Università degli Studi di Modena e Reggio Emilia Automation
Robotics and System CONTROL
Corso di Laurea in Ingegneria
Meccatronica
PROGETTO DEL CONTROLLORE
MEDIANTE IL LUOGO DELLE RADICI
MEDIANTE IL LUOGO DELLE RADICI
CA – 9 - LuogoDelleRadici
Cesare Fantuzzi (
cesare.fantuzzi@unimore.it
)
Proprietà dei sistemi
in retroazione
L’equazione caratteristica del sistema chiuso in retroazione è:
k G(s)
r + e u y
-Il luogo delle radici corrisponde al valore dei poli
del sistema in retroazione al variare del guadagno k>0
Luogo delle radici
Al variare del parametro k i poli del sistema chiuso in retroazione descrivono un luogo di punti. Tale luogo è detto Luogo delle radici.
Il luogo delle radici descrive il luogo delle radici di un sistema chiuso in retroazione unitaria al variare del guadagno.
Il luogo delle radici gode di svariate proprietà che ne consentono il tracciamento senza la necessità di un approfondito studio analitico dell’equazione caratteristica.
Sistemi del primo ordine
k r + e u y-}
Im{s
Piano di Gauss}
Im{s
}
Re{s
X k =0 p = -2 X k =2 p = -4 X k =8 p = -10Sistemi del primo ordine
k r + e u y-}
Im{s
Piano di Gauss}
Im{s
}
Re{s
X k =0 p = -2 X k =2 p = -4 X k =8 p = -10Sistemi del secondo ordine
k r + e u y-k
s
s
k
s
G
cl4
4
5
4
)
(
2+
+
+
=
0
4
4
5
2+
+
+
=
k
s
s
Eq. caratteristica Poli inp
9
16
k
2
1
2
5
2 , 1=
−
±
−
16
9
2
1
2
5
16
9
4
,
1
0
2 , 1 2 1−
±
−
=
⇒
≤
−
=
−
=
⇒
=
k
p
k
p
p
k
Poli del sistema originale (senza controllo)
Poli reali distinti (coincidenti con il segno di uguaglianza)
9
16
2
1
2
5
16
9
k
16
9
2
2
16
2 , 1 2 , 1−
±
−
=
⇒
>
−
±
−
=
⇒
≤
k
i
p
k
p
k
}
Im{s
}
Im{s
}
Re{s
X k =0 p = -1 X k =0 p = -4}
Im{s
}
Im{s
}
Re{s
X k =0 p = -1 X k =0 p = -4 X k =0.3 p = -3.52 X k =0.3 p = -1.47}
Im{s
1 5Im{s
}
}
Re{s
X k =0 p = -1 X k =0 p = -4 X k =4 X k =4 55 2 1 2 5 i p = − + 55 2 1 2 5 i p = − −Luogo delle radici:
proprietà
1. Ha tanti rami quanti sono i poli del sistema in catena aperta
• Ciascun polo, spostandosi, traccia un ramo
2. Ogni ramo:
a) Parte (k=0)dalla posizione di un polo in catena aperta
b) Termina (k=infinito)nella posizione di uno zero del sistema o va all’infinito
3. Il luogo è simmetrico rispetto all’asse reale
4. Un punto dell’asse reale appartiene al luogo se lascia a destra un numero dispari di singolarità (poli e zeri)
5. Ha un numero di asintoti pari alla differenza tra il numero di poli e il numero di zeri (grado relativo) del sistema in catena aperta.
Esempio:
Il Luogo delle Radici
}
Im{s
1. Ha tanti rami quanti sono i poli del sistema in catena aperta
4
5
4
)
(
2+
+
=
s
s
s
G
}
Im{s
}
Re{s
X k =0 p = -1 X k =0 p = -4Esempio:
Il Luogo delle Radici
}
Im{s
2a. Ogni ramo parte (k=0) dalla posizione di un polo
4
5
4
)
(
2+
+
=
s
s
s
G
}
Im{s
}
Re{s
X k =0 p = -1 X k =0 p = -4Esempio:
Il Luogo delle Radici
}
Im{s
2b. Termina
(k=infinito)nella
posizione di uno zero del sistema o va all’infinito
4
5
4
)
(
2+
+
=
s
s
s
G
}
Im{s
}
Re{s
X k =0 p = -1 X k =0 p = -4 all’infinitoEsempio:
Il Luogo delle Radici
}
Im{s
3. Il luogo è
simmetrico rispetto all’asse reale (ogni radice complessa ha una radice complessa
4
5
4
)
(
2+
+
=
s
s
s
G
}
Im{s
}
Re{s
X k =0 p = -1 X k =0 p = -4 una radice complessaEsempio:
Il Luogo delle Radici
}
Im{s
3. Il luogo è
simmetrico rispetto all’asse reale (ogni radice complessa ha una radice complessa
4
5
4
)
(
2+
+
=
s
s
s
G
}
Im{s
}
Re{s
X k =0 p = -1 X k =0 p = -4 una radice complessaEsempio:
Il Luogo delle Radici
}
Im{s
4. Un punto dell’asse reale appartiene al luogo se lascia a destra un numero dispari di singolarità (poli e zeri).4
5
4
)
(
2+
+
=
s
s
s
G
}
Im{s
}
Re{s
X k =0 p = -1 X k =0 p = -4Lascia alla destra 1 polo Lascia alla destra 2 poli
Esempio:
Il Luogo delle Radici
}
Im{s
5. Ha un numero di asintoti pari alla differenza tra il numero di poli e il numero di zeri (grado relativo) del sistema in catena aperta.
4
5
4
)
(
2+
+
=
s
s
s
G
}
Im{s
}
Re{s
X k =0 p = -1 X k =0 p = -4Luogo delle radici: proprietà
6. Gli asintoti formano una stella con centro nel punto dell’asse reale:
7. Gli asintoti formano con l’asse reale gli angoli
7. Gli asintoti formano con l’asse reale gli angoli
Dove n e m rappresentano rispettivamente il numero di poli e il numero di zeri del sistema in catena aperta.
Esempio:
Il Luogo delle Radici
}
Im{s
6. Gli asintoti formano una stella con centro nel punto dell’asse reale:
4
5
4
)
(
2+
+
=
s
s
s
G
∑
−
∑
=
−
−
=
2
5
1
i iz
p
m
n
σ
}
Im{s
}
Re{s
X k =0 p = -1 X k =0 p = -4Esempio:
Il Luogo delle Radici
}
Im{s
7. Gli asintoti formano con l’asse reale gli angoli
4
5
4
)
(
2+
+
=
s
s
s
G
2
3
,
2
)
1
2
(
1 0π
θ
π
θ
π
ν
θ
ν⇒
=
=
−
+
=
m
n
Im{s
}
}
Re{s
X k =0 p = -1 X k =0 p = -42
2
−
m
n
Luogo delle radici:
tracciamento
Utilizzando le proprietà enunciate è possibile tracciare rapidamente il luogo delle radici. I passi da seguire sono:
1. Tracciare sul piano di Gauss zeri e poli del sistema in catena aperta, contrassegnando i poli con una X e gli zeri con un O.
2. Ricavare il numero di asintoti facendo la differenza tra il numero di 2. Ricavare il numero di asintoti facendo la differenza tra il numero di
poli e il numero di zeri del sistema in catena aperta.
3. Trovare il punto di incrocio degli asintoti e gli angoli che formano con l'asse reale.
4. Trovare i punti dell'asse reale che stanno sul luogo delle radici
Esempio:
Assignment 10.1
Tracciare il luogo delle radici dei seguenti sistemi chiusi in retroazione unitaria:
Matlab e il luogo delle radici
Matlab può essere utilizzato per tracciare il luogo delle radici. Il comando principale è rlocus.
Sintassi: >> rlocus(num,den)
Plotta il luogo delle radici del sistema:
k
r + e u y
-Matlab e il luogo delle radici
Il comando può essere usato in diversi modi. Ad esempio:
>> rlocus(num,den,k1) Plotta la posizione dei poli corrispondenti ad un guadagno statico k1.
>>[r,g]=rlocus(num,den)
Ritorna nella matrice r i valori dei poli del sistema e nel vettore g i rispettivi valori del guadagno k.
Matlab e il luogo delle radici
Per l’utilizzo del luogo delle radici nel progetto del controllore è molto utile il comando rlocfind
Sintassi: >> [k,poles]=rlocfind(num,den)
Dopo aver fatto una rlocus(num,den), la chiamata di questo comando ci consente di selezionare un polo sul luogo delle radici e ritorna in k il valore del guadagno statico corrispondente al polo selezionato e in poles il valore del guadagno statico corrispondente al polo selezionato e in poles il valore dei poli del sistema corispondenti al guadagno k.
E' molto utile per sapere quale guadagno dobbiamo mettere nel loop di controllo per avere i poli in una certa posizione.
Lo strumento rltool
Rltool è un’interfaccia grafica costruita su Matlab che consente di tracciare il luogo delle radici e di “spostare” col mouse i poli del sistema lungo il
luogo ottenendo automaticamente il guadagno corrispondente. Sintassi:
>>rltool(tf(num,den))
+
- k >>rltool(tf(num,den))
Dove num e den sono due vettori che rappresentano i polinomi al numeratore e al denominatore della G(s)
Lo strumento rltool
E’ possibile visualizzare, oltre al luogo delle radici, altri grafici di interesse per l’analisi del comportamento del sistema.
In particolare, selezionando la voce response to step command dal menu Analysis nella finestra del luogo delle radici, si apre una finestra dove è visualizzata la risposta a un gradino unitario del sistema chiuso in
retroazione in corrispondenza della configurazione dei poli rappresentata retroazione in corrispondenza della configurazione dei poli rappresentata nella finestra del luogo delle radici.
Variando la posizione dei poli lungo il luogo delle radici, si può vedere la risposta corrispondente e in tal modo è possibile avere un riscontro diretto dell’influenza dei poli sulla risposta del sistema.
Lo strumento rltool
Esercizi
Verificare che la sovraelongazione del sistema chiuso in retroazione dipende
dalla parte immaginaria dei suoi poli
Verificare che il sisteme diventa instabile per k grandi
Progetto di un controllore in retroazione
G(s) C(s)
+
-r(t) e(t) u(t) y(t)
L(s)=C(s)G(s), Guadagno d’anello Guadagno d’anello
Dato un plant G(s) costruire un controllore C(s) in modo che l’uscita y(t) del sistema chiuso in retroazione:
Specifiche di controllo
•• Specifiche statiche: Specifiche statiche: specifiche relative al massimo errore a regime tollerato. Si risolvono facendo in modo che il guadagno d’anello abbia un
numero opportuno di poli nell’origine oppure un guadagno a regime minore di un certo valore dipendente dalla specifica. Sono indipendenti dal
comportamento dinamico del sistema.
•• Specifiche dinamiche: Specifiche dinamiche: specifiche relative al comportamento dinamico della risposta, cioè il suo andamento prima di raggiungere il valore a regime. Tipicamente queste specifiche vengono date in termini di massima
Utilizzo del luogo delle radici
Per i sistemi elementari oppure approssimabili come sistemi elementari (cioè in presenza di poli dominanti) risulta semplice identificare regioni del piano in cui devono stare i poli del sistema in retroazione per soddisfare le
specifiche.
Il luogo delle radici può essere usato per studiare il comportamento dei poli del sistema chiuso in retroazione e per disegnare un controllore in modo da del sistema chiuso in retroazione e per disegnare un controllore in modo da fare in modo che , per certi guadagni, il sistema chiuso in retroazione abbia tutti i poli all’interno della regione desiderata.
Passi per la costruzione del controllore
1. Tenendo conto delle specifiche statiche aggiungere poli nell’origine.2. Esaminare il guadagno d’anello ottenuto per determinare l’ordine (eventualmente trascurando poli recessivi) del sistema
3. Tracciare sul piano di Gauss le regioni relative alle specifiche di controllo 4. Vedere se con una semplice azione proporzionale (C(s)=k) è possibile
soddisfare le specifiche dinamiche, cioè far entrare i poli del sistema chiuso soddisfare le specifiche dinamiche, cioè far entrare i poli del sistema chiuso in retroazione (più eventuali poli aggiunti nell’origine per soddisfare le
specifiche statiche) nella regione desiderata.
5. Se non è possibile soddisfare le specifiche con un semplice controllore proporzionale, costruire, per tentativi, un controllore tale che esista un k per cui i poli del sistema controllato stiano nelle regioni desiderata.
6. Fare una verifica simulativa del controllore ottenuto. E’ possibile utilizzare
