Aplicacions dels grups i àlgebres de Lie a a física de partícules

(1)

Treball final de grau

GRAU DE MATEM `

ATIQUES

APLICACIONS DELS GRUPS I

`

ALGEBRES DE LIE A LA

F´

ISICA DE PART´

ICULES

Marcel Roman´ı Rod´

es

Director: Dr. Toni Gasc´

o

Departament de Matem`

atiques

i Inform`

atica

(2)

Cap als anys 1850-60, vint anys abans que Sophus Lie i Friedrich Engel iniciessin la seva recerca en teoria de grups de Lie, matemàtics com A. Cayley, W. R. Hamilton i J. J. Sylvester van introduir les matrius i els grups de martius pensant que havien inventat quelcom sense cap ús possible per a cient´ıfics naturals. Malgrat això, els grups de Lie han passat a jugar un paper molt important en les teories de la f´ısica moderna, cosa que provoca que ens fem diverses preguntes. Per exemple, com és que els grups de Lie tenen un paper tan fonamental en f´ısica? Per què apareixen tantes vegades? Com podem fer-ne ús?

L’objectiu principal d’aquest treball és l’estudi dels grups i àlgebres de Lie basant-nos en la recerca de matemàtics com Lie, Cartan, Killing i Weyl, per identificar aquelles caracter´ıstiques dels grups que els fan estructuralment diferents i que ens ajudaran a classificar-los.

El segon objectiu és observar com es relacionen els sistemes que estudia la F´ısica amb la teoria de Grups de Lie i veure que es poden obtenir nous resultats gràcies a aquest estudi matemàtic.

Aquesta obra està basada en una recerca bibliogràfica per dur a terme la descripció de la teoria de Grups de Lie, amb el posterior anàlisi teòric-pràctic d’alguns casos concrets.

El primer cap´ıtol del treball és una retrospectiva històrica per posar el lector en situació. Comencem veient què és el Model Estàndard de la F´ısica de Part´ıcules i com sorgeix, seguim amb la història del naixement i consolidació de la teoria de grups com a teoria matemàtica i acabem veient com s’introdueix, durant el segle XX, la formulació de la teoria de grups en diferents àmbits de la ciència.

En el segon cap´ıtol introdu¨ım les definicions de grup de Lie i àlgebra de Lie i estudiem com es relacionen entre ells mitjan¸cant l’aplicació exponencial. A més, n’estudiem els conceptes bàsics, tals com la seva resolubilitat, aix´ı com d’altres que ens seran útils més endavant.

El tercer cap´ıtol utilitza aquests conceptes i propietats per fer una classificació dels grups de Lie mitjan¸cant una simplificació de les seves constants d’estructura, que ens permet veure l’estructura subjacent del grup. Aquesta estructura es representa en diagrames d’arrels i diagrames de Dynkin, l’estudi dels quals ens revelarà res-triccions sobre les possibiles configuracions, limitant l’existència de grups de Lie fonamentalment diferents a un nombre redu¨ıt.

En el quart cap´ıtol definim la representació d’un grup com una aplicació d’un grup abstracte a un grup de matrius. En particular, s’introdueix la representació adjunta d’un grup com aquella que porta les constants d’estructura en la seva forma. En el cinquè cap´ıtol apliquem els conceptes estudiats en el Cap´ıtol 3 per analitzar uns quants grups de Lie en concret.

Finalment, el sisè cap´ıtol mostra alguns exemples de la forma en què apareixen representacions de diferents grups de Lie en f´ısica de part´ıcules, fent evidents alguns tipus de simetries que manifesten l’existència de quantitats conservades.

(3)

Marcel Roman´ı Rod´es

Abstract

Over the 1850-60’s, twenty years before Sophus Lie and Friedrich Engel started their research on Lie group theory, mathematicians such as A. Cayley, W. R. Ha-milton and J. J. Sylvester introduced matrices and matrix groups thinking they had invented something of no possible use for natural scientists. On the contrary, Lie groups have taken an essential role in the theories of modern physics, and many questions have arisen. For example, why do Lie groups have such a fundamental role in physics? Why do they show up so often? How can they be used?

The main objective of this research is to study of Lie groups and Lie algebras, based on the works of mathematicians such as Lie, Cartan, Killing and Weyl, in order to identify those features that make them essentially different and that will help us classify them.

The second objective is to observe how the systems studied by physics are rela-ted to Lie group theory and to see that we can obtain new results thanks to the mathematical approach.

This work is based on a bibliographic research to present a description of Lie group theory, with the posterior practical analysis of some specific cases.

The first chapter is a historical retrospective to introduce the reader to the issue. We start looking at what the Standard Model of Particle Physics is and how it arose, then we follow with the history of the birth and consolidation of group theory as a mathematical theory, and we finish looking at how it was introduced, during the 20th century, the formulation of group theory in different aspects of science. In the second chapter we introduce the definition of Lie groups and Lie algebras and how they relate through the exponential function. Moreover, we study its basic concepts, such as the reducibility, and others which will be of great use afterwards. In the third chapter we apply these concepts and properties to classify of Lie groups using a simplification of the structure constants, which will allow us to see the underlying structure of the group. This structure will be represented with Root diagrams and Dynkin diagrams, which will reveal some constraints on the confi-guration of the possible diagrams, limiting the existence of Lie groups essentially different to a reduced number.

In the fourth chapter we define the representation of a group as a map from an abs-tract group to a matrix group. We specifically introduce the adjoint representation of a group as the one that carries the structure constants in its form.

In the fifth chapter we apply the concepts studied in Chapter 3 in order to analyze some particular Lie groups.

Finally, the sixth chapter shows some examples of the form in which representations of different Lie groups appear in particle physics, evidencing some kind of symmetry that manifests the existence of conserved quantities.

(4)

En primer lloc voldria donar les gràcies al Dr. Toni Gascó, que va ser qui em va proposar un tema pel treball que des del primer moment em va interessar, i m’ha donat consells i suport sempre que ho he necessitat. També voldria agrair la meva fam´ılia i amics pels moments complicats que m’han ajudat a superar.

(5)

Marcel Roman´ı Rod´es

´

_Index

1 Retrospectiva hist`orica 1

1.1 El Model Est`andard . . . 1

1.2 Els principis de la teoria de grups . . . 2

1.3 Introducció de la formulació de teoria de grups a la matemàtica del s. XX . . . 4

2 Introducci´o als grups i `algebres de Lie 6 2.1 Grups de Lie . . . 6

2.1.1 Grups compactes . . . 6

2.1.2 Acci´o d’un grup de Lie sobre si mateix . . . 6

2.1.3 Acci´o d’un grup de Lie sobre una varietat diferenciable _{M .} 7 2.2 Algebres de Lie . . . .` 9

2.2.1 Relaci´o entre G i_{G. Aplicaci´o exponencial . . . .} 10

2.2.2 Sub`algebra de Lie, _{S ⊂ G . . . .} 10

2.2.3 Algebres de Lie simples . . . .` 11

2.2.4 Algebres semisimples . . . .` 12

2.3 Forma de Cartan-Killing i operador de Casimir . . . 12

2.3.1 Forma de Cartan-Killing, Kij . . . 12

2.3.2 Criteri de Cartan . . . 13

2.3.3 Ideal complementari ortogonal . . . 13

2.3.4 Operador de Casimir . . . 15

3 Classificació de les àlgebres de Lie simples 16 3.1 Descomposició de Cartan . . . 16

3.2 Diagrama d’arrels i grup de Weyl . . . 17

3.2.1 Obtenci´o de Nα, β . . . 19

3.3 Arrels primitives i matriu de Cartan . . . 20

3.4 Diagrames de Dynkin. Classificació de les àlgebres de Lie simples . 21 4 Representació dels grups de Lie 22 4.1 Definicions i propietats bàsiques . . . 22

4.2 Representacions unit`aries . . . 23

(6)

4.3.1 Descomposici´o de la representaci´o d’un grup en

representaci-ons irreductibles . . . 23

4.3.2 Lema de Schur . . . 24

4.4 Representaci´o adjunta . . . 25

4.5 Representacions cont´ınues . . . 25

5 An`alisi d’algunes `algebres 26 5.1 SU(2) . . . 26

5.2 SU(3) . . . 27

5.3 G2 . . . 28

6 Grups de Lie presents a la f´ısica de part´ıcules 32 6.1 SU(2) i moment angular . . . 32

6.1.1 Esp´ın . . . 34

6.1.2 Isosp´ın . . . 34

6.2 Gell-Mann SU(3): simetria de sabor . . . 35

6.3 De SU(3) a SU(6) . . . 37

6.4 Teories gauge . . . 37

6.4.1 U(1) i l’electromagnetisme . . . 38

6.4.2 SU(3) i cromodin`amica qu`antica . . . 39

Conclusions 41

(7)

1 Retrospectiva hist`

orica

1.1 El Model Est`

andard

De què està fet tot el que ens envolta, inclosos nosaltres mateixos, i què constitueix la matèria? A principis del segle XIX, John Dalton, Amadeo Avogadro i d’altres van proposar l’existència dels àtoms i les molècules com a unitats bàsiques que formen tota la matèria. Encara que posteriorment es va veure que aquesta assumpció no era correcte, s’han anat fent grans descobriments un rere l’altre que ens han portat fins on som ara. Per exemple, Joseph John Thompson va descobrir l’electró el 1897, Ernst Rutherford el nucli de l’àtom el 1911, James Chadwick el neutró el 1932. Més recentment, el 2012 es va trobar el bosó de Higgs (l’última “gran” predicció del Model Estàndard) mitjan¸cant experiments a l’LHC (Large Hadron Collider ) constru¨ıt per la Organització Europea per la Recerca Nuclear, conegut com CERN. En aquest sentit, els humans hem anat obtenint un major i més profund coneixement per respondre l’eterna pregunta “Què és la matèria”, i actualment el Model Estàndard de la f´ısica de part´ıcules ens dóna la següent resposta:

La matèria està formada a partir de part´ıcules fonamentals anomenades quarks i leptons. Les forces (interaccions) fonamentals entre aquestes part´ıcules, com la for¸ca electromagnètica, la for¸ca dèbil i la for¸ca forta, es transmeten mitjan¸cant part´ıcules que intercanvien for¸ca i càrrega, anomenades bosons, i algunes part´ıcules adquireixen massa mitjan¸cant l’anomenat

mecanisme de Higgs.

Però... com hem arribat fins aqu´ı? El primer pas cap al Model Estàndard el va donar Sheldon Glashow el 1961 trobant la manera de combinar les interaccions electromagnètica i feble. El 1967 Steven Weinberg i Abdus Salam van incorporar el mecanisme de Higgs a la Teoria Electrodèbil de Glashow, donant-li la forma que té actualment. S’entén aquest mecanisme com l’encarregat de dotar de massa les part´ıcules elementals del Model Estàndard. Això inclou la massa dels bosons W± i Z0, i la massa dels fermions, i.e. dels quarks i leptons.

Amb el descobriment en el CERN el 1973 dels anomenats corrents neutres (inter-canvi de part´ıcules Z0), la Teoria Electrodèbil va ser àmpliament acceptda i va donar a Glashow, Salam i Weinberg el Premi Nobel de F´ısica de 1979. Els bosons W± i Z0 van ser descoberts experimentalment el 1983 i la relació entre les seves masses va coincidir perfectament amb la predicció del Model Estàndard.

La teoria de la interacció forta (i.e. Cromodinàmica Quàntica, QCD) va adquirir la seva forma actual dins el Model Estàndard el 1973-74, en proposar-se la llibertat asimptòtica (un aspecte que va posar la QCD al focus principal de recerca teòrica). Els experiments van confirmar que les part´ıcules de l’univers estan formades per quarks.

(8)

1.2 Els principis de la teoria de grups

Els or´ıgens de la teoria de grups, encara que de forma a¨ıllada, els trobem a finals del s.XVIII amb els treballs de Lagrange sobre àlgebra clàssica. El creixement més gran de la teoria, però, el trobem durant el s.XIX. Els aspectes matemàtics que van impulsar aquesta evolució van ser: un major interès pel rigor matemàtic, l’aparició del concepte d’abstracte, el naixement del mètode axiomàtic i la visió de les matemàtiques com a activitat humana, possible sense la motivació de fenòmens f´ısics.

Fins el s.XVIII, l’àlgebra consistia en l’estudi de les solucions d’equacions polino-mials. El s.XX, però, l’àlgebra es va convertir en l’estudi dels sistemes abstractes i axiomàtics. La transició des de l’anomenada àlgebra clàssica d’equacions poli-nomials a l’àlgebra moderna de sistemes axiomàtics va tenir lloc durant el s.XIX. Addicionalment a la teoria de grups, i de forma paral_{·lela, van aparèixer les} estruc-tures d’espais vectorials, cossos i anells.

Podem diferenciar cinc etapes en el proc´es d’evoluci´o de la teoria de grups.

• Fonts de la teoria de grups. Com ja hem dit, l’origen de la teoria de grups el trobem en el text d’àlgebra clàssica Réflexions sur la résolution algébraique des équations (J. L. Lagrange, 1770), en què es tracten les equacions polinomi-als i apareixen les qüestions teòriques sobre l’existència i naturalesa d’arrels. Més endavant, apareixen les Disquisitiones Arithmeticae (C. F. Gauss, 1801), considerades l’inici de la teoria de grups finits abelians. De fet, Gauss va establir moltes propietats d’aquests grups sense utilitzar la terminologia de la teoria de grups.

El 1872, Felix Klein, en la seva conferència A Comparative Review of Recent Researches in Geometry, pretén classificar la geometria com l’estudi dels in-variants sota grups de transformacions. Apareixen grups com el projectiu, el grup de les rotacions r´ıgides, l’hiperbòlic, etc., aix´ı com les geometries que s’hi associen. Finalment, en la seva recerca d’anàlisi, Sophus Lie introdueix la seva teoria de grups de transformacions, actualment anomenats grups de Lie.

• Especialització dels grups. Les diverses fonts que acabem d’esmentar van portar al desenvolupament de teories més especialitzades. L’àlgebra clàssica va conduir a la teoria dels grups de permutació i la teoria de nombres, a la teoria de grups abelians. Finalment, la geometria i l’anàlisi van portar a la teoria de grups de transformacions.

• El concepte d’abstracte. El punt de vista abstracte en teoria de grups va anar emergint poc a poc, i és que van caldre prop de cent anys des dels treballs de Lagrange per tal que aquest concepte evolucionés. Com escrivia E. T. Bell, el procés va passar per diferents etapes fins assolir aquesta abstracció i axiomatització: primer va aparèixer el “fenomen a¨ıllat” (e.g. permutacions, arrels de la unitat); després, el reconeixement de caracter´ıstiques comunes, com el concepte de grup finit, que comprenia tant els grups finits abelians com el de permutacions; posteriorment, la cerca d’altres casos, com el del

(9)

1.2 Els principis de la teoria de grups

grup de transformacions; i, finalment, la formulaci´o de postulats sobre grups, incloent-hi tant el cas finit com l’infinit.

El 1854 Cayley, en el text On the theory of groups, as depending on the sym-bolic equation θn = 1, va donar la primera definició abstracta d’un grup finit. Aquesta definició és la següent:

Un conjunt de s´ımbols 1, α, β, . . . tots ells diferents, i tals que el producte de dos qualssevol (sense importar l’ordre), o el producte d’un amb ell mateix, pertany al conjunt, es diu que ´es un grup.

Aleshores Cayley va presentar diversos exemples de grups, com els quaterni-ons, les matrius invertibles, etc. Sembla que coneixia el concepte de grups isomorfs, per`o no en va fer una definici´o expl´ıcita. Tanmateix, va introduir la taula multiplicativa d’un grup finit i va concloure que un grup abstracte venia determinat per la seva taula multiplicativa.

Malgrat els recels d’alguns matemàtics, com Felix Klein, que pensava que, si bé la formulació abstracta era excel_{·lent per fer demostracions, no ajudava} a trobar nous conceptes i mètodes, la comunitat matemàtica de principis de la dècada de 1880 va estar molt receptiva a les formulacions abstractes pels següents motius: per llavors hi havia moltes teories sobre grups particulars (de permutacions, abelians, transformacions continues, etc) i en necessita-ven abstreure les caracter´ıstiques fonamentals; per altra banda, els grups van prendre un rol central en diversos camps de les matemàtiques, i el punt de vista abstracte clarificava allò essencial i obria les portes a altres aplicaci-ons; finalment, el tracte formal, ajudat per la incursió a les matemàtiques de la teoria de conjunts i la lògica matemàtica, s’estenia a altres camps de les matemàtiques.

• Consolidació del concepte de grup abstracte. Malgrat que cap a les dècades de 1880-90 encara apareixien nombrosos articles en les àrees de grups de permutacions i transformacions, el concepte de grup abstracte es va esten-dre molt ràpidament. Aquest punt de vista es manifestava en dues formes:

1. Els conceptes i resultats introdu¨ıts i demostrats en l’`ambit de grups par-ticulars eren reformulats i redemostrats de manera abstracte.

2. Van comen¸car a apar`eixer estudis originats i basats en el marc abstracte.

• Divergència dels desenvolupaments en la teoria de grups. La teoria de grups va evolucionar a partir de diferents fonts, donant lloc a diverses teories particulars. Aquestes teories es van desenvolupar de manera independent, durant més de cent anys (comen¸cant el 1770), abans de convergir (a principis 1880) en el concepte de grup abstracte. La teoria de grups abstractes va emergir i es va consolidar en els següents trenta o quaranta anys. Al final d’aquest per´ıode (prop de 1920) es pot observar la divergència de la teoria de grups en diverses “teories” diferents. Uns exemples són: la teoria de grups finits, l’extensió de certs resultats de grups finits a infinits, la representació

(10)

de grups, la teoria de grups infinits abelians, la teoria d’extensions de grups de Schreier, els grups algebraics i els grups topol`ogics.

1.3 Introducci´

o de la formulaci´

o de teoria de grups a la

matem`

atica del s. XX

Durant els anys trenta del segle passat, neix a Fran¸ca el col_{·lectiu Nicolas Bourbaki,} format per matemàtics francesos tals com André Weyl, Henri Cartan o Armand Borel. Aquests noms propis, que tant ens sonen per les seves contribucions a la matemàtica que fonamenta la f´ısica actual, van formar part d’una tasca col_·lectiva de dimensions titàniques. Éléments de mathématique (Paris, 1939) va ser la primera obra del grup, que emprenia una reformulació de les matemàtiques buscant precisió en la notació, l’axiomatització dels raonaments i la màxima generalització possible en els resultats. A més, l’obra havia de ser universal, des de les idees més simples als raonaments més complicats, i havia de ser didàctica i útil per a l’estudiant (molts dels integrants del jove grup eren o havien estat estudiants recentment). La idea era substituir els antics volums clàssics d’anàlisi per una obra precisa, n´ıtida i ben fonamentada.

Aquesta reformulació es va fer en termes de la teoria de conjunts, donat que era considerada la forma més fonamental i general d’expressar conceptes matemàtics bàsics. La redacció de cada paràgraf s’acordava en caòtiques, llargues i, de vega-des, acalorades discussions entre els membres del grup durant les seves reunions periòdiques. Tots els llibres i resultats es publicaven (i es publiquen) signats per Nicolas Bourbaki, membre de la Reial Acadèmia de Poldevia, personatge inventat per André Weyl. Els resultats dels Bourbaki van ser reconeguts i utilitzats a partir dels anys 50 amb notables aportacions. No obstant els seus èxits, la Segona Guerra Mundial, juntament amb les picabaralles internes i el fracàs a l’hora d’utilitzar la teoria de les categories (una teoria més general que la teoria de conjunts, apareguda els anys 50) van portar a la decadència de Nicolas Bourbaki.

Un espectador privilegiat (i, de vegades, tutor) dels inicis de la societat Bourbaki va ser ´Elie Cartan (1893-1947), pare d’Henri Cartan, qui es va dedicar a estudiar els grups de Lie introduint elements de la geometria diferencial tals com les formes o la derivada exterior (operador introdu¨ıt per ell mateix). Curiosament, la labor de Cartan pare tamb´e va consistir en recopilar, ordenar i reformular els treballs dels seus predecessors, F. Engel i W. Killing.

La teoria de grups, situada en l’escala de teories generals un nivell per sota de la teoria de conjunts, indaga en les propietats dels grups, en les seves relacions i en les seves representacions (formes en les quals es pot presentar una estructura lligada isomòrficament al grup i que conserva les seves propietats fonamentals). L’objectiu d’aquesta teoria és, prenent com a punt de partida un grup definit amb unes certes propietats, tractar de derivar-ne tots els resultats possibles. Es tracta de pura entelèquia, aqu´ı rau el seu poder d’atracció.

La història de la matemàtica ens ha deixat un degoteig de contribucions molt dis-perses en aquesta disciplina. El treball de recopilació, rigorós i sistemàtic, que s’ha

(11)

1.3 Introducció de la formulació de teoria de grups a la matemàtica del s. XX

dut a terme des de la segona meitat del segle XIX, ha dibuixat un marc on con-viuen àlgebra, geometria i anàlisi. Els grups de Lie es troben entre els temes més complexos i intricats de la matemàtica, en la intersecció entre el món continu de la topologia i el món discret de l’àlgebra.

Per explorar les seves estructures s’utilitzen espais vectorials, matrius, diagrames, classificacions,... en definitiva, un munt de joguines que per a un matemàtic resulten atractives gràcies a la seva simplicitat i elegància i pel fet que permeten operativitat. No obstant, aquest (gairebé) divertiment matemàtic va donar resultats de gran rellevància per a la f´ısica moderna en el moment que es va connectar amb les simetries que, per la teoria de Emmy Noether, estan relacionades amb les quantitats conservades i la resolubilitat de les equacions dinàmiques.

Entre d’altres esdeveniments destacats, la teoria de grups va rebre mirades de tot-hom quan Murray Gell-Mann el 1961 i George Zweig el 1963 van revisar les teories de Sakata sobre els constituents elementals de la matèria i tots dos, en simbiosi, van dissenyar el marc per una formulació teòrica de les part´ıcules elementals. Les part´ıcules s’ordenaven en una taula periòdica dels elements amb forma de grup SU (3), cosa que va servir a Gell-Mann per predir l’existència de la part´ıcula Ω−. Tots dos van rebre el premi Nobel de f´ısica de 1977. Resulta, com a m´ınim, curiós que les part´ıcules elementals, les unitats fonamentals que conformen l’univers, es puguin ordenar segons una entelèquia.

(12)

2 Introducci´

o als grups i `

algebres de Lie

2.1 Grups de Lie

Un grup de Lie és una varietat diferenciable de dimensió n, real o complexa (encara que en aquest text només considerarem el cas real), amb una acció entre els seus elements que compleix les propietats de grup: associativa, existència de l’element invers i existència de l’element neutre.

Els grups de Lie són grups topològicament euclidians, és a dir, es pot descriure qualsevol element proper al de referència amb un nombre finit de paràmetres reals i continus. El nombre de paràmetres, n, necessaris per parametritzar un element del grup s’anomena ordre del grup. En general, els grups “r´ıgids” de la f´ısica - rotacions, grup de Lorentz, ... - són grups de Lie.

La varietat est`a relacionada per l’homomorfisme g amb un espai de par`ametres que assigna una n_{−tupla a cada element del grup: g(a) = g(a}1, . . . , an)∈ G. L’element

g(0) = g(0, . . . , 0) = e (neutre) es pren com l’origen de refer`encia.

g : Rn −→ G a _{7−→ g(a)} 2.1.1 Grups compactes

Un concepte que serà molt necessari a tenir en compte serà el de compacitat. Es diu que un espai topològic és compacte si qualsevol recobriment (reunió d’oberts que en contenen tots els punts) té un subrecobriment finit. En particular, si la topologia de l’espai és indu¨ıda per una mètrica (com veurem en el cas dels grups de Lie amb Kij), és suficient que l’espai sigui tancat i acotat. Una altra noció més feble però

molt important serà la de compacitat local, i un espai és localment compacte si qualsevol entorn d’un punt té un subentorn compacte. Els grups de Lie,que són localment euclidians, són localment compactes però no necessàriament compactes.

2.1.2 Acci´o d’un grup de Lie sobre si mateix

L’acci´_{o entre dos elements d’un grup ve donada pel difeomorfisme φ : R}n_×Rn_{→ R}n anomenat funci´o d’estructura, i ´es tal que

g(a)_{·g(b) = g(φ(a, b)) = g(c) ∈ G g(a), g(b) ∈ G} (2.1) i, donat que la varietat ´es localment euclidiana (G_|e ∼= Rn), escriurem

(13)

2.1 Grups de Lie

Segons les propietats dels grups, la funci´o d’estructura φ ha de complir:

1. Propietat associativa: φ(a, φ(b, c)) = φ(φ(a, b), c),

2. Existència de l’element invers: φ(a, x) = φ(y, a) = 0 té solució i, a més, x = y,

3. Exist`encia de l’element neutre: φ(a, 0) = φ(0, a) = a.

Seguint amb el que hem dit fins ara, g(a)g(b) es pot interpretar com l’acció g(a) sobre g(b) per l’esquerra o a l’inrevés, l’acció de g(b) sobre g(a)per la dreta. En el primer cas, desenvolupem en sèrie de Taylor fins a primer ordre l’acció infinitesimal a la funció d’estructura

φ(δa, b) = b +∂φ(a,b)_∂a _|_eδa

g(δa)g(b) = g(φ(δa, b)) = g(b + δb) δb = ∂φ(a, b) ∂a |eδa→ δb j ₌ ∂φj(a, b) ∂ai |eδa i_. Sigui F (g(b + δb)) = F (g(b)) +∂F (g(b)) ∂b |eδb = = 1 + δb ∂ ∂b (F _{◦ g)(b) =} = 1 + δai∂φ j_{(a, b)} ∂ai |e ∂ ∂bj (F _{◦ g)(b).}

Sota aquestes condicions de localitat al voltant de e podem definir, explicitant les components, els generadors infinitesimals per l’esquerra

X_(i)L = ∂φ

j_{(a, b)}

∂ai

∂ ∂bj,

i an`alogament definim els generadors infinitesimals per la dreta

X_(j)R = ∂φ

i_{(a, b)}

∂bj

∂ ∂ai.

2.1.3 Acci´o d’un grup de Lie sobre una varietat diferenciable _M

Sigui_{M una varietat diferenciable de dimensi´o m parametritzada per la carta local} (R, x) de manera que x = x(α) amb α∈ Rm _{i x l’homomorfisme}

x : Rm −→ M α_{7−→ x(α).}

Sigui el difeomorfisme (an`aleg a la funci´_{o φ) ϕ : R}n_{× R}m _{→ R}m. Es defineix l’acci´o de G sobre _{M com}

(14)

amb el qual l’aplicaci´o infinitesimal ve donada per

g(δa)x(α) = x(ϕ(δa, α)) = x(α + δα) amb δα = ∂ϕ(a, α) ∂a |eδa.

Ens interessa conèixer el comportament d’una variació infinitesimal sobre una funció F :_{M → R} F (x(α + δα)) = F (x(α)) + ∂F (x(α)) ∂α |eδα = 1 + δa∂ϕ(a, α) ∂a |e ∂ ∂α (F _{◦ x)(α)} i explicitant les components podem definir el generador infinitesimal

X(i) =

∂ϕj(a, α) ∂ai |e

∂ ∂αj.

Donat que el càlcul és local, el resultat és independent de l’element del grup de Lie escollit. L’acció de g(a) es pot veure com un despla¸cament de l’element e que provoca un canvi en la parametrització d’un element x(α) _{∈ M.}

Els generadors infinitesimals, dels quals existeix un per cada component de l’espai de paràmetres, es poden interpretar com vectors definits sobre l’espai tangent de la varietat_{M en el punt x(α), T}x(α)M. Aquest espai tangent és de dimensió m i per

tant els generadors tamb´e. En definitiva, hi ha n generadors de dimensi´o m. ´

Es interessant saber com es comporten dos generadors actuant un despr´es de l’altre. Expl´ıcitament tenim que

g(δa)F (x(α)) = (1 + δaiX(i))(F (x(α)) g(δa) = 1 + δaiX(i)

i aplicant-hi tot seguit g(δb) obtenim

g(δb)g(δa)F (x(α)) =g(δb)(F _{◦ x) + δ(F ◦ x)(α) =} =g(δb) (F _{◦ x)(α) + δa}i∂ϕ k_{(a, α)} ∂ai |e ∂(F _{◦ x)} ∂αk (α) = =(F _{◦ x)(α) + δb}j∂ϕ s_{(a, α)} ∂bj |e ∂(F _{◦ x)} ∂αs (α)+ +δai∂ϕ k_{(a, α)} ∂ai |e ∂(F _{◦ x)} ∂αk (α) + δb j_δai∂2ϕk(b, ϕ(a, α)) ∂bj_∂ai |e ∂(F _{◦ x)} ∂αk (α).

La segona acci´o, g(δb) actua sobre δ(F_{◦ x) i es pot aplicar la propietat associativa:} ϕk(b, ϕ(a, α)) = ϕk(ϕ(b, a), α) = ϕk(φ(b, a), α) de manera que obtenim

= 1 + δbj∂ϕ s_{(a, α)} ∂bj |e ∂ ∂αs + δa i∂ϕk(a, α) ∂ai |e ∂ ∂αk+ +δbjδai∂ 2_ϕk_{(φ(b, a), α))} ∂bj_∂ai |e ∂ ∂αk [F _{◦ x](α) =} = 1 + δbj∂ϕ s_{(a, α)} ∂bj |e ∂ ∂αs + δa i∂ϕk(a, α) ∂ai |e ∂ ∂αk+ +δbjδai∂ϕ k_{(φ(b, a), α))} ∂φm_{(b, a)} |e ∂2φm(b, a) ∂bj_∂ai |e ∂ ∂αk [F _{◦ x](α) =} =1 + δbjXj+ δaiXi+ δbjδaifjimXm [F ◦ x](α),

(15)

2.2 Algebres de Lie`

i, an`alogament

g(δa)g(δb)(F _{◦ x)(α) = [1 + δa}iXi+ δbjXj + δaiδbjfijmXm][F ◦ x](α).

Per tant, per una banda tenim que

g(δa)g(δb)_{− g(δb)g(δa) = δa}iδbj(f_ijm_{− f}_jim)Xm

i per l’altra

g(δa)g(δb)_{− g(δb)g(δa) = (1 + δa}iX_i)(1 + δbjX_j)_{− (1 + δb}jX_j)(1 + δaiX_i) = δaiδbj[Xi, Xj].

´

Es a dir,

[Xi, Xj] = (fijm− fjim)Xm ≡ CijmXm,

essent C_ijm les anomenades constants d’estructura.

Analitzar l’acció entre els elements del grup equival a analitzar les relacions dels generadors a través del commutador i, en definitiva, això equival a conèixer les constants d’estructura C_ijm. Una caracter´ıstica fonamental d’aquestes constants (heretada de la funció d’estructura) és que el seu valor no depèn del punt escollit sempre que ens moguem al voltant de l’origen. Les constants d’estructura són invariants, una propietat intr´ınseca del sistema i, per tant, poden definir-lo. El nombre de constants d’estructura és n3. Sembla més fàcil abordar l’acció entre els elements d’un grup de Lie des d’aquest punt de vista.

2.2 Algebres de Lie

`

Com acabem de veure, l’estudi de l’estructura local dels grups de Lie pot ser redu¨ıt a l’estudi dels elements d’un conjunt finit, les constants d’estructura, C_ijk. Els operadors infinitesimals, Xi, s´on vectors d’un espai vectorialG de dimensi´o n tancat

amb l’operador [_{·, ·]:}

[X_i, X_j] = (f_ijm_{− f}_jim)X_m _{≡ C}_ijmX_m

que compleix, a m´es de les ja conegudes per aquest operador, les seg¨uents propietats:

1. Antisimetria: C_ijk=_−C_jik

2. Identitat de Jacobi per a les constants: C_lskC_ijs+ C_iskC_jls+ C_jskC_lis = 0

amb les quals es dota _{G d’una estructura d’`algebra i s’anomena `algebra de Lie.} Amb aquestes propietats el nombre de constants d’estructura es redueix de n3 a

1

(16)

2.2.1 Relació entre G i _{G. Aplicació exponencial} Si es defineix l’acció infinitesimal per components

g(δlk) = lim t→inf 1 + g k l t

s’interpreta l’acció completa gl com la repetició infinita de l’acció g(δl):

gl = lim t→inf(1 + δl k_X k)t= lim t→inf 1 + g k lXk t t = exp(g_lkXk)

L’aplicació exponencial, exp : _{G → G, relaciona elements de l’àlgebra amb} ele-ments del grup. Més concretament, els tres Teoremes de Lie [5] ens nodreixen d’un mecanisme per construir l’àlgebra de Lie associada a qualsevol grup de Lie:

g_mi Xi ∈ G ←→ exp(gmi Xi) ∈ G.

Proposici´o 2.1. Sigui _{X₁, . . . , X_n_{} una base de G, llavors existeix un obert U(0)} de_{G tal que g}i_mXi ⊂ U(0) i un obert de G, V (e), tal que exp(gmi Xi)⊂ V (e). Aquesta

correspondència entre oberts al voltant de l’element trivial es pot fer aix´ı perquè els generadors no depenen dels elements g_m _{∈ G, x}_n _{∈ M escollits. El difeomorfisme} local exp defineix una cart local en V (e) que determina les coordenades canòniques dels elements gm ∈ G respecte la base {X1, . . . , Xn}, en particular,

g₀ = e = (0, . . . , 0) = exp(g₀iX_i) = exp(X₀) = exp(0) = I.

En altres paraules, l’aplicació exponencial trasllada l’estructura de l’àlgebra al grup i ens permet assignar coordenades als elements de l’entorn euclidià de l’element unitat.

Per tant, qualsevol element gm = (g1m, . . . , gmn)⊂ B(e, δ) ⊂ G | ∀ 0 ≤ δ ≤ porta a

la definició de n generadors infinitesimals que, a més, són linealment independents perquè cadascun depèn de la variació de gm en una direcció. Sembla molt raonable

agafar com a base de G aquests n generadors infinitesimals _{Xi}i=1,...,n.

Si el grup ´es compacte, els oberts V i U es poden estendre a tot el grup i `algebra.

2.2.2 Sub`algebra de Lie, _{S ⊂ G}

Una subàlgebra de Lie _{S és un subconjunt d’elements d’una àlgebra de Lie, G ⊇ S,} tals que [S, S0]_{∈ S per a S, S}0 _{∈ S qualssevol. Donat que les àlgebres admeten ser} tractades com espais vectorials, les subàlgebres podes ser descrites com subespais vectorials.

Un subconjunt d’elements de G és un subgrup H _{⊆ G si, i només si, h · h}0 _{∈ H per} a qualssevol h, h0 _{∈ H. Un subgrup és normal o invariant si, i només si, h · g ∈ H} per a qualssevol h_{∈ H, g ∈ G.}

Una subàlgebra de Lie, _{S ⊆ G, és ideal si, i només si, [X, S] ∈ S per a qualssevol} X _{∈ G, S ∈ S.}

(17)

2.2 Algebres de Lie`

Anem a veure on van a parar els elements de G propers a l’element identitat quan fem el commutador dels elements del grup, segons si G és abelià o no abelià. Tenim g₁ = exp(X) = exp(g₁iX_i), g₂ = exp(Y ) = (gj₂X_j), llavors:

• Si G no ´es abeli`a

g1 ' 1 + X, g1−1' 1 − X, g2 ' 1 + Y, g2−1 ' 1 − Y,

g3 ≡ g1· g2· g1−1· g2−1 ' 1 + [X, Y ] ' exp([X, Y ]) = exp(Z) = exp(g3kXk)

• Si G és abelià, per definició

g1g2 = g2g1 ⇒ g3 ≡ g1g2g1−1g2−1 = 1⇒ [X, Y ] = 0

Aquest resultat defineix el commutador G i mostra la relaci´o

g3 ≡ g1g2g1−1g2−1 ∈ G ⇔ [X, Y ] = Z = g3iXi ∈ G

´

Es a dir, el producte de dos elements de l’àlgebra que commuten és l’element nul. En cap´ıtols posteriors veurem quina interpretació d’aquest fet ens dóna la F´ısica.

2.2.3 Algebres de Lie simples`

Una àlgebra de Lie, _{G, és simple si [G, G] 6= 0 i no té més ideals, S, que els trivials} (e i_G).

Definim l’ideal derivat com

G(n) = [_G(n−1),_G(n−1)] n = 0, 1, 2, . . . amb _{G ≡ G}(0) _{⊇ G}(1) _{⊇ G}(2) _{⊇ · · ·} Per les propietats de les àlgebres, tot element de _G(n) el trobem en _G(n−1), però no és segur que tot element de_G(n−1) es pugui generar mitjan¸cant el commutador. _G(n) és una àlgebra ideal de _G(n−1).

Direm que _{G ´es resoluble si ∃n tal que G}(n) = 0. Per contra, _{G ser`a no resoluble si} ∃n tal que G(n−1) ₌_G(n)_{. Hi ha dues conseq¨}_u`_{encies d’aquestes definicions:}

• G abeliana ⇒ G resoluble • G simple ⇒ G no resoluble

La primera implició és evident. La segona implicació mostra que una àlgebra no abeliana necessàriament ha de tenir ideals per ser resoluble.

Teorema 2.2. S’anomena radical de _{G, RadG, a l’ideal resoluble maximal de G.} Aleshores

Rad_{G = {S ⊆ G | S ´es ideal + resoluble}}

Corol·lari 2.3. L’existència d’una àlgebra ideal resoluble maximal inclou l’existència d’una àlgebra ideal abeliana maximal.

(18)

2.2.4 Algebres semisimples`

Una `algebra de Lie es diu semisimple si no t´e ideals resolubles, i aleshores

G simple ⇒ G semisimple.

Sigui_{G una àlgebra de Lie no resoluble, G 6= RadG, llavors} _RadG_G és semisimple. Això ens porta a que tota àlgebra de Lie es pot descompondre en una àlgebra semisimple i l’ideal resoluble maximal, que és un bon principi per estudiar la descomposició d’àlgebres.

2.3 Forma de Cartan-Killing i operador de Casimir

2.3.1 Forma de Cartan-Killing, Kij

Davant la gran varietat d’espais vectorials (àlgebres de Lie) amb què ens podem trobar, necessitem un mecanisme per distingir-los, i aquest serà la mètrica o forma de Cartan-Killing. Donat que es tracta d’una propietat intr´ınseca de l’àlgebra, és convenient que estigui definida per les constants d’estructura, o equivalentment, per la representació adjunta:

Definici´o 2.4. Sent _{Xi}i una base de G amb Xi = (0, . . .(i, 1, . . . , 0), s’anomena

representació adjunta del vector de la base X_i _{∈ G a la matriu ad(X}_i) que té com a components les constants d’estructura donades per l’acció

ad(Xi)Xj =        C_i11 _{· · ·} C_in1 .. . . .. ... C_i1n _{· · ·} C_inn               0 .. .(j 1 .. . 0        =        C_ij1 .. . C_ijn        m [Xi, Xj] = CijkXk

La forma de la matriu caracteritza si el generador pertany a un determinat tipus de sub`algebra, i viceversa:

• Si Xi forma part d’una sub`algebra abeliana, les columnes corresponents als

altres generadors de la sub`algebra s´on nul_·les.

• SI Xi forma part d’una sub`algebra ideal, les files corresponents als generadors

que no formen part de la sub`algebra s´on nul_·les.

• Si Xi forma part d’una sub`algebra ideal abeliana, la matriu queda redu¨ıda a

una sola caixa corresponent amb la interacció amb els generadors que no són de l’àlgebra i donant components només amb generadors de la subàlgebra.

(19)

2.3 Forma de Cartan-Killing i operador de Casimir

La forma de Cartan-Killing ´es un tensor d’ordre 2 amb elements Kij definit sobre

una `algebra_{G com}

K : _{G × G → R} amb Kij = K(Xi, Xj) = T r[ad(Xi)ad(Xj)] = CimkCjkm.

Per veure-ho, prenem l’acci´o de ad(X_i)ad(X_j) sobre un element de la base de l’`algebra: ad(Xi)ad(Xj)Xk = [Xi, [Xj, Xk]] = [Xi, CjkmXm] = CimnCjkmXn.

Pren-dre la tra¸ca equival a fer k = n, de manera que obtenim

K_ij = T r[ad(X_i)ad(X_j)] = C_imkC_jkm = C_jkmC_imk = K_ji

La m`etrica de Cartan-Killing pot servir per baixar els ´ındexs segons Ckij = KklCijl,

i és fàcil veure, gràcies a la identitat de Jacobi, que aquestes constants d’estructura són antisimètriques en tots els ´ındexs, no només i i j.

2.3.2 Criteri de Cartan

El criteri de Cartan distingeix les `algebres _{G semisimples de les no semisimples} segons la seva forma de Cartan-Killing Kij.

Proposici´o 2.5. Criteri de Cartan

semisimple _{⇐⇒ ||K|| 6= 0} m

nosemisimple _{⇐⇒ ||K|| = 0.} En podem trobar una demostraci´o a [5].

Com hem dit, el criteri de Cartan ens permet descompondre una àlgebra arbitrària en les seves components: la subàlgebra ideal resoluble maximal i la subàlgebra semisimple. Una àlgebra no semisimple arbitrària té l’estructura de suma directa

nss = ss_{⊕ r} on ss= semisimple, r = radical i es compleix que

[ss, ss] = ss [ss, r]_{⊆ r}

[r, r] = r(1) i r(1) _{⊆ n ⊆ r}

on n és la subàlgebra nilpotent maximal de r. Si r és nilpotent, aleshores r = n.

2.3.3 Ideal complementari ortogonal

La m`etrica Kij es pot utilitzar per definir un producte escalar (possiblement

(20)

per una combinaci´o lineal de vectors de la base _{Xi}i=1...n, escrivim Z = giXi,

Y = g0jXj, gi, g0j ∈ G. Aleshores

[Z, Xj] = giCijkXk= CZjkZk =⇒ KZj ≡ CZskCjks = giKij

i podem definir el producte escalar entre dos elements de l’`algebra de Lie com

(Z, Y ) = KZY ≡ CZskCY ks = gig0jKij.

Finalment, gr`acies a la completa antisimetria dels Cijk el producte escalar complir`a

la relaci´o c´ıclica seg¨uent:

(X, [Y, Z]) = (Y, [Z, X]) = (Z, [X, Y ]) (= Cijkgig0jg00k). (2.2)

Ara podem utilitzar aquesta propietat per demostrar que una `algebra semisimple es pot descompondre en suma directa d’`algebres simples.

Proposició 2.6. Sigui_{G una àlgebra de Lie semisimple i sigui G}₁ _{⊆ G una subàlgebra} ideal de m´ınima dimensió no trivial tal que es pugui considerar simple. Es defineix GC com l’ideal complementari ortogonal de G1 com

GC ={X ∈ G | KXY = 0∀Y ∈ G1}.

Aleshores _{∀X ∈ G es pot escriure com a suma d’elements de G}1 i GC.

Demostració. Primer de tot, _GC és una subàlgebra ideal ja que ([GC,G], G1) (2.2)

= ([_{G, G}1],GC) = (G1,GC) = 0 perqu`e s´on complementaris. Aleshores [GC,G] ∈ GC,

i.e.,_GC és ideal. A més [G1∩ GC,G] ∈ (G1∩ GC) per ser ideals, i per tantG1∩ GC és

un ideal inclòs en _G1, però això no potser donat que G1 és simple per hipòtesi. És

a dir _G1∩ GC =∅.

Veiem que [_G1,GC] ´es ortogonal a tots els elements de l’`algebra: (G1, [G1,GC]) (2.2)

= (_G_C, [_G₁,_G₁]) = (_G_C,_G₁) = 0 i (_G_C, [_G₁,_G_C]) = (_G_C,_G₁) = 0, ja que _G₁ ´es una sub`algebra invariant.

Com que Kij és no degenerada, [G1,GC] = 0. Això significa que tota subàlgebra

ideal commuta amb el seu complementari i, per tant, es pot descompondre en suma directa com

G = G1+GC.

Teorema 2.7. _{G és semisimple si, i només si, es pot descompondre en suma directa} de subàlgebres ideals simple_G_i,

G = G1⊕ G2⊕ · · · ⊕ Gk.

Demostració. Si _{G és simple, compleix el teorema. Sigui, doncs, G no simple (però} s´ı semisimple) i sigui _G1 un ideal de m´ınima dimensió no trivial tal que es pugui

considerar simple, i sigui_G_C la seva subàlgebra ideal complementària ortogonal. Si GC és simple, es compleix el teorema, en cas contrari seria semisimple i es pot tornar

(21)

2.3 Forma de Cartan-Killing i operador de Casimir

2.3.4 Operador de Casimir

L’operador quadràtic de Casimir és un invariant, és a dir, commuta amb qualsevol element de l’àlgebra. Es troba en un espai _{U(G) anomenat àlgebra envolvent de G} (que són tots els productes possibles entre generadors). Es defineix com

C = Kij_X

iXj (on Kij ´es l’invers de Kij).

Aleshores, manipulant els commutadors i usant la m`etrica per pujar i baixar ´ındexs, obtenim

[C, Xk] = Kij[XiXj, Xk] = KijXi[Xj, Xk] + Kij[Xi, Xk]Xj =

= KijC_jkrXiXr+ KijCikrXrXj = KijCjkrXiXr+ KijCjkrXrXi =

= KijKrsCjks(XiXr+ XrXi) = 0,

on l’última igualtat és certa ja que els termes KijKrsCjks i (XiXr + XrXi) són

antisim`etric i sim`etric respectivament en i_{↔ r.}

Cal notar que l’operador quadràtic de Casimir no exhaureix tots els operadors de Casimir independents d’una àlgebra de Lie semisimple _{G amb rang G > 1 (la} definició de rang es dóna a la següent secció). De fet, tota àlgebra semisimple de rang l té l operadors de Casimir independents, que generen el centre de l’àlgebra envolvent_{U(G) mitjan¸cant productes i combinacions lineals. La seva forma expl´ıcita} depèn de l’estructura de l’àlgebra considerada.

Els invariants de Casimir s´on de gran import`ancia en F´ısica. Solen representar quantitats importants com la massa de part´ıcules elementals, el moment angular total o la c`_{arrega de color, descrites com operadors de Casimir dels grups SL(3, C),} SU (2) i SU (3) respectivament.

(22)

3 Classificaci´

o de les `

algebres de Lie simples

3.1 Descomposici´

o de Cartan

Donada una àlgebra de Lie qualsevol, podem utilitzar les transformacions lineals entre els elements per tal de reduir el nombre de constants d’estructura C_ijk no nul_{·les. En el cas d’àlgebres simples i compactes, una reducció d’aquest tipus} s’uti-litza per transformar l’àlgebra en una forma més simple anomenada forma canònica de Cartan, que és la generalització de la ben coneguda forma

[I3, I±] =±I±, [I+, I−] = I3,

de l’àlgebra del moment angular, i és particularment útil en f´ısica ja que els elements que commuten (generalitzacions de I3) acostumen a ser bons nombres quàntics.

Per exemple, defineixen diverses c`arregues (el`ectrica, estranyesa, color, etc.) de part´ıcules elementals.

Per construir la forma de Cartan utilitzarem la representació adjunta ad(X), en comptes de l’àlgebra en si, sense perdre generalitat. El primer pas per fer aquesta reducció és trobar la subàlgebra abeliana maximal _{H ⊂ G, és a dir, el conjunt} maximal d’elements Hi, amb i = 1, . . . , l, linealment independents que commutin,

on l és el rang de l’àlgebra, que s’anomena subàlgebra de Cartan.

H = {H ∈ G | [H, H0] = 0_∀H0 _{∈ H}.}

El seu complementari és semisimple, ja que per construcció no conté cap ideal abelià, i per tant descompon en subàlgebres_Gα simples,

G = H ⊕ G1⊕ G2⊕ · · ·

amb _Gα ={X ∈ G | [Hi, X] = α(Hi)X∀Hi ∈ H}, on α(Hi) ∈ E∗ ´es una aplicaci´o

lineal que pertany al dual de l’espai vectorial que utilitzem per descriure l’àlgebra. Cada subàlgebra _Gα és un ideal, [Hi, Xj] = CijkXk ∈ Gα∀Hi ∈ H, ∀Xj ∈ Gα, és a

dir, l’acció de la matriu ad(Hi) sobre qualsevol element de la subàlgebra dóna una

combinació lineal d’elements de la subàlgebra. Amb la descomposició de Cartan la matriu adjunta de cada element de la subàlgebra abeliana _{H té una estructura de} caixes per cada _Gα i les files i columnes corresponents als altres components de la

sub`algebra de Cartan s´on nul_·les.

Aquesta descomposició s’anomena descomposició de Cartan i, donat que els ele-ments de_{H commuten, les matrius ad(H}i) són diagonalitzables simultàniament.

Aleshores podem escriure

ad(Hi)X = [Hi, X] = α(Hi)X ∈ Gα

i es pot interpretar que X ´es un vector propi de la forma adjunta amb valor propi αi := α(Hi)∈ E∗.

Donat que les sub`algebres es poden escriure com subespais vectorials, sigui_{Xi}i∈Iα

(23)

3.2 Diagrama d’arrels i grup de Weyl

lineal d’elements de la base, per construcció, ad(Hi)X és també combinació lineal

dels elements de la base.

Sigui Eα un subespai vectorial tal que [Hi, Eα] = α(Hi)Eα, ´es a dir, un conjunt de

vectors de_{G que són autovectors de la representació adjunta de qualsevol vector de} la subàlgebra de Cartan i que tenen com a autovalors l’acció d’una mateixa aplicació lineal, α, actuant sobre el vector Hi ∈ H. Podrem escriure

ad(Hi)Eα = [Hi, Eα] = αiEα, amb α6= 0.

A m´es, si prenem l’adjunt de [Hi, Eα], obtenim que

[E_α†, Hi] = [Hi, Eα]†= αiEα† =⇒ [Hi, Eα†] =−αiEα†,

´es a dir, E_α† = E_−α. Per altra banda, veiem que

[Hi, [Eα, E−α]] =−[E−α, [Hi, Eα]]− [Eα, [E−α, Hi]] = 0,

cosa que implica que [Eα, E−α] ´es una combinaci´o lineal de la forma aiHi. Aleshores,

multiplicant per Hi i prenent la tra¸ca trobem

ai = T r[HiaiHi] = T r[Hi[Eα, E−α]] = T r[E−α[Hi, Eα]] = αiT r[E−α, Eα] = αi

ja que els elements Eα i E−α s´on ortonormals per construcci´o, i [Eα, E−α] = αiHi.

Lúltim que ens queda per veure és que, gràcies a la relació de Jacobi, tenim

[Hi, [Eα, Eβ]] = [[Hi, Eα], Eβ] + [Eα, [Hi, Eβ] = (αi+ βi)[Eα, Eβ],

´es a dir, el commutador de la dreta ha de ser m´ultiple de Eα+β i per tant tenim

[Eα, Eβ] = Nα,βEα+β. Al final de l’apartat seg¨uent veurem com determinar el valor

de Nα,β.

En resum, hem obtingut les relacions seg¨uents:

[Hi, Hj] = 0, [Hi, E±α] =±αiE±α(i = 1, . . . , l),

[Eα, E−α] = αiHi, [Eα, Eβ] = Nα,βEα+β (α + β6= 0), (3.1)

que defineixen totalment la forma can`onica de Cartan i ens permeten reduir el nombre de constants d’estructura de 1₂n2(n_{− 1) a} 1₂(n_{− l)(n − 1).}

3.2 Diagrama d’arrels i grup de Weyl

Les constants α de (3.1) s’anomenen arrels i poden pensar-se com a vectors (α₁, α₂, . . . , α_l) en un espai euclidià l-dimensional E(l), amb un producte escalar _{h·, ·i. Aquest} es-pai E(l) s’anomena eses-pai d’arrels, i, com veurem més endavant, els angles entre les arrels i la relació entre les seves normes no són arbitraris. De fet estan quantitzats, de manera que les arrels per a cada àlgebra simple compacta formen una mena de cristall anomenat diagrama d’arrels (Fig.1) .

(24)

α1 α2 SU (3) α2 α₁ SO(5) α2 α₁ G2

Figura 1: Diagrames d’arrels pels grups de Lie simples compactes de rang 2: SU (3),

SO(5) i G2. Les arrels primitives tenen una tra¸ca m´es gruixuda i se les anomena α1

i α2.

Per obtenir la quantització d’aquestes arrels i angles, un s’adona que les arrels for-men cadenes de la forma β + sα, . . . , β + α, β, β_{− α, . . . , β − mα, on la seqüència} és finita i s’obté successivament per commutació amb E_−α, i.e. Eβ → [E−α, Eβ]→

[E_−α, [E_−α, Eβ]] i seguint. Per definici´o [Eα, Eβ+sα] i [E−α, Eβ−mα] s´on zero.

Consi-derem ara les normes Nr definides per

N_r2 = T r[ad(E_−β)(ad(Eα))r(ad(E−α))rad(Eβ)], r = 1, 2, . . .

en l’espai de la representació adjunta. Usant la base de Cartan, es troba fàcilment la relació de recurrència

N_r2 = [r_{hβ, αi −} 1

2r(r− 1)hα, αi]N

2 r−1,

que demostra que Nr s’anul·la si, i nom´es si,

2_{hβ, αi}

hα, αi = (r− 1) ∈ Z. (3.2) Però com que la cadena acaba amb r = m + 1, aquesta condició se satisfà per r_{− 1 = m.}

Com que els papers de α i β són intercanviables i gràcies a la definició de cosinus de l’angle entre dos vectors, l’equació (3.2) implica que

cos2θα,β = hα, βi 2

hα, αihβ, βi = 1

4m1m2, (3.3) on θα,β és l’angle entre α i β i m1 i m2 són enters. L’equació (3.3) és la condició de

quantització que buscàvem, que ens ofereix les següents possibilitats

cos2θα,β θα,β ||α||_||β||

0 π/2 indet. 1/4 π/3 i 2π/3 1 1/2 π/4 i 3π/4 √2 3/4 π/6 i 5π/6 √3

(25)

3.2 Diagrama d’arrels i grup de Weyl

La Fig.1 mostra 3 dels 4 diagrames possibles per a grups de rang 2. Com es pot observar, els diagrames d’arrels tenen un alt grau de simetria, ja que són invariants sota un grup (finit), l’anomenat grup de Weyl, generat per les reflexions sobre els plans ortogonals a les arrels. Si β és una arrel, l’última arrel de la cadena,

β_{− mα = β −} 2hα, βi

hα, αi α = σα(β) (3.4) és la seva reflexió respecte el pla ortogonal a α. Com que això és cert per tot parell d’arrels, el diagrama d’arrels ha de ser invariant respecte totes les reflexions d’aquest tipus, és a dir, sota l’acció del grup de Weyl.

3.2.1 Obtenci´o de Nα, β

Abans hem vist que el commutador [Eα, Eβ] era un m´ultiple de Eα+β, aix´ı que

si trobem el coeficient Nα,β ja tindrem el grup perfectament determinat per les

constants d’estructura.

Siguin dues arrels α, β no nul_{·les i tals que la seva suma ´es una arrel, aleshores} existeix γ tal que

α + β + γ = 0. (3.5)

Usant la identitat de Jacobi sobre els generadors corresponents i (3.5) obtenim que

0 = [Eα, [Eβ, Eγ]] + [Eβ, [Eγ, Eα]] + [Eγ, [Eα, Eβ]] =

= [Eα, E−α]Nβ,γ+ [Eβ, E−β]Nγ,α+ [Eγ, E−γ]Nα,β = (3.6)

= (αiNβ,γ+ βiNγ,α+ γiNα,β)Hi = 0. (3.7)

Les Hi s´on linealment independents, per tant tots els coeficients de (3.7) s’han

d’anul_{·lar, i com que tan sols dues de les tres arrels s´on independents, es compleix} Nα,β = Nβ,γ = Nβ,−α−β = N−α−β,α. (3.8)

Ara apliquem la identitat de Jacobi i operem de la mateixa manera que en (3.6) amb els elements de la cadena β + sα, . . . , β, . . . , β_{− mα fent la substituci´o α → α,} β_{→ β + kα, γ → −α,}

[Eα, Eβ+(k−1)α]Nβ+kα,−α− [Eβ+kα, αiHi]

+ [E_−α, Eβ+(k+1)α]Nα,β+kα = 0 (3.9)

i amb les relacions de commutaci´o obtenim

Nα,β+(k−1)αNβ+kα,−α+ N−α,β+(k+1)αNα,β+kα = αi(β + kα)i

que porta a la relaci´o de recurr`encia

(26)

La condici´o inicial Nα,β+sα = 0 porta a N_α,β+(k2 _−1)α = (s−k+1)[αiβi+1₂(s+k)αiαi], i

la condici´o final N_{−α,β−mα}= 0 =_−Nα,−β+mα (3.8)

= Nα,β−(m+1)α. Substitu¨ınt k =−m

tenim que N_{α,β−(m+1)α}2 = 0 = (s + m + 1)[αiβi+ 1₂(s− m)αiαi], cosa que implica

−s ≤ 2α i_β i αi_α i = m_{− s ≤ m} (3.10) i, finalment, N_α,β2 = s[αiβi+ 1 2(s + 1)α i_α i] (3.10) = 1 2s(m + 1)α i_α i.

3.3 Arrels primitives i matriu de Cartan

El nombre d’arrels (sense comptar les seves inverses) és 1₂(n _{− l), i com que ens} trobem en un espai vectorial de dimensió l, podem definir un conjunt de l arrels li-nealment independents per formar una base. Escollint una ordenació H1, H2, . . . , Hl

de la base de Cartan, es defineix que una arrel ´es positiva si α1 > 0 o α1 = 0 i α2 > 0,

o α1 = α2 = 0 i α3 > 0, i seguint. Aquesta elecci´o indueix una ordenaci´o de les

arrels, és a dir, α > β si α_{− β és positiu. És evident que per a cada ordenació de} Hi les arrels es divideixen en positives i negatives a parts iguals, i existeix un

con-junt (únic) de les arrels linealment independents més petites. Aquest és el conjunt d’arrels primitives, i la resta d’arrels en són combinació lineal.

´

Es clar, doncs, que totes les altres arrels positives són combinacions lineals amb coeficients positius. El que no és tan clar, però que es pot demostrar, és que els coeficients són enters. Per tant ens trobem amb el notable resultat que qualsevol arrel es pot escriure de la forma

α =_±

l

X

i=1

niαi (3.11)

on αi s´on les l arrels primitives i els ni s´on enters no negatius. Per exemple,

prenent H1 horitzontal i H2 vertical, les arrels primitives de les `algebres amb l = 2

s´on les etiquetades amb α1 i α2 a la Fig.1. El resultat (3.11) tamb´e mostra que

el sistema d’arrels ve completament determinat per les arrels primitives (i.e. els possibles enters ni estan fixats un cop fixem αi) i per tant les `algebres de Lie simples

compactes estan completament caracteritzades per les arrels primitives. Per aquesta raó, és molt important conèixer l’estructura del sistema d’arrels primitives, i com que els únics elements invariants són la longitud i el producte escalar de les arrels, es pot resumir tota la informació en una matriu definida per

Cij = 2hαi, αjihαj, αji, i, j = 1, . . . , l,

anomenada matriu de Cartan. Els elements diagonals de la matriu sempre son 2, i pels grups de Lie cl`assics tots els Cij = 0 excepte per i = j, j ± 1. Els grups de la

Fig.1 tenen les seg¨uents matrius de Cartan:

SU (3) : 2 ₋₁ −1 2 SO(5) : 2 ₋₁ −2 2 G2 : 2 ₋₃ −1 2 .

(27)

3.4 Diagrames de Dynkin. Classificaci´o de les `algebres de Lie simples

3.4 Diagrames de Dynkin. Classificaci´

o de les `

algebres de

Lie simples

Una manera molt simple i gràfica de representar les arrels són els diagrames de Dynkin, que contenen tota la informació de l’àlgebra. Es construeixen de la següent manera: un cercle denotarà cada una de les arrels primitives ( arrel curta, arrel llarga), i zero, una, dues o tres l´ınies entre cercles (arrels) denotaran angles de π₂,

2π 3 ,

3π 4 i

5π

6 entre arrels corresponents. Els diagrames que corresponen als exemples

de la Fig.1 s´on els seg¨uents

SU (3) : SO(5) : G2 :

El sistema d’arrels primitives de les àlgebres de Lie simples compactes de rang l estan en correspondència amb els diagrames de Dynkin connexos de l cercles. El problema, doncs, es redueix a trobar-ne una presentació d’aquest tipus. A priori, podria semblar que les possibilitats són infinites, però afortunadament existeixen una sèrie de propietats, derivades de la construcció del nostre espai, que ens permeten reduir considerablement les possibles configuracions:

1. Si un diagrama consisteix de diverses components (dis)connexes, l’espai d’ar-rels i àlgebra corresponents són (semi)simples. Cada component connexa des-criu una àlgebra simple.

2. No pot haver-hi lla¸cos.

3. Si les l´ınies que connecten dues arrels es tallen, el diagrama resultant continua sent un diagrama de Dynkin.

4. El nombre m`axim de l´ınies connectades a una arrel ´es 3.

5. El resultat de contraure una cadena simple d’arrels (connectades per una sola l´ınia) és un diagrama de Dynkin només si ho és l’original.

En funció dels diagrames de Dynkin es poden classificar les àlgebres de Lie semi-simples en els següents casos:

Classe Rang l Ordre Grup compacte Diagrama de Dynkin Al 1, 2, 3, . . . (l + 1)2− 1 SU (l + 1) Bl 2, 3, 4, . . . l(2l + 1) SO(2l + 1) C_l 2, 3, 4, . . . l(2l_{− 1)} Sp(2l) D_l 3, 4, 5, . . . l(2l_{− 1)} SO(2l) El 6, 7, 8 78, 133, 248 El F4 4 52 F4 G2 2 14 G2

(28)

4 Representaci´

o dels grups de Lie

4.1 Definicions i propietats b`

asiques

La transformació de les solucions d’una equació sota l’acció d’un grup de simetria G es pot conèixer únicament a partir de les propietats del grup. El procediment invers ens permetrà conèixer les propietats del grup a partir de les possibles trans-formacions de les solucions, i és per això que aquestes transformacions es coneixen com representacions del grup de simetria. El nostre estudi es reduirà al de grups finits, podent-se generalitzar al cas compacte i després al continu (grups de Lie) sense massa dificultat.

Es diu que un grup G est`a representat en un espai vectorial E (que per nosaltres ser`a sobre R o C) si tenim un homomorfisme D que porta G al grup de transformacions lineals de E, GL(E): D : G_{−→ GL(E)} g _{7−→ D(g)} _{∀g ∈ G} gg0 _{7−→ D(g)D(g}0) _{∀g, g}0 _{∈ G} e_{7−→ D(e) = I} g−1 _{7−→ D(g}−1) = (D(g))−1 _{∀g ∈ G}

on e és l’element neutre de G i I denota l’operador identitat a GL(E). Si l’espai de representació E és de dimensió finita n, es diu que la representació és de dimensió n. La representació D és un conjunt de matrius n_{× n en una base donada en R}n. En el cas continu, es pot entendre que passem d’un grup de Lie G al grup GL(n) i per tant, passem de la seva àlgebra_{G a l’àlgebra gl(n).}

Una representació és exacta si ker D = _{{e}, o equivalentment, si D(g) = D(g}0)_⇔ g = g0. Altrament, el nucli de l’homomorfisme és un subgrup invariant H, i la representació del grup quocient G/H en E és exacta. Conseqüentment, qualsevol representació no trivial d’un grup simple és exacta.

Donades dues representacions D i D0 de G en espais E i E0, suposem que existeix un operador lineal V de E en E0 tal que

∀g ∈ G V D(g) = D0(g)V. (4.1) V s’anomena l’entrella¸cador. Aleshores, si V és invertible (i per tant E i E0 tenen la mateixa dimensió, si és finita), diem que les representacions D i D0 són equiva-lents (és una relació d’equivalència entre representacions). En aquest cas, podem relacionar E i E0 segons

e0_i = V_ike_k,

i es pot considerar que les matrius de_{D i D}0 difereixen per un canvi de base donat per V ,

V_jk_Ds_k(gi) =Djr(gi)0Vrs.

Per tant no hi ha cap difer`encia fonamental entre les dues representacions. L’inter`es de la teoria de representacions rau, doncs, en l’estudi de les representacions no equivalents.

(29)

4.2 Representacions unit`aries

4.2 Representacions unit`

aries

Una representació de G en E es diu que és unitària si, per tot g _{∈ G, l’operador} D(g) és unitari, és a dir, D(g)†D(g) = I. Aquest operador conserva el producte escalar, i.e. per tot g _{∈ G i x, y ∈ E hx|yi = hD(g)x|D(g)yi i a més D(g}−1) = D−1(g) = D†(g). Es compleixen les següents propietats:

• Qualsevol representació unitària reductible és completament reductible. • Qualsevol representació d’un grup finit o compacte és equivalent a una

repre-sentaci´o unit`aria.

4.3 Representacions reductibles i irreductibles

Suposem que tenim dues representacions D1i D2 de G en dos espais E1 i E2. Podem

construir una representaci´o en l’espai E = E1⊕ E2, que anomenarem suma directa

de les representacions D1 i D2, i denotarem per D1 ⊕ D2. Els dos subespais E1 i

E2 de E clarament s´on invariants per separat sota l’acci´o de D1⊕ D2.

Inversament, es diu que la representació D de G en un espai E és reductible si deixa invariant un subespai de E. Altrament, la representació és irreductible si no existeix cap subespai invariant sota D. Direm que D és una irrep (irreducible representation).

Si D ´es reductible i deixa tant el subespai E1 com el seu complementari E2

in-variants, es diu que la representació és completament reductible, i aleshores es pot considerar E com la suma directa de E1 i E2 i la representació com la suma directa

de les representacions D1 i D2. En el cas de dimensi´o finita, aix`o significa que les

matrius de la representaci´o mostren caixes de dimensi´o dimE1 i dimE2 per a cada

subespai invariant

D(g) =D1₀(g) _D0

2(g)

∀g ∈ G

Si la representació és reductible però no completament reductible, la matriu pren la forma

D(g) =D1₀(g) _DD0(g)

2(g)

.

4.3.1 Descomposici´o de la representaci´o d’un grup en representacions irreductibles

Sigui H un subgrup de G, aleshores qualsevol representaci´o D de G es pot restringir a H produint una representaci´o D0 tal que

∀h ∈ H D0(h) = D(h).

Aquesta és una manera molt freqüent de construir representacions d’H un cop coneixem les de G. En general, si D és irreductible, D0 no ho serà i per tant ens

(30)

haurem de tornar a plantejar el problema de la descomposici´o en representacions irreductibles.

Un exemple que trobarem més endavant és la representació del grup SU (2) com a subgrup de SU (3), o bé U (1)_{× SU(2) × SU(3) com a subgrup de SU(5).}

4.3.2 Lema de Schur

Considerem dues representacions irreductibles D en E i D0 en E0 i un entrella¸cador V entre ells com el definit en (4.1). Tenim el seg¨uent lema

Lema de Schur. O bé V = 0, o bé V és una bijecció i les representacions són equivalents.

Demostració. Suposem V _{6= 0. Aleshores V D(g) = D}0(g)V implica que kerV és un subespai de E invariant sota D; però com que hem assumit la irreductibilitat, kerV ha de ser 0 (no pot ser E ja que aleshores V s’anul_{·laria). De la mateixa} manera, la imatge de V és un subespai de E0 invariant sota D0, que no pot ser 0 i per tant és igual a E0. Un teorema clàssic d’operadors lineals entre espais vectorials ens assegura que V és una bijecció entre E i E0 i per tant les representacions són

equivalents.

Aix`o ens porta als notables corol_·laris

Corol·lari 4.1. Qualsevol operador entrella¸cador V d’una representació irreduc-tible amb ella mateixa sobre C, i.e. qualsevol operador que commuti amb tots els representants del grup, és múltiple de la identitat.

Demostraci´_{o. Sobre C, V té almenys un valor propi λ; com que V és invertible} gràcies al Lema de Schur, λ _{6= 0. L’operador V − λI és també un operador} entre-lla¸cador, però com que és singular, el Lema ens assegura que s’anul_{·la. Per tant}

V = λI.

Corol·lari 4.2. Una representaci´_{o irreductible sobre C d’un grup abelià és} ne-cessàriament de dimensió 1.

Demostració. Prenem un g0 _{∈ G, D(g}0) commuta amb tots els D(g) ja que G és abelià. Pel Corol_{·lari 4.1, D(g}0) = λ(g0)I. La representació descompon en dimD copies de la representació de dimensió 1: g _{7→ λ(g), i per la irreductibilitat sabem}

que dimD = 1.

Cal remarcar la import`_{ancia del fet que C sigui algebraicament tancat, en} contra-posici´_{o amb R, en aquests dos corol·laris. Per exemple, la representaci´o en R del} grup SO(2) de les rotacions del pla per les matrius _{D(θ) =} cos(θ) − sin θ

sin(θ) cos(θ)

és un contraexemple per les dues proposicions: qualsevol matriu _{D(α) commuta amb} D(θ) però no té cap valor propi real (per θ 6= 0, π), i la representació és irreductible sobre R, però de dimensió 2.

(31)

4.4 Representaci´o adjunta

Veiem una aplicació directa del Corol_{·lari 4.1 en l’operador de Casimir definit a la} Secció 2.3.4, que commuta amb tots els elements del grup. En la Secció 6.1 veurem que en SU (2), l’operador de Casimir J2 = j(j + 1)I és un múltiple de la identitat en la representació d’esp´ın-j.

4.4 Representaci´

o adjunta

Les constants d’estructura d’una àlgebra de Lie ens proporcionen una representació en matrius que en general és exacta. Aquesta representació s’obté associant als generadors Xµ(µ = 1, . . . , n) una matriu n×n els elements de la qual venen donats

per

(Mµ)βα ≡ (ad(Xµ))βα =−Cµαβ ,

i s’anomena representaci´o adjunta o regular. Els generadors i les seves matrius adjuntes tenen relacions de commutaci´o isomorfes:

([Mµ, Mν])βα = (Mµ)αγ(Mν)βγ − (Mν)γα(Mµ)βγ = Cµαγ Cνγβ − Cναγ Cµγβ = Cµνγ (−Cγαβ ),

utilitzant la identitat de Jacobi en l’´ultim pas. Finalment [Mµ, Mν]βα = Cµνγ (Mγ)βα.

4.5 Representacions cont´ınues

Tot el que hem explicat fins ara es pot traslladar a grups de Lie de dimensió no finita utilitzant representacions cont´ınues. Un concepte important en el tractament d’aquests grups és el de mesura µ(g). És desitjable tenir una mesura perquè ens permet generalitzar el concepte de sumar sobre els elements d’un grup finit al de integració de grups continus. Per aquesta raó és necessari que la mesura sigui invariant respecte la multiplicació del grup (per la dreta i l’esquerra). És a dir, es requereix la relació

Z

dµ(g)f (gh) = Z

dµ(g)f (g)

(i el mateix per l’esquerra) per cada funció cont´ınua f (g) sobre un compacte. André Weyl el 1953 va demostrar que una condició suficient per l’existència d’aquesta mesura és que el grup sigui localment compacte.

(32)

5 An`

alisi d’algunes `

algebres

Ens disposem a dur a terme l’anàlisi d’alguns grups utilitzant les eines de què ens hem dotat a la secció anterior comen¸cant pel cas més simple, l’SU (2).

5.1 SU(2)

El grup SU (N ), per N > 1, de les matrius unitàries especials (amb inversa igual a l’adjunta i amb determinant igual a 1) té com a generadors les matrius N_{× N amb} tra¸ca nul_{·la herm´ıtiques (autoadjuntes). Hi ha diverses maneres de veure que és el} fet que la tra¸ca s’anul_{·li el que dóna el determinant 1. Si fem l’exponencial de les} matrius herm´ıtiques per obtenir matrius unitàries

U (α) = eiαaXa

podem calcular el determinant en qualsevol base. En particular, si diagonalitzem αaXa, V αaXaV−1 = D on D ´es diagonal, tenim det(U (α)) = det(eiD) =Y j ei[D]jj _{= e}i T rD_{= e}i T rαaXa_.

Per tant, si la tra¸ca de αaXa ´es nul·la, el determinant ´es 1.

Comencem estudiant el cas SU (2), tamb´e denotat com A1. La base est`andard de

les matrius herm´ıtiques 2_{× 2 s´on les matrius de Pauli, que formen una base de} l’`algebra su(2): σ₁ =0 1 1 0 , σ₂ =0 −i i 0 , σ₃ =1 0 0 ₋₁ .

No obstant, el sistema d’arrels de l’`algebra es manifesta m´es clarament amb la base

σ+= 1 2(σ1+iσ2) = 0 1 0 0 , σ₋= 1 2(σ1−iσ2) 0 0 1 0 , σz = 1 2σ3 = 1 2 1 0 0 ₋₁ .

Ens adonem que les matrius σ_± són pròpies sota l’acció de σ₃ segons ad(σ3)(σ±) = [σ3, σ±] =±σ±.

L’´unica arrel primitiva del sistema es α = 1 (valor propi de σ+) i l’altra arrel que

existeix la trobem amb la reflexi´o de Weyl σα(α) =−α = −1, i correspon al valor

propi de σ₋. Els diagrames d’arrels i de Dynkin s´on els seg¨uents

1

−1 0

(a) (b)

Figura 2: Diagrames d’arrels (a) i de Dynkin (b).

Tan sols ens queda determinar el valor N+− de [σ+, σ−] = N+−σ3. Com veiem, σ−

forma part de la cadena α₋, αz, α+, per tant N+− =

q

1

22(1 + 0) = 1, i per tant

[σ+, σ−] = σ3.