Valor medio e Varianza di una v.a.

1

( )

n

i i

i

k k P k

=

  =  

1

( ) ( )

n

k i i

i

k k P k



=

=  −   

( ) x 

xf x dx

  =  ^

= 

^{( x} − ^{ )}

^{f x dx ( )}

per una v.a. discreta k che abbia distribuzione di probabilita’ propriamente normalizzata all’unita’

per una v.a. continua x con densita’ di probabilita ’ propriamente normalizzate all’unita’

per caratterizzare in modo sintetico, ma approssimativo, una v.a. si fa uso di indicatori di

Valor medio e Varianza di una v.a.

o piu’ frequentemente

i principali indicatori sono il valor medio <v.a.>, indicato anche come ,

centralita’ e di dispersione

e la varianza Var(

) oppure 

come indice della dispersione intorno al valor medio la radice quadrata della varianza 

quale indice

detta ’’deviazione standard’’

2 1

( ) ( )

n

k i i

i

k k P k



=

=  −   

( )

( )

x

x f x dx

 = 

− 

o anche “root mean square” ( r.m.s . )

di centralita’

oppure ’’scarto quadratico medio’’

Variabile aleatoria uniforme nell’intervallo [a,b]

la densita’ di probabilita’ f(x) di questa v. a. e’

se caratterizza una v. a. che assume con uguale probabilita’ tutti i valori compresi tra a e b

altrove

[ , ] per x  a b

varianza (



( )

2 b + a

( )

12 b a −

f(x)

0 a b x

1

(b a− )

la variabile aleatoria ( v.a. ) uniforme

x

r.m.s (



12

a b −

1

( ) ( )

( ) 0

f x b a

f x

 

 



= −

=

valor medio ( ) =

   x 

assioma di Kolmogorov e’ soddisfatto

f(x)

verifichiamo che la densita’ di probabilita’ f(x) sia correttamente normalizzata:



f ( dx x ) =1

in questo caso :

( ) f x dx

+

− 



1

( )

b

b a x

= − ¹

( ) ( ) 1

b a b a

= − − =

ossia che

( ) 1

( )

f x = b a

−

1

( )

b

a

b a dx

 −

( secondo assioma di Kolmogorov )

1

( )

b

b a

dx

= − 

Normalizzazione della densita’ di probabilita’

( ) x

x f x dx

  = 

per definizione di valor medio di una variabile aleatoria continua x

in questo caso ^b

( )

a

x f x dx

= 

2 x a b +

  =

dunque



 x

( )

b

a

x

dx

= 

₂

b

b a a

x

=

2 2

1 1

2 ( )

( )

b a

b a

=

−

2 b a +

=

Valor medio della variabile aleatoria uniforme nell’intervalllo [ a,b ^]

1

( )

b

b a a

x dx

=



1 1

2 ( )

( )( )

b a

b a b a

=

− +

f(x)

0 a b x

1

(b a− )

 x



−  

= x x f x dx

x

Var ( ) ( )

( )

Varianza della variabile aleatoria uniforme nell’intervalllo [ a,b ]

2 x a b +

  =

dato che

2

1

( )

( ) ( )

2

b

a

b a

Var x x a b dx

−

=  − +

( ) ( )

1

( ) ( 2 )

2 4

b

b a

a b a b

x x dx

−

+ +

=  − +

1

( )

b

b a

x dx

= −  ⁽ ₍ ⁾ ₎

a b

b ⁺ a x dx

− −  ^{( )}

2

1

( )

4

b

b a

a b dx

−

+  +

1

( ) 3

b

b a

x

= − ^{( )}

( )

2

b

a

a b b a

+ x

− − ( )

4( )

b a

a b

b ⁺ a x + −

1

( )

( ) b a

f x = − in [ a,b ] e che

per definizione :

2 2

( )

12

4 b + ab a +

=

6( )

12 a b +

− ( )

12

3 a b +

+

1

= 12 (4 b

+ 4 ab + 4 a

− 3( a b + ) )

3 3

3( b a )

b a

−

= − ( )(

2( )

)

a b b b a + a

−

− − ( )

4( )

( )

a b

b a + b a

−

+ −

3 3 2 2

( )( )

b − = − a b a b + ab a +

2 2

( )( )

b − a = − b a b a +

2 2

( )( )

3( )

b a b ab a b a

− + +

= − ( )( )( )

2( )

a b b a b a b a

+ − +

− − ( )

4( )

( )

a b

b a + b a

− + −

2 2

( )

3

b + ab a +

= ^{( )( )}

2

a b b a + +

− ( )

4 a b +

+

2 2 2 2

4 4 4 3( 2 )

12

b + ab + a − a + ab b +

=

2 2 2 2

4 4 4 3( 2 )

12

b + ab + a − a + ab b +

=

2 2

12

2

b − ab a +

= ^{( )}

12 b − a

=

ma e

r.m.s =

12

a

b −

si dimostra che, del tutto in generale, sussiste la relazione :

Var ( x ) =  x

 −  x 

sfruttando questa relazione si sarebbe giunti, piu’ rapidamente, allo stesso risultato

2 2

( ) x

x f x dx

  = 

^{= }

^x

_{( b a −} ¹ ₎ ^dx ₍ b ¹ a ₎

x dx

= − 

1

( ) 3

b

b a

x

= −

3( b a )

b a

−

= − ( )(

)

3( )

b a b ab a b a

− + +

= −

2

)

( x =  x  −  x  Var

x

  2

x a b +

  = ^{( )}

4 a b +

=

2 2

3

b + ab a +

=

2 2

2 4

a + ab b +

=

2 2

3

b + ab a +

=

2

4

a + ab b +

−

2 2 2 2

4 4 4 3

12

3 6

b + ab + a − a − ab − b

=

12

2

b − ab a +

= ^{( )}

12 b − a

=

quindi



 

  

=

altrove

0

a x 0 per 1

)

( x a

f

Variabile aleatoria uniforme in [0,a]

la densita’ di probabilita’

e’ la densita’ di probabilita’ della variabile aleatoria uniforme:

verifichiamo innnanzitutto che la densita’ di probabilita’ sia correttamente normalizzata:



f ( x ) dx = 1

in questo caso : ^+

f x dx ( )

− 

 

^f ( ^x ) ^{dx =} 

_a ^dx

1

a x

= 1 1 ( 0 ) 1

=

−

= a

a



=

 x x f ( x ) dx

per definizione di valor medio di una variabile aleatoria continua x

f(x)

x

0 a

in questo caso

⁼ 

^{x f} ( ^x ) ^dx

2 x  = a



dunque

e caratterizza una variabile che assume con uguale probabilita’ tutti i valori tra 0 ed a

ossia che



 x ⁼ 

^x _a ^dx

1 x

a

2

= 1 0 )

( 2 1

−

= a

a 2

= a

2

)

( x =  x  −  x 

sfruttando la relazione :

Var



=

x f x dx

0

2

( )

2

)

( x =  x  −  x  Var

)

( 12

2

2

a

x

Var  

= ^{. .}

12 12

2

a

s a m

x

 r = =



e



=

dx

x a

0

2

1 x

a

3

= 1 0 )

( 3

1

−

= a

a 3

a

=

2



 x

2 2

2 ) 3 (

a − a

= 3 4

2

2

a

a −

= 12

a

=

dunque

1 per 0 1 ( ) 0 altrove

f x    x

=  

la densita’ di probabilita’

e’ la densita’ di probabilita’ della variabile aleatoria uniforme:

verifichiamo innnanzitutto che la densita’ di probabilita’ sia correttamente normalizzata:



f ( x ) dx = 1

in questo caso : ^+

f x dx ( )

− 

 

f x dx ( ) = 

1 dx  ^{= x}

^{= − (1 0) = 1}



=

 x x f ( x ) dx

per definizione di valor medio di una variabile aleatoria continua x

f(x)

x

0 1

in questo caso ¹

0

x f x dx ( )

= 

1 x 2

  =

dunque

e caratterizza una variabile che assume con uguale probabilita’ tutti i valori tra 0 ed a

ossia che



 x

0

x 1 dx

=  

2 1

2

= x 1

( 0)

= 2 − 1

= 2

Variabile aleatoria uniforme in [0,1]

2

)

( x =  x  −  x 

sfruttando la relazione

Var

1 2

0

x f x dx ( )

= 

2

)

( x =  x  −  x  Var

2

12

( )

1 Var x   =

12 12

1 1

x

r m s . .

  = =

e

1 2

0

x 1 dx

=  

3 1

3

= x 1

( 0)

= 3 − 1

= 3

2



 x

1 1

3 ( ) 2

= − 1 1

3 4

= − 1

= 12

dunque