Modellistica del trasporto per diodi tunnelModellistica del trasporto per diodi tunnelDouble Barrier – Quantum Well interbandaDouble Barrier – Quantum Well interbanda

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Modellistica del trasporto per diodi tunnel Modellistica del trasporto per diodi tunnel Double Barrier – Quantum Well interbanda Double Barrier – Quantum Well interbanda

Relatori:

Prof. G. Manes Prof. G. Borgioli

Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni

Universitá di Firenze Universitá di Firenze

Prof. G. Frosali Ing. A. Cidronali

Dipartimento di Matematica Applicata “G. Sansone” Dipartimento di Elettronica e Telecomunicazioni

Universitá di Firenze Universitá di Firenze

Candidato: Matteo Camprini

Anno Accademico 1999 - 2000

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Diodi tunnel: caratteristiche Diodi tunnel: caratteristiche

La principale caratteristica di un diodo tunnel è la presenza di una regione di funzionamento a resistenza differenziale negativa (N.D.R.).

Tale proprietà rende i diodi tunnel particolarmente utili in numerose applicazioni sia analogiche che digitali.

NDR

Le moderne tecnologie nella lavorazione dei semiconduttori consentono di realizzare strutture multilayer e lattice – matched che permettono di:

 Ottimizzare i parametri di funzionamento R.F.

del diodo.

 Ottenere un elevato livello di integrazione

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Caratteristiche Caratteristiche

 Relativa semplicità formale.

 Accettabili possibilità di simulazione e previsione della caratteristica quasi-statica dei dispositivi.

Dati Dati

 Parametri fisici dei semiconduttori.

 Diagramma a bande nella regione svuotata.

 Definizione di un adeguato un formalismo simbolico.

 Implementazione del modello.

 Verifica sperimentale mediante confronto con i campioni da

laboratorio forniti dal Motorola Physical Sciences Research Lab.

Procedimento Procedimento

Obiettivi Obiettivi

Realizzazione di un modello physical based per la corrente dovuta all’effetto tunnel in diodi D.B.Q.W interbanda.

Possibilità di effettuare reverse modelling su dispositivi quantistici.

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Modelli fisico - matematici per dispositivi ad effetto tunnel Modelli fisico - matematici per dispositivi ad effetto tunnel

Modelli Coerenti Modelli Coerenti

 L’elettrone è descritto come un pacchetto di onde piane.

 Si assume che la funzione d’onda mantenga coerenza di fase durante la transizione attraverso la barriera

 non sono considerati fenomeni collisionali.

Modelli Cinetici Modelli Cinetici

 Sono prese in considerazione, in numero limitato, le collisioni con i fononi.

 L’elettrone può subire una variazione della propria energia E.

Envelope wave Envelope wave

function function

Density Matrix

Wigner Function

Green’s Function

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Definizione del modello utilizzato Definizione del modello utilizzato

 E’ un modello coerente introdotto da E. O. Kane nel 1960.

 Descrive il comportamento di un elettrone in un sistema a due bande con dispersione di tipo parabolico (massa efficace costante).

 Lo stato dell’elettrone è identificato da un pacchetto di onde piane.

 La dinamica dell’elettrone è regolata da un sistema di due equazioni differenziali tipo Schrödinger accoppiate da un termine k·P.

Tecnica di raccordo tra le soluzioni

Matrici di trasferimento Matrici di trasferimento

+ +

Condizioni W.K.B.

Modello di Kane a due bande Modello di Kane a due bande Approccio scelto

Approccio scelto

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Modello di Kane a due bande Modello di Kane a due bande Ipotesi preliminari

Ipotesi preliminari

 Si considerano solo transizioni conservative.

 Si suppone di avere un moto unidirezionale ed una struttura omogenea ed illimitata nel piano trasversale alla direzione di trasporto.

 L’elettrone mantiene costante la quantità di moto nel piano trasversale.

 Il campo elettrico  nella regione svuotata è costante.

 Per tenere conto degli effetti del drogaggio fortemente degenere si considera una massa efficace derivata da un modello a quattro

bande ed una energia di gap ridotta (band gap narrowing)

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Modello di Kane a due bande: funzioni di propagazione Modello di Kane a due bande: funzioni di propagazione

2 2 2

2 2

c 2 c * y z c c c v

0

2 2 2

2 2

v 2 v * y z v v v c

0

j (x, t) (x, t) (k k ) (x, t) E (x, t) P (x, t)

t 2m x 2m j x

j (x,t) (x, t) (k k ) (x, t) E (x, t) P (x, t)

t 2m x 2m j x

   

          

   



  

           

   



  



  



se si cercano soluzioni stazionarie nella forma

si ottiene

     

* 2 2

g g

* 2 2

g g

1 m

x j E 4 E V x dx

2E

1 m

x 4 E V x E dx

2E

    





 

c

v

(x) A exp j x (x) B exp j x^

 

     

 

     

 

^E^c ^E^v

V x 2

 

nella banda proibita nelle bande consentite

con

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Espressione della corrente di tunneling Espressione della corrente di tunneling

L’espressione della corrente di tunneling è data da

 

^*

     

tun a 2 3 c a v a a

e m 2E

I V A f E,V f E,V T E,V exp dEdE

2 E

 



  

   

   _ 



     

dove

 

a

c a

v a

T E,V E

f E,V f E,V



è il coefficiente di trasmissione attraverso la barriera è l’energia dell’elettrone nel piano trasversale al moto

è la distribuzione di Fermi - Dirac nello strato a drogaggio p è la distribuzione di Fermi - Dirac nello strato a drogaggio n

 Il coefficiente di trasmissione T dipende, in generale, dall’energia E dell’elettrone incidente e dalla tensione di polarizzazione Va applicata alla struttura.

 Nel caso classico di singola barriera sottile l’espressione che si ottiene è



a

  

T E,V  exp 2 

dove 



E,Va



è la funzione di attenuazione della barriera

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Tecnica delle matrici di trasferimento Tecnica delle matrici di trasferimento

Barriera singola Barriera singola

Barriera doppia Barriera doppia

 

2 1

   

 

   

   

a a

b S b

 La matrice di trasferimento della struttura D.B.Q.W. è data da

        S  S

2

   S

1

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Coefficiente di trasmissione di un diodo DBQW Coefficiente di trasmissione di un diodo DBQW

Il coefficiente di trasmissione è dato da

 

2

2 2

a

1 b 0

T E,V a

a _

T E,V 4

16exp 2 cos 4cosh sin

             Per una struttura D.B.Q.W. si ottiene:

dove 1



E,Va

 2

    

La condizione di risonanza è data da

 

ris 2

2 1

T 1

 cosh

  

 

ris 2

2 1

T 1

 cosh

  

dipende esclusivamente dalla differenza delle funzioni di attenuazione delle barriere.

Il valore T_ris assunto dal coefficiente di trasmissione in condizioni di risonanza

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Il modello di Kane, come tutti i principali approcci, sia coerenti che cinetici, è caratterizzato da una sottostima dei valori di corrente, dovuta agli effetti che non sono presi in considerazione (transizioni non conservative, presenza di stati trappola e di superficie, campo elettrico non costante).

Valutazione della corrente di tunneling: parametro di calibrazione Valutazione della corrente di tunneling: parametro di calibrazione

Dato che tali fenomeni non sono direttamente implementabili nel modello, l’unico modo di evitare tale sottostima è quello di inserire un parametro di calibrazione C nelle funzioni di attenuazione delle barriere

 

1 a

2 a

E,V E,V







   

1 a 1 a

2 a 2 a

' E,V C E,V ' E,V C E,V

   



   



   

1 a 1 a

2 a 2 a

' E,V C E,V

   



   

 con ^{C 1}^

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Struttura dei diodi PSRL - Lot K11A-M21 Proc. MBE840 e MBE842

19 3

20 3

n Si 2.00 10 atomi/cm

1.35 10 atomi/cm p C

1.14 10 atomi/cm

MBE840 MBE842



 

 

 

 



- 2 - 1 2

6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 1 0 0

P o s i t i o n ( n m )

0 1

I A An l s

I G An a s n

p

Energy (eV)

Diagramma a bande fornito dal P.S.R.L.

Versione linearizzata del diagramma a bande (campo elettrico costante)

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Misura delle caratteristiche dei prototipi Misura delle caratteristiche dei prototipi

0 . 7

0 0 . 1 0 . 2 0 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6

0 2

4 6 8 0 0 . 0 0 1 0 . 0 0 1 2 0 . 0 0 1 4

0 0 . 0 0

V a ( V )

I (Va) (A)

K11A-M21 MBE840 2.5x2.5 m

Le caratteristiche statiche dei prototipi forniti dal P.S.R.L. sono state misurate utilizzando la strumentazione del Laboratorio di Microelettronica (L.M.E.).

Dai dati ottenuti è stata quindi ricavata una caratteristica media per il successivo confronto con i risultati forniti dalla simulazione del modello.

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Applicazione della procedura di simulazione Applicazione della procedura di simulazione

 Definizione della struttura D.B.Q.W.

 Valutazione della dipendenza dalla tensione di polarizzazione dei parametri del diagramma a bande

 Identificazione delle modalità di tunneling possibili (con e senza passaggio per la buca)

 Definizione di una mappa nel piano E,Va delle regioni associate alle varie modalità di tunneling

T u n n e l i n g d i r e t t o c o n p a s s a g g i o n e l I V s t r a t o T u n n e l i n g a t t r a v e r s o l a b u c a d i p o t e n z i a l e

T u n n e l i n g d i r e t t o s e n z a p a s s a g g i o n e l I V s t r a t o

0 0 1 0 2 0 3 0 4

0 0 . 1 0 . 2 0 . 3

E(eV)

V a ( V )

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Valutazione del coefficiente di trasmissione T(E,Va) Valutazione del coefficiente di trasmissione T(E,Va)

0 . 4

0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 0 . 2 5 0 . 3 0 . 3 5

0 0 . 0 0 5 0 . 0 1 0 . 0 1 5 0 . 0 2 0 . 0 2 5 0 . 0 3 0 . 0 3 5

T (E,Va)

E ( e V )

V a = 0 V V a = 0 . 2 V

V a = 0 . 1 V V a = 0 . 3 V

K11A-M21 MBE840  Nell’intervallo di energia in cui può avvenire il passaggio dei portatori, il coefficiente di trasmissione delle due barriere non subisce forti variazioni.

 La probabilità di tunneling presenta una discontinuità in corrispondenza del minimo della buca, dovuta al fatto che la condizione



E,Va



0

 

massimizza il coefficiente di riflessione.

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Valutazione del coefficiente di trasmissione T(E,Va) Valutazione del coefficiente di trasmissione T(E,Va)

0 . 4

0 . 7

0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6

0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 0 . 2 5 0 . 3 0 . 3 5

T (E,Va)

E ( e V )

V a = 0 V V a = 0 . 2 V

V a = 0 . 1 V V a = 0 . 3 V

K11A-M21 MBE840  Per valori di energia superiori si

riscontra un picco di risonanza.

 All’aumentare della tensione di polarizzazione la condizione di risonanza viene raggiunta più rapidamente ed il picco di

risonanza diminuisce in ampiezza.

 

ris a

V E

T E , V

 

   

 

(17)

Caratteristica statica : confronto con le misure di laboratorio Caratteristica statica : confronto con le misure di laboratorio

0 . 8

0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7

0

2 1 0 4

4 1 0 4

6 1 0 4

8 1 0 4

0 . 0 0 1 0 . 0 0 1 2 0 . 0 0 1 4

V a ( V )

C a r a t t e r i s t i c a m i s u r a t a C a r a t t e r i s t i c a s i m u l a t a

I (Va) (A)

K11A-M21 MBE840 2.5x2.5 m C = 0.52

p

V 120 mV I 1,18 mA



 Dati misurati

Dati simulati ^p

p

V 124 mV I 1,12 mA



 Errori commessi:

 tensione di picco: 3.3 %

 corrente di picco: 5.1 %

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Caratteristica statica : confronto con le misure di laboratorio Caratteristica statica : confronto con le misure di laboratorio

0 . 8

0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7

0

2 1 0 4

4 1 0 4

6 1 0 4

8 1 0 4

0 . 0 0 1 0 . 0 0 1 2 0 . 0 0 1 4

V a ( V )

C a r a t t e r i s t i c a m i s u r a t a C a r a t t e r i s t i c a s i m u l a t a

I (Va) (A)

p

V 100 mV I 0,55 mA



 Dati misurati

Dati simulati ^p

p

V 108 mV I 0,53 mA



 Errori commessi:

 tensione di picco: 8.0 %

 corrente di picco: 3.4 %

L’errore commesso è in parte imputabile alla maggiore dispersione delle caratteristiche nel lotto di diodi misurato.

K11A-M21 MBE842 2.5x2.5 m C = 0.52

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Conclusioni e sviluppi futuri Conclusioni e sviluppi futuri Risultati ottenuti

Risultati ottenuti

Sviluppi Sviluppi

 Il modello è in grado di riprodurre con buona precisione l’andamento della corrente statica dei diodi nell’intervallo di tensioni in cui la componente di tunneling è predominante.

 In particolare il modello è in grado di prevedere gli effetti della variazione del drogaggio

p = 16 % Ip 53 %

   

 Verifica del comportamento del modello su strutture D.B.Q.W.

con differenti caratteristiche.

 Implementazione, almeno per via semi – empirica, degli effetti di bordo che determinano una corrispondenza non lineare tra la corrente e la sezione del diodo.

La parte di definizione fisico – matematica del modello è stata presentata con il titolo:

L. Barletti, G. Borgioli, M. Camprini, A. Cidronali, G. Frosali “Tunneling current in resonant interband tunneling diodes” al V Congresso Nazionale della Società Italiana di Matematica Applicata e Industriale, SIMAI, Ischia 5-9 Giugno 2000.