Progettazione sismica di un edificio a 5 piani in c.a. secondo il D.M.14/01/2008.

(1)

ALMA MATER STUDIORUM - UNIVERSITÀ DI BOLOGNA

FACOLTA’ DI INGEGNERIA

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA CIVILE

DISTART-DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA DELLE STRUTTURE,DEI TRASPORTI,DELLE ACQUE,DEL RILEVAMENTO,DEL TERRITORIO

TESI DI LAUREA

in

Progetto in zona sismica

PROGETTAZIONE SISMICA DI UN EDIFICIO A 5 PIANI IN

C.A. SECONDO IL D.M. 14/01/2008

CANDIDATO RELATORE:

Enza Borri Chiar.mo Prof.

Tomaso Trombetti CORRELATORE: Dott. Ing. Stefano Silvestri

Anno Accademico 2009/10 Sessione I

(2)

INDICE

PARTE 1

CONCEZIONE STRUTTURALE E DATI GENERALI

1. Norme di riferimento

2. Descrizione illustrativa dell’opera

3. Concezione strutturale e schema strutturale 4. Materiali utilizzati

5. Analisi dei carichi

5.1 Solaio di copertura 5.1.1 Calcolo carico neve 5.2 Solaio del piano tipo

PARTE 2

ANALISI STATICA

6. Combinazione delle azioni per analisi statica (SLU+SLE) 7. Verifiche statiche degli elementi strutturali

7.1 Solaio di copertura

7.1.1 Calcolo delle sollecitazioni allo SLU 7.1.2 Verifiche di resistenza allo SLU 7.1.2.1 Verifica a flessione 7.1.2.2 Verifica a taglio

7.1.3 Calcolo delle sollecitazioni allo SLE e relative verifiche 7.1.3.1 Verifica delle tensioni di esercizio

7.1.3.2 Verifica di deformabilità 7.1.3.3 Verifica di fessurazione 7.2 Solaio del piano tipo

7.2.1 Calcolo delle sollecitazioni allo SLU 7.2.2 Verifiche di resistenza allo SLU 7.2.2.1 Verifica a flessione 7.2.2.2 Verifica a taglio

7.2.3.2 Verifica di deformabilità 7.2.3.3 Verifica di fessurazione

7.3 Definizione dei LOAD CASES per tutti i telai

(3)

SOLUZIONE CON TRAVI IN ALTEZZA

7.4 Le travi

7.4.1 Calcolo delle sollecitazioni allo SLU 7.4.1.1 Dettagli costruttivi

7.4.2 Verifiche di resistenza allo SLU 7.4.2.1 Verifiche a flessione 7.4.2.2 Verifiche a taglio

7.4.3.2 Verifica di fessurazione 7.4.3.3 Verifica di deformabilità 7.5 I pilastri

7.5.1 Calcolo delle sollecitazioni e Verifiche di resistenza allo SLU 7.5.1.1 Verifiche a pressoflessione

7.5.1.2 Verifiche a taglio

SOLUZIONE CON TRAVI IN SPESSORE

7.6 Le travi

7.6.1 Calcolo delle sollecitazioni allo SLU 7.6.1.1 Dettagli costruttivi

7.6.2 Verifiche di resistenza allo SLU 7.6.2.1 Verifiche a flessione 7.6.2.2 Verifiche a taglio

7.6.3 Calcolo delle sollecitazioni allo SLE 7.6.3.1 Verifica delle tensioni di esercizio 7.6.3.2 Verifica di fessurazione

7.6.3.3 Verifica di deformabilità 7.7 I pilastri

7.7.1 Calcolo delle sollecitazioni e Verifiche di resistenza allo SLU 7.7.1.1 Verifiche a pressoflessione

PARTE 3

ANALISI SISMICA

8. Combinazione delle azioni per analisi sismica (SLD+SLV)

8.1 Masse da considerarsi per la definizione dell’azione sismica e loro combinazioni

8.1.1 Valutazione dei contributi ai pesi di piano (soluzione con travi in altezza)

8.1.2 Calcolo dei pesi sismici di piano

8.2 Combinazione delle componenti dell’azione sismica

8.3 Vita nominale,classi d’uso,periodo di riferimento per l’azione sismica 8.3.1 Vita nominale

(4)

8.3.4 Periodo di riferimento per l’azione sismica

SOLUZIONE CON TRAVI IN ALTEZZA

9. Valutazione degli effetti del sisma

9.1 Definizione dell’accelerazione di riferimento 9.1.1 Pericolosità sismica di base

9.1.2 Obiettivi prestazionali sismici 9.1.3 Valutazione dell’azione sismica

9.1.4 Definizione della forma spettrale (ag,F0,TC*) 9.1.5 Spettro di risposta elastico in accelerazione

9.1.5.1 Spettro di risposta elastico in accelerazione per gli stati limite di esercizio

9.1.5.1.1 Caratteristiche del sito

9.1.6 Spettro di risposta elastico in accelerazione per gli stati limite ultimi (SLV)

9.1.7 Spettri di risposta di progetto per SLD e SLV

9.1.7.1 Spettri di progetto per gli stati limite di esercizio 9.1.7.2 Spettri di progetto per gli stati limite ultimi 9.1.7.2.1 Fattore di struttura

9.1.8 Calcolo dell’accelerazione di riferimento per SLD e SLV 9.1.8.1 Accelerazione di riferimento per SLD

9.1.8.2 Accelerazione di riferimento per SLV

9.2 Analisi sismica della struttura mediante analisi statica equivalente (ASE)

9.2.1 SLD

9.2.1.1 Valutazione numerica delle forze e dei tagli di piano 9.2.1.2 Verifiche di deformabilità

9.2.2 SLV

9.2.2.1 Valutazione numerica delle forze e dei tagli di piano 9.2.2.2 Calcolo delle sollecitazioni nelle membrature

9.3 Effetti dell’eccentricità

10. Valutazione degli effetti del sisma mediante analisi dinamica modale a spettro di risposta (ADMSR)

10.1 ADMSR a mano

10.1.1 Pesi di piano e masse 10.1.2 Rigidezze di piano 10.1.3 Matrice delle masse 10.1.4 Matrice delle rigidezze 10.1.5 Autovalori

10.1.6 Controllo ortogonalità dei modi di vibrare 10.1.7 Calcolo delle masse modali

10.1.8 Coefficienti di partecipazione

10.1.9 Accelerazioni di piano per ogni modo 10.1.10 Forze di piano per ogni modo 10.1.11 Massa efficace per ogni modo

(5)

10.1.12 Massa percentuale partecipante per ogni modo 10.1.13 Spostamenti di piano per ogni modo

10.1.14 Valutazione dei tagli di piano

10.1.14.1 Quadratura degli spostamenti 10.1.14.2 Quadratura delle forze

10.1.14.3 Quadratura dei tagli 10.2 ADMSR mediante SAP2000

10.2.1 Modello 2D

10.2.1.1 Sintesi delle sollecitazioni 10.2.2 Modello 3D

10.2.2.1 Verifiche di deformabilità allo SLD 10.2.2.2 Calcolo delle sollecitazioni allo SLV 11. Verifiche di resistenza allo SLV

11.1 I Solai 11.2 Le Travi 11.2.1 Telai in direzione X 11.1.1.1 Verifiche a flessione 11.1.1.2 Verifiche a taglio 11.2.2 Telai in direzione Y 11.1.2.1 Verifiche a flessione 11.1.2.2 Verifiche a taglio 11.3 I Pilastri 11.3.1 Verifiche di resistenza 11.3.1.1 Verifiche a pressoflessione 11.3.1.2 Verifiche a taglio

SOLUZIONE CON TRAVI IN SPESSORE

12. Valutazione degli effetti del sisma 12.1 ADMSR mediante SAP2000 12.1.1 Modello 3D

12.1.1.1 Verifiche di deformabilità allo SLD 12.1.1.2 Calcolo delle sollecitazioni allo SLV 13. Verifiche di resistenza allo SLV

13.1 Le Travi 13.1.1 Telai in direzione X 13.1.1.1 Verifiche a flessione 13.1.1.2 Verifiche a taglio 13.2 I Pilastri 13.2.1 Verifiche di resistenza 13.2.1.1 Verifiche a pressoflessione 13.2.2.2 Verifiche a taglio

(6)

PARTE 4

LE FONDAZIONI

14. Analisi statica

14.1 Situazioni limite nei confronti dell’interazione trave rovescia e telaio

14.2 Situazioni limite nei confronti dell’interazione trave rovescia e terreno

14.3 Soluzione con travi in altezza

14.3.1 Sollecitazioni di calcolo allo SLU 14.3.1.1 Verifica a capacità portante 14.3.1.2 Verifica a scorrimento 14.3.1.3 Verifica di resistenza 14.4 Soluzione con travi in spessore

14.4.1 Sollecitazioni di calcolo allo SLU 14.4.1.1 Verifica a capacità portante 14.4.1.2 Verifica a scorrimento 14.4.1.3 Verifica di resistenza 15. Analisi sismica

15.1 Soluzione con travi in altezza

15.1.1 Sollecitazioni di calcolo allo SLV 15.1.1.1 Verifica a capacità portante 15.1.1.2 Verifica a scorrimento 15.1.1.3 Verifica di resistenza 15.2 Soluzione con travi in altezza

15.2.1 Sollecitazioni di calcolo allo SLV 15.2.1.1 Verifica a capacità portante 15.2.1.2 Verifica a scorrimento 15.2.1.3 Verifica di resistenza

PARTE 5

CONFRONTO TRA SOLUZIONE CON TRAVI IN ALTEZZA E

SOLUZIONE CON TRAVI IN SPESSORE

16 Confronto tra le due soluzioni progettuali 16.1 Le Travi

16.1.1 Analisi statica

16.1.1.1 Soluzione con travi in altezza 16.1.1.2 Soluzione con travi in spessore 16.1.1.3 Confronto

16.1.2 Analisi sismica

16.1.1.1 Verifiche a flessione

16.1.1.1.1 Soluzione con travi in altezza 16.1.1.1.2 Soluzione con travi in spessore

(7)

16.1.1.1.3 Confronto 16.1.1.2 Verifiche a taglio

16.1.1.2.1 Soluzione con travi in altezza 16.1.1.2.2 Soluzione con travi in spessore 16.1.1.2.3 Confronto

16.2 I Pilastri

16.2.1 Analisi sismica

16.2.1.1 Verifiche a pressoflessione

16.3 Le Fondazioni

16.3.1 Soluzione con travi in altezza 16.3.2 Soluzione con travi in spessore 16.3.3 Confronto

(8)

PARTE 1

CONCEZIONE STRUTTURALE E DATI GENERALI

1. Norme di riferimento

- “Norme Tecniche per le Costruzioni” adottate con il D.M. 14/01/2008 e pubblicate sul S.O. n. 30 alla G.U. n. 29 del 04/02/2008.

- Circolare 2 febbraio 2009, n. 617 – Istruzioni per l’applicazione delle “Nuove norme tecniche per le costruzioni” di cui al D.M. 14 gennaio 2008.

2. Descrizione illustrativa dell’opera

L’edificio in esame si presenta irregolare in altezza, essendo il piano copertura ridotto rispetto a quello del piano tipo, come mostrato in figura:

(9)

PIANTA DEL PIANO TIPO:

(10)

- Edificio di pianta 11,06 m x 29,29 m (esclusi i balconi) a telai in c.a. in entrambe le direzioni, al fine di resistere alle azioni verticali e orizzontali.

- Pilastri quadrati.

Il numero di telai presenti è: 9 lungo la direzione minore “X” e 3 lungo la direzione maggiore “Y”.

Le quote dei vari piani sono: - Piano primo 3,4 m

- Piano secondo 6,5 m - Piano terzo 9,6 m - Piano attico 12,7 m - Copertura 15,8 m

Il piano terra poggia direttamente sul terreno a cui è collegato attraverso travi rovesce di fondazione.

Per le caratteristiche del sito si rimanda alla PARTE 3 relativa all’analisi sismica.

3. Concezione e Schema strutturale

I solai sono orditi in direzione Y; i 9 telai in direzione X sono i telai principali, mentre i 3 telai in direzione Y sono i telai secondari.

(11)

(12)

(13)

Telai in direzione Y

4. Materiali utilizzati

CALCESTRUZZO: Rck 25/30 Resistenza a compressione

(14)

-

resistenza cilindrica caratteristica fck =0,83⋅Rck =24,9 MPa

-

resistenza cilindrica media f_cm = f_ck +8=32,9 MPa Resistenza a trazione

-

resistenza media a trazione semplice f_ctm =0,30⋅ f_ck2/3 =2,56 MPa

-

resistenza media a trazione per flessione fcfm =1,2fctm =3,07 MPa

Modulo elastico MPa f E cm cm 31447 10 22000 3 , 0 =       ⋅ = Resistenze di calcolo

-

resistenza a compressione f_cd =α_cc f_ck /γ_C =14,1 MPa

-

resistenza a trazione f f f MPa

c ctm C ctk ctd 1,19 5 , 1 79 , 1 7 , 0 / = ⋅ = = =

γ

ACCIAIO: B450C

-

tensione caratteristica di snervamento fy,nom =450 MPa

-

tensione caratteristica di rottura f_t_,_nom =540 MPa

Resistenza di calcolo

-

tensione di calcolo a snervamento f_yd f_yk _S 391,3 MPa 15 , 1 450 / = = =

γ

(15)

5. Analisi dei carichi

Secondo quanto riportato dal paragrafo C4.1.9.1.2 della circolare di applicazione delle ntc2008, le varie parti del solaio devono rispettare i seguenti limiti dimensionali:

-

la larghezza delle nervature deve essere non minore di 1/8 del loro interasse e comunque non inferiore a 80 mm;

-

l’interasse delle nervature deve essere non maggiore di 15 volte lo spessore della soletta;

-

la dimesione massima del blocco di laterizio non deve essere maggiore di 520 mm. 5.1 Solaio di copertura cm cm L H 18,4 25 459 25 max min = = =

Si ipotizza un solaio latero-cemento gettato in opera di altezza H =(20+4) cm

Spessore soletta s = 4 cm Interasse tra i travetti i=50 cm Larghezza della nervatura b0 =10 cm Larghezza pignatta bp =40 cm

(16)

Che rispettano i limiti dimensionali precedentemente elencati: cm s i≤15⋅ =60 cm i b₀ ≥1/8⋅ =6,25 e comunque b₀ ≥8 cm p b < 520 mm

CARICHI PERMANENTI STRUTTURALI G1

SOLETTA 2 3 0.04 1 25 m kN m m kN = ⋅ TRAVETTI 2 3 0,1 0,2 1 25 2 m kN m m m kN = ⋅ ⋅ ⋅ LATERIZI (foratura 67%) 3 2 96 , 0 2 , 0 4 , 0 6 2 m kN m m m kN = ⋅ ⋅ ⋅ TOTALE 2

96 ,

2 m

kN

CARICHI PERMANENTI NON STRUTTURALI G2

COPPI 2 8 , 0 m kN COIBENZA E IMPERMEABILIZZAZIONE 2 15 , 0 m kN MASSETTO (cls alleggerito 10 cm) 2 3 0,1 1,4 14 m kN m m kN = ⋅ INTONACO (2 cm) 2 3 0,02 0,36 18 m kN m m kN _⋅ ₌ TOTALE 2

71 ,

2 m

kN

CARICHI VARIABILI Qk1

CAT.H1: COPERTURA ACCESSIBILE

PER SOLA MANUTENZIONE 2

5 , 0

m kN

(17)

CARICO NEVE 2 3 , 1 m kN TOTALE 2

8 ,

1 m

kN

5.1.1 Calcolo CARICO NEVE

Secondo quanto riportato al § 3.4.1, il carico provocato dalla neve sulle coperture è valutato mediante la seguente espressione:

t E sk i s

q

C

q

=

µ

⋅

dove: s

q = carico neve sulla copertura;

i

µ

= coefficiente di forma della copertura; sk

q = valore caratteristico di riferimento del carico neve al suolo [kN/m2] per un periodo di ritorno di 50 anni;

E

C = coefficiente di esposizione; t

C = coefficiente termico.

Il carico neve al suolo dipende dalle condizioni locali di clima e di esposizione, considerata la variabilità delle precipitazioni nevose da zona a zona.

Sito in esame: L’AQUILA - ZONA III

[

2

]

2 / 63 , 1 ) 481 / ( 1 51 , 0 a kN m q_sk = + _s = essendo as = 714 m s.l.m. E C = 1 t C = 1 i

µ

= 0,8 (0°≤α ≤30°) 2 / 3 , 1 1 1 63 , 1 8 , 0 kN m C C q q_s =

µ

_i ⋅ _sk ⋅ _E ⋅ _t = ⋅ ⋅ ⋅ =

(18)

5.2 Solaio del piano tipo

Anche in questo caso si ipotizza un solaio latero-cemento gettato in opera di altezza cm

H =(20+4)

Interasse tra i travetti i=50 cm

Larghezza del singolo travetto b₀ =10 cm Larghezza pignatta b_p =40 cm

Che rispettano i limiti dimensionali previsti:

cm s i≤15⋅ =60 cm i b0 ≥1/8⋅ =6,25 e comunque b0 ≥8 cm p b < 520 mm

CARICHI PERMANENTI STRUTTURALI G1

SOLETTA 2 3 0.04 1 25 m kN m m kN _⋅ ₌ TRAVETTI 2 3 0,1 0,2 1 25 2 m kN m m m kN _⋅ _⋅ ₌ ⋅ LATERIZI (foratura 67%) 3 2 96 , 0 2 , 0 4 , 0 6 2 m kN m m m kN _⋅ _⋅ ₌ ⋅ TOTALE 2

96 ,

2 m

kN

(19)

CARICHI PERMANENTI STRUTTURALI G2 PAVIMENTO IN MARMO (3 cm) 2 8 , 0 m kN MASSETTO (cls alleggerito 10 cm) 2 3 0.1 1,4 14 m kN m m kN _⋅ ₌ INTONACO (1,5 cm) 2 3 0.015 0,27 18 m kN m m kN _⋅ ₌ TRAMEZZI 2 2 , 1 m kN TOTALE 2

67 ,

3 m

kN

Elementi divisori interni (tramezzi)

Secondo quanto indicato al § 3.1.3.1, per gli orizzontamenti degli edifici per abitazioni e uffici, il peso proprio degli elementi divisori interni può essere ragguagliato ad un carico permanente portato uniformemente distribuito g₂_k, che dipende dal peso proprio per unità di lunghezza G₂_k delle partizioni nel modo seguente:

Nel caso in esame si calcola il peso di 1 metro lineare di tramezzo realizzato con blocchi di laterizio (65% foratura) di spessore = 8 cm, rivestiti da 1 cm di intonaco su ambo le facce, e di altezza pari a 3 m:

kN m m m kN m m m m m kN G₂_k =6,3 / 3⋅0,08 ⋅3 ⋅1 +2⋅0,01 ⋅18 / 3⋅3 ⋅1 =2,59 cui corrisponde un carico uniformemente distribuito g₂_k= 1,2 kN/m2.

(20)

CARICHI VARIABILI Qk1

CAT.A AMBIENTI AD USO RESIDENZIALE q k

2 2 m kN TOTALE 2

2 m

kN

(21)

PARTE 2

ANALISI STATICA

6. Combinazione delle azioni per l’analisi statica (SLU+SLE)

Al §2.5.3 vengono specificate le “combinazioni delle azioni” finalizzate alle verifiche agli stati limite:

Combinazione FONDAMENTALE (SLU):

2 02 2 1 1 2 2 1 1 G Q k Q k G ⋅G +γ ⋅G +γ ⋅Q +γ ⋅ψ ⋅Q γ

Combinazione RARA (SLE):

2 02 1 2 1 G Qk Qk G + + +

ψ

⋅

Combinazione FREQUENTE (SLE):

2 22 1 11 2 1 G Qk Qk G + +

ψ

⋅ +

ψ

⋅

Combinazione QUASI PERMANENTE (SLE):

2 22 1 21 2 1 G Qk Qk G + +

ψ

⋅ +

ψ

⋅

I valori dei coefficienti parziali di sicurezza

γ

G1,

γ

G2,

γ

Qi e i valori dei coefficienti di combinazione Ψ0j,Ψ1j,Ψ2j , sono rispettivamente riportati in Tabella 2.6.I e 2.5.I.

(22)

7. Verifiche statiche degli elementi strutturali

7.1 Solaio di copertura

7.1.1 Calcolo delle sollecitazioni allo SLU

Azioni di calcolo su ogni nervatura m kN i G qp,G1 = 1⋅ =2,96⋅0,5=1,48 / m kN i G qp,G2 = 2⋅ =2,71⋅0,5=1,36 / m kN i Q qp,Q1 = 1⋅ =1,8⋅0,5=0,9 /

Si procede al calcolo delle sollecitazioni secondo due diversi schemi statici:

SCHEMA STATICO 1 m kN qd =1,3⋅1,48+1,5⋅1,36+1,5⋅0,9=5,31 / kNm L q M_mezzeria d 14 8 2 max = ⋅ = kN L q T_appoggi d 12,19 2 max = ⋅ = SCHEMA STATICO 2

(23)

kNm L q M d INCASTRO 9,32 12 2 max = ⋅ =

7.1.2 Verifiche di resistenza allo SLU

Per la valutazione della resistenza ultima delle sezioni si adottano le seguenti ipotesi:

-

conservazione delle sezioni piane;

-

perfetta aderenza acciaio e calcestruzzo;

-

rottura del calcestruzzo determinata dal raggiungimento della sua capacità deformativa ultima a compressione;

-

rottura dell’armatura tesa determinata dal raggiungimento della sua capacità deformativi ultima;

Per il diagramma tensione-deformazione del calcestruzzo è possibile adottare opportuni modelli rappresentativi del reale comportamento del materiale definiti in base alla resistenza di calcolo fcd ed alla deformazione ultima εcu. Nel caso in esame si fa riferimento al diagramma parabola-rettangolo:

in cui per le classi di resistenza inferiori o uguali a C50/60

Per il diagramma tensione-deformazione dell’acciaio nel nostro caso si fa riferimento ad un modello

σ

−

ε

elastico-perfettamente plastico, definito in base al valore di calcolo

ε

_ud =0,9

ε

_uk (ε_uk =(A )_gt _k) della deformazione uniforme ultima e al valore della tensione di snervamento :

(24)

Essendo

ε

ud =0,9

ε

uk =0,9⋅7,5%=6,7%

Affinché la verifica a flessione risulti soddisfatta, il momento resistente dovrà risultare maggiore del momento sollecitante:

Sd Rd M

M ≥

Secondo quanto precisato al § 4.1.2.1.1, nel caso di elementi piani (ad es. solette) gettati in opera con calcestruzzi ordinari e con spessori minori di 50 mm, la resistenza di calcolo a compressione e quella a trazione del calcestruzzo vanno ridotti rispettivamente a 0,8fcde a 0,8fctd.

7.1.2.1 Verifica a flessione

Momento sollecitante positivo

kNm

M

sd

=

14

+ 2 4 3 min 89 , 1 10 21 , 0 10 3 , 391 9 , 0 14 9 , 0 f d cm M A yd sd s ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Si ipotizzano 2_{Φ12 = 2,26 cm}2 di sola armatura inferiore.

Il dimensionamento a rottura viene basato sull’ipotesi che al lembo compresso venga raggiunta la deformazione di rottura:

5 , 3 max , = u = c

ε

‰

(25)

Secondo l’ipotesi di Bernoulli (sezioni piane), la ripartizione delle tensioni di compressione è simile al diagramma

σ

−

ε

del calcestruzzo; un calcolo semplificato permette di introdurre una distribuzione puramente costante su un’altezza ridotta della zona compressa (stress-block) per cui:

cd

C b x f

R =0,8⋅ ⋅ ⋅0,8

risultante calcestruzzo compresso

S

S S

S E A

R =

ε

⋅ ⋅

risultante acciaio teso

Calcolo dell’asse neutro:risultante delle forze orizzontali

0 ' ₌ + + S S C R R R dove: ] [ 2 , 4515 10 29 , 11 50 8 , 0 x x kg RC = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ x x d S − ⋅ =0,0035 ε 26 , 2 2100000 21 0035 , 0 ⋅ − ⋅ ⋅ = x x RS

Dall’equilibrio delle forze orizzontali si ricava la posizione dell’asse neutro, che dista dal lembo compresso: x = 7,1 cm.

Calcolando la deformazione dell’acciaio teso 0,00679 5 , 6 5 , 6 21 0035 , 0 ⋅ − = = S ε ,

quest’ultima risulta essere maggiore della deformazione di snervamento

00186 , 0 210000 3 , 391 = = = S yd yd E f

ε , pertanto è necessario ricalcolare l’asse neutro considerando la tensione nell’acciaio coincidente con la tensione di snervamento:

kg A

f

R_S = _yd ⋅ _S =391,3⋅10⋅2,26=8843,4 da cui x = 2 cm.

(26)

Calcolo del momento resistente: equilibrio alla rotazione attorno alla risultante delle compressioni m kN x d R M_Rd = _S ⋅( −0,4 )=8843,4⋅(21−0,4⋅2)⋅10−4 =17,88 ⋅

che risulta essere maggiore del momento sollecitante MSd =14 kN⋅m, pertanto la verifica risulta essere SODDISFATTA.

Momento sollecitante negativo

kNm

M

sd

=

9 ,

32

− 2 4 3 min 26 , 1 10 21 , 0 10 3 , 391 9 , 0 32 , 9 9 , 0 f d cm M A yd sd s ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Si ipotizzano 3Φ12 = 3,39 cm2 di armatura superiore che va ad aggiungersi ai 2Φ12

di armatura inferiore.

In questo caso essendo b = 10 cm: ] [ 903 10 29 , 11 10 8 , 0 x x kg R_C = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ x x x x d S − ⋅ = − ⋅ =0,0035 0,0035 21 ε 39 , 3 2100000 21 0035 , 0 ⋅ − ⋅ ⋅ = x x R_S

(27)

x x x c x S 3 0035 , 0 0035 , 0 ' = ⋅ − = ⋅ − ε 26 , 2 2100000 0035 , 0 ' = ⋅ − ⋅ ⋅ x c x RS

Dall’equilibrio delle forze orizzontali si ricava la posizione dell’asse neutro, che dista dal lembo compresso (lembo inferiore) x = 11,1 cm.

Calcolando la deformazione dell’acciaio teso 0,00311 1 , 11 1 , 11 21 0035 , 0 ⋅ − = = S

ε

,

quest’ultima risulta essere maggiore della deformazione di snervamento

00186 , 0 210000 3 , 391 = = = S yd yd E f

ε

, pertanto è necessario ricalcolare l’asse neutro considerando la tensione nell’acciaio coincidente con la tensione di snervamento:

kg A

f

R_S = _yd ⋅ _S =391,3⋅10⋅3,39=13265,1 .

Anche l’acciaio in zona compressa risulta avere una deformazione 0.0026 1 , 11 3 1 , 11 0035 , 0 ' = ⋅ − = S

ε

maggiore della deformazione di snervamento, pertanto la risultante dell’acciaio in zona compressa risulta:

kg A f RS yd S 391,3 10 2,26 8843.4 ' = ⋅ = ⋅ ⋅ = .

L’asse neutro si dispone ad una distanza x = 4,9 cm dal lembo inferiore della sezione.

Calcolo del momento resistente: equilibrio alla rotazione attorno alla risultante delle compressioni kNm c x R x d R M_Rd _S _S 35 , 24 ) 3 9 , 4 4 , 0 ( 8843,4 ) 9 , 4 4 , 0 21 ( 13265,1 ) 4 , 0 ( ) 4 , 0 ( ' = = − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ = − ⋅ + − ⋅ =

che risulta essere maggiore del momento sollecitante M_Sd =9,32 kN⋅m, pertanto la verifica risulta essere SODDISFATTA.

(28)

7.1.2.2 Verifica a taglio

Al paragrafo 4.1.2.1.3.1. la Normativa consente l’utilizzo di solai sprovvisti di armatura trasversale resistente a taglio. La verifica di resistenza (SLU) si pone con

Ed Rd V

V ≥

dove VEd è il valore di calcolo dello sforzo di taglio agente.

Con riferimento all’elemento fessurato da momento flettente, la resistenza al taglio si valuta mediante la seguente espressione:

{

k f

}

b d v b d V_Rd = 0,18⋅ ⋅(100⋅

ρ

₁⋅ _ck)1/3/

γ

_c +0,15⋅

σ

_cp ⋅ _w⋅ ≥( _min +0,15⋅

σ

_cp)⋅ _w⋅ con 2 ) / 200 ( 1+ 1/2 ≤ = d k 2 / 1 2 / 3 min 0,035k fck v =

d = altezza utile della sezione (in mm) )

/(

1 = Asl bw⋅d

ρ

= rapporto geometrico di armatura longitudinale (≤0,02) c

Ed cp =N /A

σ tensione media di compressione nella sezione (≤0,2f_cd) w

b = larghezza minima della sezione (in mm)

Nel caso in esame V_Ed =12,19 kN.

Con riferimento allo schema appoggio-appoggio, assumendo d = 210 mm, bw =100 mm, Asl =226 mm2

(29)

si ottiene un VRd =14,9 kN >VEd =12,19 kN e pertanto la verifica risulta essere soddisfatta.

Secondo quanto prescritto al §4.1.2.1.3.3,lo sforzo di taglio V_Ed deve comunque sempre rispettare la condizione:

cd w

Ed b d v f

V ≤0,5⋅ ⋅ ⋅ ⋅

essendo v = 0,5 un coefficiente di riduzione della resistenza del calcestruzzo fessurato per taglio.

Nel caso in esame:

kN kN 0,5 100 210 0,5 11,29 59,3 19

,

12 ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

7.1.3 Calcolo delle sollecitazioni allo SLE e relative verifiche

COMBINAZIONE RARA (SLE)

m kN m kN Q Q G G qd,RARA = 1 + 2 + k1 +ψ02 ⋅ k2 =(1,48+1,36+0,65+0⋅0,25) / =3,49 /

COMBINAZIONE FREQUENTE (SLE)

m kN m kN Q Q G G q_d_,_FREQ = ₁ + ₂ +ψ₁₁⋅ _k₁+ψ₂₂ ⋅ _k₂ =(1,48+1,36+0,2⋅0,65+0,0⋅0,25) / =2,97 /

(30)

COMBINAZIONE QUASI PERMANENTE (SLE) m kN m kN Q Q G G q_d_QuasiPerm _k _k / 84 , 2 / ) 65 , 0 0 , 0 25 , 0 0 , 0 36 , 1 48 , 1 ( 2 22 1 21 2 1 , = = ⋅ + ⋅ + + = ⋅ + ⋅ + + =

ψ

7.1.3.1 Verifica delle tensioni in esercizio

Al paragrafo 4.1.2.2.5 si precisa che, valutate le azioni interne nelle varie parti della struttura, dovute alle combinazioni “caratteristica” (rara) e “quasi permanente” delle azioni, si devono calcolare le massime tensioni sia nel calcestruzzo sia nelle armature ed occorre verificare che tali tensioni siano inferiori ai massimi valori consentiti di seguito riportati:

Tensione massima di compressione del calcestruzzo nelle condizioni di esercizio La massima tensione di compressione del calcestruzzo

σ

C, deve rispettare la limitazione seguente:

σ

_C <0,60f_ck per combinazione caratteristica (rara)

σ

C <0,45fck per combinazione quasi permanente

Nel caso di elementi piani (ad es. solette) gettati in opera con cls ordinari e con spessori di calcestruzzo minori di 50 mm, i valori limite sopra descritti vanno ridotti del 20%.

Le tensioni devono essere calcolate adottando le proprietà geometriche della sezione corrispondente alla condizione non fessurata oppure a quella completamente fessurata, a seconda dei casi. Deve, di regola, essere assunto lo stato fessurato se la massima tensione di trazione nel calcestruzzo calcolata in sezione non fessurata sotto la combinazione di carico rara supera f_ctm.

Quando si adotta una sezione non fessurata, si considera efficace l’intera sezione di calcestruzzo, e si considerano in campo elastico sia a trazione che a compressione il calcestruzzo e l’acciaio.

Quando si adotta la sezione fessurata, il calcestruzzo può essere considerato elastico in compressione, ma incapace di sostenere alcuna trazione.

(31)

Essendo una verifica locale, non si deve tenere conto dell’effetto irrigidente del calcestruzzo teso dopo fessurazione in quanto la condizione più gravosa è assunta nella sezione fessurata.

Valutiamo se il travetto di solaio è in fase elastica fessurata o non fessurata:

2 26 , 2 cm A_s = 1 max , W M_Ed c =

σ

Calcolo del baricentro della sezione

Ipotizziamo un sistema di riferimento x-y come riportato in figura. Poiché la sezione è simmetrica x_G =0.

Per quanto riguarda y si procede come di seguito: _G

2 7 , 397 26 , 2 200 200 10 20 50 4 A cm netta zo calcestruz area A_cn = = ⋅ + ⋅ − _s = + − = cm y_G₁ =22 cm A y A y A y n Gs s G n G 10,1 2 2 2 2 = ⋅ − ⋅ = cm A y A y A y n n G n G Gcn 16,1 2 2 2 1 1⋅ + ⋅ = = 2 2 1 A n A 200 197,7 15 2,26 431,6 cm A A_ci = + _n + ⋅ _s = + + ⋅ =

(32)

cm A y A n y A y ci Gs s Gcn cn Gci 15,1 6 , 431 3 26 , 2 15 1 , 16 7 , 397 = ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ = 4 2 2 3 2 3 5 , 26289 ) 3 15 ( 26 , 2 ) 1 15 ( ) 10 15 ( ) 20 10 ( 12 20 10 ) 15 22 ( ) 4 50 ( 12 4 50 cm Jci = = − ⋅ ⋅ − + − ⋅ ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ = 3 , 6 , 1752 1 , 15 5 , 26289 cm y J W ci G ci ci = = = COMBINAZIONE RARA kNm L q M_Ed drara 9,85 8 2 , ⋅ ₌ = kPa f kPa _ctm c 5620,2 2560 10 6 , 1752 85 , 9 6 max , = _⋅ ₋ = > =

σ

La sezione in esame è pertanto FESSURATA.

In campo elastico: c c C B x x R = ⋅ ⋅ ⋅σ = ⋅50⋅ ⋅σ 2 1 2 1 C s s S x x A R = ⋅σ =2,26⋅15⋅21− ⋅σ essendo c s x x d n σ σ = ⋅( − )⋅

Equilibrio alla traslazione orizzontale

S C R R = 0 21 15 26 , 2 25⋅ ⋅ _c − ⋅ ⋅ − ⋅ _C = x x x σ σ 0 ) 21 ( 9 , 33 25⋅x2 − ⋅ −x = 0 9 , 711 9 , 33 25⋅x2 + ⋅x− = cm x=4,7

(33)

Equilibrio alla rotazione rispetto all’armatura       − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ = 3 7 , 4 21 7 , 4 25 ) 3 / ( _c C d x R M σ c c m kNm σ = ⋅ ⋅σ      − ⋅ ⋅ ⋅ = −6 3 10 4 , 2283 3 7 , 4 21 7 , 4 25 85 , 9 kPa m kNm c 4313,7 10 4 , 2283 35 , 9 3 6 = ⋅ = ₋

σ

Applicando alle verifiche una riduzione del 20% che compete a solette di spessore inferiore a 50mm, la limitazione prevista dalla Normativa per la combinazione rara risulta:

ck C <0,48f

σ

ovvero

σ

_c =4313,7 kPa<0,48⋅24,9⋅103kPa=11952 kPa SODDISFATTA

Tensione massima dell’acciaio in condizioni di esercizio

Per effetto delle azioni dovute alla combinazione caratteristiche deve essere rispettata la seguente limitazione: yk s <0,8 f σ MPa kPa x x d n _c s 4313,7 224,4 7 , 4 7 , 4 21 15 ) ( − _⋅ ₌ _⋅ − _⋅ ₌ ⋅ = σ σ MPa f MPa yk s =224,4 <0,8 =360 σ SODDISFATTA

COMBINAZIONE QUASI PERMANENTE

      − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ = 3 7 , 4 21 7 , 4 25 ) 3 / ( c C d x R M σ kNm m m kN L q M d 7,48 8 59 , 4 / 84 , 2 8 2 2 2 = ⋅ = ⋅ = c c m kNm σ = ⋅ ⋅σ      − ⋅ ⋅ ⋅ = −6 3 10 7 , 2157 3 7 , 4 21 7 , 4 25 48 , 7 kPa m kNm c 3470 10 7 , 2157 48 , 7 3 6 = ⋅ = ₋

σ

(34)

La limitazione prevista dalla Normativa per la combinazione quasi permanente risulta: ck C <0,36f

σ

kPa kPa kPa c 3470 0,36 24,9 10 8964 3 = ⋅ ⋅ < =

σ

SODDISFATTA 7.1.3.2 Verifica di deformabilità

Secondo quanto riportato al § 4.1.2.2.2 , i limiti di deformabilità devono essere congruenti con le prestazioni richieste alla struttura anche in relazione alla destinazione d’uso, con riferimento alle esigenze statiche, funzionali ed estetiche. Per quanto riguarda i valori limite, essi dovranno essere commisurati a specifiche esigenze e potranno essere dedotti da documentazione tecnica di comprovata validità.

Secondo quanto contenuto al paragrafo C4.1.2.2.2 della circolare di applicazione delle ntc2008, il calcolo della deformazione flessionale di solai e travi si effettua in genere mediante integrazione delle curvature tenendo conto della viscosità del calcestruzzo e,se del caso, degli effetti del ritiro.

Per il calcolo delle deformazioni flessionali si considera lo stato non fessurato (sezione interamente reagente) per tutte le parti della struttura per le quali,nelle condizioni di carico considerate, le tensioni di trazione nel calcestruzzo non superano la sua resistenza media fctm a trazione. Per le altre parti si fa riferimento allo stato fessurato, potendosi considerare l’effetto irrigidente del calcestruzzo teso tra le fessure.

Al riguardo detto “pf“ il valore assunto dal parametro di deformazione nella membratura interamente fessurata e “p” il valore assunto da detto parametro nella membratura interamente reagente, il valore di calcolo “p* ” del parametro è dato da:

p p p*=ζ ⋅ _f +(1−ζ)⋅ in cui 2 1 β ζ = −c

(35)

essendo esercizio ne fessurazio M M =

β

, e il coefficiente “c” pari a 1 nel caso di applicazione di un singolo carico di breve durata, o pari a 0,5 nel caso di carichi permanenti o per cicli di carico ripetuti.

Salvaguardia dell’aspetto e della funzionalità dell’opera

Per quanto riguarda la salvaguardia dell’aspetto e della funzionalità dell’opera, le frecce a lungo termine di travi e solai, calcolate sotto la condizione quasi permanente dei carichi, non dovrebbero superare il limite di 1/250 della luce.

Integrità delle pareti divisorie e di tamponamento portate

Per quanto riguarda l’integrità delle pareti divisorie e di tamponamento portate,le frecce di travi e solai, calcolate sotto la condizione quasi permanente dei carichi, non dovrebbero superare il limite di 1/500 della luce.

STADIO I: NON FESSURATO

-

posizione dell’asse neutro tramite annullamento del momento statico S_x =0: 0 ) ( ) 2 / ( ) 2 / ( − + ⋅ ⋅ + − + ⋅ − = ⋅ ⋅ − = B s x s b h s h x n A d x S_x _s 0 ) 21 ( 26 , 2 15 ) 14 ( 20 10 ) 2 ( 4 50⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ − = − x x x cm x=9

-

Momento d’inerzia di Stadio I:

2 2 3 2 3 1 ( /2 ) ( ) 12 ) 2 / ( 12 b h s h x n A d x h b s x s B s B J = ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ + − + ⋅ _s − 4 2 2 3 2 3 1 10 20 (14 9) 15 2,26 (21 9) 26615 12 20 10 ) 2 9 ( 4 50 12 4 50 cm J = ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − =

-

freccia di Stadio I cm J E L q f c d I 0093 , 0 10 26615 10 31447 59 , 4 84 , 2 384 5 384 5 8 3 2 1 0 4 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ₋

(36)

STADIO II: FESSURATO

-

posizione dell’asse neutro tramite annullamento del momento statico Sx =0: 0 ) ( 2 ) ( ) 2 / ( 2 = − ⋅ + − ⋅ − − ⋅ ⋅ − = B s x s b x s n A d x Sx s 0 ) 21 ( 26 , 2 15 2 ) 4 ( 10 ) 2 ( 4 50 2 = − ⋅ + − ⋅ − − ⋅ ⋅ − x x x cm x=4,7

-

Momento d’inerzia di Stadio II:

2 2 3 2 3 2 ( ) 2 ) ( 12 ) ( ) 2 / ( 12 n A d x s x b s x b s x s B s B J = ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − + ⋅ _s − 4 2 2 3 2 3 2 3 , 10734 ) 7 , 4 21 ( 26 , 2 15 2 ) 4 7 , 4 ( 10 12 ) 4 7 , 4 ( 10 ) 2 7 , 4 ( 4 50 12 4 50 cm J = = − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ =

-

freccia di Stadio II cm J E L q f c d II 023 , 0 10 10737 10 31447 59 , 4 84 , 2 384 5 384 5 8 3 2 2 0 4 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ₋

FRECCIA EFFETTIVA

Essendo per la combinazione quasi permanente:

kNm W

f

M_fess = _ctm ⋅ _i_._r_. =2,56⋅103⋅1752,6⋅10−6 =4,49

kNm Mesercizioquasi permanente 7,48

_ = I esercizio fess II esercizio fess I II f M M f M M f f f               ⋅ +               ⋅ − = ⋅ − + ⋅ = 2 2 5 , 0 5 , 0 1 ) 1 ( *

ζ

cm f 0,0093 0,038 48 , 7 49 , 4 5 , 0 023 , 0 48 , 7 49 , 4 5 , 0 1 * 2 2 =               ⋅ + ⋅               ⋅ − =

(37)

Salvaguardia dell’aspetto e della funzionalità dell’opera: cm cm cm f 1,84 250 459 038 , 0 *= < = SODDISFATTA

Integrità delle pareti divisorie e di tamponamento portate:

cm cm cm f 0,92 500 459 038 , 0 *= < = SODDISFATTA 7.1.3.3 Verifica di fessurazione

Per assicurare la funzionalità e la durata delle strutture è necessario:

-

realizzare un sufficiente ricoprimento delle armature con calcestruzzo di buona qualità e compattezza,bassa porosità e permeabilità;

-

non superare uno stato limite di fessurazione adeguato alle condizioni ambientali, alle sollecitazioni ed alla sensibilità delle armature alla corrosione;

-

tener conto delle esigenze estetiche.

Al paragrafo 4.1.2.2.4 vengono definiti i seguenti stati limite di fessurazione:

-

stato limite di decompressione

nel quale, per la combinazione di azione prescelta,la tensione normale è ovunque di compressione o al più uguale a zero;

-

stato limite di formazione delle fessure

nel quale, per la combinazione di azioni prescelta, la tensione normale di trazione nella fibra più sollecitata è

2 , 1 ctm t f = σ

-

stato limite di apertura delle fessure

nel quale, per la combinazione di azioni prescelta, il valore limite di apertura della fessura calcolato al livello considerato è pari ad uno dei seguenti valori nominali:

(38)

mm w mm w mm w 4 , 0 3 , 0 2 , 0 3 2 1 = = =

Lo stato limite di fessurazione deve essere fissato in funzione delle condizioni ambientali e della sensibilità delle armature alla corrosione.

Le combinazioni di azioni che si devono prendere in considerazione sono:

combinazione quasi permanente

combinazione frequente

Le condizioni ambientali, ai fini della protezione contro la corrosione delle armature metalliche, possono essere suddivise in ordinarie, aggressive e molto aggressive in relazione a quanto indicato in Tab. 4.1.III

Con riferimento alla sensibilità delle armature alla corrosione, le armature si dividono in due gruppi:

armature SENSIBILI

armature POCO SENSIBILI

Gli acciai ordinari appartengono al secondo gruppo.

Nella Tab. 4.1.IV sono indicati i criteri di scelta dello stato limite di fessurazione con riferimento alle esigenze sopra riportate:

(39)

Allo “stato limite di decompressione e di formazione delle fessure” le tensioni sono calcolate in base alle caratteristiche geometriche e meccaniche della sezione omogeneizzata non fessurata.

Allo “stato limite di apertura delle fessure” il valore di calcolo di apertura delle fessure (w ) non deve superare i valori nominali _d w₁,w₂,w₃ secondo quanto previsto in Tab. 4.1.IV.

Il valore di calcolo:

m

d w

w =1,7

dove w rappresenta l’ampiezza media delle fessure calcolata come prodotto della _m deformazione media delle barre d’armatura

ε

_sm per la distanza media tra le fessure

sm ∆ : sm sm m w =ε ⋅∆

Per il calcolo di εsme ∆sm vanno utilizzati criteri consolidati riportati nella letteratura tecnica.

COMBINAZIONE QUASI PERMANENTE m kN q_d_,_quasiperm =2,84 / kNm M quasiperm 7,48 8 59 , 4 84 , 2 2 max, = ⋅ =

Deve essere definito lo stato limite di fessurazione in cui si trova la sezione in esame:

kNm W f Mcr ctm ir 2,56 1752,6 10 10 4,49 6 3⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = −

(40)

che risulta essere inferiore al M_Ed =7,48 kNm, pertanto la sezione si trova allo stato limite di apertura delle fessure.

La stessa cosa poteva essere verificata calcolando la tensione normale di trazione nella fibra più sollecitata:

MPa W M ir c 4,27 10 6 , 1752 10 48 , 7 3 6 max , = ⋅ ⋅ = =

σ

e confrontandola con il valore fornito dalla Normativa: MPa t 2,13 2 , 1 56 , 2 ₌ =

σ

.

La tensione

σ

s2 si calcola considerando la sezione in Stadio II mediante la formula

esatta: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 d x I M n x h I M x h x d n x h x d n _c s ⋅ ⋅ − = − − − ⋅ = − − = σ σ da cui: MPa cm N s (21 4,7) 170,3 10737 10 48 , 7 15 5 2 − = ⋅ ⋅ ⋅ = σ

Il valore di calcolo dell’apertura delle fessure può essere ottenuto applicando la procedura seguente, tramite l’espressione:

max , s sm d w =ε ⋅∆ dove: max , s

∆ = distanza massima tra le fessure sm

ε = deformazione unitaria media delle barre che può essere calcolata mediante l’espressione fornita dalla circolare di applicazione delle ntc2008:

S S S eff e eff ctm t s sm E E f k

σ

ρ

α

ρ

σ

ε

0,6 ) 1 ( ≥ + − = in cui:

(41)

pertanto: MPa s =170,3 σ 678 , 6 31447 210000 = = MPa MPa e

α

          = = − = − = cm h cm x h cm d h hceff 12 2 / 43 , 6 3 / ) ( 5 , 7 ) ( 5 , 2 min , 2 , , b h 64,3 cm A_c_eff = ⋅ _c_eff = 0352 , 0 3 , 64 26 , 2 2 2 = = cm cm eff

ρ

Sostituendo i valori sopraindicati nell’espressione:

00064 , 0 ) 1 ( = + − = S eff e eff ctm t s sm E f k

α

ρ

σ

ε

che risulta inferiore al limite imposto 0,6 =0,00081 S S E

σ

e pertanto si assume 00081 , 0 = sm

ε

.

(42)

Nei casi in cui l’armatura sia disposta con una spaziatura non superiore a 5(c+Φ/2), la distanza massima tra le fessure, ∆_s_max, può essere valutata mediante l’espressione:

eff s k c k k k

ρ

Φ + = ∆ max 3 1 2 4 cm s 16 0352 , 0 2 , 1 425 , 0 5 , 0 8 , 0 3 4 , 3 max = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ∆

Il valore di calcolo dell’apertura delle fessure risulta pertanto: mm

mm w_d =ε_sm⋅∆_s_,_max =0,00081⋅160 =0,13

Con riferimento alla tabella 4.1.IV, in condizioni ambientali “ordinarie”,per la combinazione delle azioni “quasi permanente”, per armatura “poco sensibile”:

mm w mm wd =0,13 ≤ 2 =0,3 SODDISFATTA COMBINAZIONE FREQUENTE m kN qd,freq =2,97 / kNm M _quasiperm 7,82 8 59 , 4 97 , 2 2 max, = ⋅ =

Tensione normale di trazione nella fibra più sollecitata:

MPa W M ir c 4,46 10 6 , 1752 10 82 , 7 3 6 max , = ⋅ ⋅ = =

σ

(43)

che confrontata con il valore fornito dalla Normativa: MPa t 2,13 2 , 1 56 , 2 = =

σ

permette di dedurre che la sezione si trova nello stato limite di apertura delle fessure. La tensione

σ

_s₂ si calcola considerando la sezione in Stadio II mediante la formula esatta: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 d x I M n x h I M x h x d n x h x d n _c s ₋ ⋅ ⋅ − = − − ⋅ = − − = σ σ da cui: MPa cm N s (21 4,7) 10 178,1 10737 10 82 , 7 15 2 5 2 − ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = σ

max , s sm d w =ε ⋅∆ dove: max , s

∆ = distanza massima tra le fessure sm

ε = deformazione unitaria media delle barre che può essere calcolata mediante l’espressione fornita dalla circolare di applicazione delle ntc2008:

S S S eff e eff ctm t s sm E E f k

σ

ρ

α

ρ

σ

ε

0,6 ) 1 ( ≥ + − = pertanto: MPa s =178,1 σ 678 , 6 31447 210000 = = MPa MPa e

α

          = = − = − = cm h cm x h cm d h h_c_eff 12 2 / 43 , 6 3 / ) ( 5 , 7 ) ( 5 , 2 min , 2 , , b h 64,3 cm A_c_eff = ⋅ _c_eff =

(44)

0352 , 0 3 , 64 26 , 2 2 2 = = cm cm eff

ρ

4 , 0 = t k

Sostituendo i valori sopraindicati nell’espressione:

00068 , 0 ) 1 ( = + − = S eff e eff ctm t s sm E f k

α

ρ

σ

ε

che risulta inferiore al limite imposto 0,6 =0,00081 S S E

σ

e pertanto si assume 00081 , 0 = sm

ε

.

Nei casi in cui l’armatura sia disposta con una spaziatura non superiore a 5(c+Φ/2), la distanza massima tra le fessure, ∆_s_max, può essere valutata mediante l’espressione:

eff s k c k k k

ρ

Φ + = ∆ max 3 1 2 4 cm s 16 0352 , 0 2 , 1 425 , 0 5 , 0 8 , 0 3 4 , 3 max = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ∆

Il valore di calcolo dell’apertura delle fessure risulta pertanto: mm

mm w_d =ε_sm⋅∆_s_,_max =0,00081⋅160 =0,13

Con riferimento alla tabella 4.1.IV,in condizioni ambientali “ordinarie”,per la combinazione delle azioni “frequente”, per armatura “poco sensibile”:

mm w

mm

w_d =0,13 ≤ ₃ =0,4 SODDISFATTA

7.2 Solaio del piano tipo

7.2.1 Calcolo delle sollecitazioni allo SLU

Azioni di calcolo su ogni nervatura m kN i

G

(45)

m kN i G q_p_,_G₂ = 2⋅ =3,67⋅0,5=1,84 / m kN i Q q_p_,_Q₁ = 1⋅ =2⋅0,5=1 /

Combinazione fondamentale (SLU):

1 1 2 2 1 1 G Q k G ⋅G +γ ⋅G +γ ⋅Q γ m kN q_d =1,3⋅1,48+1,5⋅1,84+1,5⋅1=6,18 /

Si procede al calcolo delle sollecitazioni secondo due diversi schemi statici:

SCHEMA STATICO 1 kNm L q Mmezzeria d 16,28 8 2 max = ⋅ = kN L q Tappoggi d 14,18 2 max ₌ ⋅ ₌ SCHEMA STATICO 2 kNm L q M_INCASTRO d 10,85 12 2 max = ⋅ =

(46)

7.2.2 Verifiche di resistenza allo SLU

7.2.2.1 Verifica a flessione

Momento sollecitante positivo

kNm

M

_sd+

=

16 ,

28

2 4 3 min 20 , 2 10 21 , 0 10 3 , 391 9 , 0 28 , 16 9 , 0 f d cm M A yd sd s ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Ipotizzo 2_{Φ12 = 2,26 cm}2 di sola armatura inferiore. Asse neutro x = 2 cm. m kN x d R MRd = S ⋅ − = ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ − 88 , 17 10 ) 2 4 , 0 21 ( 4 , 8843 ) 4 , 0 ( 4

che risulta essere maggiore del momento sollecitante MSd =16,28 kN⋅m, pertanto la verifica risulta essere SODDISFATTA.

Momento sollecitante negativo

kNm

M

sd

=

10 ,

85

− 2 4 3 min 47 , 1 10 21 , 0 10 3 , 391 9 , 0 85 , 10 9 , 0 f d cm M A yd sd s ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Si ipotizzano 3_{Φ12 = 3,39 cm}2 di armatura superiore che va ad aggiungersi ai 2_Φ12 di armatura inferiore già presenti su tutta la luce del solaio.

(47)

kNm c x R x d R MRd S S 35 , 24 ) 3 9 , 4 4 , 0 ( 8843,4 ) 9 , 4 4 , 0 21 ( 13265,1 ) 4 , 0 ( ) 4 , 0 ( ' = = − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ = − ⋅ + − ⋅ =

che risulta essere maggiore del momento sollecitante M_Sd =10,85 kN⋅m, pertanto la verifica risulta essere SODDISFATTA.

7.2.2.2 Verifica a taglio

Al paragrafo 4.1.2.1.3.1. la Normativa consente l’utilizzo di solai sprovvisti di armatura trasversale resistente a taglio. La verifica di resistenza (SLU) si pone con

Ed Rd V

V ≥

dove VEd è il valore di calcolo dello sforzo di taglio agente.

Con riferimento all’elemento fessurato da momento flettente, la resistenza al taglio si valuta mediante la seguente espressione:

{

k f

}

b d v b d V_Rd = 0,18⋅ ⋅(100⋅

ρ

₁⋅ _ck)1/3/

γ

_c +0,15⋅

σ

_cp ⋅ _w⋅ ≥( _min +0,15⋅

σ

_cp)⋅ _w⋅ con 2 ) / 200 ( 1+ 1/2 ≤ = d k 2 / 1 2 / 3 min 0,035k fck v =

d = altezza utile della sezione (in mm) )

/(

1 = Asl bw⋅d

ρ

= rapporto geometrico di armatura longitudinale (≤0,02) c

Ed cp =N /A

σ tensione media di compressione nella sezione (≤0,2f_cd) w

b = larghezza minima della sezione (in mm)

Nel caso in esame VEd =14,18 kN.

Con riferimento allo schema appoggio-appoggio, assumendo d = 210 mm, bw =100 mm, Asl =226 mm2

(48)

kN V

kN

V_Rd =14,9 > _Ed =14,18 e pertanto la verifica risulta essere soddisfatta. Secondo quanto prescritto al §4.1.2.1.3.3,lo sforzo di taglio V_Ed deve comunque sempre rispettare la condizione:

cd w

Ed b d v f

V ≤0,5⋅ ⋅ ⋅ ⋅

essendo v = 0,5 un coefficiente di riduzione della resistenza del calcestruzzo fessurato per taglio.

Nel caso in esame:

kN kN 0,5 100 210 0,5 11,29 59,3 8

,

14 ≤ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

7.2.3 Calcolo delle sollecitazioni allo SLE e relative verifiche

COMBINAZIONE RARA (SLE)

m kN m kN Q Q G G q_d_,_RARA = ₁ + ₂ + _k₁ +ψ₀₂ ⋅ _k₂ =(1,48+1,84+1) / =4,32 /

COMBINAZIONE FREQUENTE (SLE)

m kN m kN Q Q G G qd,FREQ = 1 + 2 +ψ11⋅ k1 +ψ22 ⋅ k2 =(1,48+1,84+0,5⋅1) / =3,82 /

(49)

COMBINAZIONE QUASI PERMANENTE (SLE) m kN m kN Q G G q_d_QuasiPerm _k / 62 , 3 / ) 1 3 , 0 84 , 1 48 , 1 ( 1 21 2 1 , = = ⋅ + + = ⋅ + + =

ψ

7.2.3.1 Verifica delle tensioni di esercizio

cm yGci =15,1 4 5 , 26289 cm Jci = 3 , 6 , 1752 1 , 15 5 , 26289 cm y J W ci G ci ci = = = COMBINAZIONE RARA kNm m kN L q M_Ed drara 11,38 8 59 , 4 / 32 , 4 8 2 2 , = ⋅ = ⋅ = kPa f kPa m kNm ctm c 6493,2 2260 10 6 , 1752 38 , 11 3 6 max , = > = ⋅ = ₋

σ

La sezione in esame è pertanto FESSURATA.

In campo elastico: c c C B x x R = ⋅ ⋅ ⋅σ = ⋅50⋅ ⋅σ 2 1 2 1 C s s S x x A R = ⋅σ =2,26⋅15⋅21− ⋅σ essendo c s x x d n σ σ = ⋅( − )⋅

Equilibrio alla traslazione orizzontale

S C R R = 0 21 15 26 , 2 25⋅ ⋅ _c − ⋅ ⋅ − ⋅ _C = x x x σ σ 0 ) 21 ( 9 , 33 25⋅x2 − ⋅ −x =

(50)

0 9 , 711 9 , 33 25⋅x2 + ⋅x− = cm x=4,7

Equilibrio alla rotazione rispetto all’armatura

      − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ = 3 7 , 4 21 7 , 4 25 ) 3 / ( c C d x R M σ c c m kNm σ = ⋅ ⋅σ      − ⋅ ⋅ ⋅ = −6 3 10 4 , 2283 3 7 , 4 21 7 , 4 25 85 , 9 kPa m kNm c 4313,7 10 4 , 2283 35 , 9 3 6 = ⋅ = ₋

σ

Applicando alle verifiche una riduzione del 20% che compete a solette di spessore inferiore a 50mm, la limitazione prevista dalla Normativa per la combinazione rara risulta:

ck C <0,48f

σ

ovvero

σ

_c =4313,7 kPa<0,48⋅24,9⋅103kPa=11952 kPa SODDISFATTA

Tensione massima dell’acciaio in condizioni di esercizio

Per effetto delle azioni dovute alla combinazione caratteristiche deve rispettare la limitazione seguente: yk s <0,8 f σ MPa kPa x x d n _c s 4313,7 224,4 7 , 4 7 , 4 21 15 ) ( = ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ = σ σ MPa f MPa _yk s =224,4 <0,8 =360 σ

Combinazione quasi permanente

      − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ = 3 7 , 4 21 7 , 4 25 ) 3 / ( c C d x R M σ kNm m m kN L q M d 53 , 9 8 59 , 4 / 62 , 3 8 2 2 2 = ⋅ = ⋅ =

(51)

c c m kNm σ = ⋅ ⋅σ      − ⋅ ⋅ ⋅ = −6 3 10 7 , 2157 3 7 , 4 21 7 , 4 25 53 , 9 kPa m kNm c 4416,7 10 7 , 2157 53 , 9 3 6 = ⋅ = ₋

σ

La limitazione prevista dalla Normativa per la combinazione quasi permanente risulta:

ck C <0,36f

σ

ovvero c 4416,7 kPa 0,36 24,9 10 kPa 8964 kPa 3 = ⋅ ⋅ < =

σ

SODDISFATTA 7.2.3.2 Verifiche di deformabilità

STADIO I: NON FESSURATO

-

posizione dell’asse neutro tramite annullamento del momento statico S_x =0: 0 ) ( ) 2 / ( ) 2 / ( − + ⋅ ⋅ + − + ⋅ − = ⋅ ⋅ − = B s x s b h s h x n A d x Sx s 0 ) 21 ( 26 , 2 15 ) 14 ( 20 10 ) 2 ( 4 50⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ − = − x x x cm x=9

-

Momento d’inerzia di Stadio I:

2 2 3 2 3 1 ( /2 ) ( ) 12 ) 2 / ( 12 b h s h x n A d x h b s x s B s B J = ⋅ + ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ + − + ⋅ _s − 4 2 2 3 2 3 1 10 20 (14 9) 15 2,26 (21 9) 26615 12 20 10 ) 2 9 ( 4 50 12 4 50 cm J = ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − =

-

freccia di Stadio I cm J E L q f c d I 0119 , 0 10 26615 10 31447 59 , 4 62 , 3 384 5 384 5 8 3 2 1 0 4 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ₋

STADIO II: FESSURATO

(52)

0 ) ( 2 ) ( ) 2 / ( 2 = − ⋅ + − ⋅ − − ⋅ ⋅ − = B s x s b x s n A d x Sx s 0 ) 21 ( 26 , 2 15 2 ) 4 ( 10 ) 2 ( 4 50 2 = − ⋅ + − ⋅ − − ⋅ ⋅ − x x x cm x=4,7

-

Momento d’inerzia di Stadio II:

2 3 2 ( ) 3 n A d x x B J = ⋅ + ⋅ _s − 4 2 3 2 15 2,26 (21 4,7) 10737 3 7 , 4 50 cm J = ⋅ + ⋅ ⋅ − =

-

freccia di Stadio II cm J E L q f c d II 029 , 0 10 10737 10 31447 59 , 4 62 , 3 384 5 384 5 8 3 2 2 0 4 = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ₋ Freccia effettiva

Essendo per la combinazione quasi permanente:

kNm W

f

M_fess = _ctm ⋅ _i_._r_. =2,56⋅103⋅1752,6⋅10−6 =4,49

kNm M_esercizioquasi_permanente =9,53

I esercizio fess II esercizio fess I II f M M f M M f f f               ⋅ +               ⋅ − = ⋅ − + ⋅ = 2 2 5 , 0 5 , 0 1 ) 1 ( *

ζ

cm f 0,0119 0,027 53 , 9 49 , 4 5 , 0 029 , 0 53 , 9 49 , 4 5 , 0 1 * 2 2 =               ⋅ + ⋅               ⋅ − =

Salvaguardia dell’aspetto e della funzionalità dell’opera:

cm cm cm f 1,84 250 459 027 , 0 *= < = SODDISFATTA

(53)

Integrità delle pareti divisorie e di tamponamento portate: cm cm cm f 0,92 500 459 027 , 0 *= < = SODDISFATTA 7.2.3.3 Verifiche di fessurazione

COMBINAZIONE QUASI PERMANENTE m kN q_d_,_quasiperm =3,62 / kNm M quasiperm 9,53 8 59 , 4 62 , 3 2 max, = ⋅ =

Deve essere definito lo stato limite di fessurazione in cui si trova la sezione in esame:

kNm W f Mcr ctm ir 2,56 1752,6 10 10 4,5 6 3⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = −

che risulta essere inferiore al MEd =9,43 kNm, pertanto la sezione si trova nello stato limite di apertura delle fessure.

La stessa cosa poteva essere verificata calcolando la tensione normale di trazione nella fibra più sollecitata:

MPa W M ir c 5,44 10 6 , 1752 10 53 , 9 3 6 max , = ⋅ ⋅ = =

σ

e confrontandola con il valore fornito dalla Normativa:

MPa t 2,13 2 , 1 56 , 2 = =

σ

.

La tensione

σ

_s₂ si calcola considerando la sezione in Stadio II mediante la formula esatta: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 d x I M n x h I M x h x d n x h x d n c s ⋅ ⋅ − = − − − ⋅ = − − = σ σ da cui: MPa cm cm cm N s (21 4,7) 10 217 10737 10 53 , 9 15 ₄ 2 5 2 − ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = −