Funzioni Inverse

Prof. Chirizzi Marco

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3.3 Funzioni inverse

Sia y= f(x) una funzione continua nell’intervallo

[

a,b

]

e siano m ed M rispettivamente il più piccolo ed il più grande valore che la funzione assume in questo intervallo. Ad ogni valore x di ₀

[

a,b

]

corrisponde uno ed un solo valore di y , che denotiamo con

) ( ₀

0 f x

y = . In generale, non si verifica la proprietà inversa, cioè ad ogni valore y appartenete ₀ all’intervallo

[

m, M

]

, corrispondono più valori per la variabile x appartenente all’intervallo

[

a,b

]

. Affinché si verifichi anche la proprietà inversa, la funzione y= f(x) deve essere sempre crescente o sempre decrescente. Supponendo che f(x) sia crescente, ad ogni valore della x in

[

a,b

]

corrisponde uno ed un solo valore della y in

[

m, M

]

, così ad ogni valore della y in

[

m, M

]

corrisponde uno ed un solo valore della x in

[

a,b

]

. In base a questa ipotesi, possiamo esprimere la variabile x in funzione della variabile y , cioè:

) ( y g x= ;

questa funzione si chiama funzione inversa della funzione y= f(x). Essa si ottiene risolvendo l’equazione y= f(x) rispetto ad x .

Esempio

La funzione y =x2+5 è crescente per x≥0. La sua funzione inversa è: 5

− +

= y

x

Si dimostra il seguente teorema:

Teorema

Una funzione y= f(x), continua in un intervallo

[

a,b

]

, nel quale è crescente ( o decrescente ), ammette funzione inversa x= g( y), anch’essa continua e crescente ( o decrescente), nell’intervallo

3.4 Funzioni inverse delle funzioni circolari

La funzione:

x sen y =

nel suo insieme di esistenza, non è né crescente né decrescente, però è pur vero che nell’intervallo     _{− +} 2 , 2 π π

, essa è crescente e assume tutti i valori che vanno da −1 a +1. Quindi, la funzione y =senx ammette funzione inversa, che si indica con la scrittura:

x arcsen x= nell’intervallo     _{− +} 2 , 2 π π . La funzione: x y =cos

è sempre decrescente nell’intervallo

[

0,π

]

e la funzione inversa la si indica con: y

x=arccos La funzione:

tgx y = ammette funzione inversa nell’intervallo

    _{− +} 2 , 2 π π , e la si indica come: y arctg x=

Per il teorema sulle funzioni continue, crescenti o decrescenti in un intervallo

[

a,b

]

, tutte queste funzioni inverse sono continue nel loro insieme di definizione.

Esempio

Per la continuità della funzione inversa:

y arcsen x= si ha: 4 2 2 lim 2 2 π =     = → arcsen y arcsen y