D.ssa Mimma Errichiello - Appunti di Geometria Euclidea – Lezione n°2 - Pagina 1 di 6
Sommario
1. La Dimostrazione ... 2 2. La Geometria del piano ... 2 3. Angoli ... 3 D.ssa Mimma Errichiello - Appunti di Geometria Euclidea – Lezione n°2 - Pagina 2 di 6
1. La Dimostrazione
Il passaggio dalle conoscenze note (ipotesi) ad altre conoscenze (tesi) che derivano dalle prime, è detto dimostrazione.
Dunque la dimostrazione è un ragionamento logico per arrivare alla tesi partendo dai dati delle ipotesi.
Nelle dimostrazioni si usano i seguenti strumenti: - Il teorema, un insieme di ragionamenti
- Il criterio, concetto breve che serve per dimostrare qualcosa - Il lemma, conseguenza immediata di un teorema
- Corollario, un teorema che discende da un teorema già dimostrato
- Assioma, proprietà di un ente primitivo che non necessita di spiegazione La dimostrazione può avvenire in modo diretto o per assurdo:
- Modo diretto: è un ragionamento che parte dalle ipotesi ed arriva alla tesi.
- Per assurdo: si nega la tesi, e se da questo fatto si riesce a negare anche l’ipotesi, allora il teorema è vero.
2. La Geometria del piano
Per sviluppare nel piano la geometria euclidea basata sui postulati, dobbiamo immaginare il piano come il foglio di carta, oppure la lavagna, oppure lo schermo del pc, oppure il pavimento, il tutto però senza bordi, cioè senza limiti di
2.1 Convenzioni iniziali
Sono necessarie alcune convenzioni:
- I punti sono indicati con le lettere maiuscole dell’alfabeto latino: A, B, C, … - Le rette sono indicate con le lettere minuscole dell’alfabeto latino: a, b, c, … - Gli angoli sono indicati con le lettere minuscole dell’alfabeto greco: α, β, π, …, oppure con la sequenza dei punti degli estremi dei segmenti che lo delimitano: (fig. 1)
fig. 1
La lettura delle lettere è per convenzione in senso antiorario.
3. Angoli
Tutto ciò che andremo a costruire sarà frutto del “ragionamento”, partendo dagli enti fondamentali e dai postulati e da alcune dimostrazioni. Premettiamo le seguenti definizioni:
Definizione: la semiretta è una linea ricavata dividendo una retta in due parti. Il punto che divide la retta e che le appartiene si chiama punto d'origine e da esso parte la semiretta, e prosegue all’infinito.
Definizione: un segmento è una parte di retta delimitata da due punti, detti estremi. D.ssa Mimma Errichiello - Appunti di Geometria Euclidea – Lezione n°2 - Pagina 4 di 6
Definizione: un angolo è una delle due parti in cui il piano viene suddiviso da due semirette aventi la stessa origine.
Congruenza di angoli: per il postulato della congruenza diremo che due angoli sono
congruenti se, con un movimento rigido, è possibile sovrapporli, in modo che coincidano punto per punto.
Somma di angoli: per sommare due angoli è sufficiente renderli consecutivi:
somma α+β (fig. 2) Fig. 2
Definizione: due angoli si dicono consecutivi quando hanno un lato in comune.
Differenza di angoli: per eseguire la differenza tra due angoli bisogna sovrapporli e
poi togliere la parte comune: (fig. 3) Fig. 3
Convessità e concavità:
Si consideri un angolo e se ne prolunghino i lati:
Definizione: si dice angolo concavo l’angolo che contiene il prolungamento dei suoi lati. (fig. 4)
Definizione: si dice angolo convesso l’angolo che non contiene il prolungamento dei suoi lati. (fig. 5)
Fig. 4 Fig. 5
Angoli opposti al vertice
Definizione: due angoli si dicono opposti al vertice se i lati dell’uno sono prolungamenti dei lati dell’altro (fig. 6)
fig. 6
Teorema: se due angoli sono opposti al vertice allora sono uguali. D.ssa Mimma Errichiello - Appunti di Geometria Euclidea – Lezione n°2 - Pagina 6 di 6
Misura di angoli
Definizione: se due angoli consecutivi hanno le semirette non in comune opposte (cioè la loro unione è una retta) allora si dicono angoli adiacenti.
Due angoli adiacenti formano un angolo piatto.
Definizione: un angolo convesso si dice angolo retto se i suoi due lati sono ortogonali; in parole povere un angolo retto è la metà di un angolo piatto.
Un angolo convesso contenuto in un angolo retto avente il suo stesso vertice si dice angolo
acuto. Un angolo convesso contenente un angolo retto avente lo stesso vertice si dice angolo ottuso.
Un angolo acuto ha ampiezza inferiore a quella di un angolo retto, ovvero
Un angolo retto ha l'ampiezza uguale a un quarto dell'ampiezza di un angolo giro, ovvero Un angolo ottuso ha l'ampiezza compresa fra quelle di un angolo retto e di un angolo piatto: Un angolo piatto presenta ampiezza pari a metà di quella di un angolo giro, ovvero
Un angolo giro presenta ampiezza uguale a
corrisponde a una rotazione completa di una semiretta con centro nel suo estremo. Un angolo concavo ha ampiezza maggiore di quella di un angolo piatto,
Un angolo convesso ha ampiezza minore di quella di un angolo piatto,
D.ssa Mimma Errichiello - Appunti di Geometria Euclidea – Lezione n°1 - Pagina 1 di 5
Sommario
1. Introduzione ... 2
2. Concetti iniziali ... 2
3. Gli enti fondamentali ... 3
4. I Postulati... 3
I. Postulati dell'esistenza ... 4
II. Postulati dell'appartenenza ... 4
III. Postulati dell'uguaglianza ... 5
IV. Postulati dell'ordine ... 5 V. Postulato delle parallele ... 5 D.ssa Mimma Errichiello - Appunti di Geometria Euclidea – Lezione n°1 - Pagina 2 di 5
1. Introduzione
La Geometria studiata dagli assiro-babilonesi e dagli egizi, deve la sua forma attuale ad un greco di nome Euclide. Si svilupperà in Grecia divenendo, da scienza
sacerdotale ed esclusiva, scienza aperta a tutti. Essa contribuirà a formare ed
esplicitare quei ragionamenti che poi troveranno le loro applicazioni nella filosofia come studio sia della natura che del pensiero. In questa parte del corso ci
occuperemo di Geometria Euclidea presentata nel modo classico.
2. Concetti iniziali
Per poter costruire la Geometria dobbiamo conoscere i suoi strumenti di base: - Gli enti fondamentali
- I postulati e gli assiomi
- Definizione, Teorema e Dimostrazione
Lo studio della geometria euclidea ha le seguenti fasi:
- Si stabilisce che alcuni enti geometrici sono da considerarsi enti primitivi, nel senso che non devono essere definiti: sono il punto, la retta e il piano.Tutti gli altri enti geometrici che vengono successivamente introdotti e diventano oggetto di
studio, sono invece descritti con una precisa definizione che ne specifica le caratteristiche.
- Si enunciano le proprietà fondamentali degli enti primitivi, che prendono il nome di postulati. I postulati sono proprietà intuitive che si accettano anche se non
possono essere dimostrate: essi forniscono una definizione indiretta degli enti primitivi, in quanto indicano, oltre alle loro proprietà, anche le relazioni che intercorrono fra essi.
- Si deducono con il ragionamento, cioè si dimostrano, tutte le proprietà degli enti geometrici che si studiano: esse prendono il nome di teoremi. Tutti i teoremi devono essere dimostrati, utilizzando solo i postulati e altri teoremi eventualmente
dimostrati in precedenza.
3. Gli enti fondamentali
Gli oggetti principali della rappresentazione geometrica sono: 1. il punto
2. la retta 3. il piano
Il punto geometrico è privo di estensione e può essere considerato l’astrazione, ad esempio, della traccia lasciata su un foglio dalla punta di una matita o di un
granellino di sabbia.
La retta geometrica è illimitata e priva di spessore e può essere considerata l’astrazione, ad esempio, di una corda lunga e tesa.
Il piano geometrico è illimitato in lunghezza e larghezza e non ha spessore: può essere considerato l’astrazione della superficie di un tavolo, di uno stagno o di un foglio di carta.
4. I Postulati
Gli oggetti geometrici debbono obbedire a delle regole iniziali ed intuitive, dette Postulati. Essi sono divisi in 5 gruppi:
I. Postulati dell’esistenza II. Postulati dell’appartenenza III. Postulati dell’uguaglianza IV. Postulati dell’ordine
V. Postulato delle parallele
Partendo dai postulati è possibile ricavare tutto lo studio della geometria mediante il ragionamento. D.ssa Mimma Errichiello - Appunti di Geometria Euclidea – Lezione n°1 - Pagina 4 di 5
I. Postulati dell'esistenza
Definiscono l'esistenza degli enti geometrici
Esistono infiniti punti
Esistono infinite rette
II. Postulati dell'appartenenza
Definiscono
i legami fra gli enti geometrici:
Per un punto passano infinite rette
Per due punti distinti passa una sola retta
Dato un piano ed una retta, la retta divide il piano in due semipiani in modo tale che se prendiamo due punti nello stesso semipiano il segmento che li unisce non taglia la retta, mentre se prendiamo i due punti in semipiani opposti il segmento che li unisce taglia la retta
Prof.ssa Mimma Errichiello – Teoria degli insiemi – Pagina 1 di 10
Sommario
1. Teoria degli insiemi ... 2
2. Rappresentazione degli insiemi ... 3
3. Insieme vuoto, insiemi uguali, insiemi disgiunti ... 6
4. Operazioni tra insiemi ... 7
4.1 Unione ... 7
4.2 Intersezione ... 8
4.3 Differenza ... 9
5. Insieme delle parti ... 9 Prof.ssa Mimma Errichiello – Teoria degli insiemi – Pagina 2 di 10
1. 1. Teoria degli insiemi
In matematica il concetto di insieme è un concetto primitivo ma, a sua volta non è definibile. Al massimo il concetto di insieme è sinonimo di raggruppamento, di collezione, di classe di oggetti.
Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole dell’alfabeto: A,B,C,D,… scelte a piacere.
Gli elementi di un insieme si indicano con le lettere minuscole dell’alfabeto a,b,c, …
Un insieme lo si dice infinito se è un insieme costituito da un numero infinito di elementi.
Un insieme lo si dice finito sé è costituito da un numero finito di elementi. Per indicare un elemento che fa parte di un insieme si utilizza il simbolo 𝛜 detto
simbolo di appartenenza. In simboli a ∈𝐀 e si legge: “l’elemento a appartiene
all’insieme A”
Lo stesso simbolo con l’aggiunta di una barra trasversale, è il simbolo di non
appartenenza. In simboli c∉A e si legge: “ l’elemento c non appartiene all’insieme
A.
Ricordiamo che:
ℕ è il nome dato all’insieme dei numeri naturali, composto dai numeri interi senza segno compreso lo zero.
ℕ𝑜 è il nome dato all’insieme dei numeri naturali escluso lo zero.
ℚ è il nome dato all’insieme dei numeri razionali.
ℤ è il nome dato all’insieme dei numeri interi relativi −1,1,−2,2,….
E’ importante precisare che un insieme è definito quando si può dire in modo inequivocabile se un elemento appartiene o non appartiene ad esso. Prof.ssa Mimma Errichiello – Teoria degli insiemi – Pagina 3 di 10
Sono insiemi:
l’insieme delle nazioni europee
l’insieme delle vocali dell’alfabeto inglese l’insieme dei punti del piano
uno sciame di api
l’insieme dei numeri naturali Sono elementi dell’insieme: le nazioni europee
le vocali i punti
le api
i numeri naturali
non si possono ritenere insiemi in senso
matematico:
le più belle città del mondo gli alunni alti
le rose profumate i numeri grandi
2. 2. Rappresentazione degli insiemi
Vi sono tre modi differenti per rappresentare gli insieme: 1. Rappresentazione per elencazione o tabulazione
2. Rappresentazione per proprietà caratteristica
3. Rappresentazione mediante diagrammi di Eulero-Venn
Rappresentazione per elencazione: Gli elementi vengono scritti separati da una virgola e raccolti tra una coppia di parentesi graffe. Lo stesso elemento viene scritto una sola volta poiché gli elementi di un insieme devono essere tutti distinti. Prof.ssa Mimma Errichiello – Teoria degli insiemi – Pagina 4 di 10
1. L’insieme dei numeri primi minori di 10. Scritto per elencazione l’insieme è: 𝑃= 1,2,3,5,7
2. L’insieme dei numeri naturali pari maggiori di 5 e minore di 13. K= 6,8,10,12
Rappresentazione per proprietà caratteristica:
La proprietà caratteristica di uninsieme è un’espressione con la quale si descrivono le caratteristiche che possiedono gli elementi appartenenti ad un certo insieme.
Conoscendo la proprietà caratteristica di un insieme si può decidere se un elemento vi appartiene o non vi appartiene. Si dice anche che la proprietà caratteristica
definisce una legge di appartenenza.
Attenzione!
Se gli elementi di un insieme sono contraddistinti da più proprietàcaratteristiche, esse vanno elencate collegandole tramite la congiunzione e.
1. L’insieme B = 0,1,2,3,4,5,6 viene così rappresentato per proprietà caratteristica: B = 𝑥 𝑥∈ℕ 𝑒 𝑥≤6
2. L’insieme A = {𝑥│𝑥∈𝑁 𝑒 𝑥 è 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖 𝑒 11<𝑥≤19} viene così tabulato: A = 13,15,17,19
3. La scrittura simbolica 11<𝑥≤19 significa che 𝑥 è 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑜 𝑡𝑟𝑎 11 𝑒
19, oppure 𝑥 è maggiore di 11 e minore o uguale di 19 Prof.ssa Mimma Errichiello – Teoria degli insiemi – Pagina 5 di 10
La rappresentazione per proprietà caratteristica risulta particolarmente
conveniente quando l’elencazione degli elementi è molto complessa o non
è possibile.
1. L’insieme A dei primi mille numeri naturali, zero escluso, si esprime per proprietà caratteristica con la scrittura:
𝑛 𝑛∈ℕ𝑜 𝑒 𝑛≤1000
Rappresentazione mediante diagrammi di Eulero–Venn: Generalmente si pensa ad un insieme come ad un contenitore che viene idealmente raffigurato come una figura chiusa (ad esempio un cerchio oppure un ellisse). Le rappresentazioni grafiche prendono il nome di diagrammi di Eulero-Venn dai nomi di Leonhard Euler (1707-1783) e di John Venn (1834-1923).
All’interno della figura vengono indicati tutti gli elementi dell’insieme finito e non elevato, oppure, in caso contrario la caratteristica comune a tutti gli elementi.
Numeri naturali
1 3 5
3. 3. Insieme vuoto, insiemi uguali, insiemi disgiunti
L’insieme vuoto è quell’insieme al quale non appartiene alcun elemento ossia è privo di elementi
Un insieme è vuoto se non esistono elementi che soddisfano la proprietà
caratteristica dell’insieme.
L’insieme vuoto si indica col simbolo
∅
L’insieme vuoto può anche essere rappresentato con le parentesi graffe Due insiemi si dicono uguali quando sono formati dagli stessi elementi. Tutti gli insiemi vuoti sono uguali tra loro.
1. Gli insiemi:
A = 𝑥 𝑥 è 𝑢𝑛𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑜𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑎 = 𝑠,𝑒,𝑟,𝑎 B = 𝑥 𝑥 è 𝑢𝑛𝑎 𝑙𝑒𝑡𝑡𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑜𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑎 = 𝑟,𝑒,𝑠,𝑎
A e B sono insiemi uguali perché ad essi appartengono gli stessi elementi (l’ordine con cui compaiono gli elementi non ha importanza).
Due insiemi si dicono disgiunti se non hanno alcun elemento in comune.
1. L’insieme dei numeri naturali pari e quello dei numeri naturali dispari sono disgiunti.
4. 4. Operazioni tra insiemi
Dati due insiemi A e B, è possibile definire tra di essi alcune operazioni il cui risultato è un terzo insieme C.
In particolare studieremo le operazioni di: Unione, indicata con il simbolo ∪
Intersezione, indicata con il simbolo ∩ Differenza, indicata con il simbolo –
5. 4.1 Unione
Dati due insiemi A e B, si definisce unione di A e B l’insieme C formato dagli elementi che appartengono ad A o a B o ad entrambi.
L’area colorata rappresenta l’insieme unione C In simboli
C = A ∪ 𝐁 = 𝒙 𝒙 ∈ 𝑨 𝒐 𝒙 ∈ 𝑩
La definizione appena data richiede le seguenti precisazioni:
Bisogna porre attenzione al significato di oppure. Nella lingua italiana lo si usa di solito in senso disgiuntivo: si dice, per esempio, vado a lavoro in bicicletta oppure in autobus per indicare che mi servo del primo o del secondo mezzo
alternativamente ma non contemporaneamente. In matematica, invece, l’uso di “oppure” avviene in senso non disgiuntivo: dire elemento che appartiene ad A
oppure a B vuol dire elemento che appartiene solo ad A, oppure solo a B, ma anche contemporaneamente ad A e a B. Stando a ciò la definizione può essere riformulata dicendo che l’unione tra A e B è l’insieme che ha come elementi quelli che
appartengono ad almeno uno di essi.
Gli eventuali elementi comuni ad A e a B figurano una sola volta nell’insieme unione (vengono presi soltanto una volta)
1. Consideriamo gli insiemi: A = 1,2,3,4,5 B = 4,5,6,7,8 C = A ∪ 𝐁 = 1,2,3,4,5,6,7,8 2. Se D = 1,2,3, ed E = 4,5,6 allora F = D ∪ 𝐄 = 1,2,3,4,5,6 3. Se ℕ𝑝 = 𝒙 𝒙 ∈ ℕ0 𝒆 𝒙 = 𝟐𝒏 e ℕ𝑑 = 𝒙 𝒙 ∈ ℕ0 𝒆 𝒙 = 𝟐𝒏 + 𝟏 allora ℕ𝑝 ∪ ℕ𝑑 = ℕ0 ℕ𝑝 = 𝑖𝑛𝑠𝑖𝑒𝑚𝑒 𝑑𝑒𝑖 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑖 ℕ𝑑 = 𝑖𝑛𝑠𝑖𝑒𝑚𝑒 𝑑𝑒𝑖 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑖 𝑑𝑖𝑠𝑝𝑎𝑟𝑖
6. 4.2 Intersezione
L’intersezione fra due insiemi A e B è l’insieme C che ha come elementi quelli che appartengono contemporaneamente ad A e a B.
C A B
L’area colorata rappresenta l’insieme intersezione C C = A ∩ 𝐁 = 𝒙 𝒙 ∈ 𝑨 𝒆 𝒙 ∈ 𝑩
1. Consideriamo gli insiemi A = 1,2,3,4,5 B = 4,5,6,7,8
C = A ∩ 𝐁 = 4,5
2. Consideriamo gli insiemi A = 1,5,7,9,11,12 B = 7,9,12
C = A ∩ 𝐁 = 7,9,12
3. Se ℕ𝑝 = 𝒙 𝒙 ∈ ℕ0 𝒆 𝒙 = 𝟐𝒏 e
ℕ𝑑 = 𝒙 𝒙 ∈ ℕ0 𝒆 𝒙 = 𝟐𝒏 + 𝟏 allora
𝐼 = ℕ𝑝 ∩ ℕ𝑑 = Cioè ℕ𝑝 𝑒 ℕ𝑑 sono insiemi
disgiunti Prof.ssa Mimma Errichiello – Teoria degli insiemi – Pagina 9 di 10
7. 4.3 Differenza
La differenza fra l’insieme A e l’insieme B è l’insieme C che ha come elementi quelli che appartengono ad A e non a B
A-B
C = A – B = {𝒙│𝒙 ∈ 𝑨 𝒆 𝒙 ∉ 𝑩} Si osservi che:
L’insieme A contiene l’insieme A – B, cioè (A – B) ⊂ A
L’operazione differenza tra A e B non gode della proprietà commutativa, ossia A – B ≠ B – A
Gli insiemi A – B, A ∩ 𝐁, B – A sono disgiunti, cioè l’intersezione tra due qualsiasi di essi è l’insieme vuoto vedi figura seguente
A-B B-A A B
8. 5. Insieme delle parti
Dato un qualsiasi insieme A è possibile costruire un nuovo insieme i cui elementi sono tutti i possibili sottoinsiemi dell’insieme A
Si chiama insieme delle parti di A, e si indica con 𝒫(𝐴), l’insieme i sui elementi sono tutti i sottoinsiemi propri e impropri di A.
1. L’insieme delle parti dell’insieme A = 𝑎, 𝑏, 𝑐 è l’insieme
𝒫(𝐴)= 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 , 𝑎, 𝑏 , 𝑏, 𝑐 , 𝑎, 𝑐 , 𝑎, 𝑏, 𝑐 , ∅
2. L’insieme delle parti dell’insieme B = 10,20 è l’insieme
𝒫(𝐵)= 10 , 20 , 10,20 , ∅
3. L’insieme delle parti dell’insieme C = ∅ è l’insieme
Si osservi che all’insieme C, vuoto, non appartiene alcun elemento, mentre l’insieme 𝒫(𝐶) è costituito da un solo elemento, è l’insieme vuoto ∅.
