Esercizi di riepilogo per la preparazione alla prova scritta di Analisi Matematica 1

Esercizi di riepilogo per la preparazione alla prova scritta di Analisi Matematica 1

LIMITI

1. Dimostrare i seguenti limiti usando soltanto la definizione di limite:

lim

x→0⁺x^α = 0 , ∀α ∈ R⁺\ {0}

x→+∞lim x^α = +∞ , ∀α ∈ R⁺\ {0}

lim

x→0⁺x^−α = +∞ , ∀α ∈ R⁺\ {0}

x→+∞lim x^−α = 0 , ∀α ∈ R⁺\ {0}

limx→0sin x = 0

x→0limcos x = 1

x→xlim0

sin x = sin x₀ , ∀x₀ ∈ R

x→xlim0

cos x = cos x₀ , ∀x₀ ∈ R

2. Dimostrare i seguenti limiti notevoli senza fare uso dei teoremi di De L’Hˆopital e/o degli sviluppi di Taylor :

x→0lim sin x

x = 1 limx→0x ln x = 0

x→0lim

a^x− 1

x = ln a , ∀a > 0

x→0lim

(1 + x)^α− 1

x = α , ∀α ∈ R

3. Dimostrare i seguenti limiti di successioni:

n→+∞lim n^a

bⁿ = 0 , ∀a ∈ R , ∀b > 1

n→+∞lim aⁿ

n! = 0 , ∀a ∈ R

n→+∞lim aⁿ

nⁿ = 0 , ∀a ∈ R

n→+∞lim n!

nⁿ = 0 4. Calcolare (in qualsiasi modo) i seguenti limiti:

lim

x→0⁺

(sin x)⁴− x⁴

x^α , α ∈ R

lim

x→0⁺

[sin(tgh(ln(1 +√ x)))]² x

x→1lim log_x2 x − 1

x→0lim

x − sin x x²sin x lim

x→0⁺(cos x)^xα1 , α ∈ R

x→0lim

(1 + x)^1x − e x

x→0lim

 x sin x

_x2¹

x→+∞lim

ln(1 + e^x)

√1 + x²

x→0lim

e^{sin x}− 1 − sin x 1 − cos(2x)

x→0lim

arcsin x − x x³

SERIE

1. Studiare la convergenza delle seguenti serie e calcolare la somma di ognuna nel dominio di convergenza del parametro:

+∞

X

k=0

q^k , q ∈ R

+∞

X

k=0

(sin x)^k , x ∈ R

+∞

X

k=0

(cos x)^k , x ∈ R

+∞

X

k=0

e^−kx , x ∈ R

+∞

X

k=0

(ln x)^k , x ∈ R⁺\ {0}

2. Studiare la convergenza delle seguenti serie:

+∞

X

k=1

1

k^α , α ∈ R

+∞

X

k=2

1

k^α(ln k)^β , α, β ∈ R

+∞

X

k=1

hπ

2 − arctg(k²) i

+∞

X

k=1

arcsin 1 k



3. Studiare la convergenza delle seguenti serie e calcolarne la somma:

+∞

X

k=1

ln k(k + 2) (k + 1)²



+∞

X

k=1

ln



1 −(−1)^k k



+∞

X

k=1

(−1)^k1 − (−1)^k k 4. Studiare la convergenza delle seguenti serie:

+∞

X

k=1

k^αe^−βk , α, β ∈ R

+∞

X

k=1

α^k2

k^k+3 , α ∈ R

+∞

X

k=1

α^kk!

k^k , α ∈ R

+∞

X

k=1

(−1)^kln k

k^α , α ∈ R

+∞

X

k=1

(−1)^kk^αe^−k , α ∈ R

FUNZIONI

1. Data la funzione

f (x) = a − x² , x ≤ 0 cos x + b x ln x , x > 0 dipendente da due parametri reali a e b,

(a) si determinino tutti i valori dei parametri a e b tali che f ∈ C⁰(R);

(b) si determinino tutti i valori dei parametri a e b tali che f ∈ C¹(R).

(c) Per i valori di a e b determinati al punto precedente, si dica se f ∈ C²(R) e si disegni il grafico di f .

2. Varianti dell’esercizio precedente (seguire lo stesso schema) f (x) = cos x + (b − 1) x ln(−x) , x < 0

a − 1 + x² , x ≥ 0

f (x) = a − x² , x ≤ 0 cos x + b x sin(1/x) , x > 0 f (x) = cos x + (b − 1)x sin(1/x) , x < 0

(a − 2) + x² , x ≥ 0

3. Studiare in dettaglio le seguenti funzioni e tracciarne un grafico il pi`u preciso e completo possibile:

f (x) =√ 1 + x² f (x) =√

x²− x³ f (x) =√

x²− x⁴ f (x) = ln

 1

cosh x



f (x) = ln(cosh√ x) f (x) = x ln x − x

f (x) = x¹³e^−x2 f (x) = x²e^x ; f (x) = sin x

x f (x) = e^−|x|1 f (x) = 2x − 3 ln(1 + x²)

f (x) = xarctg(ln x)

f (x) = sin(x) +1

2sin(2x) f (x) = ln 2 − cos x

2 + cos x



4. Studiare, al variare del parametro reale a > 0, le seguenti famiglie di funzioni:

f (x) =a x

x

, x ∈ R⁺\ {0}

f (x) = x^ae^−x , x ∈ R⁺ 5. Data la funzione

f (x) =

 e^−x21 , x ∈ R \ {0}

0 , x = 0

(a) si dimostri che f ∈ C²(R), con f⁰(0) = f⁰⁰(0) = 0;

(b) si dimostri che f ∈ C^∞(R), con le derivate di qualsiasi ordine nulle in x = 0 (si dimostri che f ∈ C^k(R) con f^(k)(0) = 0 per ogni k ∈ N).

(c) Si scriva lo sviluppo di Taylor di ordine n centrato in x0 = 0 per f , con resto in forma di Peano.

(d) Si dimostri che non esiste alcun intorno di 0 nel quale f risulti sviluppabile in serie di Taylor (si proceda per assurdo).

6. Data la funzione

f (x) =

 _{sin x}

x , x ∈ R \ {0}

0 , x = 0

si dimostri che f ammette sviluppo in serie di Taylor, di centro x₀ = 0, convergente per ogni x ∈ R (scrivere esplicitamente la serie).

7. Data la funzione

f (x) = cosh√ x

si dimostri che f ammette sviluppo in serie di Taylor, di centro x0 = 0, convergente per ogni x ∈ R⁺ (scrivere esplicitamente la serie).

INTEGRALI

1. Disegnare i seguenti sottoinsiemi del piano cartesiano R² e calcolarne l’area:

{(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1 , x² ≤ y ≤ x³} {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1 , e^x ≤ y ≤ 1 + 3x}

{(x, y) : x ≥ 2 , 0 ≤ y ≤ 1/x²} {(x, y) : −π

2 ≤ x ≤ π

2 , − cos x ≤ y ≤ cos x}

2. Calcolare i seguenti integrali indefiniti:

Z

(ln x)² dx Z

(x² + x + 1)e^−2x dx Z

e^x(cos x)² dx

Z 1

(tgx)⁵ dx

Z 1

x(1 + x²) dx Z 1

x^α dx (α ∈ R)

Z 1

x(ln x)^α dx (α ∈ R)

Z 1

x²+ x + 1 dx

Z 1

(x − 1)² dx

Z 1

x²− 3x + 2 dx

Z 1

sin x dx

Z 1

1 + (cos x)² dx

3. Studiare la convergenza dei seguenti integrali impropri : Z +∞

1

1

x^α dx (α > 0) Z 1

0

1

x^α dx (α > 0) Z 1

0

1 + x²

√1 − x dx Z 1

0

1

| ln x|^α dx (α ∈ R) Z +∞

2

1

x(ln x)^α dx (α ∈ R) Z +∞

2

1

x^α(ln x)^β dx (α, β ∈ R) Z +∞

0

xⁿ e^−cx dx (n ∈ Z , c ∈ R) Z +∞

0

sin x x dx