MECCANICA RAZIONALE
Corso di Laurea in Ingegneria Civile
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aSessione, appello unico, 30 giugno 2015
LEGENDA. Il numero che compare a sinistra di ogni domanda `e il pun- teggio massimo assegnato alla risposta completa e corretta. Tutte le risposte devono essere adeguatamente motivate e devono essere ripor- tate sulla cartella intestata a sei facciate. Si deve consegnare solo una cartella a sei facciate contenente il presente testo, anche nel caso in cui ci si ritiri, senza fogli di brutta copia. La soglia per la sufficienza `e 18/30. Tempo a disposizione: 120 minuti.
1. Scrivere, senza riportare i calcoli, la matrice centrale di inerzia di una [3]
lastra rettangolare omogenea di massa M e lati a e b.
2. Si consideri un sistema di punti materiali interagenti tramite certe forze [8]
interne non specificate. Ogni punto P del sistema, di massa mP, `e inoltre soggetto alla propria forza peso −mPg ˆz.
(a) Scrivere (motivandola) e risolvere la prima equazione cardinale del sistema di punti.
(b) Scrivere (motivandola) e risolvere la seconda equazione cardinale del sistema di punti.
3. Enunciare e dimostrare il teorema sul centro di pressione per i solidi in [12]
appoggio ideale (si raccomanda di definire tutte le quantit`a coinvolte e di motivare adeguatamente i vari passaggi).
4. Due punti materiali P1 e P2, di uguale massa m, sono vincolati a muo- [12]
versi senza attrito lungo l’asse verticale (O, ˆex), sotto l’azione della forza di gravit`a (l’asse `e diretto dall’alto verso il basso, concordemente alla forza di gravit`a). P1 `e collegato da una molla ideale all’origine O del- l’asse; P1 e P2 sono collegati da una molla ideale (la sequenza, dall’alto verso il basso, `e: O-molla-P1-molla-P2). Le due molle sono identiche, di costante elastica k e lunghezza di riposo nulla.
(a) Fare un disegno del sistema, scrivere le equazioni di Newton per i due punti materiali.
(b) Calcolare la soluzione di equilibrio (xeq1 , xeq2 ) e riscrivere le equa- zioni di Newton di cui sopra nelle variabili (ξ1, ξ2) tali che
x1 = xeq1 + ξ1, x2 = xeq2 + ξ2.
(c) Trovare la soluzione generale del sistema lineare omogeneo del secondo ordine che risulta dal punto precedente (calcolare espli- citamente le due frequenze di oscillazione del sistema e i due corrispondenti vettori).
(d) Determinare la reazione vincolare al tempo t nel punto di sospen- sione O.
