CD05 - Progetto per Discretizzazione

CONTROLLI DIGITALI CONTROLLI DIGITALI

Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica

PROGETTO PER DISCRETIZZAZIONE

PROGETTO PER DISCRETIZZAZIONE

Ing. Cristian Secchi Tel 0522 522235 Tel. 0522 522235

Tecniche di controllo digitali

Vi sono principalmente tre classi di tecniche progettuali:

• metodo indiretto: progetto preliminare del regolatore nel dominio delle trasformate di Laplace, dunque con una delle tecniche già note nel

continuo, e successiva trasformazione per discretizzazione nel digitale.

• metodo diretto: tecniche di progetto per le quali si lavora direttamente nel dominio discreto, ossia delle trasformate _{Z. Alcuni esempi sono dati da :}

• progetto nel piano w, con l’impiego dei diagrammi di Bode;

• progetto con il luogo delle radici nel piano z;

• progetto con metodi analitici (assegnamento poli/zeri, deadbeat, Dahlin).

• Regolatori a struttura fissa (tipo PID) di cui si devono tarare i parametri in funzione della dinamica del sistema da controllare e delle specifiche da

Metodo indiretto - obiettivi

• Data una legge di controllo continua rappresentata da una funzione di

trasferimento D(s), si vuole ottenere una legge D(z), da inserire nell’anello di retroazione comprensivo del ricostruttore , che permetta di ottenere

prestazioni il più possibile simili a quelle ottenute impiegando la D(s).

x(t)- j − e(t) - D(z) - H(s) - G(s) -6 u_b(t) y_b(t) x(t)- j − e(t) - D(s) - G(s) -6 u_a(t) y_a(t)

Considerazioni generali

• È evidente che utilizzare un regolatore digitale ottenuto discretizzando un regolatore analogico porta ad introdurre variazioni delle prestazioni del sistema in retroazione. Tali variazioni dipendono da diversi fattori, quali la scelta del periodo di campionamento e la tecnica di discretizzazione

utilizzata. Comunque, è ovvio che effettuando l’operazione di

discretizzazione si cerchi di far sì che le caratteristiche sia temporali che frequenziali del nuovo regolatore si discostino di poco da quelle

dell’originale.

• In generale, può essere di interesse mantenere una o più delle seguenti caratteristiche: numero di poli e zeri, andamento della risposta a impulso o a gradino, guadagno statico, margini di fase e di ampiezza, larghezza di banda, anche se non tutte possono essere mantenute inalterate

Considerazioni generali

• Nella maggior parte dei casi risulta difficile per esempio mantenere le

caratteristiche di risposta frequenziale, comparendo nella versione discreta effetti non presenti nel regolatore analogico, come la distorsione

frequenziale dovuta all’aliasing, qualora non si effettui una scelta attenta del periodo di campionamento.

• Un metodo empirico per ottenere prestazioni soddisfacenti è quello di scegliere frequenze di campionamento più alte possibili, che comportano però un aggravio delle prestazioni computazionali richieste.

Passi concettuali

Una volta definito il regolatore analogico D(s), la tecnica di progetto si articola il tre passi concettuali:

1 - definizione del periodo di campionamento T e verifica del fatto che

l’inserimento del campionatore-ricostruttore non destabilizzi il sistema: se necessario si deve provvedere ad una correzione della D(s) o a modificare

T.

• Il ricostruttore introduce un ritardo nell’anello. Considerando il ricostruttore di ordine 0, si ha che

H₀(s) = 1 − e −sT s ≈ T T 2 s + 1 approssimazione di Padè oppure H₀(s) ≈ T e−sT/2

Passi concettuali

• per l’analisi degli effetti dinamici si deve considerare, per esempio, il termine 1

T

2 s + 1

nell’anello continuo prima di procedere alla discretizzazione, come indicato in figura. Si noti che il guadagno T non viene considerato in quanto nello schema finale discreto tale fattore è compensato dal guadagno 1/T del campionatore; x(t)- j − e(t) - D(s) - _T 1 2 s + 1 - G(s) -6 u_a(t)

Passi concettuali

2 - Discretizzazione della D(s) con una delle tecniche indicate nel seguito 3 - Verifica a posteriori del comportamento dinamico del sistema con

Tecniche di discretizzazione

Esistono diverse tecniche per discretizzare la funzione di trasferimento analogica D(s). Tra le principali, di complessità adeguata alle esigenze di elaborazione in tempo reale, verranno illustrate le seguenti:

1. metodo delle differenze all’indietro;

2. metodo delle differenze in avanti (non impiegata nei controlli); 3. trasformazione bilineare;

4. trasformazione bilineare con precompensazione frequenziale;

5. metodo della _{Z-trasformata, detto anche dell’invarianza della risposta} all’impulso;

6. metodo della _{Z-trasformata con ricostruttore di ordine 0, detto anche} dell’invarianza della risposta al gradino;

Metodo delle differenze all’indietro

Questo metodo è essenzialmente una semplice tecnica di integrazione numerica. Sia data per esempio l’equazione differenziale. Si consideri ad esempio la seguente equazione differenziale:

d y(t)

dt + ay(t) = ax(t) (1)

Integrando ambo i membri si ha  t 0 d y(t) dt dt = −a  t 0 y(t)dt + a  t 0 x(t)dt

Per t = kT , e per t = (k _{− 1)T si ha rispettivamente:}  kT

0

d y(t)

dt dt = y(kT ) − y(0) = −a

 kT

0 y(t)dt + a

kT

0 x(t)dt

Metodo delle differenze all’indietro

Dalle relazioni precedenti si ottiene:

y(kT ) − y((k − 1)T ) = −a

 kT (k−1)T y(t)dt + a  kT (k−1)T x(t)dt

• Per calcolare numericamente gli integrali presenti in questa relazione si approssima l’area sottesa alle curve y(t) e x(t) con rettangoli.

• nel metodo delle differenze all’indietro si considerano tra gli istanti (k _{− 1)T} e kT i rettangoli di altezza pari a y(kT ) o x(kT ) (valore finale del periodo considerato). Si ha dunque che  kT (k−1)T y(t)dt ≈ T y(kT )  kT (k−1)T x(t)dt ≈ T x(kT )

Metodo delle differenze all’indietro

Nella seguente figura è illustrato il metodo di integrazione delle differenze all’indietro: 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o Integrazione all‘indietro y(t)

Metodo delle differenze all’indietro

• Sostituendo si ottiene:

y(kT ) = y((k − 1)T ) − aT [y(kT ) − x(kT )]

che ha _{Z-trasformata} Y (z) = z−1Y (z) − aT [Y (z) − X(z)] ovvero Y (z) X(z) = G(z) = aT 1 − z−1 + aT = a 1−z−1 T + a

• Utilizzando la trasformata di Laplace per modellare l’equazione differenziale si sarebbe ottenuto

G(s) = Y (s)

X(s) =

a s + a

Metodo delle differenze all’indietro

Osservando le ultime due equazioni, si vede che esse sono identiche se si pone

s = 1 − z

−1

T =

z − 1

T z

Questa relazione esprime la trasformazione da effettuare per discretizzare un filtro analogico col metodo delle differenze all’indietro ossia

D(z) = D(s)

s = 1 − z

−1

Metodo delle differenze all’indietro

Effettuando la trasformazione rovata, il piano s viene mappato nel piano z e viceversa. La regione di stabilità in s (Re(s) < 0) viene trasformata nel piano z come segue: Re  1 − z−1 T  = Re  z − 1 T z  < 0 da cui, poiché T > 0 e z = σ + jω, Re  σ + jω − 1 σ + jω  = Re  (σ + jω − 1)(σ − jω) σ2 _{+ ω}2  = σ 2 − σ + ω2 σ2 _{+ ω}2 < 0 ossia  σ − 1 2 2 + ω2 <  1 2 2

Metodo delle differenze all’indietro

Legame indotto tra piano s e piano z

Re Im Piano s 1 Re Im Piano z

Questo significa, in particolare, che ogni funzione di trasferimento D(s) stabile viene trasformata in una D(z) stabile. Inoltre, anche poli instabili in s possono essere trasformati in poli stabili in z.

Metodo delle differenze all’avanti

Anche questa tecnica rappresenta una approssimazione del calcolo

dell’integrale. A differenza della tecnica precedente, si considera ora per il generico periodo (k _{− 1)T ÷ kT il valore iniziale y((k − 1)T ) anziché il valore} finale y(kT ). Considerando ancora la semplice equazione differenziale del caso precedente, si ha che  kT (k−1)T y(t)dt ≈ T y((k − 1)T )  kT (k−1)T x(t)dt ≈ T x((k − 1)T )

Metodo delle differenze all’avanti

Nella seguente figura è illustrata la tecnica di integrazione di Eulero:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o Integrazione all‘avanti t y(t)

Metodo delle differenze all’avanti

In questo modo si ottiene

y(kT ) = y((k − 1)T ) − aT [y((k − 1)T ) − x((k − 1)T )]

che fornisce la _{Z-trasformata}

Y (z) = (1 − aT )z−1Y (z) + aT z−1X(z) da cui Y (z) X(z) = G(z) = aT z−1 1 − (1 − aT )z−1 = a 1−z−1 T z−1 + a

Metodo delle differenze all’avanti

In questo caso quindi la trasformazione da effettuare è

s = 1 − z −1 T z−1 = z − 1 T da cui D(z) = D(s) s = z − 1 T

Metodo delle differenze all’avanti

Vediamo il legame indotto tra piano s e piano z dalla trasformazione trovata. Si ha che: Re(s) = Re  z − 1 T  < 0 comporta Re(z) < 1

ossia il semipiano sinistro del piano s viene trasformato nel semipiano a sinistra della retta σ = 1 del piano z.

Metodo delle differenze all’avanti

Legame indotto tra piano s e piano z

Re Im Piano s 1 Re Im Piano z

Funzioni di trasferimento analogiche stabili possono essere trasformate in funzioni di trasferimento discrete instabili. Per tale motivo questa tecnica di trasformazione non viene utilizzata nella pratica.

Trasformazione bilineare (o di Tustin)

Anche la trasformazione bilineare può essere considerata come una tecnica di integrazione numerica, detta integrazione trapezoidale o metodo di

trasformazione di Tustin. In questo caso si compie la seguente approssimazione dell’integrale

 kT

(k−1)T

y(t)dt ≈ [y(kT ) + y((k − 1)T )]T

2  kT

(k−1)T

x(t)dt ≈ [x(kT ) + x((k − 1)T )]T

2

Si suppone cioè che la funzione vari in modo lineare tra due istanti di campionamento successivi.

Trasformazione bilineare (o di Tustin)

Nella seguente figura è illustrata la tecnica di integrazione di Tustin

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o o o o o o o o o o o o o o _o o o o _o o o o Integrazione trapezoidale t y(t)

Trasformazione bilineare (o di Tustin)

Considerando la semplice equazione differenziale vista nei casi precedenti, si ottiene:

y(kT ) = y((k − 1)T ) − aT

2 [y(kT ) + y((k − 1)T )] +

aT

2 [x(kT ) + x((k − 1)T )] che fornisce la _{Z-trasformata}

Y (z) = z−1Y (z) − aT 2 Y (z) + z−1Y (z) + aT 2 X(z) + z−1X(z) e quindi Y (z) X(z) = G(z) = aT 2 (1 + z−1) (1 − z−1) + aT₂ (1 + z−1) = a 2 T 1−z−1 1+z−1 + a

Trasformazione bilineare (o di Tustin)

In questo caso la trasformazione da effettuare è

s = 2 T 1 − z−1 1 + z−1 = 2 T z − 1 z + 1

Questa relazione è detta trasformazione bilineare e per le sue proprietà è già stata utilizzata, nella forma semplificata con T = 2, per l’applicazione del criterio di stabilità di Routh.

La funzione di trasferimento discreta corrispondente è:

D(z) = D(s)

s = 2

T

1 − z−1 1 + z−1

Trasformazione bilineare (o di Tustin)

Il semipiano sinitro del piano s viene trasformato nella regione definita da:

Re  2 T 1 − z−1 1 + z−1  = Re  2 T z − 1 z + 1  < 0 da cui (T > 0) Re  z − 1 z + 1  < 0 e quindi, con z = σ + jω Re  z − 1 z + 1  = Re  σ + jω − 1 σ + jω + 1  = Re  σ2 − 1 + ω2 + j2ω (σ + 1)2 _{+ ω}2  < 0 cioè 2 2

Trasformazione bilineare (o di Tustin)

Im Re Piano s 1 Re Im Piano z

La trasformazione bilineare trasforma una D(s) analogica stabile in una D(z) discreta stabile e viceversa.

Metodo della

Z

-trasformata

• Si vuole ottenere, negli istanti di campionamento, lo stesso andamento per

u_b(t) (uscita del controllore discreto) e per u_a(t) (uscita del corrispondente controllore continuo) quando il segnale e(t) è un impulso. In altre parole si desidera che:

U_b(z) = Z[u_b(kT )] = Z[u_a(kT )]

• Si ha quindi che

Metodo della

Z

-trasformata

Sia data ad esempio una funzione di trasferimento (filtro passa basso) del tipo

D(s) = a

s + a

tramite il metof della _{Z-trasformata si ottiene il filtro discreto}

D(z) = a

1 − e−aT z−1

Nel caso di una funzione D(s) più complessa, si può procedere come noto con una scomposizione in fratti semplici e una successiva trasformazione dei termini elementari così ottenuti.

Metodo della

Z

-trasformata

Si è visto che lo spettro di D(z) è uguale, a meno del fattore moltiplicativo 1/T , allo spettro di D(s) ripetuto infinite volte e centrato attorno alle pulsazioni

k2π/T, k = . . . , −1, 0, 1, 2, . . . Questo fatto ovviamente porta possibili problemi di

aliasing con conseguenti distorsioni della risposta armonica del sistema discreto rispetto a quella del sistema analogico.

Per ovviare a questo aspetto negativo, si possono percorrere due strade: o inserire un opportuno filtro passa basso prima del campionamento, oppure aumentare la frequenza di campionamento.

Ovviamente, entrambi gli approcci possono presentare delle controindicazioni. Nel primo caso si introducono ulteriori dinamiche nell’anello di controllo,

dinamiche che possono alterare anche significativamente le prestazioni complessive e che devono quindi essere state considerate nel progetto del regolatore analogico D(s). Nel secondo caso, si possono incontrare difficoltà realizzative per l’associato aumento di onere computazionale.

Metodo della Z-trasformata con ricostruttore di ordine zero

• Si vuole ottenere, negli istanti di campionamento, lo stesso andamento per

u_b(t) (uscita del controllore discreto) e per u_a(t) (uscita del corrispondente controllore continuo) quando il segnale e(t) è un gradino. In altre parole si desidera che: Z−1  D(z) 1 1 − z−1  = L−1  D(s)1 s   t=kT Si ha dunque che D(z) 1 1 − z−1 = Z  L−1  D(s)1 s  = Z  D(s) s  cioè D(z) = (1 − z−1)Z  D(s) s  = Z  1−e−sT s D(s) 

Metodo della Z-trasformata con ricostruttore di ordine zero

• Esempio: filtro passa basso del tipo

D(s) = a s + a Si ottiene D(z) = (1 − e −aT _)z−1 1 − e−aT z−1

• Possono insorgere fenomeni di aliasing, che però sono attenuati dal ricostruttore fittizio che introduce un effetto di filtraggio.

Metodo della corrispondenza poli/zeri

• Ogni polo e zero in s della funzione analogica D(s) viene trasformato in un polo o zero in z mediante la relazione z = esT _.

• Procedura:

• si fattorizzano numeratore e denominatore di D(s);

• si utilizzano le seguenti relazioni per la trasformazione dei poli e zeri: (s + a) → (1 − e−aT z−1)

(s + a ± jb) → (1 − 2e−aT cos bT z−1 + e−2aTz−2)

• si introducono nella D(z) tanti zeri in z = _{−1 quanti sono i poli di D(s) in} eccesso rispetto agli zeri (grado relativo).

• si compensa il guadagno k alle basse o alle alte frequenze. Si desidera che funzioni di trasferimento del tipo passa basso abbiano lo stesso guadagno per s _{→ 0 (nel continuo) e per z → 1 (nel discreto) e che}

Metodo della corrispondenza poli/zeri

• Esempio: data una funzione di trasferimento del tipo

D(s) = a

s + a

effettuando la semplice trasformazione poli/zeri, si otterrebbe

D(z) = a

1 − e−aT z−1

• Si nota che è presente in D(s) uno zero all’infinito (ovvero un polo in eccesso rispetto al numero di zeri) per cui D(s) _{→ 0, s → ∞. Poiché} si

desidera che il comportamento della D_c(jΩ) per Ω → ∞ sia simile a quello di D_d(ejωT) per ω → π/T, (che è la frequenza massima ammissibile nel

Metodo della corrispondenza poli/zeri

• Guadagno statico: D(s) = a s + a =⇒ D(z) = k a(1 + z−1) 1 − e−aTz−1

dove la costante k viene calcolata dalla relazione lim z→1D(z) = k 2a 1 − e−aT = lims→0 D(s) = 1 da cui k = 1 − e −aT 2a L’equivalente discreto del filtro D(s) è quindi

D(z) = 1 − e

−aT

2

1 + z−1 1 − e−aT z−1

Metodo della corrispondenza poli/zeri

• Esempio:

D(s) = s + b

s + a

di cui interessa il solo comportamento per le basse frequenze. Con la trasformazione z = esT _{applicata separatamente al numeratore e al}

denominatore si ottiene

D(z) = k z − e

−bT

z − e−aT

dove k viene calcolata imponendo l’uguaglianza fra i guadagni statici di D(s) e di

D(z), ossia lim z→1D(z) = k 1 − e−bT 1 − e−aT = lims→0 D(s) = b a e quindi

Metodo della corrispondenza poli/zeri

• Esempio: Il filtro passa alto

D(s) = s s + a viene trasformato in D(z) = k z − 1 z − e−aT k = 1 + e−aT 2

Metodo della corrispondenza poli/zeri

• Esempio: D(s) = 1 (s + a)2 _{+ b}2 = 1 (s + a + jb)(s + a − jb)

Essendo presenti due poli e nessuno zero, e si introducono quindi due zeri in z = _{−1. Si ha dunque}

D(z) = k (z + 1)

2

z2 − 2ze−aT _{cos bT + e}−2aT

con k determinato in modo da avere lo stesso guadagno statico per i due filtri:

k = 1 − 2e

−aT _{cos bT + e}−2aT

Considerazioni conclusive

• Le tecniche di discretizzazione forniscono una funzione discreta D(z) che approssima la corrispondente funzione analogica D(s).

• Tutte le tecniche di discretizzazione presentano distorsioni rilevanti nel

dominio delle frequenze, in particolar modo per pulsazioni prossime a π/T . È quindi necessario che la frequenza di campionamento venga scelta in modo opportuno, e che non solo verifichi il teorema di Shannon, ma anche che le frequenze di interesse di D(s) siano ben al di sotto di ω_s/2.

• La scelta della frequenza di campionamento deve essere fatta in modo tale da degradare il meno possibile le prestazioni del controllore. Si deve a

questo fine considerare anche l’effetto di ritardo introdotto dal ricostruttore nel progetto della D(s).

• È di importanza fondamentale una verifica a posteriori, almeno simulativa, delle prestazioni del sistema con il regolatore discreto. È solitamente

consigliabile effettuare la discretizzazione della D(s) mediante diverse tecniche e per confronto adottare quella che fornisce risultati migliori.

Esempio:Controllo

Esempio:Controllo di

di posizione

posizione di

di un’antenna

un’antenna

Si desidera controllare l’altezza di un’antenna affinchè essa possa un antenna affinchè essa possa seguire un satellite.

L’ t h t di i i J L’antenna ha un momento di inerzia J e un coefficiente d’attrito viscoso B. E’ mossa da un motore DC che

impone una coppia T_c

Il sistema deve portarsi nella Il sistema deve portarsi nella posizione desiderata con una

sovraelongazione inferiore al 10%, in n tempo di assestamento infe io e a un tempo di assestamento inferiore a 5 s. e con errore di posizione nullo.

Esempio:Controllo

Esempio:Controllo di

di posizione

posizione di

di un’antenna

un’antenna

c

T

B

J

θ

&

&

+

θ

&

=

θ

u

a

=

+

θ

θ

&

&

&

J

B

a

=

J

T

u

=

c

J

_J

Siccome di solit J>>B, a<<1. Nelle simulazioni che seguono è stato 0 1

Esempio:Controllo

Esempio:Controllo di

di posizione

posizione di

di un’antenna

un’antenna

)

(

1

)

(

)

(

)

(

a

s

s

s

U

s

s

G

+

=

Θ

=

)

(

)

(

C(s) G (s) r(t) e(t) u(t) θ(t)

Esempio:Controllo

Esempio:Controllo di

di posizione

posizione di

di un’antenna

un’antenna

)

( t

θ

1

0

+

s

30

)

(

1

5

.

0

1

.

0

6

.

0

)

(

=

+

+

=

t

r

s

s

s

C

30

)

(

t

=

r

Scelta

Scelta del

del periodo

periodo di

di campionamento

campionamento

Specifiche che devono essere soddisfatte dal sistema chiuso in retroazione

%

10

%

≤

S

δ

≥

0

.

6

Caso Peggiore

5

≤

T

_a

≤

5

3

≤

5

ω

n

=

1

T

≤

5

n

δω

La prima cosa da fare è la scelta del periodo di campionamento T. Questo deve essere scelto in rapporto alle costanti di tempo del sistema che si intende ottenere in catena chiusa.

Scelta

Scelta del

del periodo

periodo di

di campionamento

campionamento

In questo caso, considerando ω_n = 1, si ha che la risposta del sistema controllato ha oscillazioni smorzate con periodo:

.

85

.

7

)

1

(

2

2

=

s

δ

π

Una possibile scelta di T è quella di avere un certo numero di campioni

)

1

(

2 n

−

δ

ω

Una possibile scelta di T è quella di avere un certo numero di campioni (circa 8-10) per oscillazione.

Una s elta empi i a alte nati a onsiste nel p ende e la f eq en a di Una scelta empirica alternativa consiste nel prendere la frequenza di

campionamento pari ad un multiplo della massima frequenza significativa f_max presente nel sistema (banda in frequenza), f_s = nf_max, con n = 4÷10. Nel nostro caso si prende T = 0.2 s. Fatto questo, si è in grado di valutare l’effetto di ritardo introdotto dal ricostruttore (di ordine 0).( )

Effetto

Effetto del

del Ricostruttore

Ricostruttore

Si vuole utilizzare il ricostruttore di ordine 0 per l’implementazione del loop di controllo digitale. Per valutarne l’effetto sulle prestazioni dobbiamo

approssimarne il comportamento approssimarne il comportamento. sT − 1 Padè 1 1 s e s H sT − = 1 ) ( 0 0.1 1 1 1 2 / 1 ) ( + = + = s Ts s G_h r(t) C(s) G (s) θ(t) - G_h(s)

Effetto

Effetto del

del Ricostruttore

Ricostruttore

Evoluzione dell’angolo senza il ricostruttore (blu) e con il

(blu) e con il

ricostruttore rosso

La presenza del ricostruttore altera il comportamento del sistema!

Effetto

Effetto del

del Ricostruttore

Ricostruttore

S%<10% Ta<5 s.

Effetto

Effetto del

del ricostruttore

ricostruttore

è

•

L’alterazione introdotta dal controllore non è tale da portarci fuori dalle specifiche

•

Perchè abbiamo scelto bene il periodo di campionamentoPerchè abbiamo scelto bene il periodo di campionamento

•

Perchè le specifiche non sono troppo stringenti

T=0.8 s. S%>10% T 5 Ta > 5

Una scelta sbagliata del periodo di campionamento può introdurre alterazioni inaccettabili della risposta o addirittura un

Discretizzazione

Discretizzazione del

del Controllore

Controllore

•

Si noti che lo zero di C(s) cancella il polo di G(s). Conviene quindi

adottare per il calcolo della C(z) la trasformazione per corrispondenza di poli e zerip

2

1

.

0

2

.

1

1

5

0

1

.

0

6

.

0

)

(

s

=

s

+

=

s

+

C

2

1

5

.

0

)

(

+

+

s

s

1

.

0

+

s

₁

−

_e

−0.1T

_z

−1

=

₁

−

₀

_.

₉₈

_z

−1

2

+

s

₁

−

_e

−2T

_z

−1

=

₁

−

₀

_.

₆₇

_z

−1

Discretizzazione

Discretizzazione del

del Controllore

Controllore

è

•

Il controllore discreto è 1

98

0

1

−

z

− 1

67

.

0

1

98

.

0

1

)

(

₋

−

=

z

z

k

z

C

•

Il guadagno k deve essere scelto in modo che i guadagni statici del regolatore continuo e del regolatore discreto coincidano

1

.

0

2

.

1

)

0

(

98

.

0

1

)

1

(

z

=

=

k

−

=

C

s

=

=

C

2

2

.

1

)

0

(

67

.

0

1

)

1

(

−

C

s

k

z

C

99

.

0

=

k

1 1

67

.

0

1

98

.

0

1

99

.

0

)

(

₋ −

−

−

=

z

z

z

C

67

.

0

1

z

Simulazioni

Simulazioni

E l i d ll’ l Evoluzione dell’angolo senza il ricostruttore (blu) e con il ricostruttore rosso

Simulazioni

Simulazioni

La sequenza di controllo generata dal controllore g

viene ricostruita dal

ricostruttore e usata per muovere l’antenna

Simulazioni

CONTROLLI DIGITALI CONTROLLI DIGITALI

Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica

PROGETTO PER DISCRETIZZAZIONE

PROGETTO PER DISCRETIZZAZIONE

Ing. Cristian Secchi Tel 0522 522235 Tel. 0522 522235

e-mail: [email protected]