Grafici di funzioni e superfici in R

Grafici di funzioni e superfici in R ³

SI OSSERVI CHE IN TUTTE LE FIGURE SONO RIPORTATE LE 3 DIREZIONI x, y e z. ESSE DANNO LA DIREZIONE DEGLI ASSI MA NON GLI ASSI. SI CONSIGLIA DI INDIVIDUARE SEMPRE L’ORIGINE DEL SISTEMA DI RIFERIMENTO E DI CONSIDERARE GLI ASSI A PARTIRE DA TALE PUNTO NELLE DIREZIONEx, y, z INDICATE IN FIGURA.

a, b, c sono costanti positive.

0 2

4 6

8 10 x

0 2

4 6

8 10

y 0

2.5 5 7.5 10 z

0 2

4 6 x 8

f (x, y) = x

Notare che il piano passa per l’assey e interseca il piano xz sulla retta x = z.

0 2

4 6

8 10 x

0 2

4 6

8 10

y 0

2.5 5 7.5 10 z

0 2

4 6 x 8

f (x, y) = y

Notare che il piano passa per l’assex e interseca il piano yz sulla retta y = z.

0 2.5 5

7.5 10 x

0 2.5

5

7.510 y

0 5 10 15 20

z 0

2.5 5 y 7.5

f (x, y) = x + y

Notare che il piano passa per l’ origine e interseca il piano yz sulla retta y = z e il piano xz sulla retta x = z.

0 2.5

5 7.5 10 x

0 2.5

5

7.510 y

-10 -5

0 5 10

z 0

2.5 5 y 7.5

f (x, y) = x− y

Notare che il piano passa per l’origine e interseca il piano yz sulla retta y =−z e il piano xz sulla retta x = −z.

0 0.2

0.4 0.6

0.8

1 0 0.2

0.4 0.6

0.8 1

-1 -0.5

0 0.5

1

0 0.2

0.4 0.6

0.8

f (x, y) = z =−x − y + 1

Notare che le intersezioni con i tre semiassi positivi individuano assieme a (0, 0, 0) un tetraedro con 3 latiugualia 1.

-20 -10 0 10 20 x

-40 -20

0 20

40 y

0 25 50 75 100

z

-20 0

20 40 y

f (x, y) = ^x_a²2 +^y_b2², PARABOLOIDE (ellittico) con a = 2 e b = 3.

Se a = 1, b = 1 esso si ottiene dalla rotazione della curva z = y² del piano zy attorno all’asse z.

-10 -5

0 5

10 x

-10 -5

0 5 y 10

-10 0 10 20

z 10

-5 0 y 5

f (x, y) = ^x_a²2 −^y_b²², PARABOLOIDE IPERBOLICO, sella dicavallo con a = 2, b = 3.

Le intersezioni del grafico con pianiy = c danno parabole rivolte verso l’alto mentre le intersezioni con pianix = c danno parabole rivolte verso il basso.

Notare anche che il grafico interseca il pianoxy nelle due rette ^|x|_|a| = ^|y|_|b|.

-20 -10 0 10 20 -20

0 20

-100 -50

0 50 100

20

0 20

f (x, y) = xy, PARABOLOIDE IPERBOLICO, rigata.

Questa funzione si chiama rigata perche’ le sezioni con piani paralleli ai piani xz e yz sono rette. Essa interseca il piano xy lungo gliassi.

-5 -2.5 0 2.5 5 -2 x

2 0 y 0

2.5 5 7.5 10

z

-2.5 0 2.5 5

f (x, y) = c



x²

a² +^y_b2² CONO cona = ¹₂, b = ¹₃, c = 1.

Se a = b esso si ottiene dalla rotazione della curva z = ^c_b|y| del piano yz attorno all’asse z.

-1 -0.5

0 0.5

1 -1

-0.5 0

0.5 1

-1 -0.5

0 0.5

1

-1 -0.5

0 0.5 1

-0.5 0

0.5

x²+y²+z²=r² SFERA con r = 1.

0 0.5

1 1.5

2 x

-1 -0.5

0 0.5 y 1

-1 -0.5

0 0.5

1

z

0 0.5

1 x 1.5 1

-0.5 0 y 0.5

x²+y²+z²− 2rx = 0 SFERA con r = 1 e centro in (1, 0, 0).

-1-0.5 00.5 1 x

-5

-2.5

0

2.5 5 y

-5 -2.5

0 2.5

5

z

-1-0.5 00 5 -2.5

0

2.5 5 y

x²

a² − ^y_b²2 = 0 COPPIA DI PIANI cona = 1, b = 5.

Per ogni z le sezioni con un piano parrallelo al piano xy sono sempre la stessa coppia di rette.

-5

0

x 5 -10

-5 0

5 10

-2 y 0 2 4 z

-5

0 x 5

x²

a² −^y_b2² = 1 CILINDRO IPERBOLICO cona = 2, b = 3.

Per ogni z le sezioni con un piano parrallelo al piano xy sono sempre la stessa iperbole.

-1 -0.5

0 0.5

1 x

-1 -0.5

0 0.5 y 1

-1 -0.5

0 0.5

1

z

-1 -0.5

0 x 0.5 1

-0.5 0 y 0.5

x²

a² +^y_b2² − 1 = 0, CILINDRO con a = b = 1.

Per ogni z le sezioni con un piano parrallelo al piano xy sono sempre la stessa ellisse. Se a = b si ottiene dalla rotazione della retta y = a del piano zy attorno all’asse z.

-5 -2.5

0 2.5

5 -10 1

-10 -5

0 5

10 -10 1

-10 -5

0 5

z²

c² − (^x_a²2 + ^y_b²2) = 0, CONO (doppio) con a = 1/2, b = 1/6, c = 1.

Se a = b si ottiene dalla rotazione della curva y = ^b_c|z| del piano yz attorno all’assez.

-1 0 x 1 -1

0 y 1

-2 -1

0 1 2

z

-1 0 x 1 -1

0 y 1

−^x_a2² −^y_b2² +^z_c²2 − 1 = 0, IPERBOLOIDE A DUE FALDE con a = b = c = 1.

Sea = b si ottiene dalla rotazione dell’iperbole ^z_c2² −^y_b²2 = 1 del pianoyz con y > 0 attorno all’asse z.

-5 -2.5

0 2.5 5 x

-2 0 2 y

-10 -5

0 5 10

z

-2 0 2

x²

a² +^y_b2² − ^z_c²2 − 1 = 0, IPERBOLOIDE AD UNA FALDA, con a = 1/√

10, b = 1/√ 15.

Se a = b si ottiene dalla rotazione dell’iperbole −^z_c2² +^y_b2² = 1 del piano yz cony > 0 attorno all’asse z.

-10 -5

0

5

10 x

-5 -2.5

0 2.5

5

y -4

-2 0

2 4

z 10

-5

0 x 5

- -

0

x²

a² +^y_b²2 +^z_c²2 − 1 = 0, ELLISSOIDE, con a = 10, b = 5, c = 4.