Universit`
a di Pisa
Dipartimento di Matematica
Corso di Laurea Magistrale in Matematica
Superfici con microstruttura in capillarit`
a
14 Ottobre 2016
Tesi di Laurea Magistrale
Relatore
Controrelatore
Prof. Giovanni Alberti
Prof. Massimo Gobbino
Candidato
Roberta Marziani
Non preoccuparti delle tue difficolt`a in matematica. Posso assicurarti che le mie sono ancora maggiori. Albert Einstein
Introduzione
Lo scopo della tesi `e quello modellizzare un problema di natura fisica cor-relato allo studio delle propriet`a idrofobiche delle foglie di alcune piante e anche di superfici artificiali. Si `e osservato che la natura idrorepellente di queste piante `e strettamente legata alla struttura microscopica delle loro foglie, ovvero in un certo senso alla loro “rugosit`a”. Se infatti si deposita una gocciolina d’acqua sulla superficie di una foglia di Loto essa rimane in equilibrio senza bagnare la foglia e si osserva quello che viene chiamato il “Lotus Effect”(vedi figura ??).
cercato di ricavare le leggi che governano questi fenomeni e nella presente trattazione sono riportati i risultati principali con lo scopo dare una descri-zione esaustiva dell’argomento.
Gauss per primo ha dato la formulazione variazionale delle leggi che una goccia all’equilibrio su una superficie liscia soddisfa: la legge di Young rela-tiva all’angolo di contatto associato (l’angolo che si forma tra la goccia e la superficie):
cos θ = σSV − σSL σLV
,
e la legge di Laplace sulla curvatura media della goccia. Nel primo capitolo della tesi ripercorreremo l’approccio variazionale classico da lui seguito che consiste nello studio dei punti di equilibrio dell’energia capillare associata ad un sistema trifase S-L-V (figura 1):
E = σSL|ΣSL| + σSV|ΣSV| + σLV|ΣLV| ,
dove σAB rappresenta la densit`a di energia superficiale per unit`a di area di
contatto tra la fase A e la fase B, mentre ΣAB `e la superficie di contatto tra
A e B e in modulo ne indichiamo l’area.
Tuttavia si `e osservato sperimentalmente che l’angolo di contatto non sod-disfa sempre la legge di Young, in particolare l’aumento della “rugosit`a” di una superficie provoca un incremento dell’angolo di contatto rispetto al-l’angolo di Young nel caso idrofobo (angolo di Young maggiore di 90 gradi) e una diminuzione nel caso idrofilo (angolo di Young minore di 90 gradi). Una delle possibili cause, che sar`a oggetto di discussione della tesi, `e che nella realt`a una superficie solida non `e mai perfettamente liscia ma presenta delle irregolarit`a su scala microscopica, alle volte non visibili a occhio nu-do. Di conseguenza, l’area di contatto reale tra la goccia e la superficie non coincide con quella apparente, e potrebbero addirittura essere presenti delle bolle d’aria intrappolate tra le scalanature della superficie. Sorge dunque il problema di trovare una formula per l’angolo di contatto che descriva anche queste situazioni. In letteratura ci sono vari modelli che cercano di dare una soluzione, tra cui ad esempio il modello di Wenzel [4] e il modello di Cassie-Baxter [3] che descriveremo nel capitolo 2. Essi fanno delle precise ipotesi sulla configurazione geometrica di una goccia su una superficie ruvida. Il
primo ipotizza che ci sia completo contatto tra la fase solida e la fase liquida mentre il secondo ipotizza che ci siano delle bolle d’aria intappolate tra la fase solida e la fase liquida. `E pressoch`e irrealistico pensare che si verifichi sempre una delle due situazioni, ed `e da questo presupposto che nasce il modello di Alberti-De Simone [1], di cui parleremo nel capitolo 3. Dal loro modello segue che l’angolo di contatto macroscopico θhom soddisfa la legge
cos θhom= σ
hom
SV − σSLhom
σLV
,
dove il coefficiente σSVhom (rispettivamente σSLhom) rappresenta l’energia mini-ma per unit`a microscopica di area associata a uno strato di transizione tra la superficie solida con “rugosit`a” e la fase gassosa (rispettivamente liqui-da) e si ricava, appunto, scegliendo il modo migliore da un punto di vista energetico di interporre una fase gassosa tra S e L (rispettivamente una fase liquida tra S e V ). L’idea alla base del loro lavoro `e quella di intepretare il problema di torvare una legge per l’angolo di contatto come un problema di minimizzazione dell’energia capillare associata al sistema all’equilibrio. Infatti, θhom `e l’angolo di contatto associato alla configurazione di minimo assoluto dell’energia omogeneizzata
Ehom= σSLhom|ΣSL| + σSVhom|ΣSV| + σLV|ΣLV| . (0.1)
L’approccio seguito da Alberti-De Simone sfrutta le tecniche della teoria del-l’omogeneizzazione, in particolare, presa una fase solida Sε la cui superficie
presenta una struttura microscopica su scala ε > 0), essi hanno dimostrato che l’energia minima Eεassociata al sistema per ε molto piccolo (la
dimen-sione delle irregolarit`a `e molto piccola se comparata alla dimensione della goccia) `e circa uguale all’energia Ehom. `E importante sottolineare che i mo-delli di Wenzel e Cassie-Baxter sono dei sottocasi del modello di Alberti-De Simone e che, in generale, l’energia ad essi associata stima dall’alto l’energia minima.
Una delle conseguenze pi`u significative del loro risultato `e che non si pu`o trasformare una superficie idrofila in idrofoba semplicemente modificandone la rugosit`a.
Nel capitolo 4 mostreremo la validit`a della (0.1) facendo vedere che la fami-glia dei funzionali Eε Gamma converge a Ehom per ε → 0 nella classe degli
insiemi di perimetro finito (una classe di insiemi con buone propriet`a di com-pattezza). Questa teoria basata sulla ricerca del minimo assoluto descrive la maggior parte dei casi osservati sperimentalmente, tuttavia ci sono alcuni casi che non sono contemplati dal modello teorico, per cui siamo portati a pensare che in queste situazioni la strada giusta da seguire sia analizzare le configurazioni di minimo locale.
Il capitolo 5 `e dedicato allo studio di alcune configurazioni metastabili a partire da un lavoro di Otten-Herminghaus del 2004 [2].
Infine in appendice richiameremo alcuni strumenti di teoria geometrica della misura utilizzati per la dimostrazione del teorema di Gamma convergenza ([8],[9],[10]).
Indice
1 Capillarit`a di un sistema trifase 10
1.1 Rinormalizzazione dell’energia . . . 11
1.2 Le leggi di Laplace e di Young . . . 12
2 Angolo di contatto per superfici rugose 20 2.1 Legge di Wenzel . . . 20
2.2 La legge di Cassie-Baxter . . . 21
3 Il modello di Alberti-De Simone 23 3.1 Formula di omogeneizzazione . . . 23
3.2 Calcolo esplicito in dimensione d = 2 . . . 26
3.3 Implicazioni fisiche della formula di omogeneizzazione . . . . 26
3.3.1 Caso idrofobo . . . 27
3.3.2 Caso idrofilo . . . 29
3.3.3 Ottimalit`a della configurazione di Wenzel . . . 30
3.3.4 Esempi significativi . . . 30
3.3.5 Considerazioni finali . . . 32
4 Risultato matematico rigoroso 34 4.1 Teorema di Alberti-De Simone . . . 35
5 Discussione delle configurazioni metastabili 42 6 Appendice: richiami di teoria della misura 47 6.1 Misure esterne . . . 47
6.2 La misura di Hausdorff . . . 47
6.3 Misure di Radon vettoriali . . . 48
6.4 Convergenza nel senso delle misure . . . 48
6.5 Teorema di Lebesgue-Besicovitch . . . 51
7 Appendice: Insiemi rettificabili e insiemi di perimetro finito 53 7.1 Insiemi rettificabili . . . 53
7.2 Insiemi di perimetro finito . . . 53
8 Appendice: esistenza del minimo di Eε 56 8.1 Semicontinuit`a e compattezza . . . 56
8.2 La condizione di wetting . . . 57
8.3 Osservazioni finali . . . 59
9 Appendice: Γ-Convergenza 60
1
Capillarit`
a di un sistema trifase
Sia {S, L, V } una partizione di Rd(d = 2, 3) dove S `e un chiuso fissato (anche illimitato) e rappresenta un solido, mentre L e V insiemi chiusi variabili che rappresentano rispettivamente una fase liquida (nel nostro caso sar`a una gocciolina d’acqua) e una fase gassosa e saranno le incognite del problema che discuteremo di seguito. Per il momento supporremo S, L e V insiemi con bordo regolare. Possiamo associare al sistema un’energia superficiale,
Figura 1: sistema trifase S-L-V.
detta anche energia capillare, relativa al contatto le rispettive fasi:
E := σSL|ΣSL| + σSV|ΣSV| + σLV|ΣLV|, (1.1)
dove ΣSL (rispettivamente ΣSV, ΣLV ) `e la superficie di contatto tra S e
L (rispettivamente tra S e V e tra L e V ) e |ΣSL| (rispettivamente |ΣSV|
e |ΣLV|) indica la sua area; mentre σSL (rispettivamente σSV, σLV ), detta
tensione superficiale, indica la densit`a di energia per unit`a di area di contatto tra S e L (rispettivamente tra S e V e tra L e V ). Aggiungiamo, inoltre, la seguente condizione
|σSL− σSV| ≤ σLV (1.2)
detta wetting condition.
Osservazione. Nella formula dell’energia ci possono essere termini aggiun-tivi, come il contributo energetico dato dalla forza di gravit`a e in tal caso sar`a presente un integrale di volume
γ Z
L
h ,
dove γ > 0 `e la differenza tra le densit`a relative di L e V e h(x) `e l’altezza del punto x.
Osservazione. La (1.1) `e valida nel caso in cui S `e una superficie chimica-mente omogenea, nel caso pi`u generale in cui essa `e chimicamente eterogenea (composta da diversi materiali) scriveremo invece
E := Z ΣSL σSL+ Z ΣSV σSV + σLV|ΣLV| (1.3)
con σSL(x) e σSV(x) funzioni definite per x ∈ ∂S.
Definizione 1.0.1. Chiamiamo angolo di contatto di un sistema trifase {S, L, V } l’angolo θ(x) (figura 1) con cui la superficie ΣLV incontra ∂S (bordo di S) nel punto x ∈ ΣLV ∩ ∂S.
Definizione 1.0.2. L’insieme L `e detto punto di equilibrio della (1.1) se la configurazione ad esso associata {S, L, V } con V = Rd\(S ∪L) `e un minimo
locale per (1.1) con vincolo di volume |L| = l (l > 0).
Lo scopo della tesi `e quello di indagare la natura di tali insiemi e in particolare di ricavare le equazioni che li descrivono.
1.1 Rinormalizzazione dell’energia
Innanzitutto vorremmo poter scrivere l’energia in una forma pi`u semplice da manipolare e a tal proposito `e utile rinormalizzare l’energia median-te trasformazioni che lasciano invariati i punti di minimo. Infatti, poich`e |ΣSL| + |ΣSV| = |∂S| `e un valore fissato, possiamo sempre sottrarre alla
(1.1) una costante c per (|ΣSL| + |ΣSV|), ovvero possiamo sempre applicare
la trasformazione
(σLV, σSL, σSV) 7→ (σLV, σSL− c, σSV − c).
Oppure possiamo moltiplicare l’energia per α numero reale positivo, ovvero applicare la trasformazione
(σLV, σSL, σSV) 7→ (ασLV, ασSL, ασSV).
Per semplicit`a poniamoci nel caso omogeneo, ovvero supponiamo σSLe σSV
costanti, e definiamo l’angolo θY ∈ [0, π], detto angolo di Young, tale che
cos θY :=
σSV − σSL
σLV
, (1.4)
che `e ben definito per la (1.2).
• Se cos θY ≥ 0 (equivalentemente σSV ≥ σSL), applichiamo le due
trasformazioni descritte sopra prendendo c = σSL e α = 1/σLV da cui
e l’energia associata diventa ˜
E = cos θY|ΣSV| + |ΣLV|; (1.5)
allora L punto di minimo favorisce la maggiore area di contatto tra S e L (|ΣSL|), e di conseguenza la minima area di contatto tra S e V
(|ΣSV|), diremo quindi che la superficie ∂S `e idrofila.
• Se cos θY ≤ 0 (equivalentemente σSV ≤ σSL), applichiamo le stesse trasformazioni prendendo c = σSV e α = 1/σLV da cui
(σLV, σSL, σSV) 7→ (1, −cosθY, 0)
e l’energia associata diventa ˜
E = − cos θY|ΣSL| + |ΣLV|. (1.6)
In questo caso, invece, il minimo L favorisce la minima area di contatto tra S e L (|ΣSL|), e diremo che la superficie ∂S `e idrofoba.
Osservazione. Lo stesso ragionamento vale anche se siamo nel caso eteroge-neo per cui vale la (1.3). Inoltre in presenza di termini aggiuntivi essi vanno opportunamente modificati.
1.2 Le leggi di Laplace e di Young
In questo paragrafo seguiremo l’approccio variazionale classico adottato da Gauss per ricavare le leggi che i punti di equilibrio devono soddisfare ([5], [7]). Come detto in precedenza la superficie ∂S `e liscia e la fase L ha bordo regolare.
Per completezza faremo il calcolo tenendo conto del termine aggiuntivo re-lativo alla presenza della gravit`a e del vincolo di volume per L. Supponiamo inoltre che la superficie ∂S sia idrofoba e dunque cos θY ≤ 0 (l’altro caso `e
analogo).
L’energia capillare opportunamente normalizzata diventa ˜ E(L) = − cos θY|ΣSL| + |ΣLV| + 1 σLV γ Z L h (1.7) con la condizione |L| = l .
Un insieme L con volume fissato `e di equilibrio per la (1.7) se la variazione prima dell’energia d( ˜E(Lt)) dt t=0
con Lt un’opportuna variazione di L soddisfa d( ˜E(Lt)) dt t=0 − λd(|Lt|) dt t=0= 0 ,
con λ moltiplicatore di Lagrange. Vale in particolare il seguente risultato:
Teorema 1.2.1. Sia L un insieme con volume fissato. Allora L `e di equili-brio per la (1.7) se
(i) detta H la curvatura media di ΣLV, allora vale Legge di Laplace
H = γh σLV
− λ ;
(ii) l’angolo di contatto θ definito su ΣLV ∩ ∂S soddisfa la Legge di Young
θ = θY.
Figura 2: η campo vettoriale tangente sul bordo alla superficie ∂S. Dimostrazione. Calcoliamo la variazione prima dell’energia (1.7). Sia η un campo vettoriale definito su ΣLV tale che per ogni x appartenente alla curva
Γ := ΣSL ∩ ΣLV η(x) sia tangente a ∂S. Definiamo Lt variazione di L
ottenuta mandando ogni punto x di ΣLV in x + tη(x). Pi`u precisamente
definiamo per t ∈ (−δ, δ) con δ > 0 abbastanza piccolo la parametrizzazione Ψt: ΣLV → Rd
x 7→ x + tη(x)
allora la superficie di contatto tra Lte V `e ΣtLV := Ψt(ΣLV). Indichiamo
Sia ηLV la componente di η ortogonale a ΣLV e ϕLV il suo modulo; mentre
per ogni x in Γ sia ηSL la componente di η ortogonale a Γ e ϕSL il suo
modulo. `E immediato verificare che: |Σt SL| = |ΣSL| + t Z Γ ϕSL+ O(t2) da cui d dt|Σ t SL| t=0= Z Γ ϕSL (1.8) inoltre |ΣtLV| = |ΣLV| + t − Z ΣLV HϕLV + Z Γ cos θϕSL ! + O(t2) (1.9)
con H curvatura media di ΣLV e θ l’angolo di contatto tra la superficie
solida ∂S e L, da cui d dt|Σ t LV| t=0= − Z ΣLV HϕLV + Z Γ cos θϕSL. (1.10)
Mostriamo la validit`a della (1.9): consideriamo la parametrizzazione
Ψ0t: ΣLV → Rd
x 7→ x + tηLV(x)
e poich`e ηLV `e la componente di η normale alla superficie possiamo scrivere
ηLV = ϕLVN dove N `e il campo vettoriale unitario normale alla superficie.
Per t abbastanza piccolo la mappa `e differenziabile con differenziale dΨ0t(p) : T an(ΣLV, p) → Rd
∀p ∈ ΣLV tale che
dΨ0t(p) = dp + tϕLVdN + tN dϕLV
dove i primi due termini formano la componente tangenziale alla superfi-cie ΣLV mentre l’ultimo termine `e la componente normale alle superficie.
Possiamo identificare Rdcon T an(S, p) × N or(S, p) (ricordiamo che stiamo considerando i casi d = 2, 3) e sia {e1, ..., ed−1} base ortonormale dello spazio
tangente, da cuiB = {e1, ..., ed−1, N } `e una base ortonormale di Rd.
La matrice d × (d − 1) associata a dΨ0t(p) rispetto alla baseB `e M =I − tϕLVA
t∇tϕLV
dove A e la matrice associata a −dN e dunque rappresenta la seconda forma fondamentale di ΣLV in p; segue che
MtM = I − tϕLVAt t∇tϕLV I − tϕLVA t∇tϕLV = I − tϕLV(At+ A) + O(t2) da cui p det(MtM ) =p1 − 2ϕ LVtr(A)t + O(t2) = 1 − ϕLVtr(A)t + O(t2) = 1 − ϕLVHt + O(t2).
Applicando adesso la formula per il calcolo dell’area abbiamo |ΣtLV| = Z ΣSL 1 − ϕLVHt − t Z Γ cos(π − θ)ϕSL
dove il secondo termine `e dovuto al fatto che il campo vettoriale η non `e normale alla superficie su Γ (vedi figura 3), e considerando che − cos(π−θ) = cos θ otteniamo la (1.9). Restano da calcolare la variazione del volume e
Figura 3: variazione della goccia. dell’energia potenziale: |Lt| = |L| + t Z ΣLV ϕLV + O(t2) quindi d dt|Lt| t=0= Z ΣLV ϕLV; (1.11)
infine 1 σLV γ Z Lt h = 1 σLV γ Z L h + t Z ΣLV hϕLV ! segue dunque d dt 1 σLV γ Z Lt h ! t=0 = 1 σLV γ Z ΣLV hϕLV. (1.12)
Mettendo insieme la (1.8), la (1.10) e la (1.12) abbiamo che
d dtE(L˜ t) t=0= = " − Z ΣLV HϕLV + Z Γ cos θϕSL # − cos θY Z Γ ϕSL+ 1 σLV γ Z ΣLV hϕLV = Z ΣLV γh σLV − H ϕLV + Z Γ (cos θ − cos θY)ϕSL. (1.13)
Con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange 0 = d dtE(L˜ t) t=0 − λd dt|Lt| t=0= = Z ΣLV γh σLV − H ϕLV + Z Γ (cos θ − cos θ)Y ϕSL− λ Z σLV ϕLV (1.14)
per ogni scelta ammissibile del campo vettoriale η, e dunque L punto di equlibrio se e solo se soddisfa le equazioni:
H = σγh LV − λ su ΣLV θ = θY su Γ (1.15)
La prima equazione e ci dice che in assenza della forza di gravit`a la curvatura media della superficie ΣLV `e costante, addirittura nulla se non
abbiamo nemmeno il vincolo di volume; la seconda equazione ci dice che all’equilibrio l’angolo di contatto coincide con l’angolo di Young.
Figura 4: superficie idrofila e superficie idrofoba.
Figura 5: angolo di contatto di uns goccia su uno spigolo.
In particolare, essendo nel caso cos θY ≤ 0 segue che l’angolo di contatto che
si viene a formare tra L e una superficie idrofoba `e maggiore di 90 gradi. Viceversa, se siamo nel caso cos θY ≥ 0, facendo un ragionamento analogo,
otteniamo sempre la (1.15) da cui segue che l’angolo di contatto tra L e una superficie idrofila `e minore di 90 gradi.
Osservazione. La legge di Young `e valida indipendentemente dalla presenza dell’energia potenziale e il vincolo di volume.
Osservazione. Se la superficie ∂S `e liscia a tratti pu`o succedere che la linea di contatto tra ΣLV e ∂S coincida parzialmente con uno spigolo convesso;
d’altra parte ΣLV non pu`o mai incontrare ∂S lungo un angolo concavo in
dimensione 2 mentre in dimensione 3 pu`o ma solo trasversalmente. Vale il seguente risultato:
Teorema 1.2.2. Sia S ⊂ R2 con bordo liscio a tratti e L tale che ΣLV ∩ ∂S
coincide parzialmente con uno spigolo convesso di angolo β. Allora l’angolo di contatto θ appartiene all’intervallo [θY, θY + π − β]. (vedi [6])
Dimostrazione. Supponiamo per semplicit`a di essere nel caso rappresentato in figura 5 in cui lo spigolo `e ottenuto dall’intersezione di due rette r e s, e sia
Figura 6: componente normale di η0 alla superficie nel punto q.
θ l’angolo di contatto corrispondente, (mentre sappiamo che l’angolo all’altra estremit`a coincide con θY). Sempre mettendoci nel caso idrofobo, possiamo
fare due tipi di variazioni. La prima scegliendo, come in precedenza, un campo vettoriale η su ΣLV che che sia tangente alla retta r nei punti di
intersezione tra ΣLV e ΣSL e prendendo per t ∈ (−δ, 0) la variazione Lt
della goccia ottenuta mandando ogni punto x di ΣLV.
Analogamente, dunque, la variazione prima dell’energia coincide con la (1.13) e L `e di equilibrio se mlungo la direzione tη l’energia decresce, ovvero
d dtE(L˜ t) t=0−− λ d dt|Lt| t=0− ≤ 0 ,
da cui segue che cos θ ≤ cos θY, che nel caso idrofobo equivale a dire
θ ≥ θY. (1.16)
La seconda variazione invece la otteniamo considerando un campo vettoriale η0 su ΣLV che sia tangente alla retta s nel punto q di intersezione tra le due
rette e invece tangente a r nel altro punto p di contatto tra ΣLV e σSL e
prendedo questa volta Ltcome al solito ma per t ∈ (0, δ). Se adesso considero
dell’energia (vedi figura 6) `e la seguente: d dtE(L˜ t) t=0+ = = Z σLV γh σLV − H ϕLV+
+ ϕSL(p)(cos θY − cos θY) + ϕSL(q)(cos(−π + β + θ) − cos θY)
e L `e di equilibrio se lungo la direzione tη0 l’energia cresce, ovvero d dtE(L˜ t) t=0+− λ d dt|Lt| t=0+ ≥ 0 ,
da cui si ricava che cos(−π + β + θ) ≥ cos θY, ovvero
θ ≤ θY + π − β . (1.17)
Mettendo insieme la (1.16) e la (1.17) segue dunque la tesi. Lo stesso ragionamento si applica se sono nel caso idrofilo.
2
Angolo di contatto per superfici rugose
Lo sviluppo di un modello matematico si basa molto spesso su una sem-plificazione della realt`a e per tale ragione accade alle volte che le leggi che ne derivano non corrispondono ai dati sperimentali, a tal proposito si `e os-servato ad esempio che l’angolo di contatto non coincide sempre con quello predetto da Young.
Una delle cause di questo fenomeno, che sar`a oggetto di discussione di questa tesi, `e che una superficie solida non `e mai perfettamente liscia, come invece abbiamo ipotizzato per calcolare le equazioni della (1.15), ma presenter`a delle irregolarit`a su scala microscopica, e dunque non percepibili a occhio nudo. Di conseguenza, l’area di contatto reale tra la goccia e la superficie non coincider`a con quella apparente e addirittura potrebbero essere presenti delle minuscole bolle d’aria intrappolate tra le scalanature della superficie, perci`o la formula dell’energia (1.1) va opportunamente corretta.
La difficolt`a nel trovare l’energia giusta sta nel fatto che a priori non possia-mo sapere se ci sono delle bolle d’aria e eventualmente dove sono collocate. In letteratura fisica sono presenti diversi modelli che cercano di risolvere tale problema, e di seguito ne descriveremo due: il modello di Wenzel e il modello di Cassie-Baxter. Vedremo, per`o, che entrambi hanno validit`a circoscritta ad alcuni casi, e in particolare che sono dei sottocasi del modello matematico di Alberti-De Simone il quale segue un approccio molto pi`u generale. Da qui in poi supporremo che la superficie ∂S sia macroscopicamente piat-ta e abbia delle rugosit`a su scala microscopica, molto piccole se comparate alla dimensione della fase liquida L (ad esempio una goccia d’acqua). Inol-tre con |ΣSL| (rispettivamente |ΣSV| ) indicheremo come in precedenza
l’a-rea macroscopica della superficie di contatto solido-liquido (rispettivamente solido-vapore), cio`e l’area calcolata trascurando le irregolarit`a di ∂S.
2.1 Legge di Wenzel
Il modello di Wenzel [4] ipotizza che ci sia completo contatto tra la fase solida e la fase liquida, ovvero esclude la presenza delle bolle d’aria intrappolate nelle scalanature di ∂S (vedi figura 7). Definiamo allora l’indice di rugosit`a
R := area reale(∂S)
area apparente(∂S) (2.1) e la formula corretta dell’energia diventa
EW = R(σSL|ΣSL| + σSV|ΣSV|) + σLV|ΣLV|. (2.2)
Supponendo di essere nel caso idrofobo (l’altro caso `e analogo) e rinorma-lizzando l’energia otteniamo
˜
Figura 7: Modello di Wenzel.
e ripercorrendo il conto fatto nella paragrafo precedente si ottiene che l’an-golo di contatto θW soddisfa la relazione
cos θW = R cos θY (2.4)
detta appunto Legge di Wenzel.
Osservazione. Poich`e R > 1 segue che θW > θY.
2.2 La legge di Cassie-Baxter
Consideriamo una superficie ∂S ⊂ R3 macroscopicamente piatta e micro-scopicamente le sue sezioni rispetto agli assi coordinati x e y siano come in figura 8 a destra. Il modello di Cassie-Baxter [3] ipotizza allora che vi sia dell’aria (fase gassosa V ) intrappolata tra la goccia L e la superficie (vedi figura 8), in modo tale che localmente siano verificate le leggi di Young e di Laplace. Pi`u precisamente immaginiamo di ingrandire localmente il sistema, e dunque una volta ingrandita la superficie diventa liscia per cui posso ricon-durmi al caso discusso nel paragrafo precedente e interporre delle bolle d’aria in modo che l’angolo di contatto microscopico sia proprio quello di Young e la curvatura media della superficie di separazione tra la bolla stessa e la goccia sia nulla (in assenza dei termini aggiuntivi) Dunque distinguiamo tra angolo di contatto microscopico θ, che coincide con θY, e angolo di contatto
macroscopico θCB che `e l’angolo di contatto visibile che vogliamo calcolare
(che non rispetta la legge di Young). Sia R come in (2.1) e definiamo φs:=
area reale di contatto tra S e L |ΣSL|
Figura 8: Modello di Cassie-Baxter.
che indica la percentuale di area di contatto tra S e L, allora a meno di un termine di secondo ordine la percentuale di area di contatto tra L e V `e circa 1 − φs, segue che la formula (1.1) diventa
ECB = K|ΣSL| + RσSV|ΣSV| + σLV|ΣLV| (2.6)
con K = σSLφs+ σLV(1 − φs) + σSV(R − φs).
Rinormalizzando l’energia sempre nel caso idrofobo abbiamo quindi ˜
ECB = [1 − φs(cos θY + 1)]|ΣSL| + |ΣLV| (2.7)
da cui segue la relazione
cos θCB = −1 + φs(cos θY + 1) (2.8)
nota come la legge di Cassie-Baxter.
Riassumendo sappiamo dunque che una goccia L all’equilibrio su una superficie solida ∂S presenta un angolo di contatto pari all’angolo di Young se la superficie `e regolare, altrimenti se non lo `e soddisfa la legge (2.4) se siamo nelle ipotesi di Wenzel, soddisfa la (2.5) se siamo nelle ipotesi di Cassie-Baxter.
3
Il modello di Alberti-De Simone
I modelli di Wenzel e di Cassie-Baxter che abbiamo appena descritto danno una soluzione parziale del problema, questo perch`e essi partono dal presup-posto di conoscere a priori la configurazione di equilibrio microscopica del sistema, in particolare di sapere se c’`e dell’aria intrappolata tra la goccia e la superficie e eventualmente come `e disposta. Inoltre `e piuttosto improbabile che nella realt`a si verifichi sempre uno dei due casi, infatti in alcuni casi `e possibile trovare una terza configurazione geometrica (che soddisfa Young e Laplace) pi`u conveniente da un punto di vista energetico rispetto alle confi-gurazioni proposte dai due modelli. Da questo presupposto nasce il modello di Alberti-De Simone [1], il quale utilizza un approccio diverso. Essi non fanno alcuna ipotesi sulla configurazione all’equilibrio, e propongono una formula pi`u generale dell’energia che coincide con l’energia minima.
Vedremo poi che sia Wenzel che Cassie-Baxter sono dei sottocasi di que-st’ultimo e che in generale l’energia ad essi associata stima dall’alto l’energia minima.
3.1 Formula di omogeneizzazione
Consideriamo la superficie ∂Sε e supponiamo sia macroscopicamente piatta,
in particolare che coincida col piano orizzontale ∂S = {xd = 0}, e che sia
ruvida su scala ε con ε > 0 parametro positivo. Pi`u precisamente assumiamo che Sε sia della forma
Sε:= {εx : x ∈ S1}, (3.1)
dove S1 `e un sottoinsieme chiuso di Rd tale che S = {xd≤ 0} ⊂ S1⊂ {xd≤
a} per qualche a > 0, r-periodico nelle prime d − 1 direzioni per qualche r > 0 e simmetrico rispetto ai piani coordinati {xi= 0} per i = 1, ..., d − 1.
Ad esempio possiamo prendere come S1 il sottografico di una funzione
limi-tata f delle prime d − 1 variabili, r-periodica da cui segue che Sε= {xd≤
εf (x1/ε, ..., xd−1/ε)}.
Osservazione. L’insieme Sε`e quindi rε−periodico nelle prime d−1 direzioni.
Sia Eε(L) l’energia associata alla configurazione {Sε, L, V }, e sia Lε il
minimo di tale energia. Notiamo che la superficie ∂Sε converge all’insieme
∂S per ε → 0 (|Sε4 S| = |Sε\ S| + |S \ Sε| → 0 per ε → 0) ma l’energia
Eε associata a S : epsilon non converge all’energia minima E0 associata s
S per ε → 0, questo perch`e il limite tiene conto dell’aumento della rugosit`a della superficie. Infatti Eε per ε molto piccolo `e circa uguale alla seguente
energia omogeneizzata:
dove come al solito ΣSL, ΣSV e ΣLV indicano le superfici macroscopiche (e
dunque non dipendono dal parametro ε) mentre le densit`a di energia σhomSL e σhomSV soddisfano rispettivamente
σhomSL := inf V0 E(V0, Cr) |Qr| (3.3) e σhomSV := inf L0 E(L0, Cr) |Qr| (3.4) in cui Qr`e l’insieme di tutti gli x nel piano {xd= 0} tali che −r/2 < xi< r/2
per i = 1, ..., d − 1, Cr`e il cilindro aperto Qr× R, mentre E(V0, Cr)
(rispetti-vamente E(L0, Cr)) indica l’energia associata ad un insieme test V0
(rispet-tivamente L0) in Cr e l’inf `e su tutti i V0 (rispettivamente L0) contenuti in
Cr\ S1 simmetrici rispetto ai piani {xi= 0} per i = 1, ..., d − 1.
Osservazione. L’energia E prensente nelle (3.3) e (3.4) coincide con quella data dalla (1.1), infatti V0 e L0 sono contenuti in Cr\ S1 e ∂S1 coincide con
la superficie macroscopica.
Dalla (3.2) segue che l’angolo di contatto macroscopico `e dato dalla formula cos θhom= σ hom SV − σSLhom σLV . (3.5)
La formula (3.2) verr`a dimostrata rigorosamente nel capitolo successivo, cerchiamo adesso di convincerci del perch`e questa `e la formula giusta con un conto euristico. Per trovare σSLhom e σSVhom vogliamo trovare il modo pi`u conveniente dal punto di vista energetico di interporre uno strato di vapore tra L e Sε, rispettivamente uno strato liquido tra V e Sε.
Poich`e la superficie `e periodica e simmetrica posso ragionare sulla singola cella Crε. Ingrandisco il sistema tramite un’omotetia di fattore 1/ε (come
in figura 9) passando da Sε a S1, e siano E(V0, Cr) e E(L0, Cr) le energie
associate agli insiemi test V0e L0in Cr\S1come in (3.3) (3.4). Consideriamo
la configurazione ottenuta interpolando tra Sεe L n = |ΣSL|/εd−1|Qr| copie
rimpicciolite di fattore ε di V0 (una in ogni singola cella) e interpolando tra Sε e V m = |ΣSV|/εd−1|Qr| copie rimpicciolite di L0. Essendo
εd−1E(V0, Cr) × n = E(V0, Cr) |Qr| |ΣSL| , e εd−1E(L0, Cr) × m = E(L0, Cr) |Qr| |ΣSV| , l’energia associata `e dunque della forma:
E = E(V 0, C r) |Qr| |ΣSL| + E(L0, Cr) |Qr| |ΣSV| + σLV|ΣLV|
Figura 9: blow-up del sistema.
facendo adesso l’inf su tutti i V0 e L0 test otteniamo l’energia minima e dunque la (3.2).
Osservazione. Sia Pa semispazio chiuso della forma {xd ≤ a} che contiene
S1, allora `e facile mostrare che l’energia capillare di V ∩ Pa non `e
mag-giore dell’energia di V ; dunque possiamo aggiungere al problema (3.3) la condizione V ⊂ Pa e lo stesso per L in (3.4).
Osservazione. La (3.5) `e ben definita poich´e vale |σhomSL − σSVhom| ≤ σLV ,
Infatti data una configurazione test come in (3.4), allora aggiungendo una superficie piatta di transizione tra V ed L l’energia `e la stessa pi`u il termine σLV|Qr|, da cui segue σSVhom ≤ σhomSL + σLV. Analogamente di dimostra
σSLhom≤ σhom
SV + σLV.
Osservazione. L’ipotesi di periodicit`a su S1 e la formula di riscalamento di
fattore ε codifica l’idea di superficie piatta con rugosit`a su piccola scala. Mentre l’ipotesi di simmetria su S1 `e puramente tecnica.
Osservazione. Le formule (3.3) e (3.4) valgono anche per superfici chimica-mente eterogenee sulla stessa scala di ruvidit`a; pi`u precisamente se le densit`a di energia solido-liquido e solido-vapore dipendono da ε e sono della forma σSLhom := σSL(x/ε) e σSVhom := σSV(x/ε), dove σSL e σSV sono funzioni
r-periodiche pari definite su S1. Nel caso in cui S1 `e piatta (non presenta
rugosit`a) il minimo di (3.3) e (3.4) `e raggiunto rispettivamente per V e L vuoti e σSLhom e σhomSV sono le medie di σSL e σSV sulla cella periodica.
Figura 10: possibili configurazioni ottimali in dimensione 2.
3.2 Calcolo esplicito in dimensione d = 2
L’inf della (3.3) (rispettivamente (3.4)) `e sempre raggiunto (vedi appendice 3), e dunque `e un minimo, inoltre il V0ottimale (rispettivamente L0) soddisfa la legge di Young e la superficie ΣLV ha curvatura media nulla (non abbiamo
l’energia potenziale e il vincolo sul volume). In dimensione d = 2 questo implica che ΣLV `e fatta di segmenti che incontrano la superficie solida con
angolo di contatto θY. In generale, questo permette solo un numero finito di
possibili configurazioni, rappresentate in figura 10 che possono essere dedotte e di cui si pu`o verificare l’ottimalit`a da un punto di vista energetico.
3.3 Implicazioni fisiche della formula di omogeneizzazione
Un modo di investigare sperimentalmente le propriet`a idrofobiche di una superficie ruvida consiste nel determinare per una superficie fissata l’angolo di contatto macroscopico θhom per vari liquidi ad atmosfera controllata e di rappresentare cos θhomin funzione di cos θY per S1fissato. Una conseguenza
della formula di omogeneizzazione (3.2) `e che tale diagramma `e simmetrico rispetto all’origine, ovvero cos θhom `e una funzione dispari di cos θ; questo poich`e le soluzioni corrispondenti ad un cambio di segno di cos θhompossono essere ottenute scambiando i ruoli di L e V in (3.3) e (3.4) da cui i valori di σhomSL e σSVhom sono scambiati e dunque abbiamo un cambio di segno di cos θhom. Segue allora che le deviazioni dalla simmetria del diagramma ot-tenuto dai dati sperimentali di cos θhom rispetto a cos θY sono da attribuirsi
alle configurazioni di equilibrio metastabili e agli effetti della dinamica e non alle propriet`a di minimizzazione dell’energia delle superfici ruvide.
in precedenza, ovvero
R := area reale(∂S) area apparente(∂S) e in questo caso specifico poich`e ∂S1 `e periodica
R := |∂S1∩ Cr|
|Qr| , (3.6)
dove Qr e Cr sono definiti come nella formula di omogeneizzazione. Se S1 `e
il sottografo di una funzione sufficientemente regolare f allora R = 1 |Qr| Z Qr q 1 + |∇f |2
Quindi R mi d`a una misura quantitativa della rugosit`a di ∂S1 e delle sue
copie riscalate ∂Sε.
3.3.1 Caso idrofobo
Analizziamo prima il caso idrofobo, cos θY ≤ 0 e rimpiazziamo l’energia E
con l’energia oppurtunamente rinormalizzata ˜E che coincide con la (1.6) dunque l’energia che appare nelle (3.3) e (3.4) `e
˜
E(L, Cr) = ˜E(V, Cr) = − cos θY|ΣSL| + |ΣLV| ,
con L e V insiemi test; segue immediatamente che l’inf nella (3.3) `e raggiunto per L uguale all’insieme vuoto, per cui ˜σhomSV = 0 e la (3.5) diventa
− cos θhom= ˜σhomSL = inf
V0
1 |Qr|E(V˜
0, C
r) . (3.7)
Una conseguenza della (3.7) `e che per superfici idrofobe l’aumento della rugosit`a provoca un aumento dell’ angolo di contatto ovvero
cos θhom≤ cos θY , infatti vale
˜
E(V, Cr) = − cos θY|ΣSL| + |ΣLV|
≥ − cos θY(|ΣSL| + |ΣLV|)
≥ − cos θ(|Π(ΣSL)| + |Π(ΣLV)|) ≥ − cos θY|Qr| ,
dove Π denota la proiezione ortogonale di Rdsul piano orizzontale xd= 0, la
seconda disuguaglianza segue dal fatto che le proiezioni ortogonali riducono l’area, mentre l’ultima disuguaglianza segue dal fatto che le proiezioni di ΣSL
e ΣLV ricoprono Qr, ovvero ogni retta verticale che passa per Qr incontra
ΣSL o ΣLV almeno una volta. Per cui ho che
cos θhom≤ − 1
|Qr|E(V, C˜ r) ≤ cos θY . (3.8) La (3.7) ci fornisce anche una stima dall’alto di − cos θhom, data infatti una configurazione test ammissibile Vtrial abbiamo
− cos θhom≤ E(V˜
trial, C r)
|Qr| . (3.9) Con la (3.9) possiamo mostrare che le leggi di Wenzel e di Cassie-Baxter corrispondono a particolari scelte dell’insieme test Vtriale dunque le energie ad essi associate forniscono una stima dall’alto dell’energia di omogeneizza-zione; per certe geometrie del distema nessuna delle due stime `e raggiunta. Se prendiamo Vtrial= ∅ otteniamo
˜
E(Vtrial, Cr) = − cos θY|∂S1∩ Cr| = − cos θYR|Qr| ,
da cui
− cos θhom≤ 1
|Qr|
˜
E(Vtrial, Cr) = −R cos θY ,
ovvero
cos θhom≥ R cos θY = cos θW. (3.10)
Dunque nel caso idrofobo l’angolo θhomrisulta essere inferiore all’angolo che soddisfa la legge di Wenzel, inoltre vale l’uguaglianza se Vtrial= ∅ coincide con la configurazione ottimale e quindi c’`e completo contatto tra la fase solida e liquida che `e proprio l’ipotesi alla base del modello di Wenzel.
Per quanto riguarda il bound fornito dalla legge di Cassie-Baxter definia-mo m l’altezza massima tra tutti i punti di S1, ovvero sia Pm := {x : xd≤ m}
il pi`u piccolo semispazio orizzontale che contiene S1. Allora prendiamo
Vtrial := (Pm \ S1) ∩ Cr (come in figura 11) e abbiamo che ΣSL e ΣLV
sono una partizione di Qr (traslata di m), e quindi |ΣSL| + |σLV| = |Qr|.
Come in precedenza consideriamo φs :=
area reale di contatto tra SSS e L |ΣSL|
che in questo caso diventa φs:=
|{x ∈ Qr : f (x) = m}| |Qr| , da cui segue
˜
Figura 11: configurazione test per il bound di Cassie-Baxter (caso idrofobo). si ottiene la stima data dalla legge di Cassie-baxter
− cos θhom≤ 1 |Qr|E(V˜
trial, C
r) = −φscos θY + 1 − φs
ovvero
cos θhom≥ φscos θY − 1 + φs = cos θCB. (3.11)
e quindi l’angolo θhom `e inferiore anche all’angolo che soddisfa la legge di Cassie-Baxter, e vale l’uguaglianza per particolari geometrie del sistema. 3.3.2 Caso idrofilo
Quanto visto nel caso idrofobo vale anche nel caso idrofilo, ossia per cos θY ≥
0. Facendo un ragionamento del tutto analogo al precedente si ha ˜σhomSL = 0 e dunque
cos θhom= ˜σhomSV = inf
L0
1 |Qr|E(L˜
0, C r) ,
dove la classe dei L0 ammissibili `e la stessa della (3.4). Al contrario se la superficie `e idrofila l’aumento della rugosit`a diminuisce l’angolo di contatto, cio`e
cos θY ≤ cos θhom.
Inoltre scegliendo un insieme test Ltrialrispettivamente uguale all’insie-me vuoto o alla configurazione in figura 11 ottenuta scambiando il ruolo di V e L valgono le seguenti relazioni
cos θhom≤ R cos θY = cos θW,
e
e quindi l’angolo θhom`e maggiore degli angoli che soddisfano rispettivamente la legge di Wenzel e la legge di Cassie-Baxter.
3.3.3 Ottimalit`a della configurazione di Wenzel
Se la superficie ∂Sεha pendenza sufficientemente piccola rispetto a |cos θY|
e per la precisione S1 `e il sottografico di una funzione regolare f il bound
fornito dalla legge di Wenzel `e raggiunto per |cos θY| ≤
1 √
1 + m2 dove m := maxx∈Qr|∇f (x)| .
Dimostriamolo nel caso idrofilo (l’altro `e analogo) per cui abbiamo detto che vale
cos θhom= ˜σhomSV = inf
L0
1 |Qr|
˜
E(L0, Cr) .
Dato L che realizza il minimo, allora cos θY|ΣSL| ≤ |ΣSL| √ 1 + m2 = √ 1 1 + m2 Z Π(ΣSL) q 1 + |∇f |2 ≤ |Π(ΣSL)| = |Π(ΣLV)| ≤ |ΣLV| ,
dove come al solito Π `e la proiezione sul piano xd= 0, l’ultima uguaglianza
segue dal fatto che ΣSL e ΣLV hanno la stessa proiezione mentre l’ultima
disuguaglianza e dovuta al fatto che la proiezione ortogonale riduce l’area. Abbiamo dunque che
˜
E(L, Cr) = cos θY|ΣSV| + |ΣLV|
= cos θY(|∂S1∩ Cr| − |ΣSL|) + |ΣLV|
≥ cos θY|∂S1∩ Cr| = R cos θY|Qr| ,
Ovvero abbiamo ottenuto la disuguaglianza opposta cos θhom ≥ R cos θY e
dunque la legge di Wenzel `e verificata. 3.3.4 Esempi significativi
A seconda della geometria del sistema e del valore di cos θY, cos θhom pu`o
Figura 12: esempi di configurazioni ottimali nel caso idrofobo, (A) Wenzel, (B) Cassie-Baxter, (C) configurazione a met`a tra Wenzel e Cassie-baxter. Ad esempio in dimensione d = 2 nel caso idrofobo (cos θY ≤ 0), consideriamo
una superficie ∂S1 fatta a scalini (figura 12 (A) e (B)) dove indichiamo con a
l’altezza dello scalino e con b la distanza tra due scalini. Per questa geometria le uniche due configurazioni che soddisfano contemporaneamente le leggi di Laplace (H = 0) e di Young (tenendo conto della presenza degli spigoli) sono proprio le configurazioni che soddisfano le ipotesi di Wenzel (figura 12 (A)) oppure le ipotesi di Cassie-Baxter (figura 12 (B)). Analizziamo ora per quali a e b `e pi`u conveniente, da un punto di vista energetico, il primo modello e per quali il secondo. L’energia (rinormalizzata) associata al primo modello `e ˜ E(V = ∅, Cr) = − cos θY|ΣSL| + |ΣLV| V =∅ = − cos θY(4a + r)
e analogamente preso V0 = V1∪ V2 come in figura, l’energia (rinormalizzata)
associata al secondo modello `e ˜ E(V = V0, Cr) = − cos θY|ΣSL| + |ΣLV| V =V0 = − cos θY(r − 2b) + 2b
da cui segue che
˜ E(V = ∅, Cr) ≤ ˜E(V = V0, Cr) (3.12) se e solo se a b ≤ 1 + cos θY −2 cos θY . (3.13) Per cui varr`a la legge di Wenzel (con R = 1 + 4a/r) se `e soddisfatta la (3.13) mentre varr`a la legge di Cassie-Baxter (con φs= 1 − 2b/r) altrimenti.
Vediamo adesso un esempio in cui una configurazione a met`a tra Wenzel e Cassie-Baxter `e pi`u conveniente energeticamente rispetto ad esse. Conside-riamo una superficie a scalini su due altezze, come in figura 12 (C), dove a e a + a0 sono le altezze degli scalini, b `e la distanza tra uno scalino e l’altro, mentre b0 indica l’ampiezza dello scalino centrale; consideriamo poi la configurazione come in figura, allora l’energia associata, approssimando i segmenti obliqui con le proiezioni orizzontali, `e la seguente
˜
E(V = V0, Cr) = − cos θY(r − 2b + 2a0) + 2b ,
mentre le energie associate alle configurazioni di Wenzel e Cassie-Baxter sono rispettivamente ˜ E(V = ∅, Cr) = − cos θY(r + 4a + 2a0) e ˜ E(V = V00, Cr) = − cos θY(r − b0− 2b) + b0+ 2b . Allora vale ˜ E(V0, Cr) ≤ ˜E(∅, Cr) ˜ E(V0, Cr) ≤ ˜E(V00, Cr) (3.14) se e solo se a0 b0 ≤ 1 + cos θY −2 cos θY ≤ a b. (3.15)
In tal caso sia Wenzel che Cassie-Baxter sovrastimano il valore di − cos θY
rispettivamente di
−4a cos θY − 2b(1 + cos θY)
r e
b0(1 + cos θY) + 2a0cos θY
r 3.3.5 Considerazioni finali
Una volta ricavata la legge che descrive θhom sorge il problema di calcolare i valori di σSLhome σhomSV ovvero di risolvere due problemi di minimo. Il primo punto da affrontare `e dimostrare l’esistenza dei minimi (guardare appendice 8), il secondo punto `e far vedere che i minimi sono insiemi regolari per cui la variazione prima e ben definita.
Tra le conseguenze di questo modello come si pu`o vedere in figura 13, una molto significativa `e che non `e possibile trasformare una superficie idrofila in idrofoba e viceversa modificandone la rugosit`a. Naturalmente questo non esclude che sperimentalmente una goccia su una superficie ruvida idrofila possa esibire un angolo di contatto maggiore di π/2, e per il risultato ot-tenuto tale configurazione corrisponde ad un minimo locale e non globale. Infatti come vedremo nel capitolo 4 il risultato di Alberti-De Simone `e valido
Figura 13: grafico di cos θhom in funzione di cos θY per una geometria data.
soltanto per i minimi globali e non locali. Inoltre si osserva che il grafico `e una funzione dispari e dunque simmetrica rispetto al cambio di segno di cos θY, mentre in letteratura sono presenti dati sperimentali che portano ad
alterazioni di tale simmetria [2] ed anche in questo caso la motivazione `e da ricondursi a configurazioni metastabili, ovvero di minimo locale. Nel capito-lo 5 metteremo in discussione questa teoria del minimo assoluto per dare una spiegazione ai casi non contemplati dal modello. L’ultima considerazione `e che l’energia minima `e associata al pi`u piccolo valore di |cos θhom|.
4
Risultato matematico rigoroso
Lo scopo di questo capitolo `e quello di mostrare la validit`a alla formula (3.2), e lo faremo dimostrando che la famiglia dei funzionali delle energie Eε
Gamma converge (per la definizione si guardi l’appendice 9) per ε → 0 al funzionale Ehom. Siano Qr, Cr e Sε definiti come nel capitolo precedente
senza l’ipotesi di simmetria rispetto alle prime d − 1 direzioni coordinate di S1. Dato Ω aperto limitato di Rd, L un suo sottoinsieme e V il suo
complementare, ovvero V = Ω \ (Sε∪ L), allora consideriamo la seguente
famiglia di funzionali: Eε(L) :=
R
Σε SL∩Ω σSLε +R
Σε SV∩Ω σεSV + σLV|ΣLV ∩ Ω| se L ∩ Sε= ∅ +∞ altrimenti (4.1) dove σεSL(x) = σSL(x/ε), σεSV(x) = σSV(x/ε), ΣSLε = ¯Sε∩ ¯L e ΣεSV = ¯Sε∩ ¯V ; e il funzionale Ehom(L) := σSLhom|ΣSL| + σhom SV |ΣSV| + σLV|ΣLV| se L ∩ {xd≤ 0} = ∅ +∞ altrimenti (4.2) conσSLhom:= lim inf
n→∞ ( inf V E(V, Cnr) |Qnr| ) (4.3) e
σSVhom:= lim inf
n→∞ ( inf L E(L, Cnr) |Qnr| ) (4.4) dove l’inf `e su tutti i V (rispettivamente L) contenuti in Cnr che non
intersecano S1.
Il risultato che andremo a dimostrare richiede la conoscenza di alcune nozioni e risultati di teoria geometrica della misura che richiameremo di seguito e che sono riportati dettagliatamente in appendice:
(i) Il volume e gli integrali di volume sono calcolati in termini della misura di Lebesgue Ld mentre aree di superfici e integrali di su-perficie sono calcolati in termini della misura di Hausdorff (d − 1)-dimensionaleHd−1 definita in appendice 6, inoltre insiemi e funzioni saranno assunti Borel misurabili;
(ii) Indichiamo conX la classe dei Boreliani contenuti in Ω su cui consi-deriamo la distanza indotta dalla norma L1
dove identifichiamo due insiemi che differiscono per un insieme avente misura di Lebesgue nulla;
(iii) ΣεSL `e per la precisione il bordo essenziale comune di Sε e L, ovvero
ΣεSL := ∂∗Sε ∩ ∂∗L la cui definizione `e rimandata all’appendice 7,
ΣεSV e σLV sono definiti nello stesso modo, e supponiamo inoltre che
il bordo essenziale di S1 ha misura di Hausdorff (d − 1)-dimensionale
localmente finita; (iv) Poich`e le interfacce Σε
SL e σSVε sono contenute nel bordo essenziale
di Sε esse hanno area finita, se dunque ΣLV ha area finita o
equiva-lentemente Eε(L, Ω) `e finita allora L `e un insieme di perimetro finito
(vedi appendice 7) in Ω e indicheremo con PΩ(L) il suo perimetro
il quale coincide con la somma delle aree delle superfici di contatto solido-liquido e liquido-vapore;
(v) Se il bordo di L `e liscio a tratti la nozione di superficie di contatto coincide con la solita e il perimetro di L coincide con la misura di Hausdorff (d − 1)-dimensionale del bordo, ad ogni modo `e conveniente considerare la classe pi`u ampia degli insiemi di perimetro finito per le sue buone propriet`a di compattezza. Infatti poich`e il perimetro di L e l’energia capillare Eε(L) sono semicontinui inferiormente su
X (appendice teorema 7.2.3) grazie ad un risultato di compattezza (appendice teorema 7.2.4) segue che esiste il minimo di Eεnella classe
degli insiemi L con volume fissato l (appendice 8), e lo stesso vale se aggiungiamo all’energia un termine semicontinuo inferiormente suX come ad esempio l’energia potenziale.
4.1 Teorema di Alberti-De Simone
Fatte tutte le dovute premesse possiamo enunciare il seguente teorema: Teorema 4.1.1. (i) I funzionali Eε sono uniformamente coercivi suX ,
ovvero ogni successione di insiemi {Lε} con Eε(Lε) equilimitata `e
precompatta inX ;
(ii) Eε Γ-converge ad Ehom per ε → 0+ suX ;
(iii) se S1 `e simmetrico rispetto ai piani coordinati {xi = 0} per i =
1, ..., d − 1 allora σhomSL = inf V E(V, Cr) |Qr| (4.5) e σSVhom= inf L E(L, Cr) |Qr| (4.6) con L e V in Cr\ S1 simmetrici rispetto ai piani coordinati {xi = 0}
(iv) per ogni ε > 0 sia Lεil minimo di Eε(L) tale che |L| = l fissato. Allora
{Lε} `e precompatta in X e ogni punto limite `e minimo di Ehom(L)
con |L| = l.
Dimostrazione. (i) L’equicoercivit`a `e immediata conseguenza di un risul-tato di compattezza per gli insiemi di perimetro finito riporrisul-tato in appendice (teorema 7.2.4).
(ii) Per mostrare la Γ- convergenza dimostriamo separatamente che valgo-no la disuguaglianza del Γ-liminf e la disuguaglianza del Γ-limsup. Γ-liminf: Sia Lε una successione di insiemi in X e L ∈ X tali che
d(Lε, L) → 0 per ε → 0+, vogliamo dimostrare che vale
lim inf
ε→0 Eε(Lε) ≥ E
hom(L). (4.7)
Supponiamo, senza perdere di generalit`a, che il liminf sia in realt`a un limite e che sia finito (e dunque per l’osservazione fatta prima Lε e L
sono insiemi di perimetro finito). Indichiamo con λε la distribuzione
di energia in Ω associata a Eε di Lε, ovvero la misura ristretta (per la
definizione guardare l’appendice 1)
λε:= σεSLHd−1xΣεSL+ σεSVHd−1xΣεSV + σLVHd−1xΣεLV, (4.8)
dove in questo caso
ΣεSL= ∂∗Lε∩ ∂Sε∩ Ω,
ΣεSV = (∂Sε\ ∂∗Lε) ∩ Ω,
ΣεLV = (∂∗Lε\ ∂Sε) ∩ Ω ;
e indichiamo con λ la distribuzione di energia in Ω associata a Ehom di L, definita come
λ := σhomSL Hd−1xΣSL+ σSVhomHd−1xΣSV + σLVHd−1xΣLV. (4.9)
Osserviamo che la massa totale di λε`e tale che λε(Ω) = Eε(Lε) e
ana-logamente per λ vale λ(Ω) = Ehom(L).
Dunque, poich`e abbiamo supposto che lim infn→∞Eε(Lε) < +∞,
esi-ste una costante C > 0 tale che Eε(Lε) ≤ C, ovvero {λε} `e una
successione di misure finite e per il criterio di compattezza (teorema 6.4.3), a meno di sottosuccessione, λε converge nel senso delle misure
a una misura µ. `
E sufficiente dimostrare che µ ≥ λ nel senso delle misure, cio`e ∀A ⊂ Ω aperto, µ(A) ≥ λ(A). Infatti preso A = Ω
lim
ε→0Eε(Lε) = limε→0λε(Ω) = µ(Ω) ≥ λ(Ω) = E
Sia A ⊂ Ω aperto tale che A ∩ ∂Sε= ∅, ∀ε > 0 e µ(∂A) = 0, indicato
con PA(L) il perimetro di L in A, allora vale
µ(A) = lim ε→0λε(A) = σLV ε→0limH d−1(Σε LV ∩ A) = = σLV lim inf ε→0 PA(Lε) ≥ σLVPA(L) = σLVH d−1(Σ LV ∩ A) = λ(A) ,
dove la prima uguaglianza segue da una propriet`a delle misure (ap-pendice 1 proposizione 6.4.2 (iii)) mentre la disuguaglianza `e dovuta alla propriet`a di semicontinuit`a inferiore del perimetro.
Per gli A ∈ Ω tali che A ∩ ∂Sε 6= ∅, ∀ε > 0 procediamo nel seguente
modo. Supponiamo per semplicit`a che A ∩ ΣεLV = ∅ ( altrimenti possiamo ricondurci al caso precedente), ∀x ∈ Ω siano Θ∗d−1(µ, x) e Θ∗d−1(λ, x) le densit`a (d − 1)-dimensionali associate rispettivamente alle misure µ e λ, ovvero
Θ∗d−1(µ, x) = lim ρ→0 µ(U (x, ρ)) ρd−1 , Θ∗d−1(λ, x) = lim ρ→0 λ(U (x, ρ)) ρd−1 ,
con U (x, ρ) cubo di centro x e lato ρ con gli assi paralleli agli assi coordinati (in realt`a la defnizione di densit`a prevede l’uso delle palle chiuse, come in appendice 6, definizione 6.5.4, ma la definizione con i cubi `e sostanzialmente equivalente).
Poich´e ∂∗L `e un insieme rettificabile (per la definizione guardare
l’ap-pendice 7) per il teorema 6.5.5 basta mostrare che Θ∗d−1(µ, x) ≥ Θ∗d−1(λ, x) ∀x ∈ A.
In realt`a basta mostrarlo per q.o. x ∈ ∂S ∩ A. Osserviamo ora che per definizione di λ per x ∈ ∂S ∩ A vale
Θ∗d−1(λ, x) = σhomLS se x ∈ ΣSL σhomSV se x ∈ ΣSV
Ricordiamo che siamo nel caso in cui A non interseca ΣεLV ∀ε > 0 e in particolare non interseca ΣLV.
Se x ∈ A ∩ ΣSL vogliamo mostrare che Θ∗d−1(µ, x) ≥ σSLhom.
Sia ρi → 0 allora
Θ∗d−1(µ, x) = lim
i→∞
µ(U (x, ρi))
posso scegliere ρi in modo tale che µ(∂U (x, ρi)) = 0 ∀i da cui
lim
ε→0Eε(Lε, U (x, ρi)) = limε→0λε(U (x, ρi)) = µ(U (x, ρi)). (4.11)
Mettendo insieme la (4.10) e la (4.11) mediante ragionamento diago-nale per εi→ 0 segue che
Θ∗d−1(µ, x) = lim i→∞ λεi(U (x, ρi)) ρd−1i = limi→∞ Eεi(Lεi, U (x, ρi)) ρd−1i (4.12) Posso inoltre scegliere εi ρi tale che ρi/εi = nir dove ni → ∞
suc-cessione di interi e r ricordiamo essere il periodo della superficie ∂Sε.
Indichiamo con Ti un’omotetia di fattore 1/εi che manda il cubo
U (x, ρi) in Ui = U (0, nir) e con Li0 = Ti(Lεi) ∩ Ui, allora Eεi(Lεi, U (x, ρi)) ρd−1i = E(L0i, Ui) (nir)d−1 . (4.13)
Poich´e la densit`a d-dimensionale di ∂∗L in x `e 0 per quasi ogni x ∈ ΣSL,
ovvero lim ρ→0 Hd(U (x, ρ) ∩ Σ SL) Hd(U (x, ρ)) = 0,
possiamo scegliere ρi e εi tali che |L0i| |Ui| = (nir)d.
Inoltre, a priori, gli L0i non sono limitati quindi definisco L00i := L0i∩ {xd ≤ ti} con 0 < ti < nir/2, l’energia totale associata a L00i soddisfa
la seguente relazione: E(L00i, Cnir) = E(L
00
i, Ui) = E(L0i, Ui) + o((nir)d−1). (4.14)
Dalle (4.12), (4.13), (4.14) possiamo concludere che θd−1(µ, x) = lim i→∞ Eεi(Lεi, U (x, ρi)) ρd−1i = = lim i→∞ E(L0i, Ui) (nir)d−1 = lim i→∞ E(L00i, Cnir) (nir)d−1 ≥ σSLhom. Se x ∈ A ∩ ΣSV si procede nello stesso modo per mostrare che
θd−1(µ, x) ≥ σhomSV .
Γ -limsup: sia L un sottoinsieme di Ω tale che L ⊂ (Ω \ {xd ≤ 0})
con bordo liscio a tratti e possiamo supporre che ΣLV incontri ∂S
trasversalmente (guardare appendice 9, Oss (iv)). Vorremmo trovare una successione {Lε} (detta recovery sequence) di sottoinsiemi di Ω
tali che d(Lε, L) → 0, per ε → 0+ e
lim sup
ε→0
Figura 14: costruzione della recovery sequence. Per definizione di σhom
SL e σSVhom, per ogni δ > 0 esistono rispettivamente
due interi m e n e due insiemi Vδ ⊂ (Cmr\ S1) e Lδ ⊂ (Cnr\ S1) tali
che: E(Vδ, Cmr) |Qmr| ≤ σ hom SL + δ, (4.16) e E(Lδ, Cnr) |Qnr| ≤ σ hom SV + δ. (4.17)
Per costruire la recovery sequence {Lε} modificheremo l’insieme L di
partenza, togliendo un certo numero di copie rimpicciolite di un fattore ε di Vδ e aggiungendo un certo numero di copie rimpicciolite di un
fattore ε di Lδ.
Per ε > 0 fissato consideriamo la partizione di ∂S = {xd= 0} formata
dalle copie traslate di Qmrε e siano
Q1mrε, ..., Qhmrε
gli elementi di tale partizione che sono contenuti in ΣSL∩ Ω. Sia poi
Cmrεi = Qimrε×R per i = 1, ..., h. Allora per ogni i = 1, ..., h prendiamo la configurazione ottenuta interpolando tra la fase solida ∂Sε∩ Cmrεi
e la fase liquida L ∩ Cmrεi una copia riscalata di ε dell’insieme Vδ che
indicheremo con Vδεi. Allo stesso modo consideriamo la partizione di ∂S formata da copie di Qnrε e siano
Q1nrε, ..., Qknrε
gli elementi contenuti in ΣSV ∩ Ω, e Cnrεj = Qjnrε× R per j = 1, ..., k.
Analogamente consideriamo per ogni j = 1, ..., k la configurazione ot-tenuta interpolando tra la fase solida ∂Sε ∩ Cnrεj e la fase gassosa
V ∩ Cnrεj una copia riscalata di ε di Lδ che chiameremo Ljδε. Infine sia Qε:= ∂S ∩ Ω \ [ i Qimrε∪ [ j Qjnrε ,
e su Cε := Qε × R consideriamo la configurazione data prendendo
L0ε= (L ∩ Cε) \ Sε.
A questo punto definiamo allora la successione Lε nel seguente modo
Lε:= L \ Sε∪ [ i Vδε,i ∪ [ j Lδε,j
e abbiamo che l’energia associata `e del tipo Eε(Lε) = E(Vδ, Cmr) |Qmr| |ΣSL\ Qε| + E(Lδ, Cnr) |Qnr| |ΣSV \ Qε|+ + σLV|ΣLV| + Eε(L0ε) , (4.18)
allora dalle (4.16) e (4.17) segue che
Eε(Lε) ≤ σSLhom|ΣSL\ Qε| + σSVhom|ΣSV \ Qε|+
+ σLV|ΣLV| + Eε(L0ε) + o(δ) ; (4.19)
poich`e |Qε| → 0 per ε → 0 si ha Eε(L0ε) → 0 e dunque
lim sup
ε→0
Eε(Lε) ≤ Ehom(L) + o(δ)
abbiamo cos`ı dimostrato la disuguaglianza del Γ-limsup, resta da mo-strare che d(Lε, L) → 0 per ε → 0 ma questo `e immediato poich`e
|Vi
δε| → 0 e |L j
δε| → 0 per ε → 0. Si pu`o costruire la recovery sequence
anche per |L| = l fissato. Infatti se |Lε| = l abbiamo finito, altrimenti
possiamo modificare opportunamente gli insiemi V δ e Lδ in modo che
il volume sia mantenuto e che l’energia rimanga controllata.
(iii) Se S1 `e simmetrico rispetto ai piani coordinati {xi = 0} per i =
1, ..., d − 1 vogliamo mostrare che lim inf n→∞ inf V E(V, Cnr) |Qnr| = inf V E(V, Cr) |Qr| (4.20) dove l’inf a destra dell’uguaglianza `e su tutti i V simmetrici rispetto alle coordinate xi per i = 1, ..., d − 1. Innanzitutto `e immediato vedere
che lim inf n→∞ inf V E(V, Cnr) |Qnr| ≤ inf V E(V, Cr) |Qr| , (4.21)
mentre per mostrare la disuguaglianza opposta `e sufficiente mostrare che per ogni intero n e per ogni insieme V ⊂ Cnr\ S1 possiamo trovare
un insieme simmetrico V0⊂ Cr\ S1 tale che
E(V0, Cr)
|Qr|
≤ E(V, Cnr) |Qnr|
. (4.22)
A tal proposito suddividiamo Cnr in (2n)d−1copie C disgiunte e
paral-lele del cilindro (0, r/2)d−1× R (un quarto della cella periodica C r), e
in ogni copia C scegliamo la configurazione V00⊂ C \ S1che minimizza
E1(V, C). Allora abbiamo
E(V00, C) ≤ E(V, Cnr) (2n)d−1 ,
prendendo adesso 2d−1 copie di V00 opportunamente traslate e riflesse otteniamo un insieme simmetrico V0 ⊂ Cr\ S1 per cui vale
E(V0, Cr) = 2d−1E(V00, C) ≤
E(V, Cnr)
nd−1
e dunque V0 soddisfa la (4.22). Allo stesso modo si dimostra l’ugua-glianza lim inf n→∞ inf L E(L, Cnr) |Qnr| = inf L E(L, Cr) |Qr| . (4.23) (iv) Sia Lε la successione dei minimi dei funzionali Eε a volume fissato
l allora `e immediato verificare che esiste una costante C < ∞ tale che Eε(Lε) ≤ C, ma allora per (i) esiste una sottosuccessione Lεk
convergente inX ad un insieme L di volume l. Per le propriet`a della gamma convergenza (vedi appendice 9) L `e minimo di Ehom e inoltre vale
lim
k→∞Eεk(Lεk) = E
5
Discussione delle configurazioni metastabili
Come abbiamo visto nel capitolo precedente il modello di Alberti-De Si-mone identifica la configurazione all’equilibrio microscopico con quella che ha il minor costo energetico in assoluto. Infatti il loro risultato sfrutta le propriet`a della gamma convergenza, la quale fornisce delle informazioni sul comportamento asintotico della successione delle configurazioni di minimo assoluto, mentre non ci d`a alcuna indicazione sul comportamento del insie-me dei minimi locali che al limite pu`o diventare un insieme denso. Questa teoria basata sulla ricerca del minimo assoluto descrive la gran parte dei ca-si osservati sperimentalmente, ma ci sono alcuni eventi particolari che non sono contemplati dal modello, per cui siamo portati a pensare che in queste situazioni la strada giusta sia analizzare le configurazioni di minimo locale. Di seguito faremo alcune considerazioni a partire da un lavoro pubblicato da Otten e Herminghaus del 2004 [2]. Uno degli esperimenti descritti in que-sto articolo mostra quello che viene comunemente chiamato “Lotus Effect” ovvero l’effetto foglia di Loto. Otten e Herminghaus hanno osservato che le foglie dell’Indian Cress presentano una struttura miscroscopica formata da microcristalli i quali influenzano le propriet`a idrofobiche della foglia stessa. I microcristalli hanno un angolo di contatto microscopico che `e l’angolo di Young di circa θY ≈ 100◦ e l’angolo di contatto di Wenzel, tenendo conto
della struttura microscopica della foglia, con indice di rugosit`a R ≈ 4.7 `e circa θW ≈ 145◦, mentre l’esperimento riportato nell’articolo mostra che una
goccia di acqua in equilibrio su una foglia (asciutta) presenta un angolo di contatto θoss≈ 180◦e dunque quest’ultima si comporta come una superficie
superidrofoba. Proviamo ad analizzare i dati che abbiamo a disposizione: innanzitutto poich`e θY >90◦ siamo nel caso idrofobo e dunque, per la (3.8)
e la (3.10), l’angolo θhom dato dal modello Alberti-De Simone soddisfa la relazione
cos θW = R cos θY ≤ cos θhom≤ cos θY ,
ovvero
θY ≤ θhom≤ θW,
che in questo caso significa
100◦ ≤ θhom≤ 145◦ da cui segue θhom 6= θ
oss e dunque il modello teorico in questo caso non si
applica, perci`o possiamo concludere che la configurazione osservata coincide con una configurazione metastabile e non di minimo assoluto.
Modellizzare la struttura microscopica della foglia `e piuttosto complicato, dunque analizzeremo da un caso molto semplice in dimensione d = 2
Consideriamo una superficie idrofoba (θY >90◦) a scalini come in figura
Figura 15: Superficie a scalini.
quella descritta dal modello di Wenzel, tuttavia la configurazione di Cassie-Baxter soddisfa le leggi di Young e di Laplace, vorremmo far vedere che essa coincide con un minimo locale dell’energia associata. La formula dell’energia opportunamente rinormalizzata `e
˜
E = − cos θY|ΣSL| + |ΣLV| ,
da cui l’energia associata alla configurazione di Cassie-Baxter `e ˜
ECB = − cos θY(r − 2b) + 2b .
Immaginiamo adesso, a partire da questa configurazione, di perturbare il sistema diminuendo la quantit`a di aria presente tra gli scalini, cos`ı facendo ci muoviamo verso la configurazione di Wenzel, e sia Lt una variazione della
goccia come in figura 16 A meno di rimpiazzare ΣLV con la sua proiezione
lungo il piano orizzontale, l’energia associata al sistema perturbato `e ˜
E(Lt) = − cos θY(r − 2b + 4t) + 2b ,
che `e maggiore dell’energia associata a Cassie-Baxter, dunque qualsiasi per-turbazione del sistema che non tocca la base della superficie aumenta l’ener-gia. Ma non appena la goccia tocca il fondo della superficie l’area di ΣLV
inizia a diminuire e di conseguenza decresce l’energia fino ad arrivare alla configurazione ottimale.
Consideriamo tutte le configurazioni che toccano la base un un solo pun-to, vorremmo trovare quella che ha energia minima. Innanzitutto possiamo ricondurci al caso in cui ΣLV `e unione di due segmenti poich`e data una
qual-siasi curva che tocca il fondo in un punto si pu`o trovare una spezzata che ha lughezza inferiore. Inoltre supporremo che la configurazione sia simmetrica
Figura 16: Perturbazione del sistema.
per semplicit`a. Quindi presa una configurazione come in figura 17 abbiamo che per 0 ≤ t ≤ a l’energia associata `e
˜ Et= − cos θY r 2 − b + 2t + 2 r b2 4 + (a − t) 2. Ne calcoliamo la derivata ˜ Et0 = −2 cos θY − 2 a − t q b2 4 + (a − t)2 = 0 se e solo se a − t = −b 2 cos θY sin θY . Poich`e 0 ≤ t ≤ a, −b/2(cos θY/ sin θY) ≤ a da cui
a b ≥ − cos θY sin θY inoltre ricordando la (3.13) a b ≤ 1 + cos θY −2 cos θY dunque − cos θY sin θY ≤ 1 + cos θY −2 cos θY , (5.1) (che `e verificata per cos θY ∈ (− ≈ 0.58, 0)). Abbiamo dimostrato il seguente
risultato:
Teorema 5.0.1. Sia ∂S una superficie a scalini con angolo di contatto microscopico θY che soddisfa la relazione (5.1). Allora la configurazione di
energia minima che tocca la base in un punto `e la configurazione Lt come
in figura con t = a +b 2 cos θY sin θY .
Inoltre il gap minimo energetico tra la configurazione di Cassie-Baxter e una configurazione che tocca la base della superficie `e
˜ Et− ˜ECB = −2a cos θY + b 1 + 2 cos θY − 2 sin θY 2 sin θY .
Fatte queste considerazioni, vorremmo vedere qual’`e l’angolo di contatto associato a questa configurazione partendo da un angolo di contatto teorico θY =100◦ (cos θY ≈ −0.17) e da un indice di rugosit`a R = (r + 4a)/r = 4.7.
Come abbiamo visto nel capitolo 2 l’angolo associato alla configurazione di Cassie-Baxter soddisfa la legge:
dove in questo caso φs= (r − 2b)/r. Ricordando la (3.13) abbiamo a b ≤ 1 + cos θY −2 cos θY ≈ 2.44 , ovvero b ≥ a 2.44. (5.2)
Fissato δ > 0 prendiamo b = a/2.44+δ, segue che φs= 1−2a/(2.44r)−2δ/r
da cui cos θCB = −1 + 1 − 2a 2, 44r 0.83 + o(δ) , (5.3) ora sapendo che R = (r + 4a)/r = 4.7 abbiamo che
a r =
3.7 4 e dunque sostituendo nella (5.3)
cos θCB ≈ −0.8 + o(δ) ,
che corrisponde ad un angolo di contatto molto ampio vicino ai 180◦ che `e proprio il dato osservato da Otten e Herminghaus.
6
Appendice: richiami di teoria della misura
6.1 Misure esterne
Ricordiamo che una misura esterna su Ω aperto di Rn `e una funzione µ : P(Ω) → [0, +∞] tale che µ(∅) = 0 e per cui vale la propriet`a di σ-subaddidivit`a: E ⊂ [ h∈N Eh =⇒ µ(E) ≤ X h∈N µ(Eh) .
In particolare una misura di Borel su Ω `e una misura esterna tale che la ogni insieme boreliano `e µ-misurabile. Diremo inoltre che µ `e una misura Borel regolare se per ogni insieme F in Rn esiste un insieme E boreliano tale che F ⊂ E e µ(E) = µ(F ).
Definizione 6.1.1. Una misura di Radon su Ω `e una misura Borel regolare localmente finita.
Definizione 6.1.2. Sia µ una misura esterna su Rned E ⊂ Rn, chiamiamo restrizione di µ ad E e la indichiamo con µxE la misura esterna tale che µxE(F ) := µ(E ∩ F ) per ogni F in Rn.
Osservazione. Se A ∈ Rn `e µ-misurabile allora `e anche µxE misurabile. Un esempio di misura di Borel regolare ma non di Radon `e la misura di Hausdorff.
6.2 La misura di Hausdorff
Siano n, k ∈ N con n ≥ 2 e 1 ≤ k ≤ n − 1, sia poi A aperto limitato di Rne
f ∈ C1(Rk; Rn) iniettiva con Jacobiano J f (x) > 0 per ogni x ∈ A, dove J f (x) =pdet(∇tf (x) × ∇f (x)) ,
allora f (A) `e una superficie k-dimensionale in Rn e vale Area(f (A)) =
Z
A
J f (x)dx ,
dove Area(f (A)) indica il volume k-dimensionale standard di f (A). Vor-remmo estendere la definizione di area ad una classe di insiemi pi`u ampia delle superfici k-dimensionali e per questo motivo definiamo la misura di Hausdorff.
Definizione 6.2.1. Siano n, k ∈ N e δ > 0, la misura di Hausdorff k-dimensionale di passo δ di E ⊂ Rn `e definita come
Hk δ (E) := inf F X F ∈F ωk diam(F ) 2 !k ,
dove ωk `e il volume della palla unitaria in Rk e F `e un ricoprimento
numerabile di E formata da insiemi F ⊂ Rn tali che diam(F ) < δ. Definizione 6.2.2. La misura di Hausdorff k-dimensionale di E ⊂ Rn `e
Hk(E) := sup δ∈(0,+∞] Hk δ (E) = lim δ→0+H k δ (E) .
Si pu`o mostrare che la misura di Hausdorff k-dimensionale `e una misura Borel regolare ma non di Radon, infatti dato A aperto di Rn e k < n allora Hk(A) = +∞. Tuttavia se E boreliano tale che Hk(E) < +∞ allora la
misura HkxE `e di Radon su Rn.
La misura di Hausdorff ha le seguenti propriet`a: (i) Hk(λE) = λkHk(E) ∀λ > 0;
(ii) Hk =Lksu Rk, doveLkindica la misura di Lebesgue k-dimensionale; (iii) sia 1 ≤ k ≤ n − 1, k ∈ N ed E superficie k-dimensionale in Rndi classe
C1alloraHk(E) = Area(E), ovvero sia φ : A → E parametrizzazione
di classe C1 (A aperto di Rk) allora vale la formula dell’area: Hk(φ(A0)) :=Z
A0
J φ(x)dx ∀A0 ⊂ A .
6.3 Misure di Radon vettoriali
Ricordiamo che una misura con segno `e una funzione µ : P(Ω) → R ∪ {−∞, +∞} per cui vale la propriet`a di σ-subadditivit`a. Allora possiamo definire una misura di Radon vettoriale:
Definizione 6.3.1. Chiamiamo misura di Radon vettoriale su Ω ⊂ Rn a valori in Rm un vettore µ = (µ1, ..., µm) tale che ogni componente µi `e una
misura di Radon con segno su Rn
Definizione 6.3.2. Sia µ una misura di Radon vettoriale su Rn a valori in Rm, sia A ⊂ Rn. Definiamo la variazione totale di µ su A
|µ|(A) = sup Z
A
ϕ · dµ : ϕ ∈ Cc1(A; Rm), kϕk∞≤ 1
6.4 Convergenza nel senso delle misure
Definizione 6.4.1. Siano {µh}h∈N e µ misure di Radon positiva su Ω a
perto di Rn a valori in Rm allora µh converge a µ nel senso delle misure, e
scriviamo µh ∗ * µ se Z Rn ϕdµ = lim h→∞ Z Rn ϕdµh ∀ϕ ∈ Cc0(Rn; Rm) .
