Esercizi sugli spazi vettoriali e applicazioni lineari
1) Sia E la base canonica di R3e sia F = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1)}. Verificare che F `e una base di R3. a) Sia ϕ : R3
→ R3 definito da ϕ(x, y, z) = (x + 2y, z, 3x).
Determinare una base e la dimensione di Kerϕ e Imϕ. Determinare ME ϕ(F ), M F ϕ(E), M F ϕ(F ), M E ϕ(E).
b) Sia ϕ : R3→ R4 tale che
ϕ(1, 1, 1) = (1, 0, 0, 0), ϕ(1, 1, 0) = (1, 0, 1, 0), ϕ(1, 0, 1) = (0, 0, 2, 0). Determinare esplicitamente ϕ(x, y, z).
Determinare una base e la dimensione di Kerϕ e Imϕ. Determinare ME0
ϕ(F ) e M E0
ϕ(E), dove E
0 `e la base canonica di R4.
2) Sia ϕ : Mn(R) → Mn(R) l’applicazione definita da ϕ(A) = A −tA.
a) Dimostrare che ϕ `e un’applicazione lineare. b) Determinare il nucleo e l’immagine di ϕ.
3) Date F = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1)} e G = {(1, 0, −1), (0, 1, 0), (0, 1, 1)} due basi di R3, sia ϕ : R3→ R3
l’omomorfismo tale che
Mϕ(F )G = 1 2 0 0 1 1 −1 0 1 . a) Determinare dimensione e base di Kerϕ e Imϕ.
b) Determinare la matrice Mϕ(E)E , associata a ϕ rispetto alle basi canoniche.
4) Sia ϕλ: R3→ R3 l’applicazione lineare definita da
ϕλ(x, y, z) = (x + y + λz, 2x + 2y, λx + 2λy + 3z)
al variare di λ ∈ R.
a) Dire per quali λ ∈ R risulta ϕλ iniettiva.
b) Dire per quali λ ∈ R risulta dim(Im(ϕλ)) = 2.
5) Sia V = {(x, y, z, t) ∈ R4: x = y, x + y = z + t}.
a) Provare che V `e un R-sottospazio vettoriale di R4 e determinarne la dimensione,
b) Determinare un omomorfismo di spazi vettoriali f : R4→ R4 tale che Kerf = V ,
c) Determinare la matrice che rappresenta f rispetto alle basi canoniche.
6) Sia V = {f (x) ∈ R[x] : grado di f ≤ 4}, e sia W = {f (x) ∈ V : f (1) = 0}. a) Provare che W `e un R-sottospazio vettoriale di V e determinarne la dimensione. b) Esiste un omomorfismo di spazi vettoriali f : V → V tale che Imf = W ?
7) Siano d e n due interi con d ≤ n. Siano K un campo e V un K-sottospazio di Kn di dimensione d. Per quali d e n esiste un omomorfismo di spazi vettoriali f : Kn → Kn tale che V =Kerf =Imf ?
8) Sia λ ∈ R.
a) Provare che esiste un omomorfismo di spazi vettoriali f : R3→ R3 tale che
f (e1) = λe1+ e2, f (e2+ e3) = e3ef (e1+ e2) = e1+ λe2.
b) Per quali λ tale f `e iniettiva?
c) Determinare (f ◦ f )(e1), e scrivere le matrici associate ad f, f2, f3 rispetto alle basi canoniche.
9) Sia f : R3→ R3 l’omomorfismo di R-spazi vettoriali associato alla matrice
1 2 0 0 1 1 −1 0 1
rispetto alle basi {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 1)} e {(1, 0, −1), (0, 1, 0), (0, 1, 1)}, a) Determinare dimensione e base di Kerf e Imf ,
b) Determinare la matrice associata ad f rispetto alle basi canoniche,
c) Determinare, se esiste, un omomorfismo di R-spazi vettoriali g : R3 → R3 tale che Kerg=Imf e
Img=Kerf .
10) Sia Pn il K-spazio vettoriale dei polinomi a coefficenti in un campo K di grado minore o uguale a n.
Sia ϕ : P3→ P4 l’applicazione definita dalla seguente assegnazione ϕ(f (x)) = f (x)(x − 1).
a) Provare che ϕ `e un omomorfismo di spazi vettoriali. b) Determinare il nucleo di ϕ.
c) Determinare Mϕ(F )G dove F = {1, x, x2, x3} e G = {1, x, x2, x3, x4}.
d) Scegliere un’altra coppia di basi F1 e G1 rispettivamente di P3e P4 e determinare Mϕ(FG11).
11) Qual’´e la dimensione di C come R-spazio vettoriale? E la dimensione di R come Q-spazio vettoriale?
12) Sia V = {(x, y) ∈ C2 | x = iy}.
Determinare una base di V su C e una base di V su R.
13) Siano K un campo e V un K-spazio vettoriale finitamente generato e sia n la sua dimensione. Quali delle seguenti affermazioni sono vere?
a) Se W `e un sottospazio di V di dimensione n allora W = V . b) Se W `e un sottospazio di V generato da n vettori allora W = V . c) Se f : V → K `e un applicazione lineare non nulla allora f `e surgettiva. d) Se f : K → V `e un applicazione lineare non nulla allora f `e iniettiva.
e) Se f : V → V e g : V → V sono applicazioni lineari non nulle allora f ◦ g `e non nulla.
h) Se f : V → V `e una applicazione lineare e Imf ∩ Kerf = {0} allora Imf ⊕ Kerf = V.
i) Se f : V → V `e una applicazione lineare e Imf 6⊆ Kerf allora f26= 0.
l) Se F = {v1, . . . , vn} `e una base di V e W `e un suo sottospazio, allora esiste un sottoinsieme di F che
`e base di W .
m) Se F = {v1, . . . , vn} `e una base di V allora per ogni i = 1, . . . , n si ha
dim < v1, . . . , vi>= i.
n) Siano W e U sottospazi di V e siano F e G basi di W e U rispettivamente. Allora F ∩ G `e base di W ∩ U .
o) Se F = {v1, . . . , vn} `e una base di V e G, H sono sottoinsiemi di F allora
< G > ∩ < H >=< G ∩ H > .
p) Siano W e U sottospazi di V . Allora esistono F e G basi di W e U rispettivamente tali che F ∩ G `e base di W ∩ U .
14) Sia f : R3
→ R4 una applicazione tale che f (1, 1, 1) = (1, 0, 0, 0), f (0, 2, 0) = (1, 0, 1, 0) f (0, 1, 1) =
(0, 0, 2, 0) f (1, 1, 0) = (a, b, c, d).
i) Determinare a, b, c, d in modo che le condizioni precedenti determinino in modo univoco una applicazione lineare.
ii) Determinare una base e la dimensione di Imf e di kerf. iii) Determinare g : R4→ R4 non nulla tale che g ◦ f = 0.
15) Sia A = 0 0 1 −1
e sia φ : M2(R) → M2(R) l’applicazione definita da φ(X) = AX.
i) Provare che φ `e una applicazione lineare.
ii) Determinare una base e la dimensione di Imφ e di kerφ.
iii) Determinare un sottospazio W ⊆ M2(R) tale che W ⊕ Kerφ = M2(R).
16) Sia V un k−spazio vettoriale di dimensione d e sia f : V → V una applicazione lineare. Spiegare o confutare (con un controesempio) le seguenti affermazioni:
i) se f2= 0, allora f = 0.
ii) se f `e iniettiva, allora f `e surgettiva. iii) se f2= 0, allora Imf ⊆ Kerf.
iv) se d = 2n e dim Kerf = n, allora Imf = Kerf.
17) Fissata A ∈ M3(R), sia fA : M3(R) → M3(R) l’applicazione definita da
fA(B) = AB − BA.
a) Provare che fA e’ una applicazione lineare.
18) Siano p1(x) = 1 + x, p2(x) = 1 + 2x + x2, p3(x) = x − x2 e
Vn= {p(x) ∈ R[x] : grado p(x) ≤ n}.
a) Dire se p1(x), p2(x), p3(x) formano una base di V2.
b) Determinare W ⊆ V3 tale che < p1(x), p2(x) > ⊕W = V3.
c) Determinare, se esiste, una applicazione f : V3→ V3 tale che Kerf =Imf = W.
19) Sia V = {p(x) ∈ R[x] : grado p(x) ≤ 3} e sia f : V → V l’applicazione definita da f (p(x)) = p0(x).
a) Provare che f `e una applicazione R-lineare. b) Determinare una base e la dimensione di Kerf.
c) Determinare, se esiste, una applicazione g : V → V non nulla tale che f ◦ g = 0. 20) Sia w = (x, y, z) ∈ R3e si consideri l’applicazione φ
w: R3→ R definita da φw(v) = ax + by + cz per
ogni v = (a, b, c) ∈ R3.
a) Provare che φw `e un’applicazione lineare di R−spazi vettoriali.
b) Sia w = (1, 1, 1). Determinare una base e dimensione di Imφw e Kerφw.
c) Determinare una base e dimensione di Imφw e Kerφw per ogni w 6= (0, 0, 0).
21) Data l’applicazione lineare f : R4→ R4 tale che
f (e1+ e2) = e1+ 2e3
f (e1− e2) = e2+ e1
f (e3) = e2+ 2e1
f (e3+ e4) = e3− e1
a) determinare una base e la dimensione di Imf e di Kerf b) determinare MEE(f ) dove E `e la base canonica di R4
c) determinare, se esiste, g : R4→ R4tale che f ◦ g = 0.
22) Sia A =
1 −1
−2 2
e sia φ : M2(R) → M2(R) definita da φ(B) = A B per ogni B ∈ M2(R).
a) Provare che φ `e un’applicazione lineare di R−spazi vettoriali. b) Determinare Kerφ, Imφ e rispettive basi.
c) Determinare Kerφ∩ Imφ. d) Dire se M2(R) ' Kerφ⊕ Imφ.
23) Siano V un k−spazio vettoriale finitamente generato e f ∈ Hom(V, V ). a) Provare che per ogni intero n ≥ 1 si ha
Im (fn+1) ⊆ Im (fn) e Ker (fn) ⊆ Ker (fn+1). b) Provare che per ogni intero n ≥ 1 si ha
