Capitolo 1. INTRODUZIONE 4.1
Retroazione dello stato
• Legge di controllo:
– Controllo in catena aperta: la legge di controllo `e predeterminata sul- la base dei valori iniziale e finale dello stato e delle caratteristiche (modello) del sistema.
– Controllo in retroazione: la legge di controllo tiene conto, istante per istante, dell’evoluzione del sistema.
• In riferimento al controllo in retroazione `e poi possibile distinguere fra:
– Retroazione dinamica: il controllo viene calcolato in base allo stato del sistema da un dispositivo avente una dinamica propria.
– Retroazione statica: il controllo viene calcolato in modo “statico” in in funzione dello stato del sistema .
• Per quanto riguarda gli obiettivi di controllo si distingue tra:
– Problemi di regolazione: si suppone che per effetto di disturbi il si- stema si trovi in una condizione iniziale diversa da zero e si intende riportare il sistema allo stato zero con velocit`a assegnata.
– Problemi di asservimento: si richiede che l’uscita del sistema insegua, secondo certi criteri, un andamento assegnato.
Le metodologie che verranno introdotte riguarderanno la retroazione statica per risolvere il problema della regolazione.
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Capitolo 4. RAGGIUNGIBILIT `A E CONTROLLABILIT `A 4.2
Equazione di stato dei sistemi in retroazione
Consideriamo un sistema lineare tempo–invariante S = (A, B, C, D) (di- screto o continuo), in cui si suppone che tutte le componenti del vettore di stato x siano direttamente accessibili.
L’equazione che definisce la legge di retroazione dello stato `e la seguente:
u(t) = Kx(t) + v(t)
dove dim(K) = m × n. Applicando la legge di controllo in retroazione ad un sistema continuo (lo stesso vale per il discreto) si ottiene:
⎧⎪
⎨
⎪⎩
˙x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t) ⇒
⎧⎪
⎨
⎪⎩
˙x(t) = (A + BK)x(t) + Bv(t) y(t) = (C + DK)x(t) + Dv(t)
————–
Nota. Un secondo schema di retroazione possibile `e costituito dalla retroazione dell’uscita, anzich`e dello stato:
u(t) = K1y(t) + v(t)
• Per sistemi con un ingresso ed una uscita (m = p = 1) la matrice K1 `e uno scalare, mentre la matrice K `e un vettore di n componenti.
• Il fatto di poter disporre di n gradi di libert`a anzich`e uno, consente pi`u ampie possibilit`a di modifica della dinamica del sistema tramite una retroazione dello stato anzich`e dell’uscita.
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Capitolo 4. RAGGIUNGIBILIT `A E CONTROLLABILIT `A 4.3
Dato un sistema dinamico S:
⎧⎨
⎩ ˙x = Ax + Bu
y = Cx + Du u
S y
x Se si opera una retroazione statica dello stato:
u = Kx + v
v u
S K
y x
si ottiene un sistema retroazionato SK che pu`o essere rappresentato graficamente nel modo seguente:
v u
B
D
˙x s-1 x
C y
A K
SK S
Il sistema SK `e equivalente al seguente sistema ridotto:
v B
D
˙x s-1 x
C + DK y
A + BK SK
che descritto nello spazio degli stati assume la seguente forma:
⎧⎨
⎩ ˙x = (A + BK)x + Bv
y = (C + DK)x + Dv v SK y
x
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Capitolo 4. RAGGIUNGIBILIT `A E CONTROLLABILIT `A 4.4
Invarianza alla retroazione dello stato
Sia SK il sistema dinamico ottenuto retroazionando il sistema S mediante la matrice K.
Propriet`a (Invarianza del sottospazio di raggiungibilit`a). I sottospazi di rag- giungibilit`a del sistema S e del sistema SK ottenuto mediante retroazione dello stato u = Kx, coincidono:
∀K ∈ Rm×n ⇒ XS+ = XS+K
Prova. Valgono infatti le seguenti relazioni:
(A + BK)XS+ ⊆ AXS++ ImB ⊆ XS++ ImB = XS+
in quanto XS+ `e il pi`u piccolo sottospazio A–invariante che contiene l’immagine di B. Il sottospazioXS+`e(A+BK)-invariante e contiene l’immagine di B per cui si ha XS+K ⊆ XS+. Inoltre il sistema S pu`o essere ottenuto dal sistema SK con una retroazione dello stato
−K. In altre parole la matrice A di S pu`o essere scritta come:
(A + BK) + B(−K)
Quindi ripetendo il ragionamento precedente si ottiene l’inclusione inversa:
XS+ ⊆ XS+K
Propriet`a (Invarianza degli autovalori del sottosistema non raggiungibile). Se il sistema S `e in forma standard di raggiungibilit`a:
A =
⎡
⎢⎣ A1,1 A1,2
0 A2,2
⎤
⎥⎦, B =
⎡
⎢⎣ B1
0
⎤
⎥⎦, C = C1 C2
, D = D
allora anche il sistema retroazionato SK `e in forma standard di raggiungibilit`a, e in entrambi i casi la matrice A2,2 `e quella che caratterizza la parte non raggiungibile.
Prova. Si partizioni la matrice di retroazione K in modo conforme alla partizione di A:
K = K1 K2
Si ha allora:
A + BK =
⎡
⎣ A1,1 + B1K1 A1,2 + B1K2
0 A2,2
⎤
⎦, B =
⎡
⎣ B1
0
⎤
⎦
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