Simulazione prova di esame n. 1
Prof. Franco Fusier – Rev. 10/2007 Pag. 1
M557 – ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO
Tema di: MATEMATICA
Il Candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario.
PROBLEMA 1
Sia data la famiglia di funzioni :
R k k
x x x x
f ∈
+
= + 2 con )
(
22 3
1) Determinare per quali valori di k il dominio coincide con R e verificare se esistono punti appartenenti a tutte le funzioni.
2) Verificare se tutte le curve hanno lo stesso asintoto e lo stesso punto di minimo.
3) Studiare la funzione per k = − 1 e disegnarla in un sistema di assi cartesiani ortogonali.
4) Utilizzando gli elementi precedentemente calcolati, tracciare il grafico della funzione
1 ) 2
(
22 3
−
= + x
x x x
g
e calcolare l’area della parte di piano compresa tra la funzione g(x) e l’asintoto obliquo.
PROBLEMA 2
Dato un settore circolare AOB di ampiezza π 3
2 e r = 1, siano P un qualunque punto dell'arco AB e H la sua proiezione ortogonale sulla corda AB.
1) Posto B ˆ = α , si trovi per quale valore di α il perimetro dei triangolo ABP è massimo. A P 2) Considerata la funzione y =
____
____
3 HB
AH + e posto tg α = x, si rappresenti la funzione y = f(x) così ottenuta.
3) Si indichino con R e Q le intersezioni della curva con l'asse y e con 1'asintoto orizzontale. Si calcoli l'area della regione di piano limitata dall'arco RQ di curva, dall'asse delle ordinate e dall'asintoto orizzontale.
QUESTIONARIO
1. Trovare i punti d'intersezione della retta y = x+2 e della curva y = x
4- 2x
3+ 3x +1, mostrando poi che uno di essi è punto di flesso per la curva.
2. Sia data la funzione
⎩ ⎨
⎧
≤
<
+
− +
≤
<
= +
1 0 1 ) 2 (
0 1
) 1 ) (
(
23
x se x
a x
x se x x
f . Determinare a in modo che sia
applicabile il teorema di Lagrange in [-1,1] e individuare i punti di cui il teorema afferma
l’esistenza.
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3. Dimostrare la formula per il calcolo del volume dì un cono, pensandolo come solido di rotazione.
4. Si supponga di dover stabilire quale sarà l'incontro di apertura di un torneo dì tennis (singolo) composto da 20 giocatori partecipanti. Sì chiede di calcolare in quanti modi diversi potrebbe essere stabilita la coppia di giocatori che disputeranno tale partita.
5. Dopo aver dato la definizione di primitiva di una funzione, si consideri la funzione f(x) = + 1 x
x e
si determini la sua primitiva che si annulla nel punto x = − 3 .
6. È dato il triangolo rettangolo ABC di ipotenusa AB = a e cateto maggiore BC. Siano AM e BN le mediane relative ai cateti, G il baricentro del triangolo. Dimostrare che il rapporto tra le aree dei triangoli ABG e MNC è costante.
7. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali è assegnato il luogo geometrico dei punti rappresentati dalla seguente equazione:
0 7 6
22
+ y + xy =
x Tale luogo è costituito da:
a) un punto; b) due punti, c) una retta
d) due rette e) una figura diversa dalle precedenti.
Una sola scelta è corretta: individuarla e fornire un’esauriente spiegazione della risposta.
8. Dopo aver dato la definizione di limite finito di una funzione in un punto, si verifichi la seguente
scrittura: 2
1 lim 1
1
=
−
−
→
x
x
x