 , 9 − 18000-20000 96h 40min Modello C 0,002615 5 10 * 71 , 8 − 22000-24000 436h 18min

Tab.4: Risultati dell’analisi di sensibilità

Ovviamente si è prestata attenzione anche all’andamento dei residui i cui valori risultano molto piccoli ma comunque abbastanza irregolari a causa del valore elevato del numero di Mach della simulazione ed alla conseguente presenza di forti compressioni locali del flusso. Si riporta in figura 12 l’andamento dei residui monitorati nella simulazione con il Modello A la cui convergenza si ottiene ad 8000 iterazioni.

(28)

Figura 12: Andamento dei residui per il Modello A

-0,005 0 0,005 0,01 0,015 0,02 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 Iterations D ra g C o e ff ic ie n t

(29)

L’andamento del coefficiente di resistenza mostra qualitativamente quanto verificato numericamente, ovvero la netta riduzione dell’ampiezza delle oscillazioni non appena si raggiungono le 7000 iterazioni. Riguardo i modelli B e C, gli andamenti dei residui e del coefficiente di resistenza sono simili a quello illustrato ma le oscillazioni risultano, in tutti i casi, di maggior ampiezza. Dall’analisi comparativa dei 3 casi si nota immediatamente come il Modello C costruito con una griglia molto fitta di oltre 1200000 elementi sia troppo oneroso in termini di tempi di calcolo non fornendo risultati apprezzabilmente migliori rispetto agli altri modelli. I due modelli rimasti risultano comparabili in termini di risultati ma non in termini di costi computazionali. Il minor numero di ore necessarie alla convergenza porterebbe alla scelta del Modello A, ma un’attenta analisi del dominio implica anche considerazioni riguardo la qualità delle celle vicine al profilo. Infatti il Modello B in virtù del maggior numero di celle possiede un più dolce gradiente di crescita dimensionale degli elementi, ciò comporta una migliore qualità della griglia, monitorata attraverso il valore della skewness media e massima, tale caratteristica è in grado di influenzare la qualità della soluzione. Dalla breve analisi svolta si conclude che valori ottimali del numero di celle componenti la griglia di calcolo per il dominio in esame oscillano tra 550000 e 750000 celle con la tendenza ad avvicinarsi all’estremo inferiore per ridurre i tempi di simulazione, ma prestando molta attenzione alla qualità della griglia in particolar modo nella regione adiacente al profilo.

(30)

3.3 Modelli di Turbolenza

Il lavoro di studio svolto nell’ambito di questa tesi è stato sviluppato mediante il software di simulazione Fluent 6.1.22. Allo scopo di ottenere dei risultati corretti in termini di applicabilità e range di validità si è reso necessario uno studio delle equazioni descrittive del flusso e dei modelli utilizzabili per simulare la turbolenza dello stesso.

I flussi turbolenti sono caratterizzati da fluttuazioni ampie e repentine del campo di velocità con conseguente rimescolamento delle grandezze caratteristiche del flusso. Dacchè tali fluttuazioni possono essere di piccola scala ed elevata frequenza, risulta troppo oneroso dal punto di vista computazionale effettuare una simulazione diretta con metodi di calcolo ingegneristico. Nel modello del software le equazioni di Navier-Stokes vengono mediate in modo da simulare solamente il flusso medio. Si rende quindi necessaria una modellizzazione che tenga conto delle fluttuazioni turbolente. Le equazioni di Navier-Stokes mediate hanno la struttura riportata a seguire:

( )=0 ∂ ∂ + ∂ ∂ i i u x t ρ ρ (3.1) ( ' ') 3 2 ) ( ) ( _i _j j l l ij i j j i j i j i j i u u x x u x u x u x x p u u x u t ρ ρ µ δ ∂ −ρ ∂ +                 ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − = ∂ ∂ + ∂ ∂ +∇⋅ + =−∇⋅

∑

+ ∂ ∂ j h j jJ S h p E v E t(ρ ) ( (ρ )) ( ) (3.3)

Il termine τ_ijt =−ρu_i'u_j' è il tensore di Reynolds e deve essere modellizzato per la chiusura delle equazioni mediate, in esso è racchiuso tutto l’effetto delle fluttuazioni turbolente sul flusso medio, tale peculiarità può rappresentare uno svantaggio in termini di validità generale del modello. I differenti modelli, infatti, hanno campi di validità limitata e sono in genere abbastanza specifici, occorre quindi un’attenta analisi del caso da simulare per non incorrere in errori di scelta del modello di turbolenza che possano condurre a risultati totalmente errati. Per selezionare il modello più appropriato al nostro problema occorre comprendere le possibilità e i limiti delle varie opzioni.

(31)

3.3.1 Descrizione dei modelli

Il software Fluent consente di scegliere tra molti differenti modelli di turbolenza al fine di utilizzare il più idoneo al tipo di problema analizzato, le possibili opzioni sono:

• Spalart-Allmaras model • k-ε models - Standard k-ε model - Renormalization-group (RNG) k-ε model - Realizable k-ε model • k-ω models - Standard k-ω model

- Shear-stress transport (SST) k-ω model • Reynolds stress model (RSM)

Questi modelli valutano il tensore τ ipotizzandolo proporzionale, tramite un coefficiente tij

di “eddy viscosity” µ_t, al tensore medio di velocità di deformazione S (Boussinesq): _ij

ij t ij t S µ τ =2 (3.4) _       ∂ ∂ + ∂ ∂ = i j j i ij x u x u S 2 1 (3.5)

Nell’ambito del lavoro svolto nella tesi sono stati utilizzati per una prima analisi comparativa tutti e quattro i modelli, nel rispetto delle restrizioni e dei campi di applicabilità di ciascuno, al fine di individuare quello che meglio si presta alla soluzione del problema specifico. Si passano brevemente in rassegna evidenziando gli aspetti di ciascuno legati al trattamento della turbolenza.

(32)

3.3.1.1 Modello Spalart-Allmaras

Il modello Spalart-Allmaras è il più semplice dei quattro, sviluppato specificatamente per applicazioni di flussi esterni su pareti solide, ha fornito ottimi risultati in presenza di gradienti avversi di pressione. Il modello consiste in un’equazione di trasporto aggiuntiva che introduce la variabile ν~ che rappresenta una forma modificata della viscosità

cinematica turbolenta, e in 8 costanti2 arbitrarie di chiusura. Questo modello nella sua forma originale fornisce ottimi risultati per bassi valori del numero di Re. Nelle più recenti versioni di Fluent il modello è stato migliorato per fornire buoni risultati anche a più elevati Re e, qualora la qualità della griglia sia sufficientemente elevata, è stato adattato per l’utilizzo di migliori trattamenti del flusso alla parete. Sebbene il modello sia datato 1942 è stato poco usato per molti anni e quindi le piene potenzialità sono ancora ignote soprattutto per i casi in cui si hanno ottime discretizzazioni del dominio. L’equazione di trasporto per

ν~ è la seguente: _v j b j j i i S Y x C x x G u x t − +                ∂ ∂ +         ∂ ∂ + ∂ ∂ + = ∂ ∂ + ∂ ∂ ν ν ν ν ρ ν ν ρ µ σ ν ρ ν ρ 2 2 ~ ~ ~ ) ~ ( 1 ) ~ ( ) ~ ( (3.6)

in cui G e _ν Y rappresentano la produzione e la distruzione di viscosità turbolenta nella _ν regione adiacente alla parete. σ_ν~ e C sono costanti, _b₂ ν è la viscosità cinematica

molecolare. Si nota come in questo modello non compaia esplicitamente l’energia cinematica turbolenta (k). I termini S nelle varie equazioni di trasporto dei differenti _i modelli rappresentano sempre funzioni scelte ad hoc dall’utente.

La viscosità turbolenta µ_t è calcolata tramite

µ_t = ρν~f_v₁ (3.7)

in cui f è la funzione di smorzamento viscoso _v₁

₃ 1 3 3 1 v v C f + = χ χ (3.8)

(33)

1 v

C è una delle 8 costanti del modello.

Alla parete, la viscosità cinematica turbolenta modificata ν~ e settata a zero. Quando la

mesh è sufficientemente fitta il modello è in grado di risolvere il laminar sublayer3. Il calcolo del wall shear stress, geometricamente l’angolo tra la normale alla parete e la tangente al profilo di velocità in y=0, è ottenuto dalla relazione tensione-deformazione del flusso laminare: µ ρ _τ τ y u u u = (3.9)

3.3.1.2 Modello k-ε RNG

I modelli k-ε sono caratterizzati da due equazioni aggiuntive di trasporto in k ed ε (rateo di dissipazione). La soluzione delle due equazioni di trasporto consente di determinare indipendentemente la velocità turbolenta e le scale di grandezza della turbolenza. Delle 3 varianti del modello, quella che presenta campi di applicazione interessanti ai fini del nostro studio è la RNG, tale modello è derivato direttamente dalle equazioni di Navier-Stokes usando una tecnica matematica chiamata “renormalization group” method. Le equazioni di trasporto hanno la forma seguente:

_i i _j k eff x_j Gk Gb YM Sk k x ku x k t + + − − +        ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ρε µ α ρ ρ ) ( ) ( (3.10) ρε ρε α µ ε _ε ε _ε _ερε R_ε S_ε k C G C G k C x x u x t _i i _j k eff _j+ k+ b − − +        ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 3 1 ( ) ) ( ) ( (3.11)

in cui G rappresenta la produzione di energia cinetica turbolenta dovuta al gradiente di _k velocità media, G è la produzione di energia cinetica turbolenta dovuta alle fluttuazioni, _b

M

Y il contributo delle dilatazioni della turbolenza comprimibile sul rapporto di dissipazione complessiva. Le quantità α_k ed α_ε sono i reciproci dei numeri di Prandtl per k ed ε rispettivamente.

3

Regione dello strato limite immediatamente a contatto con la parete solida, caratterizzata da profilo laminare della velocità. Lo spessore, legato alle caratteristiche del flusso, non supera di norma i 5 decimi di millimetro

(34)

Le costanti4 del modello sono soltanto C e ₁_ε C i cui valori sono derivati analiticamente ₂_ε attraverso la teoria RNG.

La viscosità turbolenta µ_t è calcolata tramite

ε ρ µ _µ 2 k C t = (3.12)

nei casi in cui il numero di Reynolds è sufficientemente elevato.

3.3.1.3 Modello k-ω SST

Il modello k-ω nella variante Shear Stress Transport (SST) è stato formulato in modo da fornire un miglior trattamento del flusso alla parete, infatti le costanti del modello sono modificate ad hoc ed anche la definizione della viscosità turbolenta vicino alla parete tiene conto del trasporto della turbolenza all’interno dello strato limite. Ad alti Re avviene un graduale passaggio dal modello standard k-ω nella regione interna allo strato limite al modello k-ε per la zona esterna. Tali peculiarità rendono il modello idoneo alla trattazione di un’ampia classe di tipologie di flusso (gradienti avversi di pressione, profili 2D, onde d’urto). La formulazione della viscosità turbolenta modificata tiene conto degli effetti dei fenomeni di transizione. Il modello ha due equazioni di trasporto in k e ω (rapporto di dissipazione specifica) mentre le costanti5 sono complessivamente 12. Le equazioni di trasporto aggiuntive hanno la seguente struttura:

_k _k _k j K j i i S Y G x k x ku x k t + − +        ∂ ∂ Γ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ) ( ) (ρ ρ (3.13) ρω ρω _ω ω G_ω Y_ω D_ω S_ω x x u x t _i i _j _j+ − + +        ∂ ∂ Γ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ ) ( ) ( (3.14)

in cui G_k rappresenta la produzione di energia cinetica turbolenta dovuta al gradiente di velocità media, G_ω è la produzione di ω. Γ e _k Γ rappresentano rispettivamente la ω

(35)

diffusività effettiva di k e ω. k

Y e Y_ω rappresentano la dissipazione di k e ω dovuta alla turbolenza. D rappresenta il termine di cross-diffusion. _ω

La viscosità turbolenta viene calcolata combinando k e ω con la seguente relazione:

ω ρ α

µ_t ₌ * k_(3.15)

nei casi in cui Re è molto basso viene apportata una correzione opportuna al modello. Il modello k-ω SST è stato già utilizzato per indagini su flussi in presenza di transizione in un lavoro di Zheng Xiaoqing [22] con risultati interessanti sebbene limitati ad un range ristretto di condizioni del flusso.

3.3.1.4 Modello Reynolds Stress

Il modello Reynolds stress (RSM) è il più complesso tra quelli presenti in Fluent, abbandona l’ipotesi di isotropia del coefficiente di eddy-viscosity e risolve individualmente le componenti medie del tensore di Reynolds, u_i'u_j', usando equazioni differenziali di trasporto. Il modello ha quindi un grande potenziale, ma anche un elevato costo computazionale. Infatti si hanno 4 equazioni di trasporto per i casi 2D e 7 equazioni per i casi 3D. Purtroppo la complessità delle equazioni ed il numero elevato di costanti da definire rendono il modello difficile da settare. Le equazioni del modello possono tutte essere espresse nella forma:

(

)

[

]

(

)

k

(

j m jkm i m jkm

)

user k j k i i j j i i j j i k i k j k j k i j i k k j ik i kj k j i k j i k k j i S u u u u x u x u x u x u p u g u g x u u u x u u u u u x x u u p u u u x u u u x u u t + + Ω − ∂ ∂ ∂ ∂ −         ∂ ∂ + ∂ ∂ + + − +       ∂ ∂ + ∂ ∂ +       ∂ ∂ ∂ ∂ + + + ∂ ∂ − = = ∂ ∂ + ∂ ∂ ε ε ρ µ θ θ ρβ ρ µ δ δ ρ ρ ρ ' ' ' ' 2 ' ' 2 ' ' ' ' ' ' ' ' ) ' ' ( ' ' ' ' ' ) ' ' ( ) ' ' ( (3.16)

(36)

in cui i termini a secondo membro rappresentano rispettivamente:

(

)

[

' ' ' ' '

]

, i j k kj i ik j k ij T u u u p u u x D ρ + δ +δ ∂ ∂ − = la diffusione di turbolenza, (3.17)       ∂ ∂ ∂ ∂ = ( ' ') , i j k k ij L u u x x D µ la diffusione molecolare, (3.18)       ∂ ∂ + ∂ ∂ = k i k k k j k i ij x u u u x u u u P ρ ' ' ' ' la produzione di tensione, (3.19)

(

θ θ

)

ρβ _i _j' _j _i' ij g u g u G =− + la produzione di fluttuazioni, (3.20)         ∂ ∂ + ∂ ∂ = i j j i ij x u x u p ' '

φ la deformazione causata dalla pressione, (3.21)

k j k i ij x u x u ∂ ∂ ∂ ∂ =2µ ' '

ε la dissipazione di energia vorticosa, (3.22)

(

j m jkm m jkm

)

k

ij u u uiu

F =−2ρΩ ' 'ε + ' 'ε la produzione di energia da parte dei sistemi in rotazione e S_user la funzione definita dall’utente. I termini D_T_,_ij, G , _ij φ_ij e ε_ijdevono essere modellati per chiudere il set di equazioni. La viscosità turbolenta è calcolata similmente al modello k-ε, la forma è: ε ρ µ _µ 2 k C t = (3.12) dove Cµ =0.09.

Le costanti6 del modello sono complessivamente 7 nei casi di trattazioni 3D.

3.3.1.5 Trattamento alla parete

Per i flussi confinati da pareti solide la modellazione delle zone vicine alla parete ha un impatto significativo sulla soluzione numerica. Infatti rappresentano zone critiche in termini di produzione di vorticità e turbolenza, sono le zone in cui le variabili del modello cambiano rapidamente e con gradienti molto forti. E’ necessaria, di conseguenza, una accurata analisi per ottenere dei risultati soddisfacenti della simulazione. Tra i modelli di

(37)

turbolenza descritti precedentemente, lo Spalart-Allmaras ed il k-ω SST sono costruiti in modo da essere applicati attraverso lo strato limite purchè la risoluzione della griglia sia sufficientemente elevata. I modelli k-ε RNG e RSM sono, nella loro forma originale, validi principalmente per flussi turbolenti in zone lontane da pareti solide, tuttavia opportune modifiche estendono il range di applicabilità anche alle zone adiacenti alla parete. Numerosi esperimenti hanno mostrato come la regione adiacente alla parete possa essere suddivisa in tre strati principali, Fig. 14. La parte più interna, a diretto contatto con la parete solida, è il “viscous sublayer”, all’interno del quale il flusso è laminare e la viscosità molecolare gioca un ruolo determinante nel trasporto di massa, calore ed energia. All’esterno dello strato limite si ha l’“outer layer”, detto anche fully-turbulent, in cui la turbolenza ha un ruolo dominante. Tra le due zone descritte vi è la regione interna allo strato limite in cui le azioni molecolari e quelle dovute a turbolenza sono ugualmente importanti.

Figura 14: Caratterizzazione dello strato limite in termini diy+

Tradizionalmente vi sono due approcci per modellare la turbolenza nella regione vicino alla parete. Nel primo approccio la viscosità nella regione interna non viene risolta, tuttavia alcune formule semiempiriche chiamate “wall functions” vengono utilizzate per collegare i valori delle grandezze alla parete con i valori della regione esterna totalmente turbolenta.

(38)

Un secondo approccio consiste nel modificare i modelli di turbolenza in modo da abilitare il calcolo delle grandezze all’interno dello strato limite, incluso il viscous sublayer. Ovviamente in tal caso le qualità della mesh devono essere superiori, il numero di celle adiacenti alla parete deve essere molto elevato.

Il trattamento utilizzato in questo lavoro per i casi k-ε RNG e RSM è ovviamente il secondo in quanto il nostro obiettivo è lo studio delle piccole scale della turbolenza. Si è scelto quindi di lavorare con l’Enhanced wall treatment. Tale approccio consente di modificare la legge del flusso totalmente turbolento in modo da tener conto degli altri effetti come gradienti di pressione o di temperatura. Inoltre consente anche il corretto comportamento per piccoli e grandi valori di y (+ y =ρuτy/µ

+ _{) ed una corretta}

rappresentazione dei profili di velocità all’interno dello strato limite.

Per ottenere dei risultati validi di flussi turbolenti occorre tener conto di alcuni accorgimenti da prendere durante la generazione della griglia. A causa delle forti interazioni tra il flusso asintotico e la turbolenza, i risultati numerici per flussi turbolenti tendono ad essere più suscettibili alla qualità della griglia rispetto ai flussi laminari. Parametri utili al controllo della qualità della mesh sono y , + y e * Re ; non si tratta di _y quantità geometriche, ma di parametri dipendenti dalla soluzione, quindi dalle qualità e dalla tipologia del flusso. Per le mesh della zona adiacente alla parete devono essere usate differenti strategie in base al trattamento che in quella zona si decide di effettuare. Le indicazioni per l’Enhanced wall treatment suggeriscono dei valori di _y+ ≈1_{qualora si} voglia arrivare a risolvere il laminar sublayer, sono comunque accettabili valori leggermente più elevati. Inoltre si consiglia di avere almeno una decina di celle (Re <200) all’interno della regione dello strato limite in modo da riuscire a risolvere la _y velocità principale e le quantità della turbolenza.

Il trattamento alla parete che il modello Spalart-Allmaras effettua di default è un adeguamento alle caratteristiche della mesh, quindi nel caso di valori di y , + y e * Re _y costruiti per un Enhanced wall treatment la soluzione sarà idonea ad un’indagine delle piccole scale della turbolenza, nei casi in cui i valori di y sono più elevati + automaticamente si avrà l’applicazione delle wall functions.

(39)

Figura 15: Differente approccio alla soluzione dello strato limite

3.3.2 Parametri di individuazione della transizione

Il problema della scelta di un parametro che possa fornire indicazioni significative sul sorgere della transizione è direttamente collegato alle difficoltà oggettive che si hanno nella comprensione del fenomeno della turbolenza. Dallo studio del moto transizionale si possono trarre delle informazioni utili ad individuare dei parametri descrittivi del fenomeno. Il caso didattico di lastra piana ad incidenza nulla posta in un flusso asintotico dalle caratteristiche note descrive il fenomeno microscopicamente in maniera completa ed evidenzia come sia il numero di Reynolds locale il parametro che meglio caratterizza il sorgere del fenomeno. Come chiaramente riportato dal Batchelor (An introduction to fluid dynamics, [3]) all’aumentare del numero di Reynolds si ha nel flusso la transizione da laminare a turbolento, il fenomeno avviene dapprima al bordo d’uscita e si muove gradualmente verso monte con una contemporanea crescita del coefficiente di attrito viscoso totale del corpo.

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Figura 16: Transizione del flusso all’interno dello strato limite

Sebbene vi siano molte analogie tra casi differenti, il flusso all’interno dello strato limite passa da laminare a turbolento in modo sempre diverso, allo stato attuale gli studi hanno ricondotto le varie manifestazioni del fenomeno a due tipi distinti di transizione. Il primo fu proposto da C. C. Lin (Ffowcs Williams, Rosenblat & Stuart, [14]) e consiste in una lenta evoluzione del flusso iniziale verso un singolo tipo di instabilità, si presentano distinte biforcazioni del flusso e conseguenti sviluppi di interazioni non lineari tra differenti scale di turbolenza. Il secondo tipo consiste in una rapida evoluzione quando la crescita non lineare di una singola transizione produce rapidamente un ampio spettro di fluttuazioni della velocità comparabili a quelle di un moto turbolento pienamente sviluppato. La chiave di comprensione del fenomeno è legata allo studio dei processi di rottura che portano il flusso ad instabilizzarsi e cambiare forma. Sebbene su scala macroscopica, in termini spaziali e temporali, si possa ricondurre la transizione alle due forme descritte, non sono ancora del tutto noti i meccanismi che innescano il fenomeno e lo conducono verso una forma specifica. La quantità di fattori che possono interagire e condizionare il sorgere dalla transizione sono molteplici e non sempre caratterizzati fisicamente in modo chiaro. Effetti noti e riproducibili (Cebeci, Tuncer, [5]) sono causati da gradienti di pressione, infatti un gradiente avverso anticipa il sorgere della transizione e riduce la durata della stessa.

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Altri parametri determinanti sono la rugosità superficiale e la curvatura del corpo (Saric S. et al, [21] ). La letteratura fornisce molti differenti parametri di indagine che però, nella maggioranza dei casi, risultano essere troppo specifici al problema in esame e quindi non godono della genericità necessaria all’estensione ad una più ampia casistica. In un recente lavoro Bake et al [1] hanno sfruttato le velocità random che si creano in prossimità del bordo superiore dello strato limite come sintomo di un inizio di turbolenza nel flusso. Altre indagini utilizzano il valore locale del numero di Reynolds mentre studi più specifici si affidano a rapporti entalpici tra zone adiacenti dall’interno e dall’esterno al bordo dello strato limite (Horvart Thomas J.,[16]). Il parametro che sembra fornire i risultati migliori per un ampio spettro di casi è il wall shear stress7. Tale parametro è direttamente collegato all’angolo tra la normale alla parete e la tangente al profilo di velocità valutata ad y=0. Nell’espressione analitica n u w ∂ ∂ =µ τ (3.23)

compare anche la viscosità del fluido. L’utilizzo di questo parametro come strumento di indagine sul sorgere della transizione è abbastanza diffuso ed è già stato usato in uno studio comparativo all’interno del software Fluent 6.1.22 presso il dipartimento di ingegneria aerospaziale. Risulta sicuramente il più semplice da valutare ed anche il più intuitivo, inoltre può essere messo in relazione ai profili di velocità adimensionalizzati all’interno dello strato limite in modo da ottenere un’immediata visualizzazione del fenomeno. Purtroppo l’ampio intervallo temporale che caratterizza la transizione non consente la netta distinzione tra i profili di velocità della zona laminare da quelli della zona turbolenta, ma si ha piuttosto una progressiva trasformazione che non consente l’individuazione di un punto preciso. I profili di velocità nei casi laminare e turbolento singolarmente visualizzati il Fluent sono nettamente differenti, ma stabilire un punto di confine nello sviluppo di un flusso transizionale è praticamente impossibile tramite la sola visualizzazione dei profili di velocità. Nelle due figure seguenti si mostrano i profili di velocità nel caso di flusso fully laminar e nel caso fully turbulent .

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Wall shear stress:

n u w ∂ ∂ =µ τ , si veda Buresti G. [4].

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Figura 17:Profilo di velocità per un flusso laminare