Magnitude (dB)

Controllo in retroazione:

Progetto in Frequenza

Prof. Laura Giarré

[email protected]

https://giarre.wordpress.com/ca/

Schema di riferimento per il controllo in retroazione

• Come già visto lo schema a blocchi reale di un sistema di controllo in retroazione può essere rappresentato come

• Il segnale di riferimento viene filtrato da una replica della dinamica del sensore per ottenere un riferimento “ compatibile” con la

dinamica dell'uscita retroazionata

-

Disturbo sull’uscita Disturbo

sull’attuatore

Disturbo di misura

• Nell’analisi dei sistemi in retroazione si è visto come le specifiche sia statiche che dinamiche sul sistema in retroazione possano essere tradotte (in maniera approssimata) in specifiche sulla funzione di anello.

• Il problema del controllo che rende soddisfatte le specifiche per il sistema in retroazione può quindi essere trasformato in un problema di progetto di

Relazione tra specifiche e proprietà di L(s)

• Alti margine di fase e di ampiezza danno garanzia di buona robustezza a fronte di incertezze sulla funzione di risposta armonica d’anello (sia in termini di incertezze sul modulo che sulla fase)

Stabilità robusta

Limite inferiore su M _f e M _a

• Specifiche statiche Riferimenti e disturbi sull’uscita (usualmente confinati a basse frequenze)

L’inverso del modulo di |L(j)| nel campo di frequenze in cui è confinato il riferimento e\o il disturbo rappresenta il fattore di attenuazione a regime sull’errore di inseguimento

-

+

+ +

10 ^-1 10⁰ 10¹ 10 ² 10 ³

-60 -40

-20 0 20 40 60

Bode Plot

0 dB

Regione proibita per |L(j)|

Magnitude (dB)

Livello di attenuazione desiderato su e

A dB

Range di pulsazioni in cui è confinato il riferimento e/o il disturbo sull’uscita

Limite inferiore su |L(j)|

• Riferimenti e disturbi sull’uscita (usualmente confinati a basse frequenze)

Specifiche statiche

Per soddisfare la specifica statica relativamente a riferimenti e a disturbi sull’uscita costanti e necessario che:

• se

• se

10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³

-60 -40

-20 0 20 40 60

Bode Plot

Magnitude (dB)

0 dB

Vincoli sulla pendenza iniziale del diagramma di |L(j)|

L(s) deve avere almeno un polo nell’origine

R(s)

+ -

+

+

• Caso di interesse pratico: riferimento/disturbo a gradino

• Sfruttando la sovrapposizione degli effetti dal teorema del valore finale risulta

dove è assegnato, mentre è possibile agire su tramite

Quindi la specifica è soddisfatta se

Specifiche statiche

-

+

+ +

• Caso di interesse pratico: riferimento a gradino e disturbo sinusoidale

• Anche in questo caso si procede sfruttando la sovrapposizione degli effetti

• La specifica sarà soddisfatta imponendo

tramite

Specifiche statiche

R(s)

+ -

+

+

• Disturbi di misura

Specifiche statiche

- R(s)

+ G(s)

Il modulo di |L(j)| nel campo di frequenze in cui è confinato il disturbo di misura rappresenta il fattore di attenuazione del disturbo sull’errore

10 ^-1 10⁰ 10¹ 10 ² 10 ³

-60 -40

-20 0 20 40 60

Bode Plot

Magnitude (dB)

Livello di attenuazione desiderato su e

Spettro in cui è confinato il riferimento e/o il disturbo sull’uscita

-A dB 0 dB

Regione proibita per |L(j)|

Limite superiore su |L(j)|

• Usualmente date in termini di tempo di assestamento e

sovraelongazione percentuale massima nella risposta al gradino

• È possibile trasformare (in maniera approssimata) le specifiche dinamiche in specifiche frequenziali su

Specifiche dinamiche

Se la funzione d’anello L(j) è caratterizzata da una pulsazione di

attraversamento _c e un margine di fase M_f allora è lecito aspettarsi che la coppia dei poli c.c. dominanti del sistema in retroazione sia caratterizzata da

Specifiche dinamiche

10 ^-1 10⁰ 10¹ 10 ² 10 ³

-60 -40

-20 0 20 40

60 Bode Plot

Magnitude (dB)

10 10⁰ 10¹ 10 ² 10 ³

-225 -180 -135

-90 -45

0 45

Frequency - log scale

Phase (degrees)

-1

Limite inferiore su M_f Limite inferiore su _c

• La moderazione dello sforzo di controllo si ottiene:

• Limitando la pulsazione di attraversamento 

(rispetto alla pulsazione di attraversamento del sistema controllato)

• Realizzando regolatori passa-basso

• Affinché il regolatore sia fisicamente realizzabile (grado relativo ≥0), occorre che il grado relativo di L(s) sia ≥ di quello di G(s)

Moderazione del controllo e realizzabilità fisica del controllore

10^-1 10⁰ 10¹ 10² 10³

-60 -40

-20 0 20 40 60

Bode Plot

Magnitude (dB)

Pendenza a frequenza 0 dB

elevata di |L(j)| almeno pari a quella di |G(j)|

Riepilogo

10 ^-1 10 ⁰ 10 ¹ 10 ² 10 ³

-60 -40

-20 0 20 40

60 Bode Plot

Magnitude (dB)

10 10 ⁰ 10¹ 10 ² 10 ³

-225 -180 -135

-90 -45

0 45

Frequency - log scale

Phase (degrees)

-1

Limite sup. per _cdato da:

-Robustezza ai ritardi -Moderazione di controllo

Specifica dinamica su S% + robustezza stabilità

Specifica statica per n definito spettralmente

Fisica realizzabilità controllore +

moderazione controllo Specifica dinamica su T_a

Specifica statica per y_sp, d definito spettralmente

Specifica statica per y_sp, e d costanti

• È conveniente dividere il progetto del controllo in due passi associati al progetto di due sottoparti del regolatore:

Approccio al controllo

Regolatore “dinamico”: parte del regolatore il cui progetto mira ad imporre le specifiche statiche ad alta frequenza (disturbi di

misura) e le specifiche dinamiche

Regolatore “statico” : parte del regolatore il cui progetto mira ad imporre le specifiche statiche a bassa

frequenza (disturbi sull’uscita e/o riferimenti)

• Gli obbiettivi dietro al progetto di R

(s) sono:

• Rispettare le specifiche sul massimo errore e(t) ammesso a fronte di:

• Ingressi di riferimento y_sp noti (gradino, rampa, …);

• Disturbi sull’uscita d(t), costanti o comunque definiti spettralmente (sinusoidi a frequenze comprese in un range noto);

Approccio al controllo (1° parte – Progetto R _s (s))

• Soddisfacimento delle specifiche statiche in caso di segnali costanti

Approccio al controllo (1° parte – Progetto R _s (s))

h = numero dei poli nell’origine di G(s)

• Soddisfacimento delle specifiche statiche in caso di segnali a rampa

Approccio al controllo (1° parte – Progetto R _s (s))

NOTA BENE: tali obbiettivi vanno raggiunti lavorando sul sistema esteso

• Gli obiettivi dietro al progetto di R

( s) sono:

• Imporre 

in un certo intervallo frequenziale

• Garantire un certo margine di fase

• Garantire una certa attenuazione e pendenza a frequenze elevate

• Non bisogna apportare modifiche alla parte statica del

regolatore, già progettata (ad es. modificando il guadagno statico)

Approccio al controllo (2° parte – Progetto R

(s))

• Anche in questo caso si hanno diverse possibilità:

• Nel range di valori ammissibili per _c esiste un intervallo in cui il valore del margine di fase del sistema esteso è maggiore del limite dato dal margine di fase desiderato

Approccio al controllo (2° parte – Progetto R _d (s))

10 ^-1 10⁰ 10¹ 10² 10 ³

-60 -40

-20 0 20 40

60 Bode Plot

Magnitude (dB)

10 10⁰ 10¹ 10² 10 ³

-225 -180 -135

-90 -45

0 45

Frequency - log scale

Phase (degrees)

-1

Intervallo in cui la fase è buona

Occorre tramite il progetto di R_d(s) dare attenuazione al fine di avere l’attraversamento di G_e(j) nell’intervallo in cui la fase è buona

Variazione guadagno statico Introduzione di poli

• Anche in questo caso si hanno diverse possibilità:

• Nel range di valori ammissibili per 

non esistono pulsazioni in cui il valore del margine di fase del sistema esteso è maggiore del limite dato dal margine di fase desiderato

Approccio al controllo (2° parte – Progetto R _d

Occorre tramite il progetto di R_d(s) dare anticipo di fase nell’intervallo di

attraversamento desiderato

Introduzione di zeri

10 ^-1 10⁰ 10¹ 10 ² 10 ³

-60 -40

-20 0 20 40

60 Bode Plot

Magnitude (dB)

-180 -135

-90 -45

0 45

Phase (degrees)