Soluzione della verifica del 03/03/2011

Istituto Statale d’Arte Volterra - Prof. Francesco Daddi

Soluzione verifica di Matematica 2

A

3 marzo 2011

Esercizio 1. Risolvere l’equazione x2

+ x − 2 = 0 Soluzione.      a_{= 1} b_{= 1} c_{= −2} ⇒ ∆ = b2− 4 · a · c = (1)2− 4 · 1 · (−2) = 1 + 8 = 9 > 0 (2 soluzioni) x1 ,2 = −b ±√∆ 2 · a = −1 ±√9 2 · 1 = −1 ± 3 2 ր ց x_{1 =} −1 + 3 2 = 2 2 = 1 x2 = −1 − 3 2 = −4 2 = −2 .

Esercizio 2. Risolvere l’equazione x2

− 4 x + 3 = 0 Soluzione.      a _{= 1} b _{= −4} c_{= 3} ⇒ ∆ = b2− 4 · a · c = (−4)2− 4 · 1 · 3 = 16 − 12 = 4 > 0 (2 soluzioni) x1 ,2 = −b ±√∆ 2 · a = 4 ±√4 2 · 1 = 4 ± 2 2 ր ց x1 = 4 + 2 2 = 6 2 = 3 x_{2 =} 4 − 2 2 = 2 2 = 1 .

Esercizio 3. Risolvere l’equazione −2 x2

+ x + 1 = 0 Soluzione.      a_{= −2} b_{= 1} c_{= 1} ⇒ ∆ = b2 − 4 · a · c = (1)2− 4 · (−2) · 1 = 1 + 8 = 9 > 0 (2 soluzioni) x1,2 = −b ±√∆ 2 · a = −1 ±√9 2 · (−2) = −1 ± 3 −4 ր ց x1 = −1 + 3 −4 = 2 −4 = − 1 2 x2 = −1 − 3 −4 = −4 −4 = 1 .

Esercizio 4. Risolvere l’equazione 4 x2

+ 32 x = 0

Soluzione._{Si tratta di un’equazione spuria; dividiamo tutto per 4:} x2_{+ 8 x = 0 ;}

mettiamo in evidenza una x:

x_{(x + 8) = 0} ր ց

x_{1 = 0}

x_{2 = −8 .}

Esercizio 5. Risolvere l’equazione x2

− 6 = x Soluzione. x2_{− x − 6 = 0}      a_{= 1} b_{= −1} c_{= −6} ⇒ ∆ = b2− 4 · a · c = (−1)2− 4 · 1 · (−6) = 1 + 24 = 25 > 0 (2 soluzioni) x1 ,2 = −b ±√∆ 2 · a = 1 ±√25 2 · 1 = 1 ± 5 2 ր ց x1 = 1 + 5 2 = 6 2 = 3 x2 = 1 − 5 2 = −4 2 = −2 .

Esercizio 6. Risolvere l’equazione 2000 x2

− 5000 x = −3000 Soluzione._{Dividiamo tutto per 1000:}

2 x2 − 5 x = −3 ⇒ 2 x2− 5 x + 3 = 0      a _{= 2} b _{= −5} c_{= 3} ⇒ ∆ = b2− 4 · a · c = (−5)2− 4 · 2 · 3 = 25 − 24 = 1 > 0 (2 soluzioni) x1,2 = −b ±√∆ 2 · a = 5 ±√1 2 · 2 = 5 ± 1 4 ր ց x_{1 =} 5 + 1 4 = 6 4 = 3 2 x2 = 5 − 1 4 = 4 4 = 1 .

Esercizio 7. Risolvere l’equazione _{(x + 1)2 − (4 − 2 x) = x}2 + 3 Soluzione. 2 x + 2 − 4 + 2 x = x2 + 3 ⇒ −x2 + 4 x − 5 = 0      a_{= −1} b_{= 4} c_{= −5} ⇒ ∆ = b2− 4 · a · c = (4)2− 4 · (−1) · (−5) = 16 − 20 = −4 < 0 ⇒ nessuna soluzione .

Esercizio 8. Risolvere l’equazione (2 x + 1)2

+ (x + 2)(x + 1) = x + 2 Soluzione. 4 x2 + 4 x + 1 + x2 +x_{+ 2 x +}
2 =x_{+
2 ⇒ 5 x}2 + 6 x + 1 = 0      a_{= 5} b _{= 6} c_{= 1} ⇒ ∆ = b2 − 4 · a · c = (6)2− 4 · 5 · 1 = 36 − 20 = 16 > 0 (2 soluzioni) x1 ,2 = −b ±√∆ 2 · a = −6 ±√16 2 · 5 = −6 ± 4 10 ր ց x1 = −6 + 4 10 = −2 10 = − 1 5 x_{2 =} −6 − 4 10 = −10 10 = −1 .

Esercizio 9. Risolvere l’equazione x(x2

− 3 x) + 2 = x3

Soluzione.

x3_{− 3 x}2_{+ 2 = x}3 _{⇒ −3 x}2_{+ 2 = 0 ;} si tratta di un’equazione pura; si ha

−3 x2 = −2 ⇒ x2 = 2 3 ր ց x_{1 =}r 2 3 x2 = − r 2 3 .

Esercizio 10. Risolvere l’equazione _{2 − 3 x(4 − x) = x}2_{− 16} Soluzione.

2 − 12 x + 3 x2

= x2

− 16 ⇒ 2 x2− 12 x + 18 = 0 ; dividiamo tutto per 2:

x2 _{− 6 x + 9 = 0}      a _{= 1} b _{= −6} c_{= 9} ⇒ ∆ = b2− 4 · a · c = (−6)2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0 (2 soluzioni coincidenti)

x1,2 = −b ±√∆ 2 · a = 6 ±√0 2 · 1 = 6 ± 0 2 ր ց x1 = 6 + 0 2 = 6 2 = 3 x2 = 6 − 0 2 = 6 2 = 3 . D’altra parte possiamo osservare che x2

− 6 x + 9 = (x − 3)2, per cui le due soluzioni concidenti sono x1 = x2 = 3 .

Esercizio 11. Risolvere l’equazione x+ 1 2 − x2 − 1 3 = 0 Soluzione. 3(x + 1) − 2(x2 − 1) 6 = 0 6 ⇒ 3 x + 3 − 2 x2 + 2
6 = 0
6 ⇒ −2 x 2 + 3 x + 5 = 0      a_{= −2} b_{= 3} c_{= 5} ⇒ ∆ = b2 − 4 · a · c = (3)2− 4 · (−2) · 5 = 9 + 40 = 49 (2 soluzioni) x1 ,2 = −b ±√∆ 2 · a = −3 ±√49 2 · (−2) = −3 ± 7 −4 ր ց x1 = −3 + 7 −4 = 4 −4 = −1 x2 = −3 − 7 −4 = −10 −4 = 5 2 .

Esercizio 12. Risolvere l’equazione (x + 1)3

+(x − 1)(2 − x) 2 = (x 2 − 1)x Soluzione. x3_{+ 3 x}2_{+ 3 x + 1 +} 2 x − x 2 − 2 + x 2 = x 3 − x ⇒ 3 x2 + 4 x + 1 + 3 x − x 2 − 2 2 = 0 ⇒ 2(3 x2 + 4 x + 1) + 3 x − x2 − 2 2 = 0 2 ⇒ 6 x2 + 8 x +
_{2 + 3 x − x}2 −2

2 = 0
2 ⇒ 5 x 2 + 11 x = 0 Si tratta di un’equazione spuria; mettiamo in evidenza una x:

x_{(5 x + 11) = 0} ր ց x1 = 0 x2 = − 11 5 .

Esercizio 13. Risolvere l’equazione (2 x − 1) 2 3 − (x − 2)(1 − 2 x) 6 = (1 − 2 x) 2 Soluzione. 2(2 x − 1)2 − (x − 2)(1 − 2 x) 6 = 6(1 − 2 x)2 6 ⇒ 2(4 x2 − 4 x + 1) − (x − 2 x2 − 2 + 4 x)
6 = 6(1 − 4 x + 4 x2 )
6 ⇒ 8 x2 − 8 x + 2 − x + 2 x2+ 2 − 4 x = 6 − 24 x + 24 x2 ⇒ −14 x2+ 11 x − 2 = 0      a_{= −14} b _{= 11} c_{= −2} ⇒ ∆ = b2− 4 · a · c = (11)2− 4 · (−14) · (−2) = 121 − 112 = 9 (2 soluzioni) x₁ ,2 = −b ±√∆ 2 · a = −11 ±√9 2 · (−14) = −11 ± 3 −28 ր ց x_{1 =} −11 + 3 −28 = −8 −28 = 2 7 x2 = −11 − 3 −28 = −14 −28 = 1 2 .

Esercizio 14. Risolvere l’equazione _{(x − 123456789)}2

= 9

Soluzione. _{Poniamoci questa domanda: quali sono i numeri che, elevati al quadrato, danno come} risultato 9? Sono ±3, per cui

x_{− 123456789 =} ր ց

3

−3 ;

risolvendo le due equazioni di primo grado si ottengono le due soluzioni: x1 = 123456792 ; x2 = 123456786 .