Dimostrazioni con le lettere – Classe 1°
1) Dite che cosa è un numero primo. Fate qualche esempio.
2) La somma di due numeri primi può essere un numero primo?
3) La formula 𝑛
!− 𝑛 + 11 con 𝑛 ∈ Ν genera solo numeri primi? Dite se è vera o se è falsa giustificando la vostra risposta.
4) Qual è la somma dei primi 2 numeri naturali? E dei primi 3? E dei primi 4? Sai trovare una formula per trovare la somma dei primi n numeri naturali?
5) Sia 𝑛 ∈ Ν, 𝑛 𝑛 + 1 𝑛 + 2 è divisibile per 6? Spiega.
6) Sia 𝑛 ∈ Ν, 𝑛 𝑛 + 1 è sempre pari ? E’ sempre dispari? Spiega.
7) Che cosa puoi dire sulla somma di due numeri dispari consecutivi? Giustifica le tue affermazioni.
8) Che cosa puoi dire sulla somma di tre numeri dispari consecutivi? Giustifica le tue affermazioni.
9) Che cosa si può dire della differenza fra i quadrati di due numeri dispari?
10) Che cosa si può dire della somma fra un numero e il suo quadrato?
11) Che cosa puoi dire del prodotto di tre numeri naturali consecutivi?
12) Dimostra che dati due numeri consecutivi, la differenza tra il quadrato del numero maggiore e il quadrato del numero minore è sempre dispari.
13) Sia x la misura, espressa in cm, del lato di un quadrato, con x >2 . Si diminuisce il lato di 2 cm.
a) Fra le seguenti espressioni qual è quella che esprime la diminuzione dell’area del quadrato?
I. 𝑥 + 2
!− 𝑥
!II. 𝑥
!− 𝑥 − 2
!III. 𝑥 − 2
!− 𝑥
!b) Mostrare che la diminuzione considerata può essere espressa da 4 𝑥 − 1 c) Calcolare il valore di x nel caso che la diminuzione sia di 16 cm
2.
14) Traduci le seguenti frasi in un’espressione algebrica, chiamando i due numeri x e y:
a) Il prodotto del successivo del primo per il precedente del secondo __________
b) Il doppio prodotto _______________________
c) Il quadrato del successivo di x __________________
d) Il quadrato della somma __________________
e) La somma dei quadrati ___________________
f) Il quadrato del prodotto __________________
g) Il prodotto dei quadrati ________________
h) Il doppio della somma dei due quadrati ______________
i) Il doppio del quadrato della somma ____________________
j) Il triplo prodotto del quadrato del primo per il secondo __________________
k) Il triplo prodotto del primo per il quadrato del secondo ___________________
l) La differenza dei quadrati ___________________
15) Provare che ciascuna delle seguenti affermazioni è vera:
a) La somma dei quadrati di due numeri è uguale al quadrato della loro somma diminuito del doppio prodotto dei due numeri.
b) Il doppio della somma dei quadrati di due numeri è uguale al quadrato della loro somma aumentato del quadrato della loro differenza.
16) Calcola, se esiste, il valore delle seguenti espressioni:
a)
!!!!!!!!!!
+
!!!!!!! !!!
con 𝑥 = −
!!, 𝑥 = −
!!, 𝑥 = 3, 𝑥 = −1.
b)
!!!!!"!!!!!!!!
+
!!!!!!
con 𝑎 = −1, 𝑏 =
!!
17) Se in un rettangolo si dimezza la base e si raddoppia l’altezza, è vero che l’area rimane invariata? Giustifica la tua risposta con il calcolo algebrico.
18) Se in un rettangolo si diminuisce la lunghezza della base del 20% e si aumenta la lunghezza dell’altezza del 20%, è vero che l’area rimane invariata? Giustifica la tua risposta con il calcolo algebrico.
19) Se in un rettangolo si aumenta la lunghezza della base del 50% e si diminuisce la lunghezza dell’altezza del 50%, di quanto varia l’area del rettangolo? Se invece la base aumenta 10% e l’altezza diminuisce del 10%, di quanto varia l’area del rettangolo? Giustifica la tua risposta con il calcolo algebrico.
20) Verifica con il calcolo algebrico se il prezzo p di una moto è lo stesso se prima subisce un aumento del 10% e poi una diminuzione del 10% oppure se accade il contrario.
21) Calcola l’area del trapezio isoscele ABCD sapendo che la base maggiore è 24𝑎, la base minore è la metà della base maggiore e l’altezza è !
! della base maggiore.
Calcola anche il perimetro (ricorda il teorema di Pitagora).
22) Calcola l’area delle figure geometriche colorate seguendo due procedimenti diversi:
2a-3
a 2b+1
b
A H K B B
D C
