ii) Siano a, b, d ∈ Z tali che d = M.C.D.(a, b) e sia d 0 ∈ Z. Si provi che d 0 = M.C.D.(a, b) ⇔ d 0 = ±d.

17 Marzo 2008 1.

i) Si dia la definizione di Massimo Comun Divisore fra numeri interi.

ii) Siano a, b, d ∈ Z tali che d = M.C.D.(a, b) e sia d ⁰ ∈ Z. Si provi che d ⁰ = M.C.D.(a, b) ⇔ d ⁰ = ±d.

iii) Si risolva, se possibile, la seguente equazione diofantea:

3x − 19y = 5.

2. Nel gruppo simmetrico S 8 , si consideri la permutazione α = (147658)(23467)(145).

i) Si determinino gli elementi di hαi ed i relativi periodi;

ii) si dica se α ¹⁵⁸ = α ⁻²² , motivando la risposta;

iii) indicato con A 8 il gruppo alterno, si determini A 8 ∩ S ₈ ;

iv) si scrivano gli elementi e la tavola del prodotto del gruppo quoziente _hα ^hαi

i . 3. Nell’anello Q[x] dei polinomi a coefficienti nel campo razionale e nell’indeterminata x, si considerino i polinomi

a(x) = x ⁴ − 7 e b(x) = x ⁵ − 2x ³ − x ² + 2.

i) Si fattorizzino i polinomi dati in irriducibili di Q[x];

ii) si determinino le radici di a(x) e b(x) e le relative molteplicit` a in Q, R e C;

iii) si enunci e dimostri il teorema di Ruffini.

4. Siano A e B due sottogruppi del gruppo abeliano G. Si provi che:

i) AB := {ab | a ∈ A, b ∈ B} ` e un sottogruppo di G. ` E normale ?

ii) l’applicazione ϕ : B → ^AB _B tale che ϕ(b) = Ab, per ogni b ∈ B, ` e un epimorfismo di gruppi;

iii)) si determini Ker ϕ e si deduca che il gruppo quoziente _A∩B ^B ` e isomorfo

al gruppo quoziente ^AB _A .

7 Aprile 2008 1.

i) Si considerino le applicazioni f : R → R tale che x 7→ x ² e g : R → R tale che x 7→ x + 1.

Si dica se le precedenti funzioni sono iniettive, suriettive e bijettive, moti- vando la risposta;

ii) si stabilisca se le funzioni definite al punto i) commutano, motivando la risposta;

iii) si dimostri che la composizione di due funzioni bijettive ` e una funzione bijettiva.

2. Sia G un gruppo.

i) Si provi che l’insieme C := {c ∈ G | cg = gc, ∀g ∈ G}, chiamato Centro di G, ` e un sottogruppo di G;

ii) si determini il Centro di G, nei casi G = S 2 e G = S 3 , gruppi simmetrici di ordine 2 e 3 rispettivamente.

3.

i) Si consideri l’anello Z 16 delle classi di resto modulo 16. Si distinguano tra gli elementi di tale anello gli elementi unitari ed i divisori dello zero, motivando le scelte; in particolare, si determinino gli inversi degli elementi unitari;

ii) Z 16 ` e un campo? Si motivi la risposta;

iii) si enuncino e si dimostrino le leggi di cancellazione in un anello.

4. Nell’anello Q[x] dei polinomi a coefficienti nel campo razionale e nell’indeterminata x, si considerino i polinomi

f (x) = x ⁷ − 4x ⁵ − 7x ³ + 10x e g(x) = x ⁶ + 2x ⁵ − 3x ⁴ − 6x ³ − 10x ² − 20x.

i) Si determini d(x), M.C.D. monico tra f (x) e g(x)), e lo si scriva nella forma

d(x) = h(x)f (x) + k(x)g(x), h(x), k(x) ∈ Q[x];

ii) si fattorizzino i polinomi dati in irriducibili di Q[x];

iii) si determinino le radici di f (x) e g(x) e le relative molteplicit` a in Q, R e C.

23 Giugno 2008 1.

i) Si risolvano, se possibile, le seguenti congruenze lineari in Z:

7x ≡ −3 (mod 14) e 11x ≡ −5 (mod 13) ;

ii) dati gli interi a e b, n = p ^r , con p numero primo ed r intero positivo, si provi quanto segue:

se M.C.D.(a, p) = 1 e a ≡ b (mod n) , allora M.C.D.(b, p) = 1.

2. Nel gruppo simmetrico S 8 siano

α = (14578)(236) e β = (245761)(4385).

i) Si determinino i periodi di α, β e αβ;

ii) si determinino gli elementi di hαβi ed i relativi periodi;

iii) si determinino gli elementi di A ₈ ∩ hαβi;

iv) S ₈ ` e abeliano? E hαβi? Si motivino le risposte.

3.

i) Si consideri la relazione ϕ : C → R × R tale che a + ib 7→ (a − b; b) per ogni a + ib ∈ C.

i) Si provi che ϕ ` e un omomorfismo di gruppi additivi. ϕ ` e un isomorfismo?

Si motivi la risposta;

ii) si dimostri che, dato un omomorfismo f : G → H di gruppi additivi, f ` e un monomorfismo se e solo se Ker f = {0 _G }.

4. Nell’anello Q[x] dei polinomi a coefficienti nel campo razionale e nell’indeterminata x, si considerino i polinomi

f (x) = x ⁷ + 2x ⁵ − 13x ³ + 10x e g(x) = x ⁴ − x ³ + 3x ² − 5x − 10.

i) Si determini d(x), M.C.D. monico tra f (x) e g(x), e lo si scriva nella forma d(x) = h(x)f (x) + k(x)g(x), h(x), k(x) ∈ Q[x];

ii) si fattorizzino i polinomi dati in irriducibili di Q[x], di R[x] e di C[x];

iii) si determinino le radici di f (x) e g(x) e le relative molteplicit` a in Q, R e C.

10 Luglio 2008 1.

i) Si risolva, se possibile, la seguente equazione diofantea in Z:

7x − 5y = −3;

ii) data la funzione f : Z × Z → Z tale che (a, b) 7→ 7a − 5b,

per ogni (a, b) ∈ Z × Z, si dica se f `e iniettiva, suriettiva, bijettiva. Si mo- tivino le risposte.

2. Nel gruppo simmetrico S 9 si consideri la permutazione α = (125487)(15297634).

i) Si determinino gli elementi di hαi ed i relativi periodi;

ii) si determinino gli elementi di A 9 ∩ hαi;

iii) si dica se i laterali hαi(1429) = hαi(7683), motivando la risposta;

iv) S ₉ ` e abeliano? Si motivi la risposta.

3.

i) Si dia la definizione di omomorfismo fra gruppi;

ii) indicato con C ^∗ il gruppo moltiplicativo dei numeri complessi, si provi che la funzione f : C ^∗ → C ^∗ tale che per ogni g ∈ C ^∗

f (g) = g ³

` e un omomorfismo di gruppi. Si determini il nucleo di f e si dica se f ` e suriettiva.

4. Nell’anello Q[x] dei polinomi a coefficienti nel campo razionale e nell’indeterminata x, si considerino i polinomi

f (x) = x ³ + x e g(x) = x ³ − 2x ² + x − 2.

i) Si determini d(x), M.C.D. monico tra f (x) e g(x), e lo si scriva nella forma d(x) = h(x)f (x) + k(x)g(x), h(x), k(x) ∈ Q[x];

ii) si fattorizzino i polinomi dati in irriducibili di Q[x] e di C[x];

iii) si determinino le radici di f (x) e g(x) e le relative molteplicit` a in C.

11 Settembre 2008 1.

i) Con il metodo delle divisioni successive, si calcoli il M.C.D.(350, 75) e lo si scriva nella forma 350h + 75k, dove h e k sono elementi interi;

ii) si consideri il seguente sottoinsieme dell’insieme Z degli interi:

A = {6x − 11y | x, y ∈ Z}

e si stabilisca se coincide con Z, motivando la risposta.

2. Nel gruppo simmetrico S ₉ si consideri la permutazione α = (1456782)(492653).

i) Si determinino gli elementi di hαi ed i relativi periodi;

ii) si determinino gli elementi di A 9 ∩ hαi;

iii) si dica se α ¹²³ = α ⁻⁵⁴ , motivando la risposta;

iv) si scrivano gli elementi e la tavola del prodotto del gruppo quoziente _hα ^hαi

i . 3.

i) Sia f : G → H un omomorfismo di gruppi moltiplicativi. Si provi che f (1 G ) = 1 H e che f (g ⁻¹ ) = f (g) ⁻¹ per ogni g ∈ G;

ii) siano (Z, +, 0) il gruppo additivo degli interi,

A = {14x − 7y | x, y ∈ Z} e B = {6x + 15y | x, y ∈ Z}

due sottoinsiemi di Z. Si dica se A e B sono sottogruppi di Z. In caso affermativo si determini la loro intersezione, A ∩ B.

4. Si decompongano in irriducibili di Q[x], R[x] e C[x] i polinomi:

f (x) = x ⁴ + x ² − 6 e g(x) = x ³ − 1.

Si determinino inoltre le radici dei polinomi dati e le rispettive molteplicit` a

in Q, R, C.

25 Settembre 2008 1.

i) Se possibile, si risolvano in Z le equazioni diofantee : 3x − 5y = −11 e 12x − 36y = 15.

ii) Nel gruppo additivo Z ⊕ Z, si dimostri che il sottoinsieme H := {(a, b) | 3a − 5b = 0}

` e un sottogruppo. Si dica se H ` e ciclico motivando la risposta.

2. Nel gruppo simmetrico S 3 si consideri il sottogruppo H = {id, (13)} .

i) Si elenchino i laterali destri di H in S 3 , indicando gli elementi di ciascuno;

ii) si elenchino i laterali sinistri di H in S ₃ , indicando gli elementi di ciascuno;

iii) si dica se H ` e normale in S ₃ , motivando la risposta.

3.

i) Dopo aver dato la definizione di campo, si stabilisca quali dei seguenti anelli risulta campo:

Z, Q, R, C, Z 2 , Z 4 , R[x], Mat(2, Q);

ii) si determinino gli elementi unitari e i divisori dello zero nell’anello Z 12

delle classi di resto modulo 12, motivando le scelte;

iii) si provi che l’applicazione f : Z 12 → Z 12 tale che, per ogni [x] 12 ∈ Z 12 , [x] ₁₂ 7→ [2x] ₁₂

` e un omomorfismo di gruppi additivi. f ` e un isomorfismo? Si motivi la risposta.

4. Nell’anello Q[x] dei polinomi nell’indeterminata x, a coefficienti razion- ali, si considerino i polinomi:

f (x) = x ⁴ − 2x ³ − x ² + 2x e g(x) = x ³ − x ² + 3x − 3.

i) Detto d(x) il M.C.D. monico tra f (x) e g(x), si calcoli d(x) e lo si scriva nella forma

d(x) = h(x)f (x) + k(x)g(x), h(x), k(x) ∈ Q[x];

ii) si fattorizzino f (x) e g(x) in irriducibili di Q[x] e di C[x].

11 Dicembre 2008 1.

i) Si consideri la funzione f : N → N tale che n 7→ (n + 1) ² per ogni n ∈ N.

Si dica se f ` e iniettiva e se ` e suriettiva;

ii) si consideri la funzione g : Z → Z tale che z 7→ (z + 1) ² per ogni z ∈ Z.

Si dica se g ` e iniettiva e se ` e suriettiva;

iii) Si provi che la composizione di funzioni iniettive ` e una funzione iniettiva.

2. Nel gruppo simmetrico S ₇ si consideri il sottogruppo ciclico H gen- erato dalla permutazione (1254367). Dopo aver scritto tutti gli elementi di H, si risponda alle seguenti domande, motivando le risposte:

i) α ¹⁴² = α ⁻¹² ?

ii) i laterali sinistri (125)H e (537)(462)H coincidono ? iii) i laterali destri H(125) e H(537)(462) coincidono ? iv) H ` e abeliano ?

3. Nell’anello Q[x] dei polinomi a coefficienti nel campo razionale e nell’indeterminata x, si considerino i polinomi

f (x) = x ² − 3x + 2 e g(x) = x ³ + x ² + x.

i) Detto d(x) il M.C.D. monico tra f (x) e g(x), si calcoli d(x) e lo si scriva nella forma

d(x) = h(x)f (x) + k(x)g(x), h(x), k(x) ∈ Q[x];

ii) si fattorizzino f (x) e g(x) in irriducibili rispettivamente in Q[x] e in C[x];

iii) si determinino le radici di f (x) in C e le relative molteplicit`a.

4. Sia f : G → H un omomorfismo di gruppi abeliani, in notazione additiva. Si provi quanto segue:

i) f (0 _G ) = 0 _H ;

ii) per ogni g ∈ G, f (−g) = −f (g);

iii) Ker f = {g ∈ G | f (g) = 0 H } ` e un sottogruppo normale di G.

8 Gennaio 2009 1.

i) Si risolvano, se possibile, le seguenti equazioni diofantee in Z:

3x − 17y = 5 e 8x − 22y = −1;

ii) considerata l’applicazione f : Z × Z → Z tale che (x, y) 7→ 3x − 17y

si dica se ` e iniettiva e se ` e suriettiva, giustificando le risposte;

iii) si dica la condizione cui deve soddisfare l’intero h perch` e si abbia Z = {5x + hy | x, y ∈ Z}

2. Nel gruppo simmetrico S 7 si consideri il sottogruppo ciclico H generato dalla permutazione α = (1435762)(253174).

i) Si scrivano gli elementi di H e se ne determinino i periodi;

ii) si dica se α ¹¹² = α ⁻¹⁴ ;

iii) si dica se i laterali destri H(17)(24) e H(1346) coincidono;

iv) H ` e abeliano ? Si motivino le risposte.

3. Nell’anello Q[x] dei polinomi a coefficienti nel campo razionale e nell’indeterminata x, si considerino i polinomi

f (x) = x ³ − 5x ² + 6x e g(x) = x ³ − 3x ² + x − 3.

i) Detto d(x) il M.C.D. monico tra f (x) e g(x), si calcoli d(x) e lo si scriva nella forma

d(x) = h(x)f (x) + k(x)g(x), h(x), k(x) ∈ Q[x];

ii) si fattorizzino f (x) e g(x) in irriducibili rispettivamente in Q[x] e in C[x];

iii) si determinino le radici di f (x) in Q e in C e le relative molteplicit`a.

4. Siano G un gruppo, H e K due suoi sottogruppi.

i) Si provi che l’intersezione H ∩ K ` e un sottogruppo di G;

ii) nel caso in cui G sia un gruppo abeliano, si provi che l’applicazione f : G → G tale che per ogni g ∈ G

g 7→ g ⁴

` e un omomorfismo di gruppi.

19 Marzo 2009 1.

i) Si determinino, se possibile, le soluzioni intere delle seguenti congruenze:

3x ≡ 2(mod 9) e 5x ≡ −3(mod 11).

ii) Siano a, b ∈ Z. Si dimostri che, per ogni z ∈ Z:

a ≡ b (mod n) =⇒ az ≡ bz (mod n).

iii) Si trovino a, b, z ∈ Z tali che az ≡ bz (mod 10) ma a 6≡ b (mod 10).

2. Nel gruppo simmetrico S ₈ , si consideri la permutazione α = (1235784)(532678)(137).

i) Si determinino gli elementi di hαi ed i relativi periodi;

ii) si dica se α ¹¹⁷ = α ⁻⁵¹ , motivando la risposta;

iii) si scrivano gli elementi e la tavola del prodotto del gruppo quoziente

hαi hα

i .

3. Nell’anello Z 5 [x] si considerino i polinomi

f (x) = 2x ⁴ − x ² − 1 e g(x) = 3x ³ + x ² − x − 2.

i) Si determini d(x), M.C.D. tra f (x) e g(x)), e lo si scriva nella forma d(x) = h(x)f (x) + k(x)g(x), h(x), k(x) ∈ Z 5 [x].

ii) Si determinino tutti i possibili M.C.D. tra i polinomi dati.

iii) Si fattorizzino i polinomi dati in irriducibili di Z 5 [x].

iv) Si determinino le radici di f (x) e g(x) e le relative molteplicit` a in Z 5 . v) Si dimostri che un polinomio di grado 2 a coefficienti in un campo non pu` o avere 3 radici distinte.

4. Siano (R, +) il gruppo additivo dei reali e G = R⊕R la somma diretta esterna. Posto

H :=

 x y



∈ G | 3x − 5y = 0

 , K :=

 x y



∈ G | 3x − 5y = 2



si dimostri che:

i) H ` e un sottogruppo normale di G;

ii) K ` e un laterale di H in G.

2 Aprile 2009 1.

i) Si determinino, se possibile, le soluzioni intere delle seguenti equazioni diofantee:

7x − 15y = 4 e 12x − 15y = −21.

ii) Si provi che, data l’equazione diofantea (∗) ax + by = c, con a, b, c ∈ Z, essa ammette soluzioni se e solo se M.C.D.(a, b) divide c.

iii) Si dica se l’insieme {12x − 15y | x, y ∈ Z} coincide con l’insieme Z degli interi, motivando la risposta.

2. Nel gruppo simmetrico S ₉ , si consideri la permutazione α = (1352489)(257813)(1469).

i) Si determinino gli elementi di hαi ed i relativi periodi;

ii) si determini A ₉ ∩ hαi, dove A ₉ rappresenta il gruppo alterno di grado 9;

iii) si dica se i laterali hαi(13684) e hαi(957) coincidono, motivando la risposta;

iii) si scrivano gli elementi e la tavola del prodotto del gruppo quoziente

hαi hα

i .

3. Sia (Z, +, 0) il gruppo additivo dei numeri interi e sia hgi il sottogruppo ciclico generato da un elemento g di un gruppo (G, ·, 1 _G ). Si supponga inoltre che il periodo di g sia n > 0.

i) Si provi che _nZ ^Z ∼ = hgi;

ii) per ogni a, b ∈ Z, g ^a = g ^b ⇔ a ≡ b(mod n).

4. Nell’anello Q[x] si considerino i polinomi

f (x) = x ⁴ − 3x ² + 2 e g(x) = x ³ − x ² + 2x − 2.

i) Si determini d(x), M.C.D. monico tra f (x) e g(x), e lo si scriva nella forma d(x) = h(x)f (x) + k(x)g(x), h(x), k(x) ∈ Q[x].

ii) Si fattorizzino i polinomi dati in irriducibili di Q[x], R[x] e C[x].

iii) Si determinino le radici di f (x) e g(x) e le relative molteplicit` a in Q, R

e C.

18 Giugno 2009 1.

i) Si determinino, se possibile, le soluzioni intere delle seguenti equazioni diofantee:

8x + 15y = 3 e 2x − 14y = −25;

ii) si dica se l’insieme {2x − 14y | x, y ∈ Z} coincide con l’insieme Z degli interi, motivando la risposta;

iii) quale condizione devono soddisfare due interi non nulli m e n affinch` e mZ + nZ = Z?

2. Nel gruppo simmetrico S ₉ , si consideri la permutazione α = (142678)(23157)(39).

i) Si determinino gli elementi di hαi ed i relativi periodi;

ii) si determini A ₉ ∩ hαi, dove A ₉ rappresenta il gruppo alterno di grado 9;

iii) si dica se i laterali hαi(3492) e hαi(158)(67) coincidono, motivando la risposta;

iv) si scrivano gli elementi e la tavola del prodotto del gruppo quoziente _hα ^hαi

i . 3. Siano f : G → H un omomorfismo di gruppi.

i) Sia K un sottogruppo di G. Si dimostri che f (K) ` e un sottogruppo di H;

ii) si provi che se f ` e un epimorfismo e G ` e abeliano, allora anche H lo ` e . 4. Nell’anello Q[x] si considerino i polinomi

f (x) = x ³ − 5x ² + 6x e g(x) = x ³ − 3x ² + x − 3.

i) Si determini d(x), M.C.D. monico tra f (x) e g(x), e lo si scriva nella forma d(x) = h(x)f (x) + k(x)g(x), h(x), k(x) ∈ Q[x].

ii) Si fattorizzino i polinomi dati in irriducibili di Q[x], R[x] e C[x].

iii) Si determinino le radici di f (x) e g(x) e le relative molteplicit` a in Q, R e C.

5. Dopo aver dato la definizione di radice di un polinomio, si enunci e si

dimostri il teorema di Ruffini.

9 Luglio 2009 1. Nell’anello Z dei numeri interi:

i) si determinino d = M.C.D.(245, 112) e una coppia di interi (h, k) tali che d = 245h + 112k;

ii) dati a e b interi non nulli e posto d := M.C.D.(a, b), si dimostri che ` e anche d = M.C.D.(a, a + b).

2. Nel gruppo simmetrico S 3 si consideri il sottogruppo ciclico H generato dallo scambio (12).

i) Si elenchino i laterali destri distinti di H in S 3 , indicando gli elementi di ciascuno di essi;

ii) si elenchino i laterali sinistri distinti di H in S ₃ , indicando gli elementi di ciascuno di essi;

iii) si dica se H ` e un sottogruppo normale di S 3 , motivando la risposta;

iv) si dica se H ` e abeliano, motivando la risposta.

3. Dati due gruppi (A, ◦, 1 _A ) e (B, ∗, 1 _B ) si dimostri che:

i) il loro prodotto cartesiano G := A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} ` e un gruppo rispetto al prodotto

(a 1 , b 1 )(a 2 , b 2 ) := (a 1 ◦ a ₂ , b 1 ∗ b ₂ );

ii) l’applicazione ϕ : G → B tale che (a, b) 7→ b per ogni (a, b) ∈ G ` e un omomorfismo di gruppi. Si determini poi il nucleo di ϕ e si dica se si tratta di un epimorfismo.

4. Siano p un numero primo e Z p [x] l’anello dei polinomi nell’indeterminata x a coefficienti in Z p . Si considerino i polinomi

f (x) = x ⁵ − 10x + 12, g(x) = x ² + 2.

i) Si determinino i numeri primi p per i quali g(x) divide f (x);

ii) per i valori di p ottenuti al punto precedente, si scomponga g(x) in fat- tori irriducibili in Z p [x] e se ne determinino le radici in Z p , con le rispettive molteplicit` a.

5. Sia K un campo e sia a(x) ∈ K[x] di grado 2 o 3. Si provi che a(x) `e

riducibile in K[x] se e solo se ha almeno una radice in K.

10 Settembre 2009

1. i) Nell’anello Z dei numeri interi si risolvano, se possibile, le seguenti equazioni diofantee:

12x − 6y = 11 e 4x − 19y = −3;

ii) dati a e b interi e posto d := M.C.D.(a, b), si dimostri che ` e anche d = M.C.D.(a, a − b).

2. Nel gruppo simmetrico S ₅ si consideri il sottoinsieme H := {id, (1245), (14)(25), (1542)} . i) Si provi che H ` e un sottogruppo ciclico di S <sub>5</sub> ; ii) si dica se H ` e abeliano, motivando la risposta;

iv) detto α un generatore di H, si provi l’applicazione ϕ : Z → H tale che, per ogni z ∈ Z,

z 7→ α ^z

` e un epimorfismo di gruppi. Si determini il nucleo di ϕ.

3. Si diano le definizioni di elemento unitario e di divisore dello zero di un anello A. Indicando con Z n l’anello delle classi di resto modulo n:

i) si dica se Z 10 ` e un campo e se Z 17 ` e un campo, motivando le risposte;

ii) si determinino gli elementi unitari ed i divisori dello zero di Z 10 , giustifi- cando le scelte;

iii) si determinino, se esistono, l’opposto e l’inverso delle classi [3] ₉ e [7] ₉ in Z 9 .

4. Si fattorizzi in irriducibili il polinomio f (x) = x ⁴ − 5

rispettivamente negli anelli Q[x], R[x], C[x], Z 2 [x] e Z 5 [x]. Si determinino le radici e le relative molteplicit` a in Q, R, C, Z 2 , Z 5 .

5. Siano D un dominio a ideali principali e p ∈ D un elemento non nullo

e non unitario. Si provi che p ` e irriducibile se e solo se ` e primo.

24 Settembre 2009

1. i) Nell’anello Z dei numeri interi si risolvano, se possibile, le seguenti equazioni diofantee:

12x − 5y = 10 e 4x − 18y = −3;

ii) dati a e b interi e posto d := M.C.D.(a, b), si dimostri che ` e anche d = M.C.D.(a, a + b).

2. Nel gruppo simmetrico S 5 si consideri il sottoinsieme H := {id, (1245), (14)(25), (1542)} . i) Si provi che H ` e un sottogruppo ciclico di S <sub>5</sub> ; ii) si dica se H ` e abeliano, motivando la risposta;

iii) detto α un generatore di H, si provi l’applicazione ϕ : Z → H tale che, per ogni z ∈ Z,

z 7→ α ^z

` e un epimorfismo di gruppi. Si determini il nucleo di ϕ.

3. Si diano le definizioni di elemento unitario e di divisore dello zero di un anello A. Indicando con Z n l’anello delle classi di resto modulo n:

i) si dica se Z 7 ` e un campo e se Z 8 ` e un campo, motivando le risposte;

ii) si determinino gli elementi unitari ed i divisori dello zero di Z 8 , giustifi- cando le scelte;

iii) si determinino, se esistono, l’opposto e l’inverso delle classi [3] 9 e [5] 9 in Z 9 .

4. Si fattorizzi in irriducibili il polinomio f (x) = x ⁴ − 7

rispettivamente negli anelli Q[x], R[x], C[x], Z 2 [x] e Z 3 [x]. Si determinino

le radici e le relative molteplicit` a in Q, R, C, Z 2 , Z 3 .

17 Dicembre 2009 1.

i) Nell’anello Z dei numeri interi si risolvano, se possibile, le seguenti equazioni diofantee:

12x − 6y = 11 e 4x − 19y = −3;

ii) dati a e b interi e posto d := M.C.D.(a, b), si dimostri che ` e anche d = M.C.D.(a, a − b).

2. Nel gruppo simmetrico S ₄ si consideri il sottogruppo cilico H generato da (1234).

i) Siscrivano gli elementi di H;

ii) si dica se H ` e abeliano, motivando la risposta;

iii) si provi che l’applicazione ϕ : Z → H tale che, per ogni z ∈ Z, z 7→ (1234) ^z

` e un epimorfismo di gruppi. Si determini il nucleo di ϕ.

3. Si diano le definizioni di dominio di integrit e di campo, corredandole di esempi. Indicando con Z n l’anello delle classi di resto modulo n:

i) si scriva l’inverso di ogni elemento non nullo di Z 11 ;

ii) si determinino gli elementi unitari ed i divisori dello zero di Z 9 , giustifi- cando le scelte.

4. Si fattorizzi in irriducibili il polinomio f (x) = x ³ + 5

rispettivamente negli anelli Q[x], R[x], C[x], Z 3 [x] e Z 5 [x]. Si determinino

le radici e le relative molteplicit` a in Q, R, C, Z 3 , Z 5 .

14 Gennaio 2010

1. i) Nell’anello Z dei numeri interi si risolvano, se possibile, le seguenti congruenze lineari:

4x ≡ 2(mod 12) e 7x ≡ −2(mod 15);

ii) dati a e b interi e posto d := M.C.D.(a, b), si dica se ` e anche d = M.C.D.(a, a + 3b),

motivando la risposta.

2. Nel gruppo simmetrico S ₆ si consideri il sottoinsieme H := {id, (12)(3456), (35)(46), (12)(3654)} . i) Si provi che H ` e un sottogruppo ciclico di S ₆ ;

ii) detto α un generatore di H, si dica se α ⁵⁸ = α ⁻³⁰ ;

iii) si dica se i laterali destri H(13)(245) e H(123456) coincidono;

iv) H ` e abeliano ? Si motivino le risposte.

3. Nell’anello Q[x] dei polinomi nell’indeterminata x, a coefficienti nel campo razionale, si considerino i polinomi

f (x) = x ³ − 3x ² + 4x − 12 e g(x) = x ² + x − 12.

i) Si calcoli il M.C.D. monico d(x) tra f (x) e g(x), e lo si scriva nella forma d(x) = h(x)f (x) + k(x)g(x), h(x), k(x) ∈ Q[x];

ii) si fattorizzino f (x) e g(x) in irriducibili rispettivamente in Q[x] e in C[x];

iii) si determinino le radici di f (x) in Q e in C e le relative molteplicit`a.

4. In un gruppo moltiplicativo G si consideri l’applicazione f : G → G tale che, per ogni g ∈ G:

g 7→ g ² .

Si dimostri che f ` e un omomorfismo se e solo se G ` e abeliano.

14 Gennaio 2010

1. i) Nell’anello Z dei numeri interi si risolvano, se possibile, le seguenti congruenze lineari:

4x ≡ 2(mod 12) e 7x ≡ −2(mod 15);

ii) dati a e b interi e posto d := M.C.D.(a, b), si dica se ` e anche d = M.C.D.(a, a + 3b),

motivando la risposta.

2. Nel gruppo simmetrico S ₆ si consideri il sottoinsieme H := {id, (12)(3456), (35)(46), (12)(3654)} . i) Si provi che H ` e un sottogruppo ciclico di S ₆ ;

ii) detto α un generatore di H, si dica se α ⁵⁸ = α ⁻³⁰ ;

iii) si dica se i laterali destri H(13)(245) e H(123456) coincidono;

iv) H ` e abeliano ? Si motivino le risposte.

3. Nell’anello Q[x] dei polinomi nell’indeterminata x, a coefficienti nel campo razionale, si considerino i polinomi

f (x) = x ³ − 3x ² + 4x − 12 e g(x) = x ² + x − 12.

i) Si calcoli il M.C.D. monico d(x) tra f (x) e g(x), e lo si scriva nella forma d(x) = h(x)f (x) + k(x)g(x), h(x), k(x) ∈ Q[x];

ii) si fattorizzino f (x) e g(x) in irriducibili rispettivamente in Q[x] e in C[x];

iii) si determinino le radici di f (x) in Q e in C e le relative molteplicit`a.

4. In un gruppo moltiplicativo G si consideri l’applicazione f : G → G tale che, per ogni g ∈ G:

g 7→ g ² .

Si dimostri che f ` e un omomorfismo se e solo se G ` e abeliano.

25 Marzo 2010

1. Per ogni n ≥ 2, sia (Z n , +, [0] _n ) il gruppo additivo delle classi di resti modulo n.

i) Per n = 8, si consideri la funzione f : Z 8 → Z 8 tale che [a] ₈ 7→ [5a] ₈ . Si stabilisca se f ` e un omomorfismo, se ` e iniettiva e se ` e suriettiva.

ii) Si definisca una funzione g : Z 6 → Z 4 .

2. Nel gruppo simmetrico S 9 si consideri la permutazione α = (12479)(25678)(1347).

i) Si scrivano gli elementi di hαi, precisando il periodo di ciascuno di essi;

ii) si definisca un omomorfismo di gruppi

f : (Z, +, 0) → (hαi, ·, id) e si calcolino Ker f e Im f .

3.

i) Si dimostrino le leggi di cancellazioni in un dominio di integrit` a . ii) Un elemento unitario di un anello pu` o essere divisore dello zero ? iii) Si verifichi che la matrice

 1 1 1 1



` e un divisore dello zero in Mat 2 (Q).

iv) nell’anello Z si espanda (a + b) ⁵ .

4. Nell’anello Q[x] dei polinomi nell’indeterminata x, a coefficienti nel campo razionale, si considerino i polinomi

f (x) = x ³ − 4x ² + 4x e g(x) = x ³ − 8.

i) Si calcoli il M.C.D. monico d(x) tra f (x) e g(x), e lo si scriva nella forma d(x) = h(x)f (x) + k(x)g(x), h(x), k(x) ∈ Q[x];

ii) si fattorizzino f (x) e g(x) in irriducibili rispettivamente in Q[x] e in C[x];

iii) si determinino le radici di f (x) in Q e in C e le relative molteplicit`a.

8 Aprile 2010

1. i) In Z si risolvano, se possibile, le seguenti equazioni diofantee:

10x + 4y = 15 e 9x − 11y = −4.

ii) Data l’applicazione f : Z × Z → Z tale che (a, b) 7→ 10a + 4b si dica se ` e suriettiva e se ` e iniettiva.

2. Nel gruppo simmetrico S ₄ si consideri il sottoinsieme H = {id, (1234), (13)(24), (1432)} . i) Si dimostri che H ` e un sottogruppo di S 4 . ` E ciclico ?

ii) Si elenchino i laterali destri di H in S ₄ , indicando gli elementi di ciascuno;

iii) si dica se H ` e normale in S 4 , motivando la risposta.

3.

i) Sia A un anello commutativo. Quale condizione deve soddisfare per essere un campo ? Si dia un esempio di campo.

ii) Si provi che un campo non ha divisori dello zero.

iii) Nell’anello Mat ₂ (Q) si calcoli l’inversa, quando esiste, delle seguenti matrici:

 1 3 0 1

 ,

 0 1 1 0

 ,

 1 2

−2 −4

 .

4. Nell’anello R[x] dei polinomi nell’indeterminata x, a coefficienti nel campo reale, si considerino i polinomi f (x) = x ⁴ − 1 e g(x) = x ³ − 27.

i) Si fattorizzino f (x) e g(x) in irriducibili rispettivamente in R[x] e in C[x].

ii) Siano K un campo e f (x) ∈ K[x] un polinomio di grado 3 che non ha

radici in K. Si dimostri che f (x) `e irriducibile in K[x].

24 Giugno 2010

1. i) Nell’anello Z dei numeri interi si risolvano, se possibile, le seguenti equazioni diofantee:

13x − 5y = −7 e 7x − 21y = 25;

ii) dati a e b interi non nulli, si provi che se d ` e un M.C.D.(a, b), allora l’unico altro M.C.D.(a, b) ` e −d.

2. Nel gruppo simmetrico S 9 si consideri la permutazione α = (1546738)(256914).

i) Si determinino gli elementi del sottogruppo hαi ed i relativi periodi;

ii) si dica se α ⁻⁴² = α ⁹⁸ , motivando la risposta;

iii) si scrivano gli elementi del gruppo quoziente _hα ^hαi

i e la tavola del prodotto.

3. In ciascuno degli anelli Q[x], R[x], C[x], Z 2 [x], Z 3 [x], Z 5 [x] si fattorizzi, se possibile, il polinomio

f (x) = x ³ − 7.

Si determinino poi le radici di f (x) e le relative molteplicit` a in Q, R, C, Z 2 , Z 3 , Z 5 . 4. Sia G = GL(2, R) il gruppo delle matrici invertibili di ordine 2 su R.

i) Si dimostri che l’applicazione ϕ : (R, +, 0) → (GL(2, R), ·, I 2 ) tale che a 7→

 1 0 a 1

 ,

` e un monomorfismo di gruppi;

ii) l’insieme

A :=

(  1 0 a 1

 

 a ∈ R )

` e un sottogruppo di G? A ` e normale in G?

8 Luglio 2010 1.

i) Si determinino le soluzioni intere delle congruenze:

9x ≡ −2 (mod 13); 6x ≡ −3 (mod 12).

ii) Si provi che, per ogni x ∈ Z, si ha x ² ≡ x (mod 2);

iii) si provi che, per ogni n ≥ 0, si ha: 5 · 3 ⁿ ≡ 1 (mod 2).

2. Siano (Z, +, 0) il gruppo additivo degli interi e (G, ·, 1 G ) un gruppo moltiplicativo. Fissato g ∈ G, si consideri l’applicazione f : Z → G tale che f (z) = g ^z per ogni z ∈ Z.

i) si dimostri che f ` e un omomorfismo;

ii) posto G = Symm(4), g = (1234) si calcolino Im f e Ker f ; iii) posto G = Q \ {0}), g = 3 si calcolino Im f e Ker f .

3.

i) Si determinino gli elementi unitari ed i divisori dello zero di Z 18 ; ii) si dimostri che un campo K non ha divisori dello zero;

iii) esiste qualche anello privo di divisori dello zero, che non ` e campo?

4. Sia K un campo.

i) Dati a(x), b(x) ∈ K[x], si dimostri che un elemento α ∈ K `e radice comune di a(x) e di b(x) se e solo se α ` e radice di d(x) := M.C.D.(a(x), b(x));

ii) si fattorizzi in irriducibili di K[x] il polinomio f (x) = x ⁴ − 3 nei casi

K = Q, K = R, K = C, K = Z 2 .

9 Settembre 2010 1.

i) Quando esistono, si determinino le soluzioni intere delle congruenze:

13x ≡ −3 (mod 15); 7x ≡ −5 (mod 14).

ii) Siano a ∈ Z e d = M.C.D.(a − 1, a + 1). Si mostri che d ∈ {±1, ±2}.

iii) In Z si calcoli lo sviluppo di (a + b) ⁶ .

2. Siano (A, +, 0 A ) un gruppo additivo, (G, ·, 1 G ) un gruppo moltiplica- tivo e f : A → G un omomorfismo di gruppi. Fissato a ∈ A:

i) si provi che f (na) = (f (a)) ⁿ per ogni intero n ≥ 0;

ii) si dica se f (−2a) = (f (a)) ⁻² , motivando la risposta.

Si dia un esempio di epimorfismo f : A → G, dove A ` e un gruppo additivo e G ` e un gruppo moltiplicativo non banale (ossia G 6= {1 G }).

3. Sia A un anello.

i) Si diano le definizioni di elemento unitario e di divisore dello zero in A;

ii) si provi che se A ` e privo di divisori dello zero, per ogni a, x, y ∈ A si ha (a 6= 0 _A e ax = ay) ⇒ x = y.

iii) Ogni anello commutativo, privo di divisori dello zero, ` e campo?

4. Nell’anello R[x] dei polinomi a coefficienti reali nell’indeterminata x, si considerino i polinomi a(x) = x ³ − 3x ² + x − 3 e b(x) = x ⁴ − 1.

i) Si calcoli il M.C.D. monico d(x) tra a(x) e b(x), e lo si scriva nella forma d(x) = h(x)a(x) + k(x)b(x), h(x), k(x) ∈ R[x];

ii) si fattorizzino a(x) e b(x) in irriducibili rispettivamente in R[x] e in C[x];

iii) si determinino le radici di a(x) e di b(x) in R e in C e le relative

molteplicit` a.

16 Dicembre 2010 1. Sia Z l’insieme degli interi.

i) Considerata l’ applicazione f : Z × Z → Z tale che f ((a, b)) = a ² − b ² si dica se ` e iniettiva. Si dimostri inoltre che 2 6∈ Im f .

ii) Considerata l’ applicazione g : Z×Z → Z tale che g ((a, b)) = 10a+6b si dica se ` e iniettiva e se ` e suriettiva.

2. Nel gruppo simmetrico S 5 si consideri il sottogruppo ciclico H generato dalla permutazione α = (14)(253).

i) si determinino gli elementi di H ed il relativo periodo;

ii) si dica se H ` e contenuto nel gruppo alterno A <sub>5</sub> ; iii) si dica se H ` e normale in S ₅ .

Si motivino le risposte.

3. Si consideri l’anello Z 9 delle classi di resto modulo 9.

i) Si determinino gli elementi unitari ed i divisori dello zero di Z 9 ; ii) Z 9 ` e un campo ?

iii) In Z 9 valgono le leggi di cancellazione del prodotto ? Si motivino le risposte.

4. In K[x] si fattorizzi in irriducibili il polinomio f (x) = x ⁴ − 9 nei casi K = Q, K = R, K = C, K = Z 2 , K = Z 3 , K = Z 5 .

In ciascuno di questi casi, si determinino anche le radici di f (x) e le relative

molteplicit` a .

13 Gennaio 2011 1.

i) Con il metodo delle divisioni successive, si calcoli il M.C.D.(360, 75) e lo si scriva nella forma 360h + 75k, dove h e k sono numeri interi;

ii) si consideri il seguente sottoinsieme dell’insieme Z degli interi:

A := {18x − 20y | x, y ∈ Z}

e si stabilisca se coincide con Z, motivando la risposta.

2. Nel gruppo simmetrico S ₈ , si consideri la permutazione α = (125763)(2658)(1345).

i) Si determinino gli elementi di hαi ed i relativi periodi;

ii) si distinguano le permutazioni di hαi in permutazioni pari e dispari;

iii) si dica se i laterali hαi(124) e hαi(345) coincidono, motivando la risposta;

iv) si scrivano gli elementi e la tavola del prodotto del gruppo quoziente _hα ^hαi

i . 3. Sia G = GL(2, R) il gruppo delle matrici invertibili di ordine 2 su R.

i) Si dimostri che l’applicazione ϕ : (R, +, 0) → (GL(2, R), ·, I 2 ) tale che a 7→

 1 a 0 1

 ,

` e un monomorfismo di gruppi;

ii) l’insieme

A :=

(  1 a 0 1

 



 a ∈ R )

` e un sottogruppo di G? A ` e normale in G?

4. Si considerino i seguenti polinomi:

f (x) = x ³ − x ² + 4x − 4 e g(x) = x ⁶ − 1.

i) Si decompongano f (x) e g(x) nel prodotto di polinomi irriducibili di K[x]

nei casi

K = Q, K = R, K = C, K = Z 2 , K = Z 5 ;

ii) si determinino radici e molteplicit` a dei polinomi dati negli anelli indicati

al punto precedente.

13 Gennaio 2011 1.

i) Con il metodo delle divisioni successive, si calcoli il M.C.D.(360, 75) e lo si scriva nella forma 360h + 75k, dove h e k sono numeri interi;

ii) si consideri il seguente sottoinsieme dell’insieme Z degli interi:

A := {18x − 20y | x, y ∈ Z}

e si stabilisca se coincide con Z, motivando la risposta.

2. Nel gruppo simmetrico S ₈ , si consideri la permutazione α = (125763)(2658)(1345).

i) Si determinino gli elementi di hαi ed i relativi periodi;

ii) si distinguano le permutazioni di hαi in permutazioni pari e dispari;

iii) si dica se i laterali hαi(124) e hαi(345) coincidono, motivando la risposta;

iv) si scrivano gli elementi e la tavola del prodotto del gruppo quoziente _hα ^hαi

i . 3. Sia G = GL(2, R) il gruppo delle matrici invertibili di ordine 2 su R.

i) Si dimostri che l’applicazione ϕ : (R, +, 0) → (GL(2, R), ·, I 2 ) tale che a 7→

 1 a 0 1

 ,

` e un monomorfismo di gruppi;

ii) l’insieme

A :=

(  1 a 0 1

 



 a ∈ R )

` e un sottogruppo di G? A ` e normale in G?

4. Si considerino i seguenti polinomi:

f (x) = x ³ − x ² + 4x − 4 e g(x) = x ⁶ − 1.

i) Si decompongano f (x) e g(x) nel prodotto di polinomi irriducibili di K[x]

nei casi

K = Q, K = R, K = C, K = Z 2 , K = Z 5 ;

ii) si determinino radici e molteplicit` a dei polinomi dati negli anelli indicati

al punto precedente.

24 Marzo 2011 1.

i) Si risolvano, qualora possibile, le seguenti equazioni diofantee:

14x − 28y = −13 e 15x − 7y = 11.

ii) Considerati i gruppi additivi Z e Z ⊕ Z, si dica se l’applicazione f : Z ⊕ Z → Z

tale che (a, b) 7→ 15a − 7b ` e un omomorfismo e se ` e suriettiva.

2. Sia G un gruppo moltiplicativo e sia g ∈ G fissato.

i) Si provi che hgi ` e il minimo sottogruppo di G che contiene g.

ii) Posto G = S ₉ , g = (146357)(286479), si determini il periodo di g e si dimostri che _6Z ^Z ` e isomorfo a hgi. Si dica se g ³⁵ = g ⁻¹ .

3.

i) Si dica se Z `e un campo e se Q `e un campo.

ii) Si dica se esistono e, in caso affermativo si determinino, gli inversi molti- plicativi dei seguenti elementi nei corrispondenti anelli:

−2 ∈ Z, −2 ∈ Q, [2] 8 ∈ Z 8 , [4] ₉ ∈ Z 9

 1 −3

−2 5



∈ Mat ₂ (Z),

 4 −2

3 1



∈ Mat ₂ (Q).

4. Si considerino i polinomi

f (x) = x ⁴ − 2x ³ + 4x − 8 e g(x) = x ³ − 2x ² + x − 2.

i) Si calcoli il M.C.D. monico d(x) tra f (x) e g(x) in Q[x], e lo si scriva nella forma

d(x) = h(x)f (x) + k(x)g(x), h(x), k(x) ∈ Q[x];

ii) si fattorizzino f (x) e g(x) in polinomi irriducibili rispettivamente in C[x], in R[x] e in Z 2 [x];

iii) si determinino le radici di f (x) e di g(x) in C, in R e in Z 2 , con le relative

molteplicit` a.

7 Aprile 2011 1.

i) Si risolvano, qualora possibile, le seguenti congruenze lineari:

8x ≡ −5(mod 15) e 15x ≡ −7(mod 20);

ii) siano a, b, c, d, n ∈ Z tali che ab + cd = n. Si provi che M.C.D.(a, c) = n =⇒ M.C.D.(b, d) = 1.

2. Siano (Z, +) il gruppo additivo dei numeri interi e G := Z ⊕ Z il gruppo i cui elementi sono le coppie ordinate di interi, rispetto alla somma componente per componente, ossia:

(a 1 , b 1 ) + (a 2 , b 2 ) := (a 1 + a 2 , b 1 + b 2 ).

Posto K := {(a, b) ∈ G | 2a − 7b = 0} ,

i) si dimostri che K ` e sottogruppo normale di G;

ii) si definisca un epimorfismo f : G → Z, avente nucleo K;

iii) si dimostri che il gruppo quoziente _K ^G ` e isomorfo a (Z, +).

3. Nel gruppo simmetrico S ₉ si consideri la permutazione α = (493156)(124)(35896).

i) Si determinino gli elementi di hαi, ed i relativi periodi;

ii) si determinino gli elementi del gruppo quoziente _hα ^hαi

i e si costruisca la relativa tavola del prodotto.

4. Nell’anello K[x], dei polinomi a coefficienti nel campo K, si consideri f (x) = x ⁶ − 1.

i) Si decomponga f (x) in fattori irriducibili di K[x] nei casi K = Z 2 e K = Z 7 , determinando in ciascun caso le radici e le relative molteplicit` a ;

ii) posto K = Z p , con p primo, si determinino i valori di p per cui f (x) ` e divisibile per x ² − 5;

iii) posto K = C, si fattorizzi il polinomio f (x) in fattori irriducibili di C[x].

23 Giugno 2011 1.

i) Nell’anello Z dei numeri interi si risolvano, se possibile, le seguenti equazioni diofantee:

12x − 7y = −6 e 5x − 20y = −24;

ii) si provi che M.C.D.(a, b) = M.C.D.(2a − b, a), essendo a e b due interi fissati.

2. Nel gruppo simmetrico S 9 si consideri la permutazione α = (12435789)(158746)(259471).

i) Si determinino gli elementi del sottogruppo hαi ed i relativi periodi;

ii) si dica se α ⁻⁴² = α ⁹⁰ , motivando la risposta;

iii) si scrivano gli elementi del gruppo quoziente _hα ^hαi

i e la tavola del prodotto.

3. In ciascuno degli anelli R[x], C[x], Z 2 [x], Z 3 [x], Z 5 [x] si decomponga in fattori irriducibili il polinomio

f (x) = x ⁶ − 64.

Si indichino poi le radici di f (x) e le relative molteplicit` a in R, C, Z 2 , Z 3 , Z 5 . 4.

i) Nell’anello Z 16 delle classi di resto modulo 16, si determinino gli elementi unitari ed i divisori dello zero, motivando le scelte;

ii) si deduca dal punto precedente se Z 16 ` e un campo oppure no, motivando la risposta;

iii) si provi che l’applicazione f : Z 16 → Z 16 tale che, per ogni [x] 16 ∈ Z 16 , [x] ₁₆ 7→ [5x] ₁₆

` e un omomorfismo di gruppi additivi. Si trovi n ∈ N tale che l’applicazione [x] 16 7→ [nx] ₁₆

` e inversa di f . L’omomorfismo f ` e un isomorfismo ?

11 Luglio 2011 1.

i) Nell’anello Z dei numeri interi si risolvano, se possibile, le seguenti con- gruenze lineari:

12x ≡ −7(mod 6) e 13x ≡ −6(mod 9);

ii) Data l’applicazione f : Z × Z → Z tale che (x, y) 7→ 3x − 16y,

si dica se ` e iniettiva e se ` e suriettiva, motivando le risposte.

2. Sia f : G → H un omomorfismo di gruppi.

i) Si dimostri che il nucleo di f ` e un sottogruppo normale di G.

ii) Si dimostri che se f ` e un epimorfismo e G ` e abeliano, anche H ` e abeliano.

3. Si considerino il gruppo simmetrico S ₃ delle permutazioni su tre ele- menti ed il gruppo ciclico H := h(123)i.

i) Si scrivano gli elementi di ogni laterale destro e di ogni laterale sinistro di H in S 3 .

ii) Si dica se H ` e sottogruppo normale di S ₃ .

iii) Si dica se H ` e abeliano, giustificando la risposta.

4. Nell’anello Q[x] dei polinomi a coefficienti razionali e nell’indeterminata x, si considerino i polinomi

a(x) = x ³ − x ² + 5x − 5 e b(x) = x ⁴ + x ² − 2.

i) Si determini il M.C.D. monico d(x) tra a(x) e b(x), e lo si esprima nella forma

d(x) = f (x)a(x) + g(x)b(x), con f (x), g(x) ∈ Q[x].

ii) Si fattorizzino i polinomi dati negli anelli Q[x], C[x], Z 2 [x] e Z 3 [x]; si

determinino le radici e le rispettive molteplicit` a nei corrispondenti anelli Q,

C, Z 2 e Z 3 .

8 Settembre 2011 1.

i) In Z si risolvano, qualora possibile, le seguenti equazioni diofantee:

7x − 8y = −4 e 5x − 10y = −13.

ii) Si considerino i sottoinsiemi A, B, C di Z, cos definiti:

A := {3x+9y | x, y ∈ Z}, B := {5x−10y | x, y ∈ Z}, C := {7x−8y | x, y ∈ Z}.

Per ciascuno di essi si dica se coincide con Z, motivando la risposta.

Si determinino inoltre gli elementi di A ∩ B.

2. Si consideri l’applicazione ϕ : R ² → R ² tale che,

∀

 a b



∈ R ² :

 a b

 7→

 a

a − b

 .

Si provi che ϕ ` e un omomorfismo di gruppi additivi. Se ne determini il nucleo. Infine si dica anche se ϕ ` e un isomorfismo.

3. Sia g ∈ G. Si definisca quando g ha periodo 0 rispettivamente:

• nel caso in cui (G, ·, 1 _G ) ` e un gruppo moltiplicativo;

• nel caso in cui (G, +, 0 _G ) ` e un gruppo additivo.

i) Posto G = S ₉ , il gruppo simmetrico su 9 elementi, si trovi il periodo di g = (134789)(25674)(15823) e si calcoli g ¹⁰⁰ .

ii) Posto G = Z 9 , il gruppo additivo delle classi di resti modulo 9, si trovi il periodo di [2] 9 e si calcoli −15[2] 9 .

iii) Posto G = Z, il gruppo additivo degli interi, si trovi il periodo di 1.

4. Nell’anello Q[x] si considerino i polinomi:

a(x) = x ³ − 2x ² + 4x − 8, b(x) = x ⁴ + 5x ³ + 10x ² + 20x + 24.

i) Dopo aver determinato il M.C.D. monico d(x) tra a(x) e b(x), si trovino due polinomi f (x), g(x) ∈ Q[x] tali che:

d(x) = f (x)a(x) + g(x)b(x).

ii) Si fattorizzino a(x) e b(x) in polinomi irriducibili rispettivamente

negli anelli Q[x], C[x], Z 2 [x] e Z 3 [x], indicando in ciascun caso le loro radici

nei corrispondenti campi Q, C, Z 2 e Z 3 con le relative molteplicit` a .

22 Settembre 2011 1.

i) In Z si risolvano, qualora possibile, le seguenti congruenze lineari:

12x ≡ −4(mod 17) e 18x ≡ −4(mod 27).

ii) Data la funzione f : Z 8 → Z 8 tale che [a] ₈ 7→ [5a] ₈ , se ne determini l’inversa, se esiste. Si dica quindi se f ` e bijettiva, motivando la risposta.

2. Si consideri il gruppo additivo Z ⊕ Z, i cui elementi sono le coppie ordinate di numeri interi, rispetto alla somma componente per componente.

i) Si dimostri che A ` e un sottogruppo di Z ⊕ Z, dove A := {(x, y) ∈ Z ⊕ Z | 3x − 4y = 0} .

ii) Si determini un eventuale generatore del gruppo A. Esso ` e ciclico ? iii) Si provi che ^Z⊕Z _A ∼ = Z.

3.

i) In S 8 , gruppo simmetrico di grado 8, si scrivano gli elementi e i relativi periodi del sottogruppo ciclico generato da α = (246135)(347168)(5412);

ii) si calcolino α ⁻²⁶ e α ²¹⁵ ;

iii) si dica se hαi ammette sottogruppi di ordine 6, motivando la risposta.

4. Nell’anello K[x] dei polinomi a coefficienti nel campo K, si considerino a(x) = 2x ³ − 5x ² + 6x − 15, b(x) = x ⁴ + x ² − 12.

i) Si fattorizzino a(x) e b(x) in polinomi irriducibili rispettivamente in R[x], C[x], Z 2 [x], Z 3 [x].

Se ne indichino, in ciascun caso, le radici e le relative molteplicit` a nei cor- rispondenti campi R, C, Z 2 , Z 3 .

ii) In R[x] si dia la fattorizzazione di x ⁴ + 1 in polinomi monici irriducibili.

15 Dicembre 2011 1.

i) Per ciascuna delle seguenti equazioni diofantee, si determinino le eventuali soluzioni intere:

8x − 12y = 4, 24x − 15y = −22;

ii) detto Z l’insieme degli interi, si dica se {14x − 21y | x, y ∈ Z} = Z;

iii) quale condizione devono soddisfare due interi a e b affinch` e l’insieme {ax + by | x, y ∈ Z} coincida con Z? Si motivi la risposta.

2. Nel gruppo simmetrico S ₉ , si consideri la permutazione α = (1253)(245619)(2789).

i) Si determinino gli elementi di hαi ed i relativi periodi;

ii) si determini A ₉ ∩ hαi, dove A ₉ rappresenta il gruppo alterno di grado 9;

iii) si stabilisca se i laterali hαi(27856) e hαi(1349) coincidono;

iv) si dica se S 9 ` e abeliano, motivando la risposta.

3. Siano G un gruppo abeliano, A e B due suoi sottogruppi.

Si provi che:

i) l’insieme AB := {ab | a ∈ A, b ∈ B} ` e un sottogruppo di G;

ii) l’applicazione f : A × B → AB definita ponendo (a, b) 7→ ab, per ogni (a, b) ∈ A × B, ` e iniettiva se e solo se A ∩ B = {1 <sub>G</sub> }. ` E suriettiva ?

4. In ciascuno degli anelli R[x], C[x], Z 2 [x], Z 3 [x], Z 5 [x] si decomponga in fattori irriducibili il polinomio

f (x) = x ⁴ − 81.

Si indichino poi le radici di f (x) e le relative molteplicit` a in R, C, Z 2 , Z 3 , Z 5 . 5. Si dia la definizione di campo e si faccia qualche esempio.

Si determinino gli elementi unitari dell’anello Q[x] e si dica se `e campo.

22 Marzo 2012 1. Nell’insieme delle frazioni F :=  _a

b | a, b ∈ Z, b 6= 0 si consideri la relazione ∼ definita ponendo:

a b ∼ a

b ⇔ ab = ba.

i) Si dimostri che ∼ ` e una relazione di equivalenza in F ;

ii) si provi che in Q (quoziente di F rispetto a ∼) `e ben definito il seguente prodotto :

a b · c

d := ac

bd , ∀ a b , c

d ∈ F.

2. Siano (Z, +) il gruppo additivo dei numeri interi e G := Z ⊕ Z il gruppo i cui elementi sono le coppie ordinate di interi, rispetto alla somma:

(a 1 , b 1 ) + (a 2 , b 2 ) := (a 1 + a 2 , b 1 + b 2 ).

i) Si dimostri che l’applicazione f : Z ⊕ Z → Z definita ponendo f ((a, b)) := 4a − 11b, ∀ (a, b) ∈ Z ⊕ Z

` e un epimorfismo di gruppi additivi;

ii) si deduca che il gruppo quoziente _{Ker f} ^G ` e isomorfo a Z;

iii) si indichino gli elementi di Kerf e si mostri che ` e un gruppo ciclico, determinandone un generatore.

3. Nel gruppo simmetrico S 9 si consideri la permutazione α = (12536789)(2547)(3496).

i) Si determinino gli elementi di hαi ed i relativi periodi;

ii) si determini A ₉ ∩ hαi, dove A ₉ rappresenta il gruppo alterno di grado 9;

iii) si dica se i laterali hαi(15679) = hαi(245)(139), motivando la risposta;

iv) si definisca un epimorfismo f : (Z, +, 0) → hαi e si determini Ker f . 4. Nell’anello Z 5 [x] dei polinomi nell’indeterminata x, a coefficienti nel campo Z 5 , si considerino i polinomi

a(x) = x ⁴ + 3x ² + 1 e b(x) = x ³ − x ² − 3x − 2.

i) si calcoli il massimo comun divisore monico d(x) fra a(x) e b(x) e lo si esprima nella forma d(x) = f (x)a(x) + g(x)b(x), con f (x), g(x) ∈ Z 5 [x];

ii) quali sono gli altri massimi comun divisori fra a(x) e b(x)?

iii) si decompongano a(x) e b(x) in fattori irriducibili in Z 5 [x] e si deter-

minino, per ciascuno di essi, le radici e le relative molteplicit` a .

10 Aprile 2012 1. Nell’anello Z dei numeri interi:

i) si risolvano, qualora possibile, le seguenti congruenze lineari:

10x ≡ −7 (mod 13) e 14x ≡ −1 (mod 7);

ii) si dimostri che per ogni a, b, c ∈ Z e per ogni n ∈ N si ha che:

a ≡ b (mod n) ⇒ ac ≡ bc (mod n);

iii) esistono a, b, c ∈ Z tali che ac ≡ bc (mod 3) ma a 6≡ b (mod 3)?

2. Nel gruppo simmetrico S 3 di grado 3, si consideri il sottogruppo S ₂ = h(12)i, generato dalla permutazione (12):

i) si determinino i laterali destri di S ₂ in S ₃ ;

ii) si dica se S 2 ` e normale in S 3 , motivando la risposta.

3. Dati A e B, sottogruppi di un gruppo abeliano additivo G, poniamo:

A + B := {a + b | a ∈ A, b ∈ B}.

Si provi quanto segue:

i) A+B ` e il minimo sottogruppo di G contenente A∪B (unione insiemistica);

ii) posto G = Z, A = 24Z e B = 16Z, si dica se A ∪ B `e sottogruppo di Z;

iii) posto G = Z, A = 6Z e B = 30Z, si dica se A ∪ B `e sottogruppo di Z.

4. K[x] indichi l’anello dei polinomi a coefficienti in un campo K.

i) Si fattorizzi in irriducibili in K[x] il polinomio f (x) = x ⁴ − 3 rispettiva- mente nei casi K = Q, R, C, Z 2 , Z 3 determinandone, in ciascun caso, le radici e le relative molteplicit` a ;

ii) si provi che un elemento α ∈ K `e radice comune di due polinomi a(x), b(x) di K[x] se e solo se α `e radice del loro massimo comun divisore d(x);

iii) se α ` e radice di a(x) di molteplicit` a 3, quale ` e la molteplicit` a di α come

radice di a(x) ² ? Si giustifichi la risposta.

21 Giugno 2012

1. i) Nell’anello Z dei numeri interi si risolvano, se possibile, le seguenti congruenze lineari:

6x ≡ −3(mod 12) e 9x ≡ −6(mod 15);

ii) dati a e b interi e posto d := M.C.D.(a, b), si dica se ` e anche d = M.C.D.(a, a − 2b),

motivando la risposta.

2. Nel gruppo simmetrico S ₈ si consideri la permutazione α = (15436)(15278)(347).

i) Si scrivano gli elementi di hαi, precisando il periodo di ciascuno di essi;

ii) si definisca un epimorfismo di gruppi

f : (Z, +, 0) → (hαi, ·, id) e si calcoli Ker f .

3.

i) Si determinino gli elementi unitari dell’anello Z 10 , indicando per ciascuno il suo inverso;

ii) Z 10 possiede divisori dello zero? In caso affermativo si determinino, motivando le scelte;

iii) di ciascuno degli anelli Z 10 e Z 11 si dica se sono campi. Si motivi.

4. Nell’anello Q[x] dei polinomi nell’indeterminata x, a coefficienti nel campo razionale, si considerino i polinomi

f (x) = x ³ + x ² + 5x + 5 e g(x) = x ⁴ − 3x ³ + 7x ² − 15x + 10.

i) Si calcoli il M.C.D. monico d(x) tra f (x) e g(x), e lo si scriva nella forma d(x) = h(x)f (x) + k(x)g(x), h(x), k(x) ∈ Q[x];

ii) si fattorizzino f (x) e g(x) in irriducibili rispettivamente in Q[x] e in C[x];

iii) si determinino le radici di f (x) in Q e in C e le relative molteplicit`a.

12 Luglio 2012 1.

i) Si determinino, se possibile, le soluzioni intere delle seguenti equazioni diofantee:

8x − 19y = −3 e 15x − 25y = −2;

ii) si dica se l’insieme A := {8x − 19y | x, y ∈ Z} coincide con l’insieme Z degli interi, motivando la risposta.

2. Nel gruppo simmetrico S ₃ si consideri il sottogruppo ciclico H generato dallo scambio (23).

i) Si elenchino i laterali sinistri distinti di H in S 3 , indicando gli elementi di ciascuno di essi;

ii) si elenchino i laterali destri distinti di H in S ₃ , indicando gli elementi di ciascuno di essi;

iii) si dica se H ` e un sottogruppo normale di S ₃ , motivando la risposta;

iv) si dica se H ` e abeliano, motivando la risposta.

3. Sia (Z 9 , +, [0] n ) il gruppo additivo delle classi di resti modulo 9.

i) Si consideri la funzione f : Z 9 → Z 9 tale che [a] ₉ 7→ [4] ₉ [a] ₉ . Si stabilisca se f ` e un omomorfismo, se ` e iniettiva e se ` e suriettiva;

ii) si trovi, se esiste, la funzione inversa di f .

4. Siano p un numero primo e Z p [x] l’anello dei polinomi nell’indeterminata x a coefficienti in Z p . Si considerino i polinomi

f (x) = x ⁴ − 3x ² + 12, g(x) = x ² + 3.

i) Si determinino i numeri primi p per i quali g(x) divide f (x);

ii) per i valori di p ottenuti al punto precedente, si scomponga f (x) in fat-

tori irriducibili in Z p [x] e se ne determinino le radici in Z p , con le rispettive

molteplicit` a.