Universit`a dell’Aquila - Corso di laurea: Ingegneria Civile e Ambientale II Prova parziale di Fisica Generale II - 24/11/2014
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Problema 1
Un condensatore cilindrico di raggio interno R, raggio esterno 4R e lunghezza l, ´e riempito da due diversi dielettrici di costante: 1tra R e 2R, ed 2tra 2R e 4R.
Il condensatore, inizialmente scarico, viene collegato al circuito in figura all’istante t = 0. Calcolare: a) la capacit´a equivalente del capacitore (2 punti) b) la corrente che scorre nella resistenza R3 nell’istante in
cui il condensatore ´e collegato al circuito (2 punti) c) la carica sul condensatore nella situazione di regime (2 punti) d) la costante di tempo del circuito (2 punti) e) l’energia dissipata su R3 nella fase di carica del
condensatore (2 punti)
Dati: R = 1cm,1 = 2, 2 = 4, l = 10cm, R1 = 1kΩ, R2 = 2kΩ, R3 = 3kΩ, R4 = 4kΩ,
f1 = 10V , f2 = 20V.
SOLUZIONE Problema 1
a) La capacit´a equivalente pu´o essere calcolata come la serie di 2 capacitori cilindrici con dielettrici 1 ed 2. Quindi: C1 = 2π01l ln(2R R) = 2π01l ln2 C2 = 2π02l ln(4R2R) = 2π02l ln2 C = 2π012l ln2(1+ 2) = 10.7pF b) applichiamo Thevenin tra i punti A e B:
Vth = VAB = f2− IR2
con I = f1−f2
R1+R2+R4 da cui Vth = 17.1V
Quindi la corrente che passa in R3 all’istante iniziale, essendo il capacitore scarico, ´e
calco-labile da: Vth = I3(R3 + Rth), con:
Rth = R2(R1+ R4) R2+ R1+ R4 = 1.43KΩ. da cui I3 = 3.9mA. c) A regime: Qc= CVth= 183.4pC
d) costante di tempo del circuito: τ = R∗C con R∗ = Rth+ R3 Quindi τ = 47.4ns
e) il condensatore si carica con la legge: Q(t) = Qc(1 − e−t/τ) da cui I3(t) = dQdt = Qτce−t/τ
U (R3) = Z ∞ 0 R3I2(t)dt = R3CVth2 2R∗ = 1.06nJ . 2
