Oscillazioni smorzate Equazione del moto:
v kx
ma=− −λ (l’ultimo termine rappresenta la forza d’attrito viscoso) ossia: 0 2 2 0 2 2 = + + x dt dx dt x d γ ω (1) con ω02 =k /m , 2γ =λ/m
Si cercano soluzioni del tipo: t
eα Sostituendo in (1): 0 2 2 0 2 + γα +ω = α
che ammette due soluzioni:
2 0 2 2 , 1 γ γ ω α =− ± − (2)
Se γ >ω0le soluzioni della (2) sono reali, il moto è sovrasmorzato: t t
Be Ae x= −(γ+ω) + −(γ−ω) ove 2 0 2 ω γ ω = −
Se γ <ω0, posto questa volta 2 2
0 γ ω ω = − risulta α1,2 =−γ ±iω e la soluzione è:
[
i t i t]
t Be Ae e x= −γ ω + −ω (3)che comunque dev’essere reale, dovendo rappresentare una legge oraria. Siccome risulta (formule di Eulero): ) sin( ) cos( t i t eiωt = ω + ω ) sin( ) cos( t i t e−iωt = ω − ω sostituendo in (3):
[
(A B)cos( t) i(A B)sin( t)]
e x= −γt + ω + − ωDalla realtà di x si deduce che dev’essere: ib
a
A= + B =a−ib e sostituendo si trova:
[
cos( ) sin( )]
2e a t b t x= −γt ω − ω (4) Posto: δ cos 2 2 + b = a a , sinδ 2 2 + b = a bsostituendo nella (4) otteniamo:
[
cos cos( ) sin sin( )]
cos( )2 2+ 2 γ δ ω − δ ω = γ ω +δ = − − t Ce t t e b a x t t
Oscillazioni forzate; risonanza Equazione del moto:
) cos( 0 t F v kx
ma=− −λ + ω (questa ω non c’entra niente con la precedente!) ossia: ) cos( 2 2 0 0 2 2 t m F x dt dx dt x d + γ +ω = ω (5)
La soluzione generale della (5) consiste nella soluzione generale della omogenea associata (1) a cui si aggiunge un integrale particolare della (5) (equazione completa). La soluzione generale della omogenea associata si esaurisce comunque in un transitorio; a regime sopravvive solo la soluzione particolare. Quest’ultima può essere cercata (in questo caso) di forma sinusoidale:
) sin(ω −α = A t x ; le sue derivate: ) cos(ω α ω − = A t dt dx ; 2 2sin( ) 2 α ω ω − − = A t dt x d Sostituendo nella (5): ) cos( ) sin( ) cos( 2 ) sin( 2 0 0 2 t m F t A t A t Aω ω −α + γ ω ω −α +ω ω −α = ω − Riordinando:
[
sin( )cos cos( )sin]
2[
cos( )cos sin( )sin]
cos( )) ( 2 2 0 0 t m F t t A t t Aω −ω ω α − ω α + γ ω α + ω α = ω
[
( )cos 2 sin]
sin( ) 2 cos ( 2 2)sin 0 cos( ) 0 0 2 2 0 − + +⎢⎣⎡ − − − ⎥⎦⎤ t = m F A A t A Aω ω α γ ω α ω γ ω α ω ω α ω (6)La (6) dev’essere soddisfatta ad ogni istante; ciò è possibile solo se i fattori che moltiplicano il seno ed il coseno si annullano. Ossia:
[
A(ω02 −ω2)cosα +2γAωsinα]
=0 (7) 0 sin ) ( cos 2 2 2 0 0 ⎥⎦⎤= ⎢⎣ ⎡ − − − m F A Aω α ω ω α γ (8)La (7) consente di trovare l’angolo α:
γω ω ω α 2 tan 2 0 2 − = (9)
Inoltre, tenendo presente le relazioni:
α α α 2 tan 1 tan sin + = ; α α 2 tan 1 1 cos + = sostituendole nella (8) si trova:
m F A 0 2 2 0 2 2 1 tan tan ) ( tan 1 2 = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + + α α ω ω α γω e dunque:
(
2)
2 2 2 0 2 0 4 1 ω γ ω ω − + = m F Adove si è fatto uso della (9).
L’ampiezza tende a F /0 k quando ω→0 (limite delle basse frequenze) e tende a zero nel limite di alte frequenze. Risulta massima per ω = ω02 −2γ2 , condizione di risonanza di ampiezza; il valore
di A è tanto maggiore quanto minore è l’attrito. Calcolando la velocità troviamo:
) cos( ) cos(ω α 0 ω α ω − = − = A t v t v con
(
)
2(
)
2 0 2 2 2 2 0 2 0 0 / 4 / ω ω λ ω γ ω ω ω k m F m F v − + = + − =che risulta massima quando ω =ω0, il che implica dalla (9) che α = 0. Si parla di risonanza di fase e in queste condizioni si ha il massimo trasferimento di energia dalla forzante al sistema.
