Gusci Elastici Sottili Teoria Lineare, Applicazioni, Confronti Analitici e Computazionali

Gusci Elastici Sottili

Teoria Lineare, Applicazioni, Confronti Analitici e Computazionali

Enzo Marino ¹ Enzo Saponara ² 5 Aprile 2004

Ultima modifica 9 ottobre 2007

Universit`a degli Studi di Firenze

Facolt`a di Ingegneria

Corso di laurea in Ingegneria Civile

Corso di Meccanica Computazionale delle Strutture I

Professore Claudio Borri

Revisore Ing. Maurizio Orlando

1

[email protected]

2

[email protected]

Prefazione

L’obiettivo di questo lavoro `e analizzare il comportamento statico dei gusci elastici sottili.

Per raggiungere questo risultato abbiamo scelto di seguire l’approccio meto- dologico pi` u generale possibile. L’uso dei potenti mezzi dell’algebra tenso- riale e della geometria differenziale delle superfici ci ha permesso, infatti, di poter condurre una trattazione rigorosa e formale, senza limitazioni a priori sulla geometria e sulle condizioni di carico.

Questo lavoro certamente non aggiunge nulla di innovativo alla teoria dei gusci, ma a nostro parere rappresenta l’essenza di uno studio costruttivo e interdisciplinare.

Consultare una densa bibliografia sulla teoria dei gusci, provando a riscriverne una sintesi rigorosa e coerente, talvolta con nomenclatura e simbologia in- consuete nella letteratura ingegneristica, non `e stato facile.

Cos`ı, esiste una particolare e imprescindibile gratificazione che questo lavoro ci regala.

La consapevolezza di aver commesso senz’altro errori di forma e di contenu- to e di non aver sufficientemente approfondito alcuni argomenti `e motivo di stimolo a migliorare e proseguire questo lavoro in ogni possibile direzione.

Ringraziamenti

E’ doveroso ringraziare il Prof. Claudio Borri, che ci ha dato la libert`a e l’entusiasmo per intraprendere questo progetto; il Prof. Marco Modugno, che oltre ad aver ampliato le nostre conoscenze fisico-matematiche, ci ha stimolati alla coerenza e al rigore scientifico; l’Ing. Maurizio Orlando che pazientemente ci ha seguiti durante tutta la parte computazionale; il Dr.

Marco Spadini per la disponibilit`a e l’aiuto all’utilizzo di LaTeX.

Enzo Marino, Enzo Saponara

Firenze, 5 Aprile 2004

Indice

Introduzione 4

1 Geometria 5

1.1 Superfici . . . . 5

1.2 Derivata covariante e Gauss Splitting . . . . 7

2 Spostamenti e deformazioni 11 2.1 Il tensore delle deformazioni . . . 11

2.2 Sistemi di coordinate e basi . . . 13

2.3 Campo di spostamenti . . . 13

3 Equilibrio 17 3.1 Shifters . . . 17

3.2 Integrazione sullo spessore delle forze di superficie . . . 18

3.3 Le forze di volume e la densit`a di carico . . . 21

3.4 Equilibrio . . . 21

4 Legame costitutivo 25 5 Stati di sforzo membranale 26 5.1 Applicazioni . . . 26

5.1.1 Duomo sferico . . . 26

5.1.2 Duomo sferico: confronto analitico e numerico . . . . 28

Condizione di carico assialsimmetrica: carico verticale costante distribuito uniformemente sul guscio. (Peso proprio) . 28 ESEMPIO APPLICATIVO . . . 31

Condizione di carico assialsimmetrica: carico verticale costante disribuito sulla proiezione orizzontale della superficie del guscio . . . 36

ESEMPIO APPLICATIVO . . . 37

5.1.3 Cilindro . . . 42

5.1.4 Cilindro: confronto analitico e numerico . . . 43

Condizione di carico assialsimmetrica: pressione uniforme es- ercitata da un gas pi` u peso proprio . . . 43

ESEMPIO APPLICATIVO . . . 45

Condizione di carico assialsimmetrica: pressione idrostatica pi` u peso proprio . . . 50

ESEMPIO APPLICATIVO . . . 51

5.1.5 Iperboloide di rivoluzione soggetto a peso proprio . . . 57

ESEMPIO APPLICATIVO . . . 61

6 Influenza degli effetti di bordo sul regime di sforzi men-

branale 67

6.1 Effetti di bordo indotti da incastri alla base in duomo sferico soggetto al peso proprio . . . 67 6.2 Effetti di bordo indotti da incastri alla base in un cilindro

soggetto ad una pressione idrostatica e al peso proprio . . . . 70

Introduzione

Per giungere alle equazioni generali che risolvono il problema dell’elasto- statica dei gusci abbiamo seguito un approccio classico per la meccanica dei continui: deformazioni, equilibrio, legame. Tuttavia, a differenza di quanto accade per lo studio di strutture costituite da elementi monodimensionali o bidimensionali piani, per i gusci `e necessaria una particolare attenzione alle coseguenze che sistemi di coordinate non cartesiani comportano durante la trattazione analitica. E’ inevitabile infatti -scelto questo approccio- l’utiliz- zo di una formulazione tensoriale del problema con continui riferimenti alla geometria differenziale.

Per questo motivo abbiamo dedicato il primo capitolo ai richiami sulla teoria delle superfici, in particolare alla derivazione covariante.

Tutta la trattazione assume un modello matematico fondato sulle seguenti ipotesi

• Guscio sottile: (2²)/L ¿ 1 dove L `e una dimensione caratteristica del guscio e (2²) `e lo spessore;

• Teoria lineare: gli spostamenti sono piccoli, il loro prodotto `e trascur- abile, l’equilibrio `e scrivibile nella configurazione indeformata;

• Spessore del guscio costante;

• Materiale elastico omogeneo e isotropo.

Un’altra fondamentale ipotesi che classifica la teoria come di Kirchoff-Love

`e

• Le fibre materiali inizialmente ortogonali alla superficie media del gus- cio rimangono ortogonali ad essa durante la deformazione. Inoltre la distanza di P ^? ∈ G(²) dalla superficie Q rimane costante.

Come esempi applicativi abbiamo scelto un duomo sferico, un cilindro ed un iperboloide di rotazione caricati in modo da ottenere sempre un com- portamento di tipo membranale. Per ogni esempio abbiamo calcolato ana- liticamente gli stati di sforzo e il campo di spostamenti. Infine si `e condotto un confronto fra le soluzioni analitiche e i risultati numerici prodotti da FE- MAS90 e SAP2000.

L’uso di due codici di calcolo `e stato necessario per determinare l’accu- ratezza dei risultati derivanti da una mesh con elementi a doppia curvatura (NACS48 del FEMAS90) e elementi piani (SHELL del SAP2000).

L’ultimo capitolo contiene dei cenni sugli effetti di bordo, in particolare

l’influenza di diverse condizioni di vincolo al contorno.

1 Geometria

In questo capitolo si richiamano solo alcuni concetti fondamentali di geometria differenziale. Per una trattazione completa si rimanda alle dispense del Prof. M.

Modugno Notes on geometry of surfaces. Vedi [5].

Definizione 1. Definiamo una regione a forma di guscio modellata su una sottovariet`a Q ed avente spessore 2², un continuo G(²) immerso nello spazio ambiente affine euclideo E per il quale esiste, almeno localmente, un sistema di coordinate Θ : G(²) → IR ³ .

Figura 1: Guscio.

1.1 Superfici

Definizione 2. Definiamo la sottovariet`a Q ⊂ M una ipersuperficie se ha codimensione 1.

Osservazione 1. Se M ≡ E, Q `e una superficie. (dimQ = 2).

La variet`a M `e descritta da un sistema di coordinate adattato X : M → IR ^m : P 7→ x ⁱ (P )

La superficie Q `e descritta da un sistema di coordinate indotto ³ X ^† : Q → IR ^q : P 7→ x ^α (P )

3

Il sistema di coordinate indotto ha dimensione q = m − k, dove m `e la dimensione

della variet`a M e k `e il numero di coordinate vincolari o codimensione di Q. Essendo

M ≡ E, nel nostro caso, Q `e un superficie bidimensionale, ovvero m = 3, k = 1, q = 2.

In seguito useremo la convenzione di indicare le componenti di X ^† , cio`e le quantit`a che vivono su Q, con gli indici greci (variabili da 1 a 2), mentre le componenti delle entit`a che vivono in E o in T _Q E con gli indici latini (variabili da 1 a 3). ⁴

Definizione 3. Definiamo il campo vettoriale unitario normale come il campo

n : Q → T Q ^⊥ tale che g(n, n) = 1.

Il campo n esiste globalmente a meno del segno.

Ricordiamo che g `e la metrica su E definita come una forma bilineare simmetrica e definita positiva

g : T E × T E → IR che in componenti si scrive

g = g _ij dx ⁱ ⊗ dx ^j

Analogamente sulla sottovariet`a Q esiste una metrica Riemanniana indotta g ^† : T Q × T Q → IR

che in componenti si scrive

g ^† = g _αβ dx ^α ⊗ dx ^β

Figura 2: Riduzione del guscio alla sottovariet`a Q.

4

Il simbolo † sar`a convenzionalmente usato per indicare grandezze vincolate alla

sottovariet`a.

1.2 Derivata covariante e Gauss Splitting

Proposizione 1. Per ogni campo vettoriale X : E → T E e per ogni campo tensoriale t : E → ⊗ ^k T E, la derivata covariante ∇ _X t, in un sistema di coordinate generale, si scrive

∇ _X t = X ^j (∂ _j t ⁱ

^...i

+ Γ ⁱ _jh

t ^hi

^...i

+ .... + Γ ⁱ _jh

t ⁱ

^...i

^h )∂x _i

⊗ .... ⊗ ∂x _i

e per ogni campo X : E → T E e t : E → ⊗ ^k T ^∗ E,

∇ _X t = X ^j (∂ _j t _i

_...i

− Γ ^h _ji

t _hi

_...i

− .... − Γ ^h _ji

t _i

_...i

_h )dx ⁱ

⊗ .... ⊗ dx ⁱ

,

dove

Γ ^h _ij = (∇ _∂

∂x _j ) ^h = −(∇ _∂

dx ^h ) _j .

Proposizione 2. L’espressione in coordinate dei coefficienti Γ ^h _ij della con- nessione lineare ∇ `e

Γ ^h _ij = 1

2 g ^hk (∂ _i g _jk + ∂ _j g _ik − ∂ _k g _ij ).

Siano X : Q → T Q e Y : Q → T Q due campi vettoriali su Q. Vale la seguente scomposizione

∇ _X Y = ∇ ^k _X Y + ∇ ^⊥ _X Y (1)

∇ ^k _X Y = π ^k (∇ _X Y ) : Q → T Q

∇ ^⊥ _X Y = π ^⊥ (∇ _X Y ) : Q → T Q ^⊥

Teorema 1. L’applicazione

∇ ^k := T Q × T Q → T Q : (X, Y ) 7→ ∇ ^k _X Y

`e una Connessione di Riemann su Q. Pertanto ∇ ^k = ∇ ^†

Ricordiamo che una connessione si dice riemanniana se ha torsione nulla e se ∇g = 0.

Una conseguenza della torsione nulla `e la simmetria dei coefficienti Γ della

connessione medesima (simboli di Christoffel).

Definizione 4. Definiamo Seconda forma fondamentale l’applicazione N = ∇ ^⊥ : T Q × T Q → T Q ^⊥ : (X, Y ) 7→ ∇ ^⊥ _X Y

Dalla (1) segue allora la decomposizione di Gauss

∇ _X Y = ∇ ^† _X Y + N (X, Y ) (2) Definizione 5. Definiamo l’applicazione di Weingarten su Q l’endomorfis- mo

L := ∇n : T Q → T Q : X 7→ ∇ _X n

Sia inoltre L il tensore covariante associato ad L dalla metrica indotta g ^†

L := ∇n : T Q × T Q → IR : (X, Y ) 7→ g(L(X), Y ) = ∇ _X n(Y )

Dove n = g ^[ (n), essendo g la metrica del sistema di coordinate adattato di E.

Proposizione 3. Dati due campi vettoriali X, Y su Q, si ha L(X, Y ) = −g(∇ _X Y, n) = −g(∇ _Y X, n)

Dim.: La prima uguaglianza si dimostra partendo dalla definizione di L e usando una propriet`a della connessione lineare ∇:

X.(g(Y, n)) = g(∇ X Y, n) + g(Y, ∇ X n) ⇒ g(∇ X Y, n) = −g(Y, ∇ X n) La simmetria di L `e immediata dalla simmetria della metrica g./

Quest’ultima importante proposizione mostra come L rappresenti la com- ponente normale alla sottovariet`a Q della derivata covariante di un generico campo vettoriale Y su Q rispetto ad un altro campo X.

Pertanto la scomposizione di Gauss pu`o essere alternativamente letta come

∇ _X Y = ∇ ^† _X Y − L(X, Y )n (3) Dato l’uso frequente che in seguito faremo delle (2) e (3) scritte in com- ponenti, ne riportiamo lo sviluppo.

Supponiamo {∂x _α } sia una base associata al sistema di coordinate superfi- ciali indotte.

∇ _∂x

∂x _α = ∇ ^† _∂x

β

∂x _α + N (∂x _β , ∂x _α )

= ∇ ^† _∂x

∂x _α − L(∂x _β , ∂x _α )n

Per ciascun termine abbiamo

∇ ^† _∂x

∂x _α = dx ^γ (∂x _β ) ¡

∂ _γ (dx ^ω (∂x _α ) ¢

+ Γ ^ω _γλ dx ^λ (∂x _α ))∂x _ω

= δ _β ^γ (Γ ^ω _γλ δ ^λ _α )∂x _ω = Γ ^ω _βα ∂x _ω

N (∂x _β , ∂x _α ) = −L(∂x _β , ∂x _α )n = −(∇ _∂x

n · ∂x _β )n

= −(L(∂x _α ) · ∂x _β )n = −(L ^γ _α ∂x _γ · ∂x _β )n

= −(L ^γ _α g _γβ )n = −L _αβ n

Ripetendo la stessa scrittura in componenti per un elemento della base covariante, si ottiene

∇ _∂x

∂x _α = Γ ^ω _βα ∂x _ω − L _βα n

∇ _∂x

dx ^α = −Γ ^α _βλ dx ^λ − L ^α _β n

In seguito avremo spesso a che fare con campi di vettori che non ap- partengono allo spazio tangente della superficie.

Consideriamo allora un campo vettoriale v ∈ T _Q E, ossia v sta in E, ma `e applicato in un punto di Q.

Il campo v pu`o essere naturalmente scomposto in una componente parallela (tangente) e una ortogonale a Q

v = v ^k + v ^⊥ Che in componenti si scrive

v = v ^α ∂x _α + v ^ξ n

Per quanto finora considerato, la derivata di v rispetto ad un generico campo vettoriale X su Q si scive

∇ _X v = ∇ _X v ^k + ∇ _X v ^⊥ = ∇ ^† _X v ^k − L(X, v ^k )n + ∇ _X v ^⊥ (4)

La (4) in componenti si scrive

∇ _X v = X ^β ¡

(∂ _β v ^α + Γ ^α _βγ v ^γ + v ^ξ L ^α _β )∂x _α + (∂x _β .v ^ξ − L _αβ v ^α )n ¢ Analoghe espressioni si ottengono per la forma v ∈ T _Q ^∗ E duale di v

∇ _X v = ∇ _X v ^k + ∇ _X v ^⊥ = ∇ ^† _X v ^k − L(X, v ^k )n + ∇ _X v ^⊥ (5)

Che in componenti si scrive

∇ _X v = X ^β (∂ _β v _α − Γ ^γ _αβ v _γ + v _ξ L _βγ )dx ^γ + X ^β (∂x _β .v _ξ − L ^α _β v _α )n

♠

2 Spostamenti e deformazioni

2.1 Il tensore delle deformazioni

Per una maggiore chiarezza presentiamo qualche teorema e definizione fondamentali che assumeremo per giungere alla tradizionale espressione del tensore delle defor- mazioni.

Definizioni e teoremi ripresi da [4].

Definizione 6. Definiamo il dominio spaziale all’istante t ∈ T il sottoin- sieme

D _t ∈ P

costituito dalle posizioni occupate dalle particelle del continuo a tale istante.

Definiamo, inoltre, il dominio spazio temporale come il sottoinsieme D := {(t, p) ∈ T × P | t ∈ T, p ∈ D _t } ⊂ T × P.

Dove T `e lo spazio affine del tempo, e P `e lo spazio affine euclideo delle posizioni ⁵ .

Definizione 7. Definiamo lo jacobiano come il campo tensoriale J := ˇ DC : T × D → P ^∗ ⊗ P .

Dove ˇ DC `e la derivata spaziale del moto C di una particella p definito come l’aapplicazione C : T × D → P .

P e P ^∗ sono rispettivamente lo spazio vettoriale e il suo duale associati allo soazio affine P .

Definizione 8. Definiamo il tensore delle deformazioni finite di un moto continuo come l’applicazione

E := g ◦ (J × J ) : T × D → P ^∗ ⊗ P ^∗ .

Il tensore E rappresenta il prodotto scalare tra due vettori trasformati durante il moto approssimato al prim’ordine attraverso lo jacobiano

E(s; t, p)(u, v) := u ⁰ · v ⁰ := J (s; t, p)(u) · J (s; t, p)(v)

Pertanto, fissato una particella del dominio spaziale, fissati l’istante in- iziale e finale del moto, il tensore delle deformazioni `e l’applicazione bilineare

E(s; t, p) : P × P → IR

A tale forma `e associato l’endomorfismo di deformazione E := T × D → L(P , P ) ' P ^∗ ⊗ P

5

P pu`o coincidere con lo spazio affine ambiente E, usato altrove in questo testo

Si dimostra che il tensore delle deformazioni infinitesime pu`o essere scritto nelle forma

γ = 1 2 δ∆E

Cio`e γ `e pari alla met`a della derivata particellare del tensore ∆ε, il quale misura la differenza tra il prodotto scalare dei vettori trasformati tramite il moto e il prodotto scalare tra i vettori originali.

Per derivata particellare s’intende la derivata rispetto all’istante finale.

∆E : = E − g : T × D → P ^∗ ⊗ P ^∗

∆E(s; t, p) = E(s; t, p) − E(t; t, p) = E(s; t, p) − g

Dove s ∈ T , (t, p) ∈ D.

A questo punto introduciamo l’ipotesi di spostamento infinitesimo quasi statico.

Quello che ci interessa nella trattazione della meccanica dei gusci (e dei continui in generale) `e solo il confronto dello stato deformato con quello in- deformato, senza interessarsi a ci`o che succede nelle fasi intermedie. Segue pertanto una procedura che oltre a tenere conto dello spostamento infinites- imo trascura gli istanti di tempo che caratterizzano le configurazioni del continuo.

Siano s ∈ T e t ∈ T rispettivamente l’istante finale e iniziale tali che

∆t = s − t ∈ T e u = S(s, t) : D _t → P lo spostamento.

Trascurando gli infinitesimi di ordine superiore ∆t possiamo srivere u ' v _t ∆t

Dove v `e la velocit`a del moto.

Di conseguenza si ottiene

∆E(s, t) := E(s, s) − E(t; t) ' 2γ∆t = 2SimDu

Trascurando i riferimenti agli istanti iniziali e finali, poniamo le sostituzioni simboliche

∆E(s, t) → ∆E γ _t ∆t → γ

Siamo cos`ı arrivati a poter scrivere l’espressione del tensore delle defor- mazioni infinitesime che useremo per descrivere lo stato di deformazione del continuo a forma di guscio G(²)

γ = 1

2 (g ^? − g ^? ) (6)

Dove g ^? = E(s, s) rappresenta la metrica nella configurazione deformata (al- l’istante finale s). ⁶

La stella indica che la metrica `e quella associata alle basi nel guscio G(ε).

2.2 Sistemi di coordinate e basi

Per descrivere i campi vettoriali su Q useremo la base superficiale {∂x _α } del sistema di coordinate indotte X ^† . I vettori dello spazio T _Q E, invece, verrano sistematicamente scomposti nella componente parallela e quella ortogonale.

Si definisce quindi un sistema di coordinate tale da descrivere il solido tridimensionale a forma di guscio G(²)

(x ^?α , ξ) : G(ε) → IR ³

a cui `e associata la base {∂x ^? _α , n}, con n il campo vettoriale unitario normale a Q.

2.3 Campo di spostamenti

Un generico P ^? ∈ G(²) `e individuato, rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano globale, da un vettore r ^? tale che

r ^? = r + ξ ₁ n con ξ ₁ ∈ (−², ²) (7) Dove r `e il vettore espresso nel sistema cartesiano che individua la proiezione ortogonale P su Q di P ^? .

Supponiamo che un moto ”quasi statico” induca una deformazione del gus- cio tale che, rispetto al sistema di riferimento globale cartesiano, si ha

r ^? = r + ξ ₂ n con ξ ₂ ∈ (−², ²) (8)

Ipotesi 1. Si assume che durante la deformazione la distanza di P ^? ∈ G(²) dalla superficie Q rimanga costante. Pertanto

ξ ₁ = ξ ₂ = ξ

Ipotesi 2. (Kirchoff-Love) Le fibre materiali inizialmente ortogonali alla superficie media del guscio rimangono ortogonali ad essa durante la defor- mazione.

g(∂x _α , n) = ∂x _α · n = 0

6

D’ora in avanti le quantit`a soprassegnate si riferiscono alla configurazione deformata.

La (7) e la (8) individuano, per differenza, il vettore di spostamento relativo

r ^? − r ^? = (r − r) + ξ(n − n)

Questa relazione ci permette di definire completamente il campo di sposta- menti conoscendo i due campi vettoriali

v = r − r con v ∈ T _Q E w = n − n con w ∈ T Q

Procediamo nel calcolo delle componenti del tensore γ.

Le basi indotte dai sistemi di coordinate (x ^α ) e (x ^α , ξ) si ottengono usando le matrici jacobiane del cambiamento di coordinate ⁷

∂x _α = r, _α

∂x ^? _α = ∂x _α + ξ∇ _∂x

n

Analogamente per la configurazione deformata scriviamo

∂x _α = r, _α

∂x ^? _α = ∂x _α + ξ∇ _∂x

n

Sostituendo queste espressioni nella (6) scritta in componenti, trascurando gli infinitesimi del second’ordine e sfuttando l’ipotesi (1), si ottiene

γ _ij = 1

2 (g _αβ −g _αβ )+ 1 2 ξ ¡

∂x _α ·∇ _∂x

n+∂x _β ·∇ _∂x

n−(∂x _α ·∇ _∂x

n+∂x _β ·∇ _∂x

) ¢ Definizione 9. Definiamo

α _αβ = 1

2 (g _αβ − g _αβ )

primo tensore delle deformazioni (stretching strain tensor);

ω _αβ = 1 2

¡ ∂x _α · ∇ _∂x

n + ∂x _β · ∇ _∂x

β

n − (∂x _α · ∇ _∂x

n + ∂x _β · ∇ _∂x

) ¢ secondo tensore delle deformazioni (bending strain tensor).

7

r,

=

∂x

Si osservi come il primo tensore delle deformazioni descriva solamente la deformazione estensionale subita dalla superficie media. Esso coinvolge solo la prima forma fondamentale e non dipende dalla curvatura della superficie.

Il secondo tensore delle deformazioni, invece, descrive la deformazione di superfici omotetiche (ξ = cost) includendo i contributi dovuti alla curvatura.

Allora possiamo scivere

γ _ij = γ _αβ = α _αβ + ξω _αβ

Osserviamo che l’ipotesi di Kirchhoff-Love ci permette di ridurre il ten- sore delle deformazioni γ ad un tensore superficiale espresso nella base {∂x _α ⊗ ∂x _β }.

Ora possiamo sostituire nelle espressioni generali dei tensori α e ω i campi di spostamenti v e w cos`ı come li abbiamo definiti. Tenendo conto che

∂x _α = r, _α = (r + v), _α = ∂x _α + v, _α

Si ottiene

α _αβ = 1

2 (g _αβ − g _αβ )

= 1 2

¡ (∂x _α + v, _α ) · (∂x _β + v, _β ) − ∂x _α · ∂x _β ¢

= 1 2

¡ ∂x _α · v, _β +∂x _β · v, _α ¢

Da cui ricordando l’espressione in componenti della derivata α − esima ⁸ del campo v ∈ T _Q E, si ottiene

α _αβ = 1 2

¡ ∂x _α · ∇ ^† _∂x

v ^k + ∂x _β · ∇ ^† _∂x

v ^k + 2L _αβ v ^ξ ¢

Da cui

α _αβ = 1 2

¡ ∇ ^† _β v _α + ∇ ^† _α v _β + 2L _αβ v ^ξ ¢

(9) Per ω otteniamo

8

Facciamo presente l’abuso di notazione per v,

dove la virgola non indica la derivata

parziale.

ω _αβ = 1 2

¡ ∂x _α · ∇ _∂x

n + ∂x _β · ∇ _∂x

n − (∂x _α · ∇ _∂x

n + ∂x _β · ∇ _∂x

) ¢

= 1 2

¡ ∂x _α · ∇ _∂x

(n + w) + v, _α ·∇ _∂x

(n + w) + ∂x _β · ∇ _∂x

(n + w) + v, _β ·∇ _∂x

(n + w)

− (∂x _α · ∇ _∂x

n + ∂x _β · ∇ _∂x

n) ¢

Considerando che la derivazione avvenga sempre rispetto alla base indefor- mata, trascurando il prodotto tra gli spostamenti, ricordando l’espressione in componenti della derivata covariante di v, si ottiene

ω _αβ = 1 2

¡ ∂x _α ·∇ ^† _∂x

w+∂x _β ·∇ ^† _∂x

w+(∇ ^† _∂x

v ^k ) ^γ L _βγ +(∇ ^† _∂x

v ^k ) ^γ L _αγ +2v ^ξ L _αω L ^ω _β ¢

L’ipotesi (2) -di Kirchhoff-Love- comporta un’ulteriore esemplificazione. Con le stesse approssimazioni degli sviluppi precedenti si osserva, infatti, che i campi v e w sono legati dalla relazione

∂x _α · n = 0 ⇒ (∂x _α + v, _α ) · (n + w) = 0 ⇒

w _α = L _αβ v ^β − v ^ξ , _α

Considerando quest’ultima relazione, l’espressione in componenti di ω si legge

ω _αβ = v ^γ ∇ ^† _α L _βγ + L _αγ ∇ ^† _β v ^γ + L _βγ ∇ ^† _α v ^γ + v ^ξ L _αγ L ^γ _β − v ^ξ , _αβ (10)

♠

3 Equilibrio

3.1 Shifters

La relazione che sussiste tra le basi (controvariante e covariante) in un punto P ^? ∈ G(²) e le basi nel punto P , proiezione di P ^? su Q lungo la fibra normale ξ, `e descritta da due tensori detti shifters

A(P, P ^? ) : = ∂x ^? _i (P ^? ) ⊗ dx ⁱ (P ) (11) B(P, P ^? ) : = dx ^i? (P ^? ) ⊗ ∂x _i (P ) (12) Tali che

A∂x _j = ∂x _j ^? Bdx ^j = dx ^{j ?}

L’indice latino `e variabile da 1 a 3, per cui {∂x _α , n} = {∂x _i }. Analogamente per la base in P ^? .

Si osservi che A `e la matrice jacobiana del cambiamento di coordinate, per- tanto una generica forma volume η ^? (P ^? ) si esprime rispetto al sistema di coordinate della superficie Q come

η ^? = detAη Dove η `e la corrispondente forma volume su Q.

In particolare abbiamo

dA ^? = detAdA dV ^? = detAdV

Con dA ^? e dV ^? rispettivamente superficie e volume elementari in G(²).

3.2 Integrazione sullo spessore delle forze di superficie Assunta una curva c : IR → Q direttrice per un sistema di generatrici dirette come la curva coordinata ξ (normale) a Q, otteniamo la superficie normale Q _c di separazione tra due porzioni di guscio G(²).

Ci interessiamo allo stato tensionale che le due porzioni si trasmettono.

Sia ν ∈ T Q la normale uscente dalla curva c in un punto P , l ∈ T Q il versore tangente a C; allora (ν, l, n) individuano una base locale in P . Una terna simile di versori si individua in P ^? .

L’elemento orientato di area dA ^? ⊂ Q _c pu`o essere espresso in funzione degli shiftersa A e B, in particolare abbiamo

ν ^? dA ^? = BνdetAdA Dove ν ∈ T ^∗ Q.

Figura 3: Basi locali in G(²) e su Q.

Per il principio di Cauchy `e noto che perch`e il solido sia in equilibrio, la porzione di guscio separata dalla superficie Q _c esercita sull’altra porzione una tensione che in ogni punto P ^? `e descritta da un vettore t tale che

t(P ^? , ν ^? ) = σ(P ^? )ν ^?

Dove σ `e il tensore degli sforzi del continuo G(²). Vedi figura 4.

Il nostro scopo `e quello di ”contrarre” lo stato di tensione distribuito sulla superficie Q _c in due campi vettoriali n e m dello spazio tangente.

Z

c

n(P, ν)dl = Z

Q

t(P ^? , ν ^? )dA ^? (13)

Z

c

m(P, ν)dl = Z

Q

((P ^? − P ) × t(P ^? , ν ^? ))dA ^? (14)

Figura 4: Componenti di sforzo nel continuo G(²).

Il sistema n e m `e pertanto equipollente al sistema t di tensioni distribuito lungo la fibra ξ per P .

Considerando il teorema di Cauchy e ricordando le propriet`a degli shifters, le (13) e (14) diventano

Z

c

n(P, ν)dl = Z

Q

aσ ^? Bνdξdl (15)

Z

c

m(P, ν)dl = Z

Q

n × ξaσ ^? Bνdξdl (16) Dove σ(P ^? ) = σ ^? e a = detA.

Gli integrali di superficie al secondo membro della (15) e (16) possono sempre essere scomposti in due integrali semplici, infatti

Z

c

n(P, ν)dl = Z

c

¡ Z _²

−²

(σ ^? aBν)dξ ¢

dl (17)

Z

c

m(P, ν)dl = Z

c

¡ n × Z _²

−²

ξaσ ^? Bνdξ ¢

dl (18)

Da cui le espressioni dei campi n e m sono n(P, ν) =

Z _²

−²

(aσ ^? Bν)dξ (19)

m(P, ν) = n × Z _²

−²

ξaσ ^? Bνdξ (20)

Sostituendo la (12) nelle (16) (17) si ottiene n(P, ν) =

Z _²

−²

(aσ ^? (dx ^i? ⊗ ∂x _i )ν)dξ m(P, ν) = n ×

Z _²

−²

ξ(aσ ^? (dx ^i? ⊗ ∂x _i )ν)dξ

Da cui

n(P, ν) =

³ Z ²

−²

(aσ ^? dx ^i? )dξ ⊗ ∂x _i

´ ν m(P, ν) = n ×

³ Z ²

−²

(ξaσ ^? dx ^i? )dξ ⊗ ∂x _i

´ ν

Definizione 10. Definiamo n e N rispettivamente vettore e tensore super- ficiale di sforzo.

n(P, ν) = N ν (21)

Dove

N = Z _²

−²

(aσ ^? dx ^i? )dξ ⊗ ∂x _i (22) Dalla (21) e (22) si pu`o provare che N `e un tensore superficiale, infatti

N n =

³ Z ²

−²

(aσ ^? dx ^i? )dξ ⊗ ∂x _i

´

n = n(∂x _i ) Z _²

−²

(aσ ^? dx ^i? )dξ = 0

Si `e fatta implicitante l’ipotesi di σ ^ξξ = 0, effetto dell’indeformabilit´a lungo ξ Pertanto il tensore N risulta un’applicazione N : Q → L(T ^∗ Q, T _Q E) ' T Q ⊗ T _Q E, e assume la forma

N = N ^α ⊗ ∂x _α (23)

Dove le componenti del vettore N ^α si scrivono

N ^α = N ^iα ∂x _i = N ^βα ∂x _β + N ^ξα n

Definizione 11. Definiamo m e M rispettivamente vettore e tensore su- perficiale di coppia.

m(P, ν) = n × M ν (24)

Dove

M = Z _²

−²

(ξaσ ^? dx ^i? )dξ ⊗ ∂x _i (25)

Introducendo il tensore antisimmetrico Ω associato all’operatore n×, si ottiene il tensore C = ΩM . Da cui

m(P, ν) = Cν (26)

Pertanto il tensore C risulta un’applicazione C : Q → L(T ^∗ Q, T Q) ' T Q ⊗ T Q, e assume la forma

C = C ^α ⊗ ∂x _α (27)

Dove le componenti del vettore C ^α si scrivono C ^α = C ^βα ∂x _β

3.3 Le forze di volume e la densit` a di carico

Supponiamo ora che la curva c : IR → Q sia chiusa in modo tale da individ- uare una porzione di superficie Q ⁰ ⊂ Q delimitata dalla frontiera ∂Q ≡ c.

Assunta c come direttrice, il sistema di generatrici dirette come n individ- ua un cilindroide G _c (²) ⊂ G(²) di spessore 2² e delimitato dalla superficie Q _c ∪ Q ^² ∪ Q _−² .

Assunzione 1. Postuliamo che

• sul continuo G _c (²) agisca una densit`a di forza f : G _c (²) → E

• sulle superfici esterne Q ^² ∪ Q _−² del continuo G _c (²) agisca una densit`a di carico.

t : Q ^² _−² → E

Il sistema di forze postulato pu`o essere integrato sullo spessore dando luogo ad un nuovo sistema di forze con dominio ristretto a Q ⁰ . Ovvero ⁹

q : Q ⁰ → T _Q ⁰ E s : Q ⁰ → T Q ⁰ 3.4 Equilibrio

Per la porzione di superficie media Q ⁰ possiamo scrivere le equazioni di equilibrio in forma integrale (equazioni di Eulero)

Z

∂Q

n(P, ν)dl + Z

Q

qdQ ⁰ = 0 (28)

Z

∂Q

¡ m(P, ν) + r × n(P, ν) ¢ dl +

Z

Q

(r × q + s)dQ ⁰ = 0 (29)

9

Nel campo q confluiscono sia le forze f che t. Infatti q = R

−²

af dξ + at.

Il campo s `e la risultante dei momenti: s = R

−²

aξn × f dξ + aξn × t

Tenendo conto delle (19) e (24), scriviamo Z

∂Q

N νdl + Z

Q

qdQ ⁰ = 0 (30)

Z

∂Q

(Cν + r × N ν)dl + Z

Q

(r × q + s)dQ ⁰ = 0 (31) Sfruttando il teorema delle divergenza e per l’arbitrariet`a di Q ⁰ , otteni- amo la prima espressione delle equazioni di equilibrio in forma locale

divN + q = 0 (32)

div(C + XN ) + Xq + s = 0 (33) Dove in X `e il tensore antisimmetrico associato all’operatore r×.

Sfruttando la (32), la (33) diventa

divC + (divX)N + s = 0 (34)

In componenti le (32)(34) si scrivono

∇ _α N ^βα + N ^ξα L ^β _α + q ^β = 0 (35)

∇ _α N ^ξα + L _αβ N ^βα + q ^ξ = 0 (36)

∇ _α M ^βα − N ^ξβ + s ^β = 0 (37)

² _αβ (L ^α _γ M ^βγ − N ^αβ ) = 0 (38) Dimostrazione.

Iniziamo dalla (32); il primo termine in componenti `e

¡ divN ¢ _i

= ¡ divN ¢ _β

+ ¡ divN ¢ _ξ

= ∇ α N ^iα = N ^iα , α +Γ ⁱ _αj N ^jα + Γ ^α _αγ N ^iγ Dove

¡ divN ¢ _β

= N ^βα , α +Γ ^α _αj N ^jα + Γ ^α _αγ N ^βα

= N ^βα , α +Γ ^β _αγ N ^γα + Γ ^β _αξ N ^ξα + Γ ^α _αγ N ^βγ

= ∇ α N ^βα + Γ ^β _αξ N ^ξα Ricordando che ¡

∇ α n ¢ _β

= L ^β _α = Γ ^β _αξ si ottiene

¡ divN ¢ _β

= ∇ α N ^αβ + L ^β _α N ^ξα Analogamente

¡ divN ¢ _ξ

= N ^ξα , α +Γ ^ξ _αj N ^iα + Γ ^α _αβ N ^ξβ

= N ^ξα , α +Γ ^ξ _αξ N ^ξα + Γ ^ξ _αβ N ^βα + Γ ^α _αβ N ^ξβ

Ricordando l’espressione di ∇ α N ^ξα e che Γ ^ξ _αβ = L αβ , si ottiene

¡ divN ¢ _ξ

= ∇ α N ^ξα + L αβ N ^αβ

Sostituendo queste espressioni nella (32) e scrivendo anche il vettore q nelle sue tre componenti, si ottengono le tre equazioni di equilibrio in forma scalare.

Quanto alla (34), come prima cosa scriviamo in componenti la divergenza del

tensore X, ¡

divX ¢

= X _j ⁱ , i dx ^j IL primo termine dell (34) diventa

(divX)N = X _j ⁱ , i dx ^j N ^α ∂ α = X _j ⁱ , iδ _α ^j N ^α = ∂ α × N ^α Sviluppiamo la divergenza di C

divC = div(ΩM ) = divΩM + ΩdivM

=∇ i Ω ⁱ _j dx ^j M ^hα ∂ h ⊗ ∂ α + Ω ⁱ _j d ^j ⊗ ∂ i ∇ α M ^hα ∂ h =

=∇ i Ω ⁱ _j δ _α ^j M ^hα ∂ h + Ω ⁱ _j δ _h ^j ∂ i ∇ α M ^hα

=∇ i Ω ⁱ _α M ^hα ∂ h + Ω ⁱ _h ∇ α M ^hα ∂ i

=∇ α n × M ^hα ∂ h + n × ¡

divM ¢ β

∂ β + n × ¡ divM ¢ ξ

n

Ricordando che ¡

divM ¢ _β

= ∇ α M ^βα + Γ ^β _αξ M ^ξβ e ricordando l’alternanza del prodotto vettoriale, si ottiene

div(ΩM ) = ∇ α n × M ^hα ∂ h + n × ∇ α M ^βα ∂ β + Γ ^β _αξ M ^ξβ ∂ β

La (34) diventa allora

divC + (divX)N + s = ∇ α n × M ^βα ∂ β + ∇ α n × M ^ξα n +n × ∇ α M ^βα ∂ β + n × Γ ^β _αξ M ^ξβ ∂ β

+∂ α × N ^βα ∂ β + ∂ α × N ^ξα n + s ^β ∂ β = 0 Le componenti tangenti sono

∇ α M ^βα + Γ ^β _αξ M ^ξα − M ^ξα L ^β _α − N ^ξβ + s ^β = 0

Da quest’ultima, tenuto conto che L ^β _α = Γ ^β _αξ , si ottiene esattamente la terza equazione di equilibrio in forma scalare (38).

Le componenti normali sono

∂ α × N ^βα ∂ β + L ^γ _α ∂ γ × M ^βα ∂ β

=² αβ N ^βα + ² γβ L ^γ _α M ^βα

=² αβ

¡ N ^βα + L ^α _γ M ^βγ ¢

= 0

che coincide con l’ultima delle equazioni di equilibrio in forma scalare. ¹⁰ Conclu- diamo questa sezione introducendo una nuova variabile le cui caratteristiche rendono pi` u agevole talune applicazioni.

10

A tal proposito si ricordi la propriet`a del tensore di Ricci ², ²

N

= −²

N

Definizione 12. Si definisce tensore delle pseudo-forze il tensore sim- metrico

N = ˜ ˜ N ^αβ ∂x _α ⊗ ∂x _β dove N ˜ ^αβ = N ^αβ − L ^α _γ M ^βγ

Osservazione 2. Per come `e definito ˜ N `e immediato osservare che ˜ N ≡ N solo nel caso di ipotesi di regime di sforzo membranale o per i gusci piatti per i quali il tensore di Weingarten `e sempre identicamente nullo.

♠

4 Legame costitutivo

L’ipotesi di Kirchhoff-Love, sull’inestensibilit`a delle fibre materiali lungo n, permette di considerare le componenti di sforzo di taglio N ^ξα indipendenti dalla deformazione. Pertanto il problema del legame costitutivo risulta ri- solvibile mediante un modello piano di tensione.

Le componenti N ^ξα si determinano, quindi, sfruttando le sole equazioni di equilibrio.

Nell’ambito di questa trattazione non se ne riporta lo sviluppo analitico, ci limitiamo, cos`ı, a riportare le formule finali di legame che useremo nei casi applicativi.

Per qualsiasi approfondimento si rimanda a Fortschritt-Berichte VDI Reihe 18 Nr. 258 Theory of ShellStructures, Y. Basar -- E.h.W.

Kr¨ atzig, Bochum.

N ˜ ^αβ = DH ^αβλµ α _λµ M ^αβ = BH ^αβλµ ω _λµ

Dove

H ^αβλµ = 1 − ν 2

¡ g ^αλ g ^βµ + g ^αµ g ^βλ + 2ν

1 − ν g ^αβ g ^λµ ¢ Per H ^αβλµ valgono le seguenti propriet`a di simmetria

H ^αβλµ = H ^βαλµ = H ^αβµλ = H ^λµαβ

I coefficienti D, B sono rispettivamente le rigidezze estensionale e fles- sionale.

D = E(2ε) 1 − ν ² B = E(2ε) ³

12(1 − ν ² )

♠

5 Stati di sforzo membranale

In questo paragrafo faremo delle ipotesi sullo stato di sforzo del guscio che ci per- mettono di risolvere il problema dell’equilibrio senza l’ausilio delle equazioni di legame.

Un guscio risulta ben progettato quanto pi` u il suo stato di sforzo `e di natura membranale. Tuttavia la realt`a fisica che caratterizza un guscio, in particolare le condizioni di vincolo esterne e il sistema di carichi, spesso `e incompatibile con le ipotesi che ora assumeremo per l’equilibrio membranale.

Applichiamo la teoria ad alcuni casi di gusci assialsimmetrici con ipotesi di compor- tamento membranale. Di conseguenza troveremo la soluzione analitica degli sforzi di membrana e degli spostamenti confrontandola con i valori numerici prodotti da FEMAS 90 e SAP2000. Il raffronto sar`a rappresentato graficamente e in tabella per alcuni punti notevoli della struttura.

Definizione 13. Definiamo regime di equilibrio membranale per un guscio uno stato di sforzo caratterizzato dalle seguenti ipotesi

N ^ξα = 0 M ^iα = 0

Le equazioni di equilibrio membranale diventano

∇ _α N ^αβ + q ^β = 0 (39)

N ^αβ L _αβ + q ^ξ = 0 (40)

² _αβ N ^αβ = 0 (41)

Si osserva che la (39) esprime l’equilibrio alla traslazione nel piano tan- gente; la (40) l’equilibrio nella direzione di n; la (41) esprime l’equilibrio alla rotazione attorno all’asse n, quindi la simmetria di N .

5.1 Applicazioni

Analizziamo ora alcune applicazioni della teoria finora esposta.

Supponendo un modello membranale, riportiamo alcuni risultati salienti di un guscio cilindrico, un duomo sferico e un iperboloide ad una falda.

5.1.1 Duomo sferico

• Geometria

Il duomo sferico `e un guscio modellato su una calotta sferica di aper- tura π/2 e raggio r.

Come primo passo vogliamo individuare il pi` u naturale sistema di co- ordinate per descrivere la superficie.

Sia, allora, X un sistema di coordinate adattato tale che

X = (ϕ, ϑ, z) : E → IR ³

Con E lo spazio affine euclideo in cui `e immersa la superficie Q.

Rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano, con origine nel centro della semisfera Q, vale la seguente trasformazione di coordinate

x = ρ sin ϕ sin ϑ y = ρ sin ϕ cos ϑ z = ρ cos ϕ

Il sistema di coordinate adattato X induce un sistema di coordinate superficiali X ^† per mezzo del vincolo ρ = r. Il sistema di coordinate indotto `e pertanto

X ^† = (ϕ ^† , ϑ ^† ) : Q → IR ²

Proposizione 4. Le espressioni covariante e controvariante della met- rica indotta g ^† sono, rispettivamente

g = r ² dϕ ⊗ dϕ + r ² sin ² ϕdϑ ⊗ dϑ g = 1

r ² ∂ϕ ⊗ ∂ϕ + 1

r ² sin ² ϕ ∂ϑ ⊗ ∂ϑ

Proposizione 5. I simboli di Christoffel non nulli su Q sono Γ ^ϕ _ϑϑ = − sin ϕ cos ϕ

Γ ^ϑ _ϕϑ = Γ ^ϑ _ϑϕ = cos ϕ sin ϕ

Proposizione 6. Il campo vettoriale unitario normale di Q `e n = ∂ρ.

Proposizione 7. Il tensore di Weingarten e la seconda forma fonda- mentale su Q sono, rispettivamente

L = 1

r (dϕ ⊗ ∂ϕ + dϑ ⊗ ∂ϑ) L = r(dϕ ⊗ dϕ + sin ² ϕdϑ ⊗ dϑ).

• Spostamenti e deformazioni

Per calcolare le componenti di sforzo membranale ci basta conoscere

le sole componenti del tensore di deformazione estensionale α della

superficie media Q

α _ϕϕ = v _ϕ , _ϕ +rv ^ξ

α _θθ = v _ϑ , _ϑ + sin ϕ cos ϕ + r sin ² ϕv ^ξ α _ϑϕ = 1

2 (v _ϕ , _θ +v _ϑ , _φ ) − cos sin ϕ v _ϑ

• Equilibrio

Le equazioni di equilibrio in forma locale per un guscio semisferico soggetto ad un regime di sforzo membranale sono

N ^ϕϕ , _ϕ + cot ϕN ^ϕϕ − sin ϕ cos ϕN ^ϑϑ + q ^ϕ = 0 (42)

−N ^ϕϕ r − N ^ϑϑ r sin ² ϕ + q ^ξ = 0 (43) N ^ϑϕ , _ϕ +3 cot ϕN ^ϑϕ + q ^ϑ = 0 (44)

• Equazioni di legame Le equazioni di legame sono

N ^ϕϕ = D ¡ 1

r ⁴ (v _ϕ , _ϕ +rv ^ξ ) + ν

r ⁴ sin ² ϕ (v _ϑ , _ϑ + sin ϕ cos ϕv _ϕ + r sin ² ϕv ^ξ ) ¢ N ^ϑϑ = D ¡ 1

r ⁴ sin ⁴ ϕ (v _ϑ , _ϑ + sin ϕ cos ϕv _ϕ + r sin ² ϕv ^ξ ) + ν

r ⁴ sin ² ϕ (v _ϕ , _ϕ +rv ^ξ ) N ^ϑϕ = D ¡ 1 − ν

r ⁴ sin ² ϕ 1

2 (v _ϕ , _θ +v _ϑ , _ϕ ) − cos ϕ sin ϕ v _ϑ ¢

5.1.2 Duomo sferico: confronto analitico e numerico

Il modello di duomo sferico `e costituito da elementi piani (SHELL di SAP2000) ed

`e vincolato alla base con carrelli.

Per eliminare la labilit`a strutturale un nodo di base `e stato incastrato, ci`o ha reso necessario leggere gli output numerici relativi alla sriscia meridiana diametralmente opposta a quella dell’incastro con l’accortezza di dimezzare i valori dello spostamen- to radiale.

Condizione di carico assialsimmetrica: carico verticale costante

distribuito uniformemente sul guscio. (Peso proprio)

La condizione di carico simmetrico rispetto all’asse z ci permette di cer- care una soluzione indipendente da ϑ.

Supponiamo di avere un carico per unit`a di superficie q uniformemente distribuito sul guscio che nel sistema cartesiano si scrive

q = −q ^z e _z

Nella base {∂ϕ, ∂ϑ, n} il carico q si scrive in componenti fisiche

q ^<> = −q ^z cos ϕn + q ^z sin ϕ∂ϕ (45) Moltiplicando la (42) per sin ϕ si ottiene

(sin ϕN ^ϕϕ ), _ϕ − sin ² ϕ cos ϕN ^ϑϑ + sin ϕq ^ϕ = 0 (46) Vogliamo osservare che la base in cui abbiamo sempre espresso le com- ponenti di N non `e normalizzata.

Distinguiamo allora le componenti fisiche di N come N ^<αβ> = N ^αβ

|dx ^α ||dx ^β | = N ^αβ |∂x _α ||∂x _β | Allora la (46) diventa

(sin ϕN ^<ϕϕ> ), _ϕ − cos ϕN ^<ϑϑ> + r sin ϕq ^<ϕ> = 0 (47) Analogamente, moltiplicando la (44) per sin ² ϕ, considerando le compo- nenti fisiche e osservato che q ^ϑ = 0, otteniamo

(sin ϕN ^<ϑϕ> ), _ϕ + cos ϕN ^<ϑϕ> = 0 (48) La rimanente equazione di equilibrio diventa

− N ^<ϕϕ>

r − N ^<ϑϑ>

r + q ^<ξ> = 0 (49)

Ricavando N ^<ϑϑ> dalla (49) la (47) diventa

(sin ² ϕN ^<ϕϕ> ), _ϕ = (q ^<ξ> r cos ϕ − q ^<ϕ> r sin ϕ) sin ϕ (50) Da cui

sin ² ϕN ^<ϕϕ> = Z _ϕ

¯ ϕ

r ¡

q ^<ξ> (φ) cos φ − q ^<ϕ> (φ) sin φ ¢

sin φdφ + K (51)

Questo integrale esprime l’equilibrio di una porzione di calotta sferica

compresa fra la latitudine ¯ ϕ e la generica ϕ ∈ [0, π/2 ] con ϕ > ¯ ϕ. In parti-

colare 2πrK, a meno del segno, bilancia la risultante agente sulla porzione

di calotta di apertura ¯ ϕ.

Considerando la (45)

sin ² ϕN ^<ϕϕ> = −rq ^z £

− cos φ ¤ _ϕ

¯

ϕ (52)

Alla latitudine ϕ l’intero sforzo meridiano se ¯ ϕ = 0 ⇒ K = 0 `e N ^<ϕϕ> = − rq ^z (1 − cos ϕ)

sin ϕ = − rq ^z

1 + cos ϕ (53)

Dalla (49)

N ^<ϑϑ> = rq ^z ¡ sin ² ϕ − cos ϕ 1 + cos ϕ

¢ (54)

La terza equazione di equilibrio `e indipendente dagli ultimi due risultati.

Inoltre, come nel nostro caso, per q ^ϑ = 0 si ha

N ^<ϑϕ> = 0 (55)