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Esercizio 1
Calcare il seguente integrale
∫∫
D dxdy xy 3 1 ,dove D ={(x,y) / 1/2 ≤ x ≤ 1 e x2≤y ≤ x1/2}
Il dominio D è normale rispetto all’asse delle x, pertanto:
∫
∫
∫∫
= x = x D y dy x dx dxdy xy 23 1 2 1 3 3 1Calcoliamo quindi prima l’integrale relativo alla y, che è un semplice integrale (una potenza):
( )
∫
∫
∫
∫
= − = = − 1 2 1 1 2 1 3 3 3 3 3 2 3 1 1 2 1 3 ) ( 2 3 2 3 2 2 x dx x x x x dx y dy y x dx x x x xmettendo in evidenza la radice cubica di x ha:
∫
∫
− = 1 − = 2 1 1 2 1 3 3 (1 ) 2 3 ) 1 ( 2 3 dx x x dx x xda cui facilmente si ottiene l’integrale cercato:
16 3 8 1 2 1 2 1 1 2 3 2 1 2 3 ) 1 ( 2 3 1 2 1 2 1 2 1 = − − + = − = −
∫
x dx x xwww.matematicagenerale.it Esercizio 2
Calcolare il seguente integrale
∫∫
+ D dxdy x x 2 2 1) ( ,dove D è la parte di piano delimitata dai semi assi positivi del piano Cartesiano e la curva Ω: x2+seny-cosy=0
Il dominio è normale sia rispetto ad x che a y, ma data la complessità della equazione della curva , conviene considerare il dominio normale rispetto all’asse delle y.
(Dall’equazione di Ω possiamo ricavarci x=± cosy -seny=0, sarebbe più complicato ricavare y in funzione di x) Dunque:
∫
∫
∫∫
= − + + 4 0 cos 0 2 2 2 2 1) ( 1) ( π seny y D dx x x dy dxdy x xMoltiplichiamo e dividiamo per 2 1
in modo da avere la derivata della funzione x2+1, quindi il secondo integrale è immediato (potenza):
(
)
[
]
∫
∫
∫
∫
∫
− − − − − + − = + = + 4 0 cos 0 1 2 2 2 4 0 cos 0 4 0 cos 0 2 2 2 1 1 ) 1 ( 2 2 1 ) 1 ( π π π dy x x x dy dx x x dy y seny seny y seny ysostituiamo gli estremi dell’intervallo di integrazione, si ottiene l’integrale in y:
(
)
[
]
∫
(
)
∫
(
)
∫
= − + − − = − + − − = + − − − − 4 0 4 0 1 4 0 cos 0 1 2 1 1 cos 1 2 1 ) 1 1 cos ( 2 1 1 2 1 π π π dy seny y dy seny y dy x y senywww.matematicagenerale.it Calcoliamo a parte l’integrale:
(
)
∫
− + dy seny y 1 cos 1 Posto tgy/2=t y/2= arctagt y=2arctgt dy=2/1+t2dt seny= 2t/1+t2 cosy=1-t2/1+t2(
)
= + + + + − + − + = + −∫
∫
dt t t t t t t t dy seny y 1 1 1 2 1 1 1 2 1 cos 1 2 2 2 2 2Semplificando e facendo il minimo comune multiplo si ha:
( )
∫
=− − − log(1 ) 1 2 2 t dt t .Ritorniamo alla variabile y
