C C C ⊂ ⊆ n = () () {} {} {} {} {} {} {} {} {} {} 273 K E E E E E E F E E F E F E F E E E E ∪ = = [273, F = + ∞ ) {} Ω Ω Ω Ω Ω Ω⊂Ω Ω E E E N , ∩ ⊂Ω = = = F = [0, F ⊂Ω = + ∞ Ø ) N Ω Ω Ω E E E E F E E E ∪ ∪ ∩ = = = = = = = ⊂Ω ∈Ω F F F 1,3,5 1,2 1,3 1,2,3,4,

Probabilità   Calcolo  delle  Probabilità   Mattia  Natali    

  1  

Probabilità:  Teoria  assiomatica  

µ Definizioni:  

Ø Probabilità:  Teoria  che  vuole  matematizzare  il  caso.  

Ø Esperimento  aleatorio:  è  una  sorgente  di  dati  “casuali”.    

Ø

Ω =

 insieme  di  tutti  i  possibili  esiti  dell’esperimento  aleatorio  e  viene  definito  spazio  campionario   (o  spazio  campione  o  spazio  degli  eventi  elementari).  

§ Esempi:    

1. Moneta:  

Ω = testa, croce { }

^.    

2. Dado:  

Ω = 1,2,3,4,5,6 { }

^.  

3. Temperatura:  

Ω = [0,+∞)

.  

Ø

ω =

 evento  elementare  contenuto  in  

Ω

.  In  altre  parole  i  punti  di  

Ω

 

( ω ∈Ω )

 si  chiamano  eventi   elementari.  

§ Esempio:  lancio  una  moneta  e  verifico  cosa  è  uscito.  

Ø Un  sottoinsieme  di  

Ω

 

( E ⊂ Ω )

 si  chiama  evento,  quindi  un  evento  

E

 è  un  insieme  i  cui  elementi   sono  possibili.  Se  l’esito  dell’esperimento  è  contenuto  in  

E

 diciamo  che  l’evento  

E

 si  è  verificato.  

Ø

E ⊂ Ω

 si  realizza  se  si  realizza  uno  dei  suoi  punti.  

1.

E = testa { } ^{⊂ Ω}

,  si  realizza  se  esce  testa.  

2.

E = 1,3,5 { } ^{⊂ Ω}

,  si  realizza  se  esce  un  numero  dispari.  

3.

E = [273,+∞)

,  si  realizza  se  ottengo  una  temperatura  maggiore  di  

273 K

.   Ø

E

^C

= Ω \ E = { ω ∈Ω :ω ∉E }

 è  il  complementare  di  

E

.  

§

E

^C

⇔ not E

^.  

Ø

E ∪ F = { ω ∈Ω :ω ∈E o ω ∈F }

 ^à  

^E

 unione  

F

.  

§

E ∪ F =

 “si  realizza  

E

”  oppure  “si  realizza  

F

”  oppure  “si  realizzano  entrambi”.  

§ Esempio:  

•

Ω = 1,2,3,4,5,6 { }

^;  

^{E = 1,2} { }

^;  

^{F = 1,3} { }

 ^à  

^E ∪ F = 1,2,3 { }

^.  

Ø

E, F ⊂ Ω

,  

E ∩ F = { ω ∈Ω :ω ∈E & ω ∈F }

 ^à  

^E

 intersezione  

F

.  

§ Si  realizzano  sia  

E

 che  

F

.  

§ Se  E∩ F = Ø  si  chiamano  eventi  mutualmente  esclusivi  o  disgiunti.  

Ø

Ω ⊂ Ω

.  Ricorda  che  “

⊂

”  =  “

⊆

”.  

§

Ω =

 “evento  certo”.  

§

Ω

^C

= Ω \ Ω = Ø =

 “evento  impossibile”.  

 

µ Tipologie  di  approccio  alla  probabilità:  

Ø Frequentista:  

§ Vogliamo  calcolare  una  probabilità  di  un  evento,  per  far  ciò  deve  essere  ripetibile:  

E =

 

“evento”.  Facciamo  

n

 prove  identiche  in  cui  

E

 può  realizzarsi  o  meno.  

N

_E

=

 numero  di  volte   che  

E

 si  verifica.  La  probabilità  che  

E

 si  verifica  à  

P E ( ) ^{≅ N}

^E

N

^.  

Probabilità   Calcolo  delle  Probabilità   Mattia  Natali    

  2  

Ø Classico:  supponiamo  che  un’esperimento  casuale  abbia  un  numero  ben  definito  di  esiti.  Noi   supponiamo  che  abbiamo  la  stessa  possibilità  di  realizzarsi.  

P E ( ) ⁼ casi favorevoli ad E

casi possibili

^.   Ø Soggettivista:  in  base  ad  esperienze  personali,  o  giudizi  personali.  Non  ci  interessa.  

 

µ Riassunto:  

Ø

E

 evento.  

P E ( )

 (la  probabilità  che  si  verifichi  l’evento  

E

)  è  un  numero  in  

[ ] 0,1

^.   Ø Se  

Ω

 si  verifica  sicuramente  à  

P E ( ) ^{= 1}

^.  

Ø Se  E, F  sono  eventi  che  non  si  possono  verificare  entrambi  à    

P si verifica E oppure F ( ) ^{= P E ∪ F} ( ) ^{= P E} ( ) ^{+ P F} ( )

_.  

 

µ Assiomi  di  probabilità:  

Ø Con  

Ω

 insieme  (spazio  campionario),  E, F  eventi.  Una  regola  (funzione),  che  associa  ad  ogni  

E ⊂ Ω

 un  numero,  è  una  probabilità  se  sono  vere:  

1.

∀E ⊂ Ω

_,  

0 ≤ P E ( ) ^{≤ 1}

^.  

2.

P ( ) Ω ^{= 1}

^.  

3.

P E ( ∪ F ) ^{= P E} ( ) ^{+ P F} ( ) ∀E,F ⊂ Ω,E ∩ F = Ø

.   Ø Conseguenze  degli  assiomi  di  probabilità:  

1.

P E ( )

^C

^{= 1− P E ( )}

^.  

• Dimostrazione:  

E ∪ E

^C

= Ω

,  

E ∩ E

^C

= Ø

 perché  sono  chiaramente  due  eventi   disgiuntià  

P E ( ∪ E

^C

) ^{= P E ( ) + P E} ( )

^{C  =}  

^{P ( ) Ω = 1}

 dagli  assiomi  2  e  3  à  

P E ( ) ^{+ P E} ( )

^C

^{= 1}

 ^à  

^{P E} ( )

^C

^{= 1− P E ( )}

 C.V.D.  

2.

E

₁

, E

₂

,..., E

_n

⊂ Ω

,  

E

_i

∩ E

_j

= Ø

 con  

i ≠ j

 à  

P E (

₁

∪ E

₂

∪ ...∪ E

_n

) ^{= P E} ( )

1

^{+ P E} ( )

2

^{+ ...+ P E} ( )

n ^.  

• Dimostrazione:  

♦

n = 2

 è  l’assioma  3.  

♦

n = 3

,  

E, F,G ⊂ Ω

 con  

E∩ F = Ø E∩ G = Ø F∩ G = Ø  

P E

( (

∪ F

)

^{∪ G}

)

^{= P E ∪ F}

( )

^{+ P G}

( )

^{= P E}

( )

^{+ P F}

( )

^{+ P G}

( )

.  Questo  è  vero   perché  

( E ∪ F ) ∩ G = E ∩ G ( ) ^{∪ F ∩ G} ( ) = Ø ∪ Ø = Ø

.  

3. Con  

E, F ⊂ Ω

 à  

P E ( ∪ F ) ^{= P E} ( ) ^{+ P F} ( ) ^{− P E ∩ F} ( )

^.  

• È  un  estensione  del  terzo  assioma  e  funziona  anche  con  gli  eventi  non  mutualmente   esclusivi.  Si  dimostra  intuitivamente  con  i  disegni.  

Ø Caso  speciale:  

§ Premesse  importanti  (la  formula  funziona  solo  in  questo  caso):  

•

Ω = N < +∞

 il  modulo  è  la  cardinalità  di  

Ω

,  ossia  il  numero  di  elementi  contenuti  nello   spazio  campionario.  

Probabilità   Calcolo  delle  Probabilità   Mattia  Natali    

  3  

•

P ( ) { } ω

₁

^{= ... = P} ( { } ^ω

^N

) ⁼ _Ω ¹

,  tutti  gli  eventi  elementari  hanno  la  stessa  probabilità.  

§

∀E ⊂ Ω

,  

P E ( ) ⁼ _Ω ^E

^.  

§ Dimostrazione:  

•

Ω = { ω

₁

,..., ω

_N

}

 ^à  

^{Ω =} { } ^ω

1

^∪ { } ^ω

2

^{∪ ....∪} { } ^ω

N ^.  

•

1 = P Ω ( ) ^{= P} ( ) { } ^ω

1

^{+ ...+ P} ( ^{{ } ω}

ⁿ

) = p + p + ...+ p = N

_p

⇒ p = 1 N

^.  

•

P E ( ) ^{= P} ( { } ^ω

1

^∪ { } ^ω

²

) ^{= P} ( ) { } ^ω

¹

^{+ P} ( { } ^ω

²

) ⁼ _Ω ^{1 +} _Ω ^{1 =} _Ω ^E

 C.V.D.  

 

µ Probabilità  condizionata:  

Ø Probabilità  che  si  verifichi  

E

 sapendo  che  si  è  verificato  

F = P E | F ( )

^.  

Ø

P E | F ( )

 è  proporzionale  a  P E

(

∩ F

)

^{⇒P E}

(

^{∩ F}

)

z ^.  

Ø P F | F

( )

^{= P F}

(

^{∩ F}

)

z = P F

( )

z ⇒ z = P F

( )

^.  

Ø Definizione:  

E, F ⊂ Ω

 con  

P F ( ) ^{> 0}

 à  La  probabilità  di  

E

 dato  

F

 si  definisce  come  

P E | F ( ) ^{= P E} ( ^{∩ F} )

P F ( )

.  Infatti  se  si  è  verificato  l’evento  

F

,  affinchè  si  verifichi  anche  

E

,   dobbiamo  tenere  in  considerazione  un  elemento  che  è  contenuto  nell’intersezione  

E ∩ F

.  Poi,   essendosi  verificato  

F

,  questo  diviene  il  nuovo  ridotto  spazio  degli  esiti.  

Ø Note:  

1. La  probabilità  condizionata  è  una  probabilità,  cioè:  

•

∀E ⊂ Ω

   

0 ≤ P E | F ( ) ^{≤ 1}

^.  

•

P ( Ω | F ) ^{= 1}

^.  

•

E

₁

, E

₂

⊂ Ω,E

₁

∩ E

₂

= Ø ⇒ P E (

₁

∪ E

₂

| F ) ^{= P E} (

¹

^{| F} ) ^{+ P E} (

²

^{| F} )

^.  

2.

P E (

^C

| F ) = 1− P E | F ( )

 è  VERO,  mentre  

P E | F (

^C

) = 1− P E | F ( )

 è  FALSO.  

3.

E | F

 non  ha  senso  perché  non  è  un  evento.  

Ø Usi  della  probabilità  condizionata:  

§

P E | F ( ) ^{= P E} ( ^{∩ F} )

P F ( )

 ^à  

^{P E} ( ^{∩ F} ) ^{= P E | F} ( ) ^{·P F} ( )

^.  

Ø Formula  delle  probabilità  totali  /  partizioni  dell’evento  certo:  

§ Ipotesi:  

•

Ω ⊃ F

1

, F

₂

,..., F

_n.  

•

F

₁

∪ F

2

∪ ...∪ F

n

= Ω

 almeno  uno  degli  eventi  si  verifica.  

•

F

_i

∩ F

_j

= Ø∀i ≠ j

,  gli  insiemi  non  si  intersecano.  

§ Tesi:  

P E ( ) ^{= P E | F} (

1

) ^{P F} ( )

1

+ ...+ P E | F (

_n

) ^{P F} ( )

n ^.  

§ Dimostrazione:  

Probabilità   Calcolo  delle  Probabilità   Mattia  Natali    

  4  

•

E = E ∩ F (

₁

) ^{∪ E ∩ F} (

2

) ∪ ...∪ E ∩ F (

_n

)

 che  è  

E ∩ Ω

 à  

P E ( ) ^{= P E ∩ F} (

1

) + ...+ P E ∩ F (

_n

) ^{= P E | F} (

1

) ^{P F} ( )

1

+ ...+ P E | F (

_n

) ^{P F} ( )

n ^.  

 

µ Formula  di  Bayes:  

Ø Teorema:  

E, F ⊂ Ω,P E ( ) ^{, P F} ( ) ^{> 0}

 ^à  

^{P F | E} ( ) ^{= P E | F} ( ) ^{P F} ( )

P E ( )

^.  

§ Dimostrazione:  

P F | E ( ) ^{= P E} ( ^{∩ F} )

P E ( ) ^{= P E | F} ( ) ^{P F} ( )

P E ( )

^.  

 

µ Eventi  indipendenti:  

Ø Significato:  

E, F ⊂ Ω

,  

P E | F ( ) ^{= P E} ( )

 ^e  

^{P F | E} ( ) ^{= P F} ( )

.  In  parole  quindi  

E

 è  indipendente   da  

F

 se  la  conoscenza  che  

F

 si  è  avverato  non  cambia  la  probabilità  di  

E

 e  viceversa.  

Ø

P E | F

( )

^{= P E}

(

^{∩ F}

)

P F

( )

^{= P E}

( )

P F | E

( )

^{= P E}

(

^{∩ F}

)

P E

( )

^{= P F}

( )

⎫

⎬⎪⎪

⎭

⎪⎪

⇔ P E ∩ F

( )

^{= P E}

( )

^{P F}

( )

^.  

Ø Due  eventi  

E, F ⊂ Ω

 sono  indipendenti  se  

P E ( ∩ F ) ^{= P E} ( ) ^{P F} ( )

 altrimenti  si  dicono   dipendenti.  

Ø Proprietà:  se  E, F  sono  indipendenti  lo  sono  anche  

E, F

^C

F

^C

, E F

^C

, E

^C

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

^.  

§ Dimostrazione:  so  che  

P E ( ∩ F ) ^{= P E} ( ) ^{P F} ( )

 à  è  sempre  possibili  esprimere  

P E ( )

 come  

P E ( ) ^{= P E ∩ F} ( ) ^{+ P E ∩ F} (

^C

)

 ^à  

P E ( ∩ F

^C

) ^{= P E ( ) − P E ∩ F ( ) = P E ( ) − P E ( ) P F ( ) = P E ( )} ( ^{1 − P F ( )} ) ^{= P E ( ) P F} ( )

^C  

quindi  sono  indipendenti.  Le  dimostrazione  dei  rimanenti  sono  simili.  

Ø  Quando  dico  che  E, F,G  sono  indipendenti?  Esempi:  

P E | F ( ∩ G ) ^{= P E} ( )

 ^o  

P E (

^C

| F

^C

∪ G ) ^{= P E} ( )

^{C .}  

§ Definizione:  

E, F,G ⊂ Ω

 sono  indipendenti  se:  

P E ( ∩ F ) ^{= P E} ( ) ^{P F} ( )

P E ( ∩ G ) ^{= P E} ( ) ^{P G} ( )

P F ( ∩ G ) ^{= P F} ( ) ^{P G} ( )

P E ( ∩ F ∩ G ) ^{= P E} ( ) ^{P F} ( ) ^{P G} ( )

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

 

§ Definizione  generale:  

E

₁

, E

₂

,... ⊂ Ω

 sono  indipendenti  se

∀I ⊂ , I < +∞

   

P E

_i

i∈I

⎛ 

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = P E ( )

_i

∏

i∈I ,  il  primo  simbolo  è  l’intersezione  di  tutti  gli  

E

_i,  mentre  il  secondo  è  il   prodotto  di  tutti  gli  

P E ( )

_i ^.