VERIFICA DI MATEMATICA
5F 16 febbraio 2019
Nota. Per ogni esercizio commentare brevemente i passaggi che si effettuano, cercando di giustificare il più possibile il ragionamento logico seguito. Sono molto utili a tal proposito grafici ed altri diagrammi esplicativi.
1) Studio di funzione. Studiare la seguente funzione, studiando campo di esistenza, eventuali simmetrie, intersezioni con gli assi, segno della funzione, limiti nei punti di frontiera del CE, eventuali asintoti (anche obliqui!), massimi e minimi con la derivata prima. Tracciarne quindi un grafico relativo.
𝑓(𝑥) = 𝑥&𝑥'+ 3𝑥 + 2
2) Rettangolo in una semicirconferenza. Considerare la semicirconferenza positiva passante per i punti (4; 0), (0; 4), (−4; 0). Inscrivere in questa semicirconferenza un rettangolo la cui base giaccia sull’asse x (ovvero sul diametro della semicirconferenza). Si indichi con x la semilunghezza del lato di base del rettangolo, come rappresentato in figura. Si trovi il rettangolo con l’area massima (ovvero stabilire la condizione per x).
3) Calcolo di limiti. Calcolare i seguenti limiti, usando il metodo ritenuto più opportuno. lim 3→5 3𝑥'− 2𝑥 + 4 2𝑥'+ 2𝑥 + 1 lim 3→75 (ln 𝑥)' 𝑥
4) Picco di Gamow. Tutte le stelle brillano perché al loro interno avvengono delle fusioni nucleari. Prendiamo come esempio il Sole, che brucia idrogeno tramite quella che viene chiamata catena pp (protone-protone). Prendiamo la primissima reazione che avviene nel Sole: 𝑝 + 𝑝 → 𝐻' + 𝑒7+ 𝜈
=, ovvero due protoni si fondono per creare un nucleo di
deuterio, un positrone e un neutrino elettronico. In teoria questa reazione non dovrebbe avvenire, in quanto i protoni, essendo entrambi carichi positivamente, tendono a respingersi; eppure nelle stelle è una reazione che avviene molto comunemente. Cerchiamo di vedere come mai. Nella fusione nucleare stellare ci sono due fenomeni che contribuiscono: la prima è la probabilità che una particella abbia una certa energia cinetica, che possiamo scrivere come
Dove E è l’energia considerata. Il secondo fenomeno è puramente quantistico, in quanto rappresenta la probabilità di fare effetto tunnel, ovvero superare senza troppi problemi la repulsione elettrica. Tale probabilità possiamo scriverla come:
𝑃A = 𝑒@ B√A
In Figura qui accanto sono riportati gli andamenti. Come si può vedere, la probabilità di avere particelle con una certa energia diminuisce con l’energia stessa (linea nera – infatti è più raro trovare particelle con energie molto alte, ovvero verso la parte destra del grafico). La probabilità invece di fare effetto tunnel aumenta con l’energia (linea rossa). Sono quindi due effetti che tendono a controbilanciarsi: a basse energie abbiamo molte particelle, però è anche vero che la probabilità di fare effetto tunnel è
bassissima; ad alte energie abbiamo pochissime particelle ma la probabilità di fare effetto tunnel è molto alta. Esisterà quindi una zona intermedia dove la probabilità totale è più alta.
In generale la probabilità totale di avere una reazione la possiamo scrivere come: 𝑃(𝐸) = 𝑃?∙ 𝑃A
a) Fare un grafico approssimativo della funzione 𝑃(𝐸) della probabilità totale, riportando nello stesso grafico anche le singole funzioni 𝑃? e 𝑃A. La funzione 𝑃? è
sempre decrescente, mentre la funzione 𝑃A è sempre crescente. Come è invece la
funzione di probabilità totale 𝑃(𝐸)?
b) Calcolare per quale energia la 𝑃(𝐸) è massima (picco di Gamow).
In definitiva il picco di Gamow rappresenta un regime di energie intermedie dove però la probabilità di effettuare la reazione nucleare è più alta, contrariamente a quanto si possa pensare (ovvero probabilità alta per energie molto alte). Senza questo preciso bilanciamento di probabilità le stelle non esisterebbero e di conseguenza nemmeno noi.