Capitolo 3 Progettazione dello stato geometrico-tensionale iniziale 3.1

(1)

42

Capitolo 3

Progettazione dello stato geometrico-tensionale iniziale

3.1 Principi generali

La metodologia progettuale delle tensostrutture è notevolmente differente da quella tradizionale. Nella progettazione corrente la geometria della struttura è nota a priori, cosi come i carichi ad essa applicati, mentre risultano incognite le sollecitazioni nelle singole membrature. Avendo invece a che fare con tensostrutture, è impossibile pretendere di sapere a priori la geometria di partenza, in quanto, trattandosi di elementi le cui rigidezze taglianti e flessionali sono pressoché nulle, l’equilibrio con soli sforzi di trazione è possibile solamente se la struttura stessa, basti pensare alla singola fune nel piano, assume istante per istante la funicolare dei carichi ad essa applicati. Appunto come scrive lo stesso Otto “nelle tensostrutture flessibili

forma e struttura costituiscono largamente un tutto unico”1.

Lo spirito che ne è alla base è quello di andare a ricercare una configurazione geometrica, denominata “stato 0”, conseguente le normali condizioni di esercizio (peso proprio della copertura e pretensione iniziale imposta ai cavi o alla membrana) che soddisfi in ogni punto l’equilibrio statico della struttura e tale da garantire stabilità statica e dinamica nelle diverse condizioni di carico considerate. Tale geometria dovrà soddisfare anche i requisiti estetico-formali voluti.

A differenza della progettazione tradizionale, nelle tensostrutture, la geometria è diretta conseguenza dello stato di pretensione nei cavi o nella membrana e delle condizioni al contorno. Essendo tale forma obbligata a garantire alla copertura la rigidezza spaziale voluta, si capisce che, variando in maniera opportuna lo stato di pretensione è possibile ottenere soluzioni strutturali ottime nei confronti dei problemi più delicati, come le azioni del vento. E’ proprio la forma assunta dalla membrana pretensionata, o dalla rete di cavi che la supporta, che assicura l’effetto stabilizzante, quindi l’adeguata rigidezza, nei confronti delle deformazioni provocate dai carichi esterni e di eventuali fenomeni di instabilità aereoelastica.

Tale problema, ovvero la ricerca di una superficie che soddisfi le leggi dell’equilibrio, costituisce un vero e proprio argomento di studio e di ricerca che prende il nome di

“form-finding” o “shape-“form-finding”. Ciò che si cerca, quindi, è una configurazione di equilibrio stabile,

per la quale appunto l’energia potenziale totale risulti minima rispetto alle configurazioni

1

(2)

Progettazione dello stato geometrico-tensionale iniziale Capitolo 3

43

prossime, resa possibile dallo stato di pretensione e dalla presenza di determinate condizioni al contorno offerte delle strutture di bordo, quali ancoraggi e funi di bordo. In realtà, si va a ricercare una configurazione di solo equilibrio, il fatto che, tale configurazione di equilibrio sia anche stabile, è garantito dal campo di funzionamento delle tensostrutture.

Molti, sono i metodi sviluppati per far fronte a tale problema, fra i quali il più noto è il “force density method”.

Molti dei metodi di ricerca dello stato 0 richiedono un’elaborazione iniziale dei dati complessa, e la risoluzione, necessariamente in campo non lineare, presenta problemi di convergenza in funzione dell’input iniziale.

A differenza di molti di essi, il metodo della densità di sforzo, usato nel presente lavoro di tesi per definire la configurazione relativa allo stato 0 della membrana progettata, permette di ottenere, con notevole semplicità di input, una prima soluzione in campo lineare dello stato geometrico tensionale iniziale, lo stato 0.

Risulta doveroso, a questo punto, fare una precisazione sulla successiva spiegazione del metodo. Tale metodo fa riferimento ad una rete spaziale di funi, la quale, una volta che si va ad approssimare linearmente l’andamento delle funi, graficamente non è altro che una travatura reticolare spaziale. Ad una prima vista potrebbe apparire come un metodo efficiente solo se riferito ad una rete spaziale di cavi la quale andrà a sorreggere una membrana sottostante che rivestirebbe, in questo caso, un ruolo secondario. Tale metodo invece, è applicabile anche nel caso di membrane pretensionate con funzione portante principale (come nel caso in esame), ovvero, va visto come un semplice modello meccanico con il quale si schematizza il continuo della membrana ottenendo una validissima soluzione per i nostri scopi.

(3)

44

3.2 Metodo della densità di sforzo

Tra tutti i metodi, il più noto ed il più diffusamente usato per la sua notevole semplicità è il “Force density method” (metodo della densità di sforzo), proposto nel 1972 da Linkwitz e Schek per la definizione della forma ed il calcolo della copertura dello Stadio Olimpico di Monaco.

Come accennato sopra, tale metodo, riconduce il problema fortemente non lineare della ricerca della forma ottimale di reti di funi o di membrane pretensionate, ad un problema formalmente analogo a quello che si ha imponendo l’equilibrio nodale di una travatura reticolare, problema governato da un sistema di equazioni lineari di facile soluzione.

Il metodo è basato su una semplicissima e geniale osservazione, ovvero si assume costante in ciascun tratto in cui la generica fune può pensarsi idealmente suddivisa dai nodi della maglia, il rapporto fra lo sforzo assiale presente nel tratto, inizialmente incognito, e la lunghezza anch’essa incognita del tratto stesso: da qui il nome di metodo della densità di sforzo. Con riferimento ad una rete spaziale di funi, una volta che la si è approssimata con linee spezzate in corrispondenza dei nodi, consideriamo l’equilibrio del generico nodo I rappresentato nella figura seguente.

Fig. 3.1: dalla rete spaziale di funi al modello meccanico di riferimento

(4)

45

Supponiamo che tale nodo sia collegato ai nodi adiacenti A, B, C e D mediante i tratti di fune completamente tesi, a, b, c e d, rispettivamente. L’equilibrio fra le forze interne ed il carico esterno è espresso in forma vettoriale dalla seguente espressione:

ࡺࢇ+ ࡺ࢈+ ࡺࢉ+ ࡺࢊ+ ࡼࡵ = 0

dove le forze interne incognite si assumono positive se di trazione. Mettendo in evidenza i valori degli sforzi assiali nei diversi tratti, la stessa equazione può essere scritta come:

ܰ௔࢔ࢇ+ ܰ௕࢔࢈+ ܰ௖࢔ࢉ+ ܰௗ࢔ࢊ+ ࡼࡵ= 0

in cui Na, Nb, Nc ed Nd sono gli sforzi assiali incogniti, mentre na, nb, nc ed nd sono i versori,

anch’essi incogniti se la geometria non è completamente nota, dei diversi tratti di fune orientati positivamente se uscenti dal nodo I.

Proiettando l’equazione precedente sugli assi x, y e z del riferimento globale, si ottengono le tre equazioni scalari:

ܰ௔ݔ஺_ܮ− ݔூ ஺ூ + ܰ௕ ݔ஻− ݔூ ܮ஻ூ + ܰ௖ ݔ஼− ݔூ ܮ஼ூ + ܰௗ ݔ஽− ݔூ ܮ஽ூ + ܲூ௫= 0 ܰ௔ݕ஺_ܮ− ݕூ ஺ூ + ܰ௕ ݕ஻− ݕூ ܮ஻ூ + ܰ௖ ݕ஼− ݕூ ܮ஼ூ + ܰௗ ݕ஽− ݕூ ܮ஽ூ + ܲூ௬ = 0 ܰ௔ݖ஺_ܮ− ݖூ ஺ூ + ܰ௕ ݖ஻− ݖூ ܮ஻ூ + ܰ௖ ݖ஼− ݖூ ܮ஼ூ + ܰௗ ݖ஽− ݖூ ܮ஽ூ + ܲூ௭= 0

In esse, LAI, LBI, LCI e LDI sono le lunghezze attuali dei tratti che collegano il nodo I ai

nodi circostanti, mentre PIx, PIy e PIz sono le componenti del carico PI nel sistema di riferimento

globale (O, x, y, z). Dove la generica lunghezza assume la seguente espressione:

ܮ௄ூ = ඥሺݔ௄− ݔூሻଶ+ ሺݕ௄− ݕூሻଶ+ ሺݖ௄− ݖூሻଶ

Se andiamo a scrivere tale sistema di 3 equazioni per tutti gli N nodi della rete di funi si ottiene un sistema di 3·N equazioni che traducono le condizioni di equilibrio.

Tali equazioni sono formalmente identiche a quelle che impongono l’equilibrio nodale in una travatura reticolare spaziale soggetta a condizioni di carico nodali generiche. Questo solo formalmente visto che le differenze fra le due tipologie strutturali considerate sono enormi.

Infatti, nel caso delle travature reticolari la geometria del sistema è nota così come lo sono i carichi, ed il rispetto dell’equilibrio nodale serve per determinare gli sforzi assiali incogniti nelle aste e le reazioni vincolari, sempre che la travatura sia staticamente determinata.

(5)

46

Inoltre essendo nota la geometria e quindi le coordinate di tutti i nodi, il sistema ottenuto è lineare e quindi agilmente risolvibile.

Nel caso delle reti di funi, invece, la geometria del sistema è incognita, per cui sono incognite sia le coordinate dei nodi (a parte quelli appartenenti alle strutture di bordo la cui posizione è nota e considerata fissa) e conseguentemente le lunghezze delle aste, sia i valori degli sforzi assiali nei diversi tratti di fune assieme alle eventuali reazioni vincolari. Non essendo note in questo caso le coordinate dei nodi il sistema che otteniamo è non lineare con tutte le complicanze del caso.

L’idea di Linkwitz e Schek consiste nell’assumere costanti e noti i valori dei rapporti fra lo sforzo assiale Nk e la lunghezza LKI del tratto di fune k-esimo cui si riferiscono:

ݍ௞=_ܮܰ௞ ௄ூ

per cui il sistema precedente diviene:

ݍ௔ሺݔ஺− ݔூሻ + ݍ௕ሺݔ஻− ݔூሻ + ݍ௖ሺݔ஼− ݔூሻ + ݍௗሺݔ஽− ݔூሻ + ܲூ௫= 0

ݍ௔ሺݕ஺− ݕூሻ + ݍ௕ሺݕ஻− ݕூሻ + ݍ௖ሺݕ஼− ݕூሻ + ݍௗሺݕ஽− ݕூሻ + ܲூ௬ = 0

ݍ௔ሺݖ஺− ݖூሻ + ݍ௕ሺݖ஻− ݖூሻ + ݍ௖ሺݖ஼− ݖூሻ + ݍௗሺݖ஽− ݖூሻ + ܲூ௭ = 0

dove qa, qb, qc ed qd sono le densità di sforzo nei tratti di fune considerati.

Se tali equazioni vengono scritte per tutti i nodi della rete, si ottiene un sistema di 3·N equazioni lineari nelle 3·N incognite costituite dalle coordinate dei nodi del sistema, risolvibile per via numerica con estrema facilità2. Per individuare la geometria dello stato 0 della membrana non occorre conoscere i valori delle densità di sforzo tratto per tratto ma è sufficiente conoscerne solo i rapporti.

Risolto il sistema di equazioni, la geometria della rete è finalmente nota, per cui si conoscono le coordinate di ciascun nodo e di conseguenza le lunghezze delle funi tratto per tratto. Così, se si vuole che il tratto k-esimo nello stato 0 sia soggetto allo sforzo di pretensione

Nk, nell’ipotesi di comportamento lineare del materiale ed ipotizzando deformazioni

piccolissime se non infinitesime, è sufficiente assegnare al tratto stesso la lunghezza iniziale:

ܮ଴௄= ₁ 1

ܮ௄+ ݍ ௞

ܧܣ௞

2_{Le equazioni di equilibrio nodale le andrò a scrivere per tutti i nodi del modello compresi quelli}

appartenenti alle strutture di bordo, chiamati “punti fissi”, dei quali sono note le loro coordinate. Nel computo delle incognite sono comprese pure le coordinate dei cosiddetti punti fissi che invece sappiamo essere note.

(6)

Progettazione dello stato geometrico

in cui EAk è la rigidezza estensionale della

3.2.1 Reticolo di base

Per applicare tale metodo

corrispondenza biunivoca con i punti della membrana dallo stato 0.

Una volta stabilite

condizioni al contorno e di continuità rispettare certe condizioni di congruenza. assumere nella configurazione geometrico

dell’equilibrio, in funzione dei rapporti relativi di pretensione impost modello meccanico di riferimento

Si giunge così all’esatta definizione della rispetto delle condizioni al contorno preliminarmente

Descriveremo così come, nel reticolo di base.

Innanzitutto, si riporta di seguito in celeste l’area che in pianta andremo a coprire con la membrana, ed in blu l’andamento dei nove archi

Fig. 3.3: rappresentazione

Progettazione dello stato geometrico-tensionale iniziale

è la rigidezza estensionale della sezione della fune.

metodo, occorre disporre di un reticolo di base i cui nodi siano posti in corrispondenza biunivoca con i punti della membrana nella configurazione iniziale definita

le posizioni in pianta dei nodi del reticolo di base

e di continuità, cioè, si impone ad alcuni nodi di rimanere fissi o di ndizioni di congruenza. Tutti gli altri nodi del reticolo, invece,

assumere nella configurazione geometrico-tensionale iniziale la posizione data dal in funzione dei rapporti relativi di pretensione imposta alle

modello meccanico di riferimento.

ll’esatta definizione della forma iniziale che la membrana rispetto delle condizioni al contorno preliminarmente imposte.

come, nel caso in esame, siano state definite forma e dimensioni del

si riporta di seguito in celeste l’area che in pianta andremo a coprire con la l’andamento dei nove archi metallici nello spazio.

rappresentazione schematica dell’area da coprire e dei nove archi metallici

Capitolo 3

47

i cui nodi siano posti in nella configurazione iniziale definita

di base, si fissano le di rimanere fissi o di , invece, sono liberi di tensionale iniziale la posizione data dal rispetto a alle funi costituenti il

membrana assumerà, nel

state definite forma e dimensioni del

si riporta di seguito in celeste l’area che in pianta andremo a coprire con la

(7)

48

Data la presenza di un’asse di simmetria, costituito dall’andamento in pianta dell’arco centrale, per la costruzione del reticolo di base faremo riferimento da qui in avanti a metà della membrana, dato che la restante parte sarà formalmente identica.

Fig. 3.4: pianta della copertura

Ora una precisazione importante: dato che ciascun nodo costituente il reticolo di base deve avere, una volta applicato il metodo, il suo corrispondente che contribuisce con tutti gli altri ad indicare e quindi descrivere la forma assunta dalla membrana nello spazio, e dato l’andamento, di seguito rappresentato, che in prospetto descrivono tutti e nove gli archi, è impossibile far riferimento, nella zona tratteggiata in rosso di figura 3.5, ad un unico reticolo di base, visto che, ciascun punto che lo formerebbe, dovrebbe avere nello spazio due punti a lui corrispondenti, è ciò non è compatibile con l’applicazione del metodo.

(8)

Quindi si è pensato di procedere nel seguente modo riferimento globale, si sono numerati

membrana da loro delimitate

Fig.

Fig. 3.5: arco generico, vista laterale

Quindi si è pensato di procedere nel seguente modo. Innanzitutto si è sono numerati i cinque archi e di seguito individuate da loro delimitate a cui faremo riferimento nella trattazione.

Fig. 3.6: archi e strisce oggetto della trattazione

Capitolo 3

49

. Innanzitutto si è fissato il sistema di individuate le quattro strisce di

(9)

50

Ciascun arco metallico, costituente il sostegno della membrana, viene suddiviso in tre tratti delimitati in totale da quattro punti fondamentali ܸ݅௝. Dove con j=1...5 si indica il numero dell’arco a cui si fa riferimento, mentre con i=1...4 i punti con i seguenti significati:

1 punto finale

2 punto a tangenza orizzontale 3 punto a tangenza verticale 4 punto iniziale

Fig. 3.7: suddivisione dell’i-esimo arco

Considerata per esempio la striscia II ed i tratti 3 dei due archi che la delimitano, tale porzione di membrana cosi individuata avrà il suo corrispondente reticolo di base chiamato II-3. In totale, avremo cosi tre reticoli di base per ciascuna striscia compresa fra due archi prossimi (per l’i-esima striscia avremo i-1, i-2, i-3), quindi essendo quattro le strisce, avremo in totale dodici porzioni di reticolo di base.

Arrivati a questo punto della trattazione, ognuna delle dodici porzioni in cui abbiamo suddiviso il reticolo di base, non è che un parallelogramma delimitato in pianta da quattro vertici noti, di cui appunto sappiamo ascissa e ordinata visto che sono la proiezione verticale in pianta di punti noti nello spazio.

(10)

51 Fig. 3.8: porzione II-3

Determinate le dodici porzioni di reticolo di base, ciascuna di esse verrà ulteriormente suddivisa a formare il vero e proprio reticolo. Otto saranno le suddivisioni sui lati disposti lungo le congiungenti gli archi adiacenti, e ventiquattro le suddivisioni sui lati disposti lungo l’andamento in pianta degli archi stessi. Arrivati a tal punto, definito così l’intero reticolo di base, individuati tutti i nodi, quindi note tutte le coppie x ed y, si procede alla loro numerazione.

Una volta individuati e numerati tutti i nodi del reticolo di base, si procede alla generazione delle aste costituenti il modello meccanico di riferimento, ovvero le congiungenti i nodi, rappresentate in figura 9. Inoltre fra tre aste contigue andremo a generare i pannelli costituenti la membrana stessa. Complessivamente ciascuna striscia risulterà formata da 675 nodi, 1824 aste e 1152 pannelli.

A titolo di esempio si riporta la numerazione delle porzioni di reticolo costituenti la striscia I dato che, tale numerazione rimane identica per ciascuna delle porzioni di reticolo costituenti tutte le altre strisce.

(11)

52 Fig. 3.9: porzione I-1 con numerazione dei nodi, rappresentazione delle aste, ed in rosso il

(12)

(13)

(14)

55

3.2.2 Condizioni al contorno e di continuità

Le condizioni al contorno imposte riguardano sia i nodi appartenenti alla proiezione verticale in pianta degli archi metallici, sia i nodi compresi tra i vertici ܸ4௝ di ogni sottoporzione i-1 di ogni striscia. Le condizioni di continuità, invece, riguardano i nodi appartenenti ai lati di collegamento delle tre porzioni di membrana costituenti la medesima striscia.

Per quanto riguarda le condizioni al contorno, i primi nodi interessati, per ragioni costruttive, sono obbligati a rimanere vincolati sugli archi stessi, mentre i secondi, sempre per motivazioni costruttive, sono stati vincolati a terra.

Pertanto, mentre per tutti gli altri nodi del reticolo vengono fissate solamente ascissa ed ordinata mantenendo la quota libera di muoversi nello spazio, i cosiddetti punti fissi rimarranno tali anche una volta determinata l’effettiva forma assunta dalla membrana. Mentre, per i nodi cosiddetti liberi, sarà il metodo della densità di sforzo a fornire la posizione finale che assumeranno. I nodi liberi, appunto, si solleveranno da terra ed avranno una loro nuova posizione nello spazio.

A titolo di esempio si riporta l’imposizione delle condizioni al contorno sulle porzioni di reticolo costituenti la striscia I.

(15)

56 Fig. 3.12: porzione I-1 con le condizioni al contorno

(16)

(17)

Un discorso particolare meritano le condizioni di continuità. Avendo suddiviso in tre parti la membrana compresa fra due archi adiacenti, ma essendo ovviamente unica, le tre porzioni, una volta eseguito il calcolo, dovranno essere tali da poterle incollare perfettamente dando origine ad una superficie unica, senza soluzioni di continuità. Quindi, risulta necessario imporre delle condizioni di continuità, secondo cui non solo i nodi dei vertici dei parallelogrammi da incollare coincidano, ma anche che i nodi cosiddetti liberi, appartenenti ai lati dei parallelogrammi da saldare, a calcolo eseguito coincidano.

(18)

59

In particolare alla prima striscia, avendo come riferimento le figure 9, 10 e 11, si riportano di seguito le condizioni imposte:

prima saldatura

25≡226, 50≡251, 75≡276, 100≡301, 125≡326, 150≡351, 175≡376, 200≡401, 225≡426. seconda saldatura

250≡451, 275≡476, 300≡501, 325≡526, 350≡551, 375≡576, 400≡601, 425≡626, 450≡651.

Infine, la condizione di continuità tra le varie strisce è garantita dalle condizioni al contorno imposte sui nodi appartenenti al medesimo arco.

Andando così ad effettuare tale ricerca di forma facendo rifermento ad ogni striscia singolarmente, ecco di seguito come si presenta il reticolo di base con le condizioni al contorno e di continuità imposte:

(19)

60 Fig. 3.16: reticolo di base per la determinazione della forma assunta allo stato 0 per la striscia II

(20)

61 Fig. 3.18: reticolo di base per la determinazione della forma assunta allo stato 0 per la striscia IV

3.2.3 Densità di sforzo assegnate e soluzione ottenuta

Definito il reticolo di base ed imposte le condizioni al contorno e di continuità, si è trattato di stabilire in che rapporto assegnare le densità di sforzo alle varie aste del reticolo. E’ noto infatti, come citato al paragrafo 3.2, che per ottenere la geometria dello stato 0 non occorre conoscere i valori delle densità di sforzo tratto per tratto ma è sufficiente conoscerne solo i rapporti, e quindi assegnare alle singole aste un valore di densità di sforzo relativo.

Tali scelte, nel presente lavoro, sono state motivate essenzialmente da esigenze architettoniche quali la volontà di conferire la maggiore dinamicità possibile alla forma assunta dalla membrana.

Tale ricerca di forma è stata effettuata facendo riferimento alle singole strisce, dato che, la continuità fra una striscia e le due ad essa adiacenti è garantita dalle condizioni al contorno imposte ai nodi appartenenti agli archi metallici a comune.

Di seguito una precisazione importante. La forma trovata, ovviamente, sarà rispettosa dell’equilibrio, in quanto, risultato della risoluzione del sistema di equazioni lineari fornito dal

(21)

62

metodo della densità di sforzo. Ma non solo, è intuitivo infatti pensare la seguente cosa: dato un filo con gli estremi incernierati soggetto ad un carico verticale in mezzeria, andando a trascurare le sue rigidezze taglianti e flessionali, volendo quindi equilibrare tale carico con soli sforzi di trazione, è elementare comprendere come questo sia possibile con differenti lunghezze iniziali di tale filo (fig.4.19). Ovviamente, tutto ciò a patto di trascurare esigenze strettamente economiche, esigenze relative al rispetto di limiti di deformabilità ed altro ancora.

Fig. 3.19: fili non pretensionati di differenti lunghezze soggetti al medesimo carico

La forma trovata quindi, non sarà solamente rispettosa dell’equilibrio ottenuto con soli sforzi di trazione nelle aste costituenti il modello, ma sarà una forma ottimale, ovvero, una forma che una volta implementata in un codice di calcolo sia tale da ridurre al minimo inevitabili errori numerici al suo interno, i triangoli risultanti, quindi i pannelli che diventeranno poi elementi shell, saranno il più possibile regolari e simili fra di loro. La forma trovata in definitiva è il miglior compromesso fra quelle che sono esigenze estetiche e di calcolo.

(22)

Di seguito, con riferimento alla striscia I, forma più ottimale sia da un punto di vista architettonico

Inizialmente si è analizzato la forma risultante dall’assegnare uguale valore di densità di sforzo a tutte le aste costituenti il modello

ancora di assegnare le condizioni di continuità.

3

Il metodo della densità di sforzo fornisce le coordinate dei nodi del reticolo nella configurazione finale (coordinate che sono le incognite del sistema di equazioni lineari risolto). E’ quindi

facilmente la soluzione ottenuta, semplicemente fornendo ad un qualsiasi CAD un file in cui siano riportati i nodi numerati con le nuove coordinate, e siano specificate le incidenze delle aste e dei pannelli. Progettazione dello stato geometrico-tensionale iniziale

, con riferimento alla striscia I, il procedimento seguito nella ricerca della forma più ottimale sia da un punto di vista architettonico che di calcolo.

Inizialmente si è analizzato la forma risultante dall’assegnare uguale valore di densità di sforzo a tutte le aste costituenti il modello. Si riporta di seguito la soluzione trovata prima ancora di assegnare le condizioni di continuità.

Fig. 3.203: soluzione ottenuta

Il metodo della densità di sforzo fornisce le coordinate dei nodi del reticolo nella configurazione finale (coordinate che sono le incognite del sistema di equazioni lineari risolto). E’ quindi

facilmente la soluzione ottenuta, semplicemente fornendo ad un qualsiasi CAD un file in cui siano riportati i nodi numerati con le nuove coordinate, e siano specificate le incidenze delle aste e dei pannelli.

Capitolo 3

63

il procedimento seguito nella ricerca della

Inizialmente si è analizzato la forma risultante dall’assegnare uguale valore di densità di . Si riporta di seguito la soluzione trovata prima

Il metodo della densità di sforzo fornisce le coordinate dei nodi del reticolo nella configurazione finale (coordinate che sono le incognite del sistema di equazioni lineari risolto). E’ quindi possibile visualizzare facilmente la soluzione ottenuta, semplicemente fornendo ad un qualsiasi CAD un file in cui siano riportati i nodi numerati con le nuove coordinate, e siano specificate le incidenze delle aste e dei pannelli.

(23)

Sì è così analizzato varie soluzioni differenti ciascuna dalle altre sulla base del di sforzo assegnata alla fune perimetrale

il suddetto valore a 100 (questa volta con imposte le condizioni di continuità).

Ovviamente, è facile intuire come per accentuare il più possibile quella parte di membrana compresa fra gli archi me

fune perimetrale inferiore.

densità di sforzo della fune perimetrale

analizzato varie soluzioni differenti ciascuna dalle altre sulla base del

alla fune perimetrale inferiore. Di seguito la soluzione ottenuta aumentando 100 (questa volta con imposte le condizioni di continuità).

Fig. 3.21: soluzione ottenuta

Ovviamente, è facile intuire come per accentuare il più possibile il distacco da terra di quella parte di membrana compresa fra gli archi metallici sia necessario diminuire il tiro della

. Di seguito la soluzione ottenuta assumendo come 50 densità di sforzo della fune perimetrale.

64

analizzato varie soluzioni differenti ciascuna dalle altre sulla base della densità Di seguito la soluzione ottenuta aumentando 100 (questa volta con imposte le condizioni di continuità).

il distacco da terra di diminuire il tiro della Di seguito la soluzione ottenuta assumendo come 50 il valore della

(24)

Di seguito la soluzione ottenuta

Di seguito la soluzione ottenuta con il valore di 20.

Di seguito la soluzione ottenuta con il valore di 10.

Capitolo 3

(25)

Di seguito la soluzione

Tale soluzione infatti,

nostra conchiglia. Inoltre, sarà possibile adottare tamponature in vetro dove inserire eventual

Di seguito la soluzione finale ottenuta con il valore di 5.

infatti, a nostro avviso, risulta capace di garantire la dinamicità voluta alla . Inoltre, sarà possibile adottare nello spazio creato, delle pareti verticali con tamponature in vetro dove inserire eventuali uscite di sicurezza.

66

garantire la dinamicità voluta alla delle pareti verticali con

(26)

Tale procedimento è stato effettuato per ciascuna striscia, andando infine a scegliere per tutte le strisce il medesimo valore di

seguito il risultato finale di tale ricerca di forma.

Infine, un’ultima precisazione di carattere tecnologico su come è possibile in pratica variare il tiro della membrana in parti circoscritte di essa. E’ possibile infatti, variare il tiro solo in alcune parti del continuo strutturale, andando, durante la fase di tessitura della membrana, a variare il numero di fili al cm, ovvero, variando la rigidezza assiale dell’ipotetica fune in cui è possibile pensare suddivisa la membrana. Variando infatti il numero di f

l’area resistente della fune ideale e quindi, la sua rigidezza assiale, essendo essa il prodotto del modulo elastico, che rimane ovviamente invariato, e dell’area.

Tale procedimento è stato effettuato per ciascuna striscia, andando infine a scegliere per il medesimo valore di pretensione da imporre alla fune perimetrale inferiore. seguito il risultato finale di tale ricerca di forma.

Fig. 3.26: vista anteriore

Fig. 3.27: vista posteriore

Infine, un’ultima precisazione di carattere tecnologico su come è possibile in pratica variare il tiro della membrana in parti circoscritte di essa. E’ possibile infatti, variare il tiro solo i del continuo strutturale, andando, durante la fase di tessitura della membrana, a variare il numero di fili al cm, ovvero, variando la rigidezza assiale dell’ipotetica fune in cui è possibile pensare suddivisa la membrana. Variando infatti il numero di fili, si va a modificare l’area resistente della fune ideale e quindi, la sua rigidezza assiale, essendo essa il prodotto del modulo elastico, che rimane ovviamente invariato, e dell’area.

Capitolo 3

67

Tale procedimento è stato effettuato per ciascuna striscia, andando infine a scegliere per pretensione da imporre alla fune perimetrale inferiore. Di

Infine, un’ultima precisazione di carattere tecnologico su come è possibile in pratica variare il tiro della membrana in parti circoscritte di essa. E’ possibile infatti, variare il tiro solo i del continuo strutturale, andando, durante la fase di tessitura della membrana, a variare il numero di fili al cm, ovvero, variando la rigidezza assiale dell’ipotetica fune in cui è ili, si va a modificare l’area resistente della fune ideale e quindi, la sua rigidezza assiale, essendo essa il prodotto del

(27)

68

3.2.4 Forma finale

Una volta ottenuta tale forma è stato necessario effettuare una sostanziale modifica inerente i due archi estremi, al fine di ottenere una struttura con un comportamento più semplice e soprattutto efficace. Un arco, infatti, comunque vincolato ai suoi estremi, risulta estremamente rigido per carichi appartenenti al piano stesso dell’arco, ma estremamente flessibile per carchi fuori dal suo piano al punto tale, nella pratica, da trascurare completamente una sua eventuale rigidezza in direzione ortogonale al suo piano baricentrico. I due archi estremi, non potendo godere da entrambi i lati del tiro trasmesso dalla membrana e quindi del suo effetto stabilizzante, sono stati ruotai di 30 gradi verso l’esterno cercando cosi, di diminuire la componente del tiro della membrana ortogonale al piano dell’arco e di incrementare invece il tiro stabilizzante appartenente a tale piano. Infine, per equilibrare la componente del tiro ortogonale al piano dell’arco, sono stati usati pendini verticali che saranno pretesi opportunamente in fase di montaggio.

Fig. 3.28: a: caso non ruotato, b: caso ruotato; tiro membrana in blu , peso proprio arco in

(28)

Così facendo, una volta deciso di ruotare l’arco forma per la striscia IV avente il seguente risulta

Fig. 3.29: vista anteriore, in blu i pendini verticali con funzione stabilizzante

Fig. 3.30: vista posteriore

Così facendo, una volta deciso di ruotare l’arco, è stata effettuata una nuova ricerca di forma per la striscia IV avente il seguente risultato finale.

vista anteriore, in blu i pendini verticali con funzione stabilizzante

posteriore, in blu i pendini verticali con funzione stabilizzante

Capitolo 3

69

è stata effettuata una nuova ricerca di

vista anteriore, in blu i pendini verticali con funzione stabilizzante