Esercitazione per l’esame di saldo debito

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LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA

Prof. Francesco Marchi

1 Esercitazione per l’esame di saldo debito formativo

27 febbraio 2010

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Indice

1 Limiti che non presentano forme indeterminate 2

1.1 Limiti per semplice sostituzione . . . 2

1.1.1 Funzioni algebriche . . . 2

1.1.2 Funzioni goniometriche . . . 2

1.1.3 Funzioni esponenziali e logaritmiche . . . 2

1.2 Algebra degli inﬁniti . . . 2

1.2.1 Funzioni algebriche . . . 2

1.2.2 Funzioni goniometriche . . . 2

1.2.3 Funzioni esponenziali. . . 3

1.3 Limiti di funzioni composte . . . 3

2 Limiti che presentano forme indeterminate 4 2.1 Forma ∞_∞ . . . 4

2.1.1 Per funzioni razionali fratte . . . 4

2.1.2 Per funzioni irrazionali fratte . . . 4

2.2 Forma 0₀ . . . 4

2.2.1 Per funzioni razionali fratte . . . 4

2.2.2 Tramite limite notevole sin 𝑥_𝑥 → 1 . . . 4

2.2.3 Tramite limite notevole 𝑒𝑥_𝑥−1 → 1. . . 4

2.3 Forma 1∞ . . . 5

2.3.1 Tramite limite notevole (1 +1_𝑥)𝑥→ 𝑒 . . . 5

3 Dominio e segno di una funzione 6 3.1 Esercizi di teoria . . . 6

3.2 Impostazione dei calcoli relativi a dominio e segno . . . 6

3.3 Determinazione del dominio e segno di funzioni date . . . 6

3.4 Abbinamento graﬁci-funzioni . . . 6

3.4.1 Esercizio 1 . . . 6

4 Limiti, continuit`a, asintoti 7 4.1 Determinazione del graﬁco di funzioni che soddisfano date condizioni . . . 7

4.1.1 Esercizio 1 . . . 7

4.1.2 Esercizio 2 . . . 7

4.2 Abbinamento graﬁci-funzioni . . . 9

4.2.1 Esercizio 1 . . . 9

4.3 Individuazione del graﬁco di una funzione . . . 9

4.3.1 Esercizio 1 . . . 9

4.4 Esercizi vari . . . 11

4.4.1 Asintoti verticali . . . 11

4.4.2 Asintoti orizzontali . . . 11

5 Derivate 12 5.1 Linearit`a dell’operatore derivata . . . 12

5.2 Derivata del prodotto . . . 12

5.3 Derivata di un rapporto . . . 12

5.4 Derivata di funzioni composte . . . 12

5.4.1 Composizione di due funzioni . . . 12

5.4.2 Composizione di tre o pi`u funzioni . . . 12

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1 Limiti che non presentano forme indeterminate

1.1 Limiti per semplice sostituzione

1.1.1 Funzioni algebriche lim 𝑥→02 2𝑥2₋₁ = 1 2 (1) 𝑥→lim𝜋 3 𝑥 + 4 3 − 𝑥 = 𝜋 + 12 3 − 𝜋 (2) 1.1.2 Funzioni goniometriche lim 𝑥→𝜋 3 2 sin 𝑥 + 𝑥2=9 √ 3 + 𝜋2 9 (3) lim 𝑥→𝜋 tan 𝑥 − 3 tan 𝑥 + 1 = −3 (4) lim 𝑥→𝜋 3 −2 cos(3𝑥) + 1 = 3 (5) lim 𝑥→1cos 𝜋𝑥 3𝑥 − 1= 0 (6)

1.1.3 Funzioni esponenziali e logaritmiche

lim 𝑥→𝑒ln 𝑥 2_{+ 3 + 𝑥 = 5 + 𝑒} ₍₇₎ lim 𝑥→1 ( 2𝑥 3𝑥 − 2 )𝑥−1 = 1 (8) lim

𝑥→4log4𝑥 + 3 + sin 𝑥 = 4 + sin 4 (9)

lim 𝑥→0 𝑒𝑥_{+ 𝑒}−𝑥 3 = 2 3 (10)

1.2 Algebra degli inﬁniti

1.2.1 Funzioni algebriche lim 𝑥→−∞ ( 𝑥2+1 𝑥 ) = +∞ (11) lim 𝑥→+∞ √ 1 +_𝑥32 2𝑥 + 1 = 0 (12) lim 𝑥→1− 𝑥2_{+ 𝑥 + 1} 𝑥 − 1 = −∞ (13) lim 𝑥→0+ (4 𝑥+ 𝜋 𝑥7 ) = +∞ (14) lim 𝑥→5− 𝑥 𝑥 − 5 = −∞ (15) lim 𝑥→1+ 3𝑥√_𝑥 𝑥2_{− 3𝑥 + 2} = −∞ (16) lim 𝑥→2− 𝑥 − 3 √ 2 −√𝑥= −∞ (17) lim 𝑥→−∞(4𝑥 2_{− 𝑥 + 3) = +∞} ₍₁₈₎ 1.2.2 Funzioni goniometriche

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lim 𝑥→𝜋 4+ 𝑥2 tan 𝑥 − 1 = +∞ (19) lim 𝑥→𝜋− sin 2𝑥 cos 𝑥 + 7 = 0 (20) lim 𝑥→𝜋+ cos 𝑥 + 2 sin 𝑥 = −∞ (21) lim 𝑥→0+ 3 + 𝑥3+ cos 𝑥 sin 𝑥 = +∞ (22) lim 𝑥→𝜋− 𝑥2 cos 𝑥 + 1= +∞ (23) lim 𝑥→𝜋 6+ tan +3 √ 3 − 2 cos 𝑥= +∞ (24) 1.2.3 Funzioni esponenziali lim 𝑥→+∞ 5 𝑥𝑒𝑥 = 0 (25) lim 𝑥→+∞𝑥 3_{(1 − 2}𝑥_{) = −∞} ₍₂₆₎ lim 𝑥→+∞ 1 + 𝑒−𝑥 𝑥2_{+ 1} = 0 (27) lim 𝑥→+∞ 𝑒𝑥_{− 1} 1 − 𝑒−𝑥 = +∞ (28)

1.3 Limiti di funzioni composte

lim 𝑥→+∞arctan ln 𝑥 = 𝜋 2 (29) lim 𝑥→3−log1/2(9 − 𝑥 2_{) = +∞} ₍₃₀₎ lim 𝑥→−∞sin(𝑒 𝑥_{) = 0} ₍₃₁₎ lim 𝑥→𝜋 2− 𝑒tan 𝑥= +∞ (32) lim 𝑥→+∞𝑒 −√𝑥_{= 0} ₍₃₃₎ lim 𝑥→+∞ln 3𝑥 2 + 𝑥3 = −∞ (34)

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2 Limiti che presentano forme indeterminate

2.1 Forma

∞_∞

2.1.1 Per funzioni razionali fratte

lim 𝑥→+∞ 1 − 10𝑥2 4𝑥2_{− 1} = − 5 2 (35) lim 𝑥→+∞ (𝑥 + 1)2 𝑥 + 4 = +∞ (36) lim 𝑥→−∞ 𝑥2_{+ 6𝑥 + 5} 𝑥5_{+ 4} = 0 (37) lim 𝑥→+∞ 𝑥2 𝑥 + 1− 𝑥3+ 1 𝑥2_{− 1} = −1 (38)

2.1.2 Per funzioni irrazionali fratte

lim 𝑥→+∞ √ 𝑥 − 1 − 1 √ 𝑥 − 1 + 1 = 1 (39) _𝑥→+∞lim √ 𝑥2_{− 1 − 𝑥} √ 𝑥2_{− 1 + 𝑥} = 0 (40)

2.2 Forma

0₀

2.2.1 Per funzioni razionali fratte

lim 𝑥→2 4𝑥 − 𝑥3 𝑥 − 2 = −8 (41) lim 𝑥→−2− 2𝑥2+ 4𝑥 𝑥2_{+ 4𝑥 + 4} = −∞ (42) lim 𝑥→5 𝑥3_{− 25𝑥} 𝑥 − 5 = 50 (43) lim 𝑥→0− 𝑥5_{− 𝑥} 2𝑥2_{+ 3𝑥}3 = +∞ (44)

2.2.2 Tramite limite notevole sin 𝑥_𝑥 → 1

lim 𝑥→0 sin 7𝑥 𝑥 = 7 (45) lim 𝑥→0− sin 𝑥2 𝑥3 = −∞ (46) lim 𝑥→0 sin2𝑥 𝑥 = 0 (47) lim 𝑥→0 4 sin 3𝑥 5𝑥 = 12 5 (48)

2.2.3 Tramite limite notevole 𝑒𝑥_𝑥−1 → 1

lim 𝑥→0 𝑒3𝑥_{− 1} 𝑥 = 3 (49) lim 𝑥→0 𝑒3𝜋𝑥 − 1 4𝑥 = 1 12𝜋 (50) lim 𝑥→0 𝑒4𝑥− 1 2𝑥 = 2 (51)

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2.3 Forma 1

∞

2.3.1 Tramite limite notevole (1 + 1 𝑥) 𝑥_{→ 𝑒} lim 𝑥→+∞ ( 1 + 1 𝑥 )2𝑥 = 𝑒2 (52) lim 𝑥→−∞ ( 1 − 𝜋 𝑥 )3𝑥 = 𝑒−3𝜋 (53) lim 𝑥→−∞ ( 1 + 1 7𝑥 )𝑥 =√7_𝑒 ₍₅₄₎ lim 𝑥→+∞ ( 1 −51 𝑥 )𝑥 = 𝑒−51 (55)

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3 Dominio e segno di una funzione

3.1 Esercizi di teoria

Dire se le seguenti aﬀermazioni sono vere o false: 1. Il dominio delle due funzioni seguenti `e lo stesso

𝑓 (𝑥) = 5 +√3

6 + 𝑥 − 2√𝑥7_{− 5 sin 𝑥;} _{𝑔(𝑥) =} √

𝑥7_{− 5 sin 𝑥 +}√5_{4 + 𝑥}

8 2. Si consideri la funzione ℎ(𝑥) = 6+𝑥_5−𝑥2 + log(𝑥 + 3).

(a) Il punto 𝑥 = −3 appartiene al dominio. (b) Il punto 𝑥 = 0 appartiene al dominio. (c) La funzione non `e deﬁnita per 𝑥 = 0.13 − 𝜋.

3.2 Impostazione dei calcoli relativi a dominio e segno

Impostare il sistema relativo alla determinazione del dominio delle seguenti funzioni, senza risolverlo. 1. 𝑓1(𝑥) =√cos(4 + 𝑥6 3) +_{log(𝑥−4)}5

2. 𝑓2(𝑥) = tan( √

𝑥 + 7) − 𝑥3_{+ 8}

3.3 Determinazione del dominio e segno di funzioni date

Per le seguenti funzioni ℎ(𝑥) e 𝑔(𝑥):

ℎ(𝑥) =cos 𝑥 − √ 2/2 𝑥2_{+ 4𝑥 + 4} 𝑔(𝑥) = √ 𝑥2_{− 4} ∙ Determinare il dominio e scriverlo sotto forma di intervallo.

∙ Studiare il segno e rappresentare sotto forma di intervallo i valori di 𝑥 per cui le funzioni sono positive.

3.4 Abbinamento graﬁci-funzioni

3.4.1 Esercizio 1

Con opportune considerazioni sul dominio, stabilire le corrispondenze fra le funzioni elencate qui di seguito e i graﬁci riportati in ﬁgura1.

1. 𝑎(𝑥) = 5 √ 𝑥3_−5𝑥2_+3𝑥+1 2𝑥−1 2. 𝑏(𝑥) = 4 tan(4𝑥 + 3) 3. 𝑐(𝑥) = 𝑒cos 𝑥₊√_{4 − 𝑥}2_{+ sin 𝑥} 4. 𝑑(𝑥) = ₃₅1𝑒𝑥₊√4 𝑥2_{− 4} 5. 𝑒(𝑥) = 1₅log(7 − 𝑥) + 4 cos 𝑒𝑥 6. 𝑓 (𝑥) =(6 7 )𝑥 + 3 log 𝑥 +√9 𝑥3_{− 5}

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(8)

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura 1: Graﬁci relativi all’esercizio3.4.1.

4 Limiti, continuit`

a, asintoti

4.1 Determinazione del graﬁco di funzioni che soddisfano date condizioni

4.1.1 Esercizio 1

Di una certa funzione 𝑓 (𝑥) si sa che: ∙ lim𝑥→−3+𝑓 (𝑥) = +∞

∙ 𝑓 (4) > 0

∙ lim𝑥→+∞𝑓 (𝑥) > lim𝑥→−∞𝑓 (𝑥)

Determinare quale fra i graﬁci proposti in ﬁgura2rappresenta la funzione 𝑓 (𝑥). 4.1.2 Esercizio 2

Di una certa funzione 𝑓 (𝑥) si sa che: ∙ 𝑓 (−4) = −𝑓 (4)

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(9)

(a) (b)

(c) (d)

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(10)

(a) (b)

(c) (d)

∙ la retta di equazione 𝑦 = 6 `e un asintoto orizzontale

∙ la funzione ha nel punto 𝑥 = 3 una discontinuit`a eliminabile

Determinare quale fra i graﬁci proposti in ﬁgura3rappresenta la funzione 𝑓 (𝑥).

4.2 Abbinamento graﬁci-funzioni

4.2.1 Esercizio 1

Mediante opportune considerazioni sugli asintoti, associare a ciascuna delle funzioni seguenti il graﬁco corrispondente, fra quelli proposti in ﬁgura4:

𝑓1(𝑥) = 1 4 − 𝑥2; 𝑓2(𝑥) = 𝑥2 4 − 𝑥2; 𝑓3(𝑥) = 𝑥 2 − 𝑥; 𝑓4(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥2;

4.3 Individuazione del graﬁco di una funzione

4.3.1 Esercizio 1

Determinare a quale delle funzioni elencate di seguito corrisponde il graﬁco rappresentato in ﬁgura5.

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(11)

(a) (b)

(c) (d)

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(12)

Figura 5: Graﬁco relativo all’esercizio4.3.1. 𝑓 (𝑥) =𝑥 2_{− 1} 𝑥2_{− 4} (56) 𝑓 (𝑥) = ln ( 𝑥2_{− 1} 𝑥2_{− 4} ) (57) 𝑓 (𝑥) = 𝑒 𝑥2 −1 𝑥2 −4 ₍₅₈₎ 𝑓 (𝑥) = √ 𝑥2_{− 1} 𝑥2_{− 4} (59)

4.4 Esercizi vari

4.4.1 Asintoti verticali

Quali tra le funzioni elencate qui di seguito ha almeno un asintoto verticale?

𝑓 (𝑥) = 1 𝑥2_{− 1} (60) 𝑓 (𝑥) = 1 𝑥2_{+ 1} (61) 𝑓 (𝑥) =√𝑥2_{− 1} ₍₆₂₎ 𝑓 (𝑥) = ln(1 + 𝑥2) (63) 𝑓 (𝑥) = ln 𝑥 (64) 4.4.2 Asintoti orizzontali

Quali tra le funzioni elencate qui di seguito ha almeno un asintoto orizzontale?

𝑓 (𝑥) =√1 − 𝑥2 ₍₆₅₎ 𝑓 (𝑥) = 𝑥 𝑥2_{+ 𝑥 + 1} (66) 𝑓 (𝑥) =𝑥 2_{+ 𝑥 + 1} 𝑥 (67) 𝑓 (𝑥) = ln 𝑥 (68)

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5 Derivate

5.1 Linearit`

a dell’operatore derivata

𝑓 (𝑥) = 𝑥3 (69) 𝑓 (𝑥) = 3𝑥5 (70) 𝑓 (𝑥) = 4𝑥2+1 3𝑥 4₋ 1 𝑥 (71) 𝑓 (𝑥) = 2 tan 𝑥 − arctan 𝑥 (72) 𝑓 (𝑥) = ln 𝑥 − 3 arctan 𝑥 +√𝜋 (73) 𝑓 (𝑥) = 𝑥1/7+√5_𝑥 ₍₇₄₎

5.2 Derivata del prodotto

𝑓 (𝑥) = 𝑥 ln 𝑥 − 2𝑥 + 1 (75) 𝑓 (𝑥) = 𝑒𝑥(𝑥4− 6𝑥2_{+ 𝑥 + 7)} ₍₇₆₎ 𝑓 (𝑥) = 𝑥4𝑒𝑥 (77) 𝑓 (𝑥) = sin 𝑥 cos 𝑥 (78)

5.3 Derivata di un rapporto

𝑓 (𝑥) = 𝑥 + 1 𝑥 − 2 (79) 𝑓 (𝑥) = 1 + 𝑥 2 𝑒𝑥 + 4𝑒 (80) 𝑓 (𝑥) = 3 ln 𝑥 2𝑥2_{− 3} (81) 𝑓 (𝑥) = 1 − cos 𝑥 1 + cos 𝑥 (82) 𝑓 (𝑥) = 1 sin 𝑥− 1 5 (83) 𝑓 (𝑥) = 6 sin 𝑥 + cos 𝑥 𝑒𝑥_{+ sin 𝑥} (84)

5.4 Derivata di funzioni composte

5.4.1 Composizione di due funzioni

𝑓 (𝑥) = ln 2𝑥 (85)

𝑓 (𝑥) = sin4𝑥 (86)

𝑓 (𝑥) = 𝑒3𝑥+ 7 (87)

𝑓 (𝑥) = 𝑒3𝑥+7𝑥2 (88)

𝑓 (𝑥) = 𝑥 + sin 2𝑥 − 4 cos 3𝑥 (89)

5.4.2 Composizione di tre o pi`u funzioni

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𝑓 (𝑥) = ln sin 2𝑥 (90) 𝑓 (𝑥) =√7ln sin 𝑥 (91) 𝑓 (𝑥) = cos arctan 𝑒𝑥 (92) 𝑓 (𝑥) =√4 sin(𝑥3_{+ 2𝑥 − 4)} ₍₉₃₎