4. INSTABILITA’ E VIBRAZIONI DI UNA “SHELL” CILINDRICA IN LETTERATURA

4. INSTABILITA’ E VIBRAZIONI DI UNA “SHELL” CILINDRICA IN

LETTERATURA

Prima di procedere con l’analisi agli elementi finiti si è voluto vedere se in letteratura esistesse un qualche approccio teorico e di pratico utilizzo alle vibrazioni libere e al buckling di “shells” coniche e cilindriche realizzate in composito. Infatti se esistesse un tale approccio, lo si sarebbe potuto implementare in MATHCAD per ottenere un risultato veloce e un programma di semplice utilizzo, così come è stato fatto per l’analisi a resistenza e a rigidezza. La ricerca è stata quasi interamente effettuata con Compendex, un database bibliografico per il settore ingegneristico e tecnologico con abstracts tratti da riviste, conferenze, rapporti tecnici e pubblicazioni professionali in ambito internazionale a partire dal 1969. Fa parte delle risorse elettroniche fornite dalla biblioteca dell’Università di Pisa ed è risultato essere molto comodo in quanto accessibile anche via internet tramite il sito della biblioteca.

La ricerca, compiuta per parole chiave, ha prodotto tutta una serie di articoli che sono stati analizzati. Pur nella diversità degli approcci dei vari autori al problema, si è riconosciuto un filo conduttore comune a tutti gli articoli e per dargli una sistemazione logica sono stati catalogati (App. 10.1) secondo: l’argomento (“Buckling” e/o “Free Vibration” e/o “Bending”), la geometria (“Circular Cylindrical Shell” e/o “Circular Conical Shell”), il materiale (“Anisotropic” e/o “Orthotropic” e/o “Isotropic”), la “shell theory” (“Donnel-Type, Love-Type, Refined Love-Type, First Order Shear Deformation, Third Order Shear Deformation of Reddy and Liu, Flügge-Type, Sanders-Type”), condizioni di vincolo (“Symply-Supported e/o Clamped e/o Free Edge”) e di carico (Uniform Axial Load e/o Non-Uniform Axial Load e/o Bending moment e/o External Pressure e/o Internal Pressure), il metodo di soluzione (Finite Complex Fourier Transform, Galerkin’s Method, Exact Solution (Eigenvalue Problem), State-Space Solution Technique, Finite Differences Method).

Dalla ricerca in letteratura si è notato che il fenomeno dell’instabilità delle “shell” in compressione è stato teoricamente approfondito solo per i casi di carico assiale o di pressione laterale. Infatti si è trovato ben poco materiale riguardante in buckling di “shell” soggette a momento flettente o a carico trasverso. Si riassumono brevemente gli articoli ritenuti essere più significativi proprio per queste ultime due tipologie di carico.

4.1 Approccio di Lou e Yaniv

Lou e Yaniv [17] hanno studiato il “buckling” di gusci compositi cilindrici sottili di raggio medio a, lunghezza l e spessore h, sottoposti a carico assiale di compressione e/o a momento flettente. Utilizzano e confrontano sia la “Love-type” che la “Donnel-type shell theories”. Si

riferiscono al classico sistema cilindrico dei gusci situato a metà dello spessore che è così composto: x è la coordinata assiale parallela all’asse del cilindro, θ è la coordinata circonferenziale e ρ quella normale o radiale. Con u, v e w si indicano gli spostamenti nelle coordinate appena definite, che nella classica teoria dei gusci assumono la forma:

(

x,θ,ρ

)

u₀

( )

x,θ ρ β

( )

x,θ u u= = + ⋅ _x (4.1)

(

x,θ,ρ

)

v₀

( )

x,θ ρ β_θ

( )

x,θ v v= = + ⋅ (4.2)

( )

x,θ w w= (4.3)

Dove u₀, v₀ e w sono gli spostamenti in x, θ e ρ della superficie media e βx, βθ sono gli

angoli di rotazione rispetto a x e θ.

Per ottenere le equazioni che governano il fenomeno del “buckling” è necessario mettere insieme le equazioni di congruenza, costitutive e di equilibrio. Le equazioni di congruenza sono quelle che legano le deformazioni membranali e le curvature del piano medio e gli spostamenti ,

e (3.6 e 3.7), che scritte per un sistema di riferimento cilindrico assumono la forma (4.4 e

4.5). 0 u 0 v w ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ + ∂ ∂ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ x v u a w v a x u x xx 0 0 0 0 0 0 0 1 1 θ θ ε ε ε θ θθ (4.4) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ θ θ θ θ θθ x w x v a w v a x w k k k x xx 2 0 2 2 0 2 2 2 2 1 (4.5)

Le equazioni costitutive (4.6) sono quelle che derivano dalla classica teoria della laminazione (3.20), in cui si trascurano i termini igroscopici e termici. Le matrici che costituiscono la matrice di rigidezza del laminato

[

, e

[

sono definite secondo le (3.16, 3.17 e 3.18). Si ricordi che perché siano valide tali equazioni bisogna ricorrere a una serie di ipotesi, per lo più derivanti dal fatto che e , tra cui si contano l’ipotesi di Kirchhoff-Love che permette di trascurare le deformazioni di taglio nello spessore (

]

A

[ ]

B D

]

l h<< h<<a 0 = = _θ ρ γ

rimanga costante (ερ =0) e quella che in assenza di pressione interna o esterna la tensione nello

spessore possa essere trascurata (σ_ρ =0).

⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ κ ε0 D B B A M N (4.6)

Le equazioni di equilibrio per una “shell” cilindrica laminata sottoposta a una forza uniassiale di compressione N_x0 sono: 0 1 ₁ 1 = ∂ ∂ + ∂ ∂ θθx x N a x N (4.7) 0 1 1 1 2 01 2 0 1 2 1 1 1 = ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ x v N M a x M a x N N a x x x θ θθ θ θ θ (4.8) 0 1 1 2 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 2 1 2 = ∂ ∂ + + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ x w N N a M a x M a x M x x x θ θ θ θ θ (4.9)

Dove il pedice 0 si riferisce ai valori prima dell’instabilità e il pedice 1 si riferisce ai cambiamenti che questi valori subiscono durante il fenomeno dell’instabilità.

Oltre alle tre tipologie di equazioni finora espresse è necessario per le deformate “post-buckling” del laminato cercare soluzioni che soddisfino le condizioni al contorno. Se entrambe le estremità sono semplicemente appoggiate, in particolare secondo la tipologia SS2, seguendo la definizione data da Almroth [26] (4.10), si possono scrivere le equazioni (4.11, 4.12 e 4.13).

0 0 = = = =M u w Nθ x x= ,0 x=l (4.10) θ π n l x m A u₀ = cos sin (4.11) θ π n l x m B v0 = sin cos (4.12) θ π n l x m C w= sin sin (4.13)

Dove A, B e C sono costanti incognite, mentre m e 2n sono rispettivamente i numeri di mezz’onda assiale e circonferenziale.

Sostituendo le equazioni (4.4, 4.5, 4.6, 4.11, 4.12 e 4.13) in (4.7, 4.8 e 4.9) si ottengono tre equazioni differenziali che governano il fenomeno del “buckling”. In forma matriciale possono essere scritte come:

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 0 0 0 33 32 31 23 22 21 13 12 11 w v u L L L L L L L L L (4.14)

Le equazioni che sono state ricavate vengono chiamate dagli autori Love-type, cioè dovute alla teoria di Love sulle “shells”. Le equazioni tipo Donnel semplificano ulteriormente il problema, infatti questa teoria assume che i gradienti dello spostamento lungo le direzioni x e θ abbiano un effetto trascurabile sulle curvature e che sia anche possibile trascurare la componente di taglio lungo

θ e la curvatura dovuta a lungo x. Queste ipotesi modificano in parte l’equazione di congruenza sulle curvature (4.5) e l’equazione di equilibrio (4.8) rispettivamente in (4.15 e 4.16), le altre rimangono inalterate. 0 v 0 v ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ θ θ θ θθ x w a w a x w k k k x xx 2 2 2 2 2 2 2 1 (4.15) 0 1 _{1 1 =} ∂ ∂ + ∂ ∂ x N N a xθ θ θ (4.16)

Sostituendo nuovamente le equazioni di congruenza (4.4 e 4.15), quelle costitutive (4.6) e le deformate “post-buckling” (4.11, 4.12 e 4.13) nelle equazioni di equilibrio (4.7, 4.9 e 4.16) si ottengono tre equazioni che possono essere scritte nella forma (4.14). E’ chiaro che il generico termine della soluzione Love-type sarà differente dallo stesso termine della soluzione

Donnel-type.

ij

L

Poiché le equazioni differenziali (4.14) devono essere 0 ad ogni punto del cilindro, gli si applica il metodo di soluzione approssimata di Galerkin. Si impone cioè che i residuo R sia nullo, come segue: 0 = =

∫

U LUdV R V T δ (4.17)

Dove V rappresenta il dominio di definizione del problema, δUT la “weighting function” o funzione approssimante (4.18) e L è l’operatore differenziale tipico del problema.

[

u v w

UT δ δ δ

δ = ₀, ₀,

]

(4.18) L’equazione (4.17) può essere scritta esplicitamente come:

( )

[

( )

( )

( )

]

( )

[

( )

( )

( )

]

( )

sin sin

[

( )

( )

( )

]

0 cos sin sin cos 33 0 32 0 31 23 0 22 0 21 0 2 0 11 0 12 0 13 = ⋅ ⋅ ⋅ ⎭ ⎬ ⎫ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎩ ⎨ ⎧ _{+ + +} ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

∫ ∫

dx d h w L v L u L n l x m C w L v L u L n l x m B w L v L u L n l x m A l θ θ π δ θ π δ θ π δ π (4.19)

Dato che l’equazione (4.19) deve essere valida per ogni Aδ , Bδ e Cδ , da questa si ottengono tre equazioni indipendenti (4.20, 4.21 e 4.22).

( )

( )

( )

[

]

∫ ∫

= ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _{+ +} l dx d n l x m w L v L u L 0 2 0 11 0 12 0 13 cos sin 0 π θ θ π (4.20)

( )

( )

( )

[

]

∫ ∫

= ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _{+ +} l dx d n l x m w L v L u L 0 2 0 21 0 22 0 23 sin cos 0 π θ θ π (4.21)

( )

( )

( )

[

]

∫ ∫

= ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ _{+ +} l dx d n l x m w L v L u L 0 2 0 31 0 32 0 33 sin sin 0 π θ θ π (4.22)

Effettuando l’integrazione delle tre equazioni (4.20, 4.21 e 4.22), si ricavano altrettante equazioni algebriche lineari e omogenee che possono essere scritte in forma matriciale (4.23).

⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 0 33 32 31 23 22 21 13 12 11 C B A T T T T T T T T T (4.23)

Si avranno differenti a seconda che si utilizzi la soluzione Love-type o Donnel-type. Il

“buckling criterion” è legato all’esistenza di una soluzione non banale del sistema omogeneo (4.23), cioè il carico critico assiale

(

coincide con il valore di che annulla il determinate della matrice dei coefficienti

[

.

ij T

)

CR x N 0 Nx0

]

T

Quanto è stato trattato fino ad ora riguarda il “buckling” di un guscio cilindrico stratificato in composito sottoposto a compressione assiale. Lou e Yaniv hanno affrontato anche il “buckling” del medesimo guscio cilindrico stratificato in composito sottoposto però a puro momento flettente. Per ottenenere una tale tipologia di carico hanno pensato di applicare sulla sezione del cilindro un carico assiale che varia con il seno dell’angolo al centro (θ coordinata circonferenziale) (4.23).

θ sin 0 x B N N = 0≤θ ≤2π (4.24)

In più hanno anche assunto che i modi propri della parte in trazione

(

u0

)

_t,

( )

v0 t e

( )

w t

(0≤θ ≤π) possano essere differenti da quelli della parte in compressione

(

u₀

)

_c,

( )

v_{0 c} e

( )

w _c (π ≤θ ≤2π ).

( )

tπ _tθ t n l x m A u₀ = cos sin mt =1,2,3... (4.25)

( )

tπ _tθ t n l x m B v₀ = sin cos n_t =1,3,5... (4.26)

( )

tπ _tθ t n l x m C w = sin sin (4.27)

( )

cπ _cθ c n l x m A u₀ = cos sin mc =1,2,3... (4.28)

( )

cπ _cθ c n l x m B v₀ = sin cos n_c =3,5,7... (4.29)

( )

cπ _cθ c n l x m C w = sin sin (4.30)

Per le equazioni (4.25-4.30) si suppone che l’asse neutro rimanga lungo l’asse geometrico di simmetria del cilindro. e devono essere necessariamente dispari per soddisfare la condizione

di continuità degli spostamenti tra la parte in trazione e quella in compressione a

t

n n_c

0 =

θ e θ = . A π parte gli spostamenti appena definiti, le equazioni e la procedura utilizzate per il “pure bending” sono le medesime del carico assiale. Il risultato è il carico critico assiale che può essere

ricondotto a momento flettente critico tramite la (4.31)

( )

Nx0 CR CR M

(

x

)

CR CR a N M 0 2⋅ ⋅ =π (4.31) Infine i due ricercatori hanno affrontato lo studio di carico assiale combinato a puro momento flettente. Hanno utilizzato la più semplice equazione di interazione tra le due tipologie di carico in grado di approssimare il comportamento a “buckling”, la cosiddetta “beam-column form” (4.32).

1 = + CR CR M M N N (4.32)

Dove N e M sono rispettivamente il carico assiale e il momento flettente esterni applicati alla “shell” cilindrica, N_CR è il carico critico assiale quando è presente il solo N e M_CR è il momento

flettente critico quando è presente solo M. L’approssimazione introdotta dall’espressione (4.32) è dovuta al fatto che il momento flettente applicato esterno non include il momento secondario generato dal prodotto del carico assiale di compressione N e dalla freccia laterale provocata dal momento flettente M.

Senza scendere in dettagli anche per questa tipologia di carico, ci si rende conto che il limite più grande ed evidente di questa procedura è quello di arrivare al carico critico solo qualora entrambe le estremità siano semplicemente appoggiate (SS2). Infatti solo per questa condizione al contorno si riesce a prevedere la forma dei modi propri o delle deformate associate ai carichi critici ((4.11-4.13) per carico assiale e (4.25-4.30) per puro momento flettente). Altro limite è dovuto al fatto che la procedura utilizzata per trovare i carichi critici è espressamente lineare (“buckling” agli autovalori), per cui non può essere introdotta alcuna non-linearità.

4.2 Approccio di Greenberg e Stavsky

Greenberg e Stavsky hanno affrontato lo studio delle vibrazioni e del “buckling” di “shell” cilindriche di lunghezza finita, fatte in materiale ortotropo e composito, soggette a carichi assiali non uniformi [22] [23]. In particolare considerano “shell” cilindriche di raggio medio a, lunghezza l e spessore h, composte da diversi “layers” di materiale composito le cui caratteristiche dipendono solo dallo spessore. Il sistema di riferimento è quello classico delle gusci cilindrici (Fig.4.1) situato a metà spessore, ed è così indicato: ξ (1) rappresenta la coordinata assiale non-dimensionale (=x/a),

θ (2) la coordinata circonferenziale e ζ (3) quella normale. L’angolo di orientazione delle fibre rispetto alla coordinata assiale ξ è indicato con φ. In entrambi gli articoli considerano solo “layers” ortotropi in un sistema di riferimento locale parallelo a quello globale del guscio, ossia con φ=0° o

φ=90°.

Per una “shell” anisotropa soggetta a un carico assiale che varia circonferenzialmente in

maniera non uniforme , le equazioni del moto basate sulla teoria quasi-lineare di Flügge

possono essere espresse nella seguente forma:

( )

θ ξ0 N

( )

( )

[

, ,

]

0 3 1 = +

∑

= j i ii j ijU U L ξ θ _l ξ θ i=1,2,3 (4.33)

Dove sono operatori differenziali parziali a coefficienti costanti, (j=1,2,3) sono gli

spostamenti della superficie di riferimento nelle tre direzioni del sistema cilindrico del guscio e gli operatori che contengono il carico assiale non-uniforme hanno la forma (4.34).

ij L Uj ii l

( )

2₂ 0 ξ θ ξ _∂ ∂ − = N ii l i=1,2,3

(4.34)

Generalmente il carico assiale non-uniforme può essere espresso come:

( )

θ ξ

( )

θ

ξ N f

N0 = ⋅ (4.35)

Dove Nξ è una costante e f

( )

θ è una data funzione di θ. In particolare considerano tre carichi assiali circonferenzialmente non-uniformi definiti come segue:

( )

θ ξ

(

( )

θ ξ0 = N ⋅1+2cos N

)

(4.36)

( )

θ ξ

( )

θ ξ0 = N ⋅cos N (4.37)

( )

⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ≤ ≤ ≤ ≤ = π θ θ θ θ θ ξ ξ 2 0 0 * * 0 N N (4.38)

Il carico (4.36) (Fig.4.2) fu usato da Flügge nella sua analisi di “buckling” di gusci cilindrici e isotropi e quindi è utilizzato da Greenberg e Stavsky come verifica per la loro teoria estesa. Il carico (4.37) può essere visto come momento flettente puro per una “shell” cilindrica. Infine il carico (4.38) (Fig.4.3) mantiene le caratteristiche del problema considerato da Hoff, Chao e Madsen [30], in cui un carico meccanico agente su una striscia di larghezza serve per rappresentare il riscaldamento di una striscia della medesima larghezza lungo la lunghezza del cilindro isotropo.

*

θ

⋅

Fig.4.2 Fig.4.3

L’equazione (4.33) è stata risolta per il caso in cui entrambe le estremità sono semplicemente appoggiate (condizioni al contorno SS3 (4.39) secondo la definizione di Almroth [26]).

0 3 2 = = = =M U U Nξ ξ ξ =0,ξ =l /a (4.39)

Dove N e M sono rispettivamente la forza e il momento risultanti.

I coefficienti costanti degli operatori , insieme con la periodicità degli spostamenti e le loro

derivate nella direzione circonferenziale, suggeriscono di sfruttare la trasformata finita complessa di Fourier per ridurre la dimensionalità del problema. Applicando tale trasformata F all’equazione (4.33) rispetto a θ si ottiene: ij L

( )

( )

[

]

( )

( )

( ) ( )

_{( )}

_{( )}

0 , , , 2 0 2 2 3 1 3 1 2 0 2 0 2 2 3 1 = ∂ ∂ − = ∂ ∂ − = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ +

∫

∑

∑∫

∫

∑

= = = π _θ ξ π π _θ ξ θ θ ξ θ θ θ ξ θ θ θ ξ θ ξ θ ξ d U e f N U L d e U f N d e U L U U L F i in j n j n ij j in i in j ij j i ii j ij l (4.40) 3 , 2 , 1 = i n=0,1,2...

Dove gli operatori sono ora operatori differenziali ordinari, sono spostamenti

trasformati, i negli esponenziali è

( )n ij

L U( )_jn

1

− e n è il numero del modo circonferenziale. Dal momento che:

( )

( ) ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =

∑

∞ = − 0 2 Re , m im m j j e U U π θ ξ θ j=1,2,3 (4.41)

( ) ( )

( )

( )

( ) ₀ 2 2 0 0 2 2 3 1 = ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ −

∑

_∫

∑

∞ − = = π _θ ξ _{θ θ} ξ π θ f e d d U d N U L in m m i j n j n ij (4.42) 3 , 2 , 1 = i n=0,1,2...

Poi, a causa del fatto che le estremità sono semplicemente appoggiate secondo la modalità SS3, è possibile assumere valida una particolare forma delle deformate post-buckling nelle tre direzioni di riferimento (4.43, 4.44 e 4.45) che soddisfi le condizioni al contorno.

( )

_{( )}

_ξ ( ) _βξ cos 1 1 n n A U = (4.43) ( )

_{( )}

_ξ ( ) _βξ sin 2 2 n n A U = (4.44) ( )

_{( )}

_ξ ( )_sinβξ 3 3 n n A U = (4.45)

Dove A₁( )n , A₂( )n , A₃( )n , n=0,1,2... sono costanti, e β è definito come:

l a s⋅ ⋅ = π β n=0,1,2... (4.46)

Dove s è il numero di mezz’onda assiale. Sostituendo le (4.43, 4.44 e 4.45) nella (4.42), si ottiene una serie infinita di equazioni algebriche che possono essere scritte in forma matriciale.

[

Z −NξY

]

{ }

A =0 (4.47)

Dove

{

A

}

è il vettore definito secondo (4.48),

[ ]

Z è una matrice diagonale a blocchi e

[ ]

Y ha la seguente forma definita in (4.49).

{ }

{

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,... , , , , , ₂0 ₃0 ₁1 ₂2 ₃3 0 1 A A A A A A A T =

}

m n (4.48)

[ ]

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ... ... ... ... ... ... 2 , 1 1 , 1 0 , 1 2 , 0 1 , 0 0 , 0 Y Y Y Y Y Y Y (4.49)

Dove ogni Y( , ) è una matrice 3× a blocchi, che è diagonale quando 3 , e contiene elementi che derivano dai termini delle forze applicate nell’equazione (4.42).

m n≠

L’esistenza di una soluzione non banale è dettata dall’annullamento del determinante:

[

]

0

detZ −NξY = (4.50)

I limiti dell’approccio di Greenberg e Stavsky sono gli stessi di quello di Lou e Yaniv, cioè la procedura è attuabile solo per una particolare condizione al contorno (SS3) ed è espressamente lineare, per cui non può essere introdotta alcuna non-linearità.